UPPSALA UNIVERSITET Inst. för fysik och astronomi Mattias Klintenberg, Allan Hallgren, Staffan Yngve, Rikard Enberg, Glenn Wouda TENTAMEN

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Inst. för fysik och astronomi Mattias Klintenberg, Allan Hallgren, Staffan Yngve, Rikard Enberg, Glenn Wouda TENTAMEN MEKANIK II 1FA102 SKRIVTID: 5 timmar, kl Hjälpmedel: Nordling-Österman: Physics Handbook Råde-Westergren: Mathematics Handbook Räknedosa Markera svarsalternativ för A-uppgifterna på bifogat svarsformulär. Börja varje B- uppgift på nytt blad. Skriv namn samt grupp på varje blad du lämnar in. Definiera införda beteckningar i text eller figur, motivera uppställda samband (endast B-delen). Motiveringarna utgör en väsentlig del av problemets lösning och avgör poängbedömningen (gäller endast B-delen). VÄND för information om regler angående A- och B-uppgifter! VIK detta blad om bladen med dina lösningar. Se till så att tentamensvakterna INTE häftar samman lösningsbladen. LYCKA TILL! Namn: Personnr: Program och grupp: Inskrivningsår: Registrerad på Mekanik II år: Inlämnat antal lösningsblad till uppgifterna Uppgift Svarsformulär A-del B1 B2 B3 B4 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Poäng per A1 A2 A3 A4 A5 uppgift: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Poängsumma A:.. B:... Betyg

2 Tentamen består av två delar, A och B. Del A utgörs av de fem första problemen, A1 A5 och del B av de fyra sista B1 B4. Varje A-problem kan ge maximalt 3 poäng och varje B-problem max 5 poäng. För godkänt krävs Dels minst 10 poäng sammanlagt på A-delen Dels minst 2 poäng på varje problem på A-delen Dels minst 8 poäng sammanlagt på B-delen Betygsgränser 3 18p 4 24p 5 30p Har du godkänd dugga erhålls 5 poäng på uppgift B1 utan att lösning behöver lämnas in. Observera även att examinator förbehåller sig rätten att utifrån en helhetsbedömning något avvika från ovanstående kriterier. Så ge inte upp, även om det verkar gå dåligt på en A-uppgift! För A-delen gäller: Endast bifogat svarsformulär lämnas in. För B-delen gäller: Kom ihåg att vara noggrann med motiveringar och redovisning av din lösning. Ange vilka grundläggande samband du utnyttjar. Motiveringarna utgör en väsentlig del av problemets lösning och avgör poängbedömningen. En FIGUR med alla relevanta krafter markerade är oftast en viktig del av en motivering!

3 Svarsformulär för A-delen Namn: Personnr: Grupp: [ ] Markera om du lämnat kommentarer på baksidan. A.1a [ ] 17 Nm [ ] -13 Nm [ ] 1 rad/s 2 [ ] -15 rad/s 2 A.1b [ ] 11 min [ ] 13 min [ ] 15 min [ ] 17 min A.1c [ ] upp [ ] ned [ ] åt höger [ ] åt vänster A.2a [ ] Kroppen börjar rotera och C rör sig uppåt (y-led) och åt höger. [ ] Kroppen börjar rotera och C rör sig nedåt och åt höger. [ ] Kroppen börjar rotera och C rör sig åt höger. [ ] Kroppen börjar rotera och C rör sig inte. A.2b [ ] B,A,C [ ] B,C,A [ ] C,B,A [ ] A,C,B A.2c [ ] A [ ] B [ ] C [ ] Alla lika. A.3a [ ] B,A,C [ ] C,A,B [ ] A,B,C [ ] Alla lika. A.3b [ ] 2πrF [ ] (2πrF) 2 [ ] 4πrF [ ] 8πrF A.3c [ ] Mekaniska energin bevaras. [ ] Rörelsemängden bevaras. [ ] Rörelsemängdsmomentet m.a.p. A bevaras. [ ] Friktion är en konservativ kraft. A.4a [ ] 9.8 m/s 2 [ ] 1.4 m/s 2 [ ] 3.1 m/s 2 [ ] 1.6 m/s 2 A.4b [ ] c=0 [ ] c=2(km) 1/2 [ ] c=k [ ]c=(e/m) 1/2 A.4c [ ] i-α, ii-β, iii-γ [ ] i-γ, ii-β, iii-α [ ] i-γ, ii-α, iii-β [ ] i-β, ii-γ, iii-α Α.5a [ ] 1.7 MPa [ ] 980 MPa [ ] 0.3 MPa [ ] MPa A.5b [ ] + y-led [ ] y-led [ ] + x-led [ ] x-led A.5c [ ] ω2a [ ] 2Αsin(ωt) [ ] 2Asin(kx) [ ] 2Aω 2

