Mekanik III, 1FA103. 1juni2015. Lisa Freyhult

Transkript

1 Mekanik III, 1FA103 1juni2015 Lisa Freyhult Instruktioner: Börja varje uppgift på nytt blad. Skriv kod på varje blad du lämnar in. Definiera införda beteckningar i text eller figur. Motivera uppställda samband. Motiveringarna utgör en väsentlig del av problemets lösning och avgör poängbedömningen. Hjälpmedel: Nordling-Österman: Physics Handbook Råde-Westergren: Mathematics Handbook Miniräknare Egenskrivet formelblad, max en A4-sida Svensk-engelsk ordlista Lycka till! 1. Ge korta svar på följande frågor (a) Ett tennisracket kastas upp i luften med en rotation kring en principalaxel. Kring vilken/vilka principalaxlar ska rotationen ske för att det ska vara så enkelt som möjligt att fånga racketen igen? (b) Vilka storheter bevaras om 1) Lagrangianen är invariant under translationer 2) Lagrangianen är invariant under rotationer? (c) I figuren visas två möjliga banor för ett objekt i en gravitationspotential. Vilken bana motsvarar rörelse med en större total energi? Ge en kort motivering till svaret. Figur 1: Två möjliga banor för ett objekt i en central potential. (d) En deutron består av en proton och en neutron. Deutronens massa är 1876 MeV/c 2,protonensmassa938MeV/c 2 och neutronens massa 940 MeV/c 2.Ge en förklaring till varför massan hos deutronen skiljer sig från den sammanlagda massan hos dess beståndsdelar. (e) Svänghjul kan användas för energilagring. Ge argument för vad som är mest lämpligt för att lagra energi i ett fordon, ett tungt och långsamt svänghjul eller ett lätt och snabbt. (5 p)

2 2. I filmen Apornas planet reser besättningen på ett rymdskepp från jorden 1972 och kraschar sedan på jorden år 3978 efter en resa på ungefär 20 månader. I filmen från 1968 är förklaringen till att besättningen hamnar så långt in i framtiden att de har rest snabbare än ljuset genom ett maskhål. Föreslå en alternativ förklaring, kompatibel med Speciell relativitetsteori och kausalitet, till att besättningen hamnar i framtiden och uppskatta rymdskeppets fart 1 (eller faktorn =,därv är farten). 2 p 1 v2 /c Var tydlig med vilka antaganden och approximationer du använder. Notera att motiveringen är en viktig del av detta problem. Din förklaring bör inkludera en diskussion om samtidighet i olika referenssystem. (5 p) Figur 2: Slutscenen från Apornas planet 3. Ett gyroskop för demonstrationer i klassrummet är konstruerat enligt figur. Skivan i B har massa M, radie R och roterar med en vinkelhastighet! kring symmetriaxeln. I A är en massa m<m fastsatt. Stången mellan A och B kan rotera kring 0 i ett plan och den vertikala axel som stången är fäst vid kan vridas kring sin egen axel. (a) I ett experiment observeras att symmetriaxeln genom skivan är horisontell. Beräkna då systemets precessionshastighet och ange i vilken riktning systemet precesserar. (b) Beskriv kvalitativt vad som händer om gyroskopet släpps från en vinkel 0. Systemet släpps från vila, bortsett från att skivan roterar med vinkelhastigheten!. (5 p) Figur 3: Ett gyroskop för demonstrationer i klassrummet.

