ID-Kod: Program: YTTERLIGARE information om regler angående A- och B-uppgifter på sista sidan. LYCKA TILL! ID-kod (alt.

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Inst. för fysik och astronomi Mattias Klintenberg, Allan Hallgren, Glenn Wouda, Staffan Yngve och Lennart Selander ID-Kod: Program: TENTAMEN MEKANIK II 1FA102 SKRIVTID: 5 timmar, kl , Allianshallen Hjälpmedel: Nordling-Österman: Physics Handbook Råde-Westergren: Mathematics Handbook Räknedosa, personligt formelblad (A4 dubbelsidigt) Markera svarsalternativ för A-uppgifterna på bifogat svarsformulär. Börja varje B-uppgift på nytt blad. Skriv TYDLIGT ID-kod samt program/grupp på varje blad du lämnar in (saknas ID-Kod så använd ditt personnummer). Definiera införda beteckningar i text eller figur, motivera uppställda samband (endast B-delen). Motiveringarna utgör en väsentlig del av problemets lösning och avgör poängbedömningen (gäller endast B-delen). YTTERLIGARE information om regler angående A- och B-uppgifter på sista sidan. LYCKA TILL! ID-kod (alt. personnummer ): Program och grupp: Inlämnat antal lösningsblad till uppgifterna Uppgift Svarsformulär A-del B1 B2 B3 B4 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1

2 ID-Kod: Svarsformulär för A-delen Program: [ ] Markera om du lämnat kommentarer på separat papper. A.1a A.1b [ ] ω x r A/B [ ] ω r A/B cosθ [ ] ωsinθ [ ] ωcosθ A.1c [ ] Norr. [ ] Öster. [ ] Väster. [ ] Den fiktiva Corioliskraften är noll. A.2a [ ] Vinkelhastigheten ökar [ ] Tröghetsmomentet ökar [ ] Kinetiska energin ökar [ ] Tröghetsmomentet minskar A.2b [ ] L [ ] L/ 3 [ ] L [ ] L/2 A.2c [ ] [ ] [ ] [ ] A.3a [ ] Rörelsemängden är bevarad [ ] Rörelsemängdsmomentet m.a.p. MC är bevarat [ ] Rörelsemängdsmomentet m.a.p. P är bevarat [ ] Totala mekaniska energin är bevarad A.3b [ ] E hopp1 =E hopp2 [ ] E hopp1 <E hopp2 [ ] E hopp1 >E hopp2 [ ] E hopp1 >>E hopp2 A.3c [ ] v/r [ ] v/[r (20)] [ ] v/10 [ ] v/(10r) A.4a [ ] 9.78m/s 2 [ ] 9.81m/s 2 [ ] 9.85m/s 2 [ ] 6.67*10-11 Nm 2 /kg 2 Α.4b [ ] 7rad/s [ ] 1rad/s [ ] 8 rad/s [ ] ( 5) / 2 rad/s A.4c [ ] θ=0 [ ] cos(θ)=θ [ ] sin(θ)=θ [ ] θ=1 Α.5a [ ] v [ ] 2πAv/λ [ ] Av/λ [ ] x/t A.5b [ ] A [ ] B [ ] C [ ] D A.5c [ ] σ=εe [ ] ε=αδt [ ] R<<L [ ] σ z <σ ϕ 2