4

5 Lämna svar på bifogat svarsformulär för A-delen. A.1 Kraftmoment, kinematik samt accelererade referenssystem. (3p) a) En kraft F=(10,20,30) N verkar på ett hjul i punkten A=(0.2,-0.3,-0.5) m. Hjulets axel är parallell med z-axeln och går genom punkten B=(1,0,0) m. Hur stort är kraftmomentet m.a.p. hjulets axel? b) Mopedisten Elsa kör så att övre delen på bakhjulets drev (A) har hastigheten v A =9 m/s i färdriktningen. Drevet har radie R och hjulets radie är 2R. Hur lång tid tar det för Elsa att köra 6 km? R A 2R v A c) En polarexpedition roar sig med att på långt håll skjuta prick på ett äpple placerat på nordpolen. Åt vilket håll driver gevärskulan p.g.a. Corioliseffekten? A.2 Dynamiken. (3p) a) En stel kropp ligger på ett friktionsfritt bord (sett ovanifrån i figuren). En kraft F i bordsplanet appliceras på kroppen, se figur. Vilket av följande påståenden är korrekt vad gäller masscentrums (C) rörelse och kroppens vridning? C F y-led x-led b) Objekten i figuren (ring, rund skiva och homogen kula) har rulltävling nedför ett lutande plan med hög friktion. Alla har massan m och radien r. Start från vila. Rangordna efter vilket objekt som kommer ner först (snabbast ner först). c) Emil i Lönneberga har återigen retat upp sin far genom att denna gång hissa upp den tunga griseknoen i flaggstången. Om gångjärnet vid marken öppnas och flaggstången börjar vinkelaccelerera runt detta, i vilket fall får systemet störst vinkelacceleration (griseknoen är på olika höjd över gångjärnet och han håller hela tiden hårt fast i flaggstången)? flaggstång A.3 Arbete-energi. (3p) a) Rangordna följande kroppar, alla med radie r, efter stigande kinetisk energi (minst kinetisk energi först). A: Rullande homogen cylinder, massa m och fart v. B: Glidande homogen cylinder, massa 8m, fart v/2 och ω=0. C: Rullande homogen cylinder, massa m/2 och fart 2v. A B C A "!" B " r!" m C "!" v griseknoen gångjärn