3 4. Två pendlar är fästa på en ställning med massa M som glider friktionsfritt på ett horisontellt underlag enligt figur. Varje pendel består av en massa, m, ochettlätt snöre med längd l. Betraktasmåsvängningarhossystemet. (a) Finn pendlarnas egenfrekvenser. (b) Systemet släpps från vila med (0) = 0 och (0) = 0, där 0 är en liten vinkel. Finn utslagsvinklarna som en funktion av tiden. (5 p) Figur 4: Kopplade pendlar. 5. En rymdfarkost med massa m = kg befinner sig i en elliptisk bana kring jorden. Farkostens minsta avstånd till jorden i ellipsbanan är r 1 = 8000 km och avstånd från mitten av ellipsen till B är b = km. Man behöver ändra farkostens bana till en cirkulär bana med en radie r 1 och väljer att göra det genom att ändra hastighet i punkt A. Dessvärre fungerar inte farkostens motorer riktigt som de ska och man får igång motorerna lite sent, inte förrän farkosten passerar punkt B i figuren. (a) Hur stor är den planerade hastighetsändringen i A? (b) Den hastighetsändring som hade planerats i A görs istället i B. Vad blir energin idennyabananochvilkentypavbanakommerfarkostenattfölja? (c) Skissa den effektiva potentialen under olika delar av förloppet samt markera energin för de olika banorna. (5 p) Figur 5: En rymdfarkost i elliptisk bana kring jorden. 6. Lämna in ditt formelblad. Helt korrekt formelblad ger poäng. (1 p)

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 Tentamen 1FA103 Mekanik III, :00-13:00 Lisa Freyhult, Ulf Lindström Hjälpmedel: Physics Handbook, Mathematics Handbook, Formelsamling, Miniräknare. Studenter som läst äldre kurs, Mekanik MN2 eller Analytisk mekanik, skall även lösa uppgift 1 a) utan att använda Lagrangeformalism. 1. Under en föreläsning i mekanik görs ett enkelt experiment med hjälp av kopp, penna, gem och snöre enligt figur. Föreläsaren håller i penna och gem och släpper sedan gemet, i den position som figuren visar. Koppen har massan M, gemet massan m och snörets massa kan försummas.!!! Figur 1: Experiment med kopp och gem. Koppen och gemet är förbundna med ett snöre som löper över pennan. I den position som figuren visar släpps gemet. (a) Utgå från Lagrangianen för systemet för att visa att gemets rörelse, om friktion mellan penna och snöre försummas, kan beskrivas enligt ekvationerna (M + m) r = mr θ 2 g(m + m sin θ) r θ + 2ṙ θ = g cos θ. Ekvationerna kan lösas numeriskt och resultatet ses i figuren. Figur 2: Gemets bana i rummet under ett tidsinterval efter att gemet släppts. (b) Förklara vad som händer i experimentet (inga beräkningar behövs). Hur förändras gemets rotationshastighet under rörelsen? Vad kan man tänka sig händer om man har friktion mellan penna och snöre? (5p)

16 2. Bestäm egenfrekvenserna och ange lösningen till rörelseekvationerna för två pendlar av längd L förbundna med en fjäder enligt figur. Pendlarna har massorna m 1 och m 2, fjäderkonstanten är k och avståndet mellan upphängningspunkterna lika med fjäderns vilolängd l 0. Vinklarna φ 1 och φ 2 antas vara små under hela rörelsen. (5p) 3. En avhuggen kon sitter fast i en mycket lätt pinne fästad i punkten 0 enligt figur. Den avhuggna homogena konen har densitet ρ, radie R, höjd h och rullar utan att glida på ett plant underlag. Pinnen bildar vinkeln α med underlaget. Vinkelhastigheten i ett visst ögonblick är ω. Beräkna rörelsemängdsmomentet med avseende på 0. (5p) 4. Betrakta jorden som en stel kropp med huvudtröghetsmoment I 1, I 2 och I 3. Den är symmetisk kring z-axeln, dvs I 1 = I 2. Beräkna vinkelfrekvensen ω med hjälp av Eulers ekvationer och visa att dess belopp är konstant. (4p) 5. En stav med längden L 0 rör sig med hastigheten v längs horisontalriktningen. Staven bildar vinkeln θ 0 med horisontalaxeln i ett koordinatsystem som rör sig med staven. Bestäm stavens längd som den mäts av en stationär observatör samt den vinkel θ som den bildar med horisontalaxeln i observatörens kooordinatsystem. (4p) Lycka till!

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26