3 Lämna svar på bifogat svarsformulär för A-delen. A.1 Kraftmoment, kinematik samt accelererade referenssystem. (3p) a) Otto trycker på pappas fina gamla vinylskiva som ligger på skivtallriken. Skivans rotationsaxel går genom skivans mitt och är i z-led, vilket är ortogonalt mot skivan. F=(1,2,3)N i punkten A=(0.15, 0.1, -0.02)m. Vilket svar ligger närmast kraftmomentet med avseende på rotationsaxeln? b) Mary Poppins snurrar på sitt paraply enligt figuren. En fluga sitter i punkten A på paraplyet. Vilket uttryck beskriver flugans hastighet relativt Mary Poppins hand, punkt B (som är i vila)? Vinkeln mellan vektorerna ω och r A/B betecknas θ. c) En hiss på Ångström har fastnat på plan 3. I vilken riktning påverkar den fiktiva Corioliskraften hissen relativt jordbundet referenssystem? A.2 Dynamiken. (3p) a) Isdansören Axel gör en piruett. Under piruetten för han armarna närmare kroppen. Markera alla sanna påståenden. b) Av okänd anledning vill dirigenten Esa Pekka (EP) fördubbla tröghetsmomentet med avseende på ena änden hos sin dirigentpinne (dp). EPs dp har massan m, längden L och EP väljer att tejpa en liten vikt med massan m (samma massa som pinnen) på avståndet x från rotationsaxeln (genom handen). Vilket x ska Esa Pekka välja? c) En toalettrulle med massan m är anbringad med en enkel anordning bestående av en lätt pinne som med snören är fast i väggen. Om man drar i pappret med en kraft 0.2 mg rakt nedåt utan att lyckas få toalettrullen att rotera. Vilken bild beskriver friktionskraften mellan toalettrullen och väggen bäst? A.3 Arbete-energi. (3p) a) En roterande skiva sätts ned försiktigt så att vi kan försumma den vertikala delen av rörelsen. Skivan får kontakt med det ej friktionsfria underlaget. Vilket av följande påståenden är korrekt efter en ej försumbar tid t, t>>0? b) Anna Lindberg gör två hopp från 5m. Simhoppen är identiska sånär som på att hopp 1 består av 2.5 baklänges volter och hopp 2 består av 3.5 baklänges volter, dvs upphoppen skiljer sig endast genom att ω hopp1 <ω hopp2. Om vi gör den något krystade approximationen att Anna Lindberg kan betraktas som en stel kropp, vad gäller då för den mekaniska energin om vi jämför de två hoppen? 3

4 c) En roadrunner (New Mexicos statsfågel) med massan m kommer springande med hastigheten v. Den märkliga fågeln hoppar upp på ett lågt (fritt roterande) fågelbord (uniform skiva, byggt som en karusell) med radien R. Fågelbordets massa är 18m, dvs 18 gånger fågelns massa. Vilken vinkelhastighet får systemet (fågel+bord) om fågelbordet initialt är i vila, v är parallell med det runda fågelbordets tangent och roadrunnern klamrar sig fast på avståndet R från fågelbordets mitt? R v A.4 Svängningsrörelse. (3p) a) Esa Pekka har tappat takten och misstänker att tyngdaccelerationen g (ej noten) är fel (märklig misstanke?). För att bestämma g hänger EP upp sin dp (massan m längd L) i ena ändan och konstaterar att 10 svängningar tar 16.4s. Rotationsaxeln är vinkelrät papprets plan och svängningen sker i planet (obs att EPs dp ej är modifierad enl. A2b). Vad är g på den plats EP gör sitt experiment? b) Ett systems rörelseekvationen lyder: d 2 x/dt 2 + A dx/dt + B x = Csin(7t), där A = 3 s - 1, B = 1 s - 2, C = 2 m/s 2. Vad är systemets vinkelfrekvens efter lång tid? θ L = 1m (EP är nog känd för sina långa dirigent- pinnar!) c) Esa Pekka roar sig på en av sina långa resor med att ta fram rörelse-ekvationen för systemet i A.4a. EP inser att rörelseekvationen kan linjäriseras för små svängningar. Vilken approximation är i detta fall OK? A.5 Elasticitetsteori samt mekaniska vågor. (3p) a) Vad är materiepartiklars maximala hastighet för en våg som ges av y(x,t) = A sin [ 2π (x v t) / λ ] b) En grupp ligister gör ett dragprov på en pensionärs käpp (av aluminium), dvs kontrollerar töjning som funktion av applicerad kraft, se figur. Vid vilken punkt i dragprovkurvan slutar Hooke s lag att vara en bra approximation. c) För ett långt (längd L) tryckkärl med tunn vägg gäller i cylindergeometri att σ z =Rp/2t samt σ ϕ =Rp/t, där σ är normalspänningen, R tryckkärlets radie, t väggens tjocklek och p trycket i kärlet. Om vi applicerar denna modell på korvkokning (korv långt tryckkärl med tunn vägg) kommer vi fram till att om kokt korv spricker är det alltid på längden därför att (ett svar): 4

