Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)

Transkript

1 Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521) Tid och plats: Fredagen den 2 juni 2017 klockan Johanneberg. Hjälpmedel: Godkänd minikräknare och Matte Beta Examinator: Stellan Östlund Jour: Stellan Östlund, tel , besöker tentamenssalarna c:a kl och Rättningsprinciper: Allasvarskallmotiveras,infördastorheterförklarasliksomvalav metoder. Lösningarna förväntas vara välstrukturerade och begripligt presenterade. Erhållna svar ska, om möjligt, analyseras m.a.p. dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Varje uppgift bedöms med 0, 1, 2 eller 3 poäng enligt följande principer: För 3 poäng krävs en helt korrekt lösning. Mindre fel ger 1 poäng avdrag. Allvarliga fel (t ex dimensionsfel eller andra orimliga resultat) ger 2 poängs avdrag. Allvarliga principiella fel ger 0 poäng på uppgiften. Ofullständiga, men för övrigt korrekta, lösningar kan ge max 1 poäng. Detsamma gäller lösningsförslag vars presentation är omöjlig att följa. Betygsgrunder: Varje uppgift ger maximalt 3 poäng, vilket innebär totalt maximalt 15 poäng på denna deltentamen. För att bli godkänd krävs minst fem poäng poäng ger betyg 5, 9-12 poäng ger betyg 4, och 5-8 poäng ger betyg 3. OBS: I alla uppgifter får svaret ges i termer av de storheter som ges i uppgiftstexten och figuren, samt tyngdaccelerationen g.

2 1. Från Klassiker En kula med rörelsemängdsmoment I = kmr 2 rullar med hastighet v och träffar en ramp som lutar med vinkel enligt figuren. Antag att kulan inte glider på något underlag och gör f.ö. rimliga antaganden för små vinklar. (a) Beskriv och motivera de antaganden som är gjorda för att lösa uppgiften. (b) Vad blir den initiala hastigheten uppför rampen? (c) Hur högt når den innan den vänder? (d) Kommentera huruvida svaret för = 2 Tips: Kolla att 0 är korrekt är rimligt.

3 2. Ett kvarnhjul med radius r och massa m rullar utan att glida runt en axel med vinkelhastighet runt ẑ axeln. Huvudtröghetsmomenten för kvarnhjulet är 1 2 mr2 isymmetriktningen, och 1 4 mr2 runt de andra huvudaxlarna. Vi antar att hjulets tjocklek är försumbar jämfört med D. (a) Beräkna normalkraften under hjulet..

4 3. Motorn i bilden hålls på plats varje sida med en masslös fjäder med fjäderkonstant k och en dämpning med dämpningskonstan konstant c, somgerenåterställandekraftpå varje sida F = kx cẋ. Variabeln x mäter motorns avvikelse från jämnviktspositionen. Motorn tillåts vibrera i sidled i lådan som är fast förankrad i sin omgivning. Hela motorn, inklusive rotor och kapsling, har massa m tot.rotornharmassam och tröghetsmoment mr 2 där r är den s.k. tröghetsradien. Resonansfrekvensen! 0 beräknas för små vibrationer där c =0. Vi antar att det är obalans i motorn pg.a. masscentrum är skiftat med ett litet avstånd från axelns mittpunkt. Definiera a som amplituden av vibrationer i x när motorn drivs vid resonansfrekvensen. (a) Beräkna resonansfrekvensen! 0. (b) Beräkna amplituden a. Alla givna parametrar förekommer inte nödvändigvis i svaren.

5 4. Två kragar var och en med massa m löper friktionsfritt på två stänger såsom i bilden. Konfigurationen kan skapas genom att först lägga de två stängerna på x-axeln, sedan vrida den ena runt z-axeln med vinkel och flytta den ett avstånd d längs z axeln. Massorna är kopplade med en fjäder som har en fjäderkonstant k och en osträckt längd 0. (a) Beräkna egenfrekvenserna och normalmoderna för små svängningar. (b) Skriv ner den allmäna lösningen och skissera respektive normalmoder. (c) Betrakta fallet = 0, skriv ner och tolka den allmäna lösningen. Läs uppgiften noga; svara på alla delfrågor!

6 5. En molekyl består av två identiska atomer som är kopplade med en fjäder med osträckt längd a och fjäderkonstant k. Systemetharenvibrationsfrekvensq 2k utan rotation. m Om molekylen nu roterar med ett rörelsmängdsmoment l vinkelrätt mot molekylens axel blir denna frekvens förändrad, och jämviktsavståndet 2r förblir inte lika med den osträckta fjäderlängden a. Vi betraktar rörelse i ett plan. Introducera generaliserade koordinater, r som mäter avståndet från masscentrum till en atom, och som är vinkeln av molekylaxeln i planet. Låt vara avvikelsen av r från jämviktsläget: r = a 2 +. (a) Beräkna L med de generaliserade koordinaterna r och. (b) Beräkna p r och l = p och skriv ner H (p r,p,r) (c) Utveckla rörelseekvationerna i lägsta ordningen i (d) Till samma ordning, beräkna kvadraten av den nya vibrationsfrekvensen och det skiftade jämviktsavståndet i termer av k, l, m och a. Ledning :! 2 2k m + nl2 m 2 a 4 där n är ett heltal som ni ska beräkna. Lycka till!

7 Formelblad Ni får behålla detta formelblad för andra delen av tentan R ( ) ij = i,j cos( )+(1 cos( )) i j sin( ) ijk k Tr(Rˆ )( ) =1+2cos( ) kij (Rˆ ( )) ij = 2sin( )ˆ k I ij = P ~r m ~r ( ij (~r ) 2 ~r i ~r j ) (I tot ) ij = P (I cm ) ij + M (R 2 ij R i R j ) (MK7/6)v A = v B +! r + v rel (MK 7/6) a A = a B + r A/B +2 v rel + ( r A/B )+a rel (MK 7/7,7/7a) da dt 0= + A q H(p, q) =p = ṗ P k ijk mnk = i,m j,n i,n j,m (A B) (C D) =(A C) (B D ) (A C)(B C) cos (a + b) =cosa cos b sin a sin b; sin (a + b) =cosa sin b +sina cos b sin a A = sin b