6 b) Kraften F verkar via en tråd på trådrullen enligt figuren. Vilket totala arbete har gjorts på rullen då denna rullat (utan att glida) två varv? m r F c) Den springande gossen Otto hoppar på en roterande karusell vid punkten B. Otto lyckas stå kvar på punkten B. Rotationen sker runt fix axel genom A. Vilket av följande påståenden är korrekt? m,v A.4 Svängningsrörelse. (3p) a) En astronaut mäter svängningstiden hos en homogen stav, upphängd ¼ l från kanten, för att bestämma en främmande planets g. Svängningstiden för 10 svängningar är 38 s. Vad är g på planetens yta där astronauten står? ω B A l=1m b) Ett systems svängningar kring jämviktsläget kan beskrivas med ekvationen d 2 x/dt 2 + (c/m) dx/dt + (k/m)x = 0. Hur ska c väljas för att få kritisk dämpning? c) Para ihop differentialekvation och lösningsskiss α: β: γ: i: d 2 x/dt 2 + 2(c/m) dx/dt + (k/m)x = 0 ii: d 2 x/dt 2 + (c/m) dx/dt + (k/m)x = 0 iii: d 2 φ/dt 2 + ω 2 φ = 0 A.5 Elasticitetsteori samt mekaniska vågor. (3p) a) Axel är klätterintresserad och vill bestämma elasticitetsmodulen för ett rep. Axel noterar att det 50 m långa repet (med diametern 7 mm) förlängs 0.3 m då han hänger i det. Axel väger 23 kg och fyller snart 3 år. Vad är värdet på repets elasticitetsmodul? b) En fortskridande våg på en sträng har vågfunktionen y(x,t)=acos(kx+ωt). I vilken riktning färdas denna våg? c) En stående våg på en sträng har vågfunktionen y(x,t)=2asin(kx)sin(ωt). Vad är beloppet av den maximala accelerationen i y-led för ett litet strängsegment?

7 B.1 En kula läggs ned på en cylindrisk yta vars radie är R. Ena halvan av ytan är sträv men den andra är glatt, det vill säga friktionen kan där försummas. Kulan läggs på den sträva delen av ytan på höjden H över botten och släpps från vila. På den sträva delen är friktionen så stor att kulan rullar. Hur högt når kulan på den glatta delen av cylindern? Den homogena kulans radie är r, där r<<r. H<R (5p) H B.2 En klots med massan M är rörlig längs en rät linje på ett glatt horisontalplan. En rak elastisk fjäder med fjäderkonstanten k förenar klotsen med en fix vägg. En dämpande anordning är monterad mellan klotsen och väggen. Den dämpande kraften på klotsen är proportionell mot klotsens hastighet. Fjädern är hela tiden rak, horisontell och parallell med linjen L. Se figur. Systemet befinner sig från början i vila då fjädern har sin ospända längd. Klotsen träffas plötsligt av en pistolkula med massan m som fastnar i klotsen, alldeles innanför träffpunkten. Pistolkulan hade före träffen farten v 0 parallell med linjen L. Efter träffen rör sig klotsen utan rotation längs linjen. a) Bestäm farten hos klotsen direkt efter stöt. (1p) b) Beräkna dämpningskonstanten, om rörelsen efter träffen blir kritiskt dämpad. (2p) c) Beräkna också hur lång tid det tar efter träffen innan klotsen når sitt vändläge. (2p) M L v o m B.3 Ett homogent klot rullar på ett horisontalplan med hastigheten v 0. Horisontalplanet övergår i ett lutande plan med lutningsvinkeln β enligt figur. Klotet stöter emot det lutande planet och fortsätter därefter att rulla uppför detta plan. Stöten är oelastisk (viss värmeutveckling) och sker utan studs. a) Bestäm klotets hastighet uppför planet omedelbart efter stöten. (3p) b) Bestäm hur långt klotet rullar uppför planet innan det stannar. (2p) Du får lösa uppgift b) även om du inte löst a). β Kalla då hastigheten omedelbart efter stöten för v 1. B.4 En vagn med massan M kan rulla på en horisontell järnväg. Rullmotståndet är försumbart. En vals av järn i form av en homogen cylinder med massan m ligger på vagnen. Cylindern kan rulla på vagnen. Från tiden t=0 börjar en konstant horisontell kraft F verka på vagnen. Systemet startar från vila. Efter tiden t 1 är vagnens hastighet v 1. Cylindern ligger kvar på vagnen. a) Vad är cylinderns fart relativt marken efter tiden t 1? (2p) b) Bestäm det numeriska värdet på förhållandet v cylinder /v vagn (vid varje tidpunkt mellan 0 och t 1 ). (3p) M m F