5 B.1 En rotationssymmetrisk kropp, radie r, rör sig med start från vila på ett lutande plan där olika vinklar β testas. a) I avsnittet Rigid Body Mechanics i Physics Handbook (F-1.7) återfinns sambandet dv/dt=mgsinα/(m+i/r 2 ). Härled detta samband under noggrant angivande av villkoren för dess giltighet. (3p) b) Om kroppen är en homogen skiva och friktionskoefficienten mellan skiva och lutande plan är µ s =µ k =0.25 bestäm den största möjliga vinkel β sådan att skivan rullar utan att glida. (2p) B.2 En helikopterrotor består av 4st blad, som är 2m långa och väger 25kg/st, se figur. Bladen kan betraktas som tunna stavar och axelns tröghetsmoment kan försummas. Under de tio första varven kan dess motor anses ge ett kraftmoment M=k+kθ, där k=20nm och θ är vinkelutslaget (i radianer) relativt startläget. Motorn sätts på med rotorn i vila. a) Vilket arbete har motorn utfört på rotorn då den har roterat 10 varv (θ=20π)? (2p) b) Vad är rotorns vinkelhastighet (ω) då den roterat 10 varv (luftmotstånd försummas)? (2p) (Tips: (a) och (b) kan lösas oberoende. I (b) kan α=dω/dt och kedjeregeln användas) B.3 En golfboll (i vår approximation en homogen sfär) med radie R får ett tillslag där tillslagets (kraftens) riktning ej går genom masscentrum utan karakteriseras av det i figuren angivna avståndet d =R/10. Omedelbart efter tillslaget har golfbollen hastigheten v. Bestäm golfbollens vinkelhastighet direkt efter tillslaget. Notera att ett golfslag av detta slag har en kontakttid mellan klubba och boll av storleksordningen en tusendels sekund då också d kan antas konstant. Numeriskt: R = 0.025m, v = 36m/s. (5p) B.4 En bungee jumper med massa m=80kg hoppar från en bro ovanför en flod. Hopparen är fäst i en elastisk lina vars andra ände är fäst i bron. Hopparen vänder första gången på avståndet h=30m från utgångsläget. Efter en uppåtgående rörelse vänder hopparen på avståndet h/3=10m från utgångsläget precis innan linan börjar slaka. a) Bestäm linans fjäderkonstant om den (när den inte är slak) betraktas som en fjäder och dämpningen i den första fasen av rörelsen till nedre vändläget försummas. (2p) b) Bestäm tiden för hopparens rörelse mellan de två vändlägena (med beaktande av att linan ej är slak och om dämpningen även i denna fas försummas). (2p) c) Bestäm skillnaden mellan den i (b) erhållna tiden och den tid som erhålls för en underkritiskt (svagt) dämpad rörelse. Konstanten k väljs som den erhållna konstanten i a-uppgiften. (2p) 5

6 Tentamen består av två delar, A och B. Del A utgörs av de fem första problemen, A1 A5 och del B av de fyra sista B1 B4. A- delen ger maximalt 15 poäng (1p per fråga) och B- delen max 20 poäng (poäng fördelning angiven i varje uppgift). För godkänt krävs Dels minst 10 poäng sammanlagt på A- delen Dels minst 2 poäng på varje problem på A- delen Dels minst 8 poäng sammanlagt på B- delen Betygsgränser 3 18p 4 24p 5 30p Har du godkänd dugga erhålls 5 poäng på uppgift B1 utan att lösning behöver lämnas in. Observera även att examinator förbehåller sig rätten att utifrån en helhetsbedömning något avvika från ovanstående kriterier. Så ge inte upp, även om det verkar gå dåligt på en A-uppgift! För A- delen gäller: Bifogat svarsformulär lämnas in. Motiverade lösningar behöver EJ lämnas in för A- delen För B- delen gäller: Kom ihåg att vara noggrann med motiveringar och redovisning av din lösning. Ange vilka grundläggande samband du utnyttjar. Motiveringarna utgör en väsentlig del av problemets lösning och avgör poängbedömningen. En FIGUR med alla relevanta krafter markerade är oftast en viktig del av en motivering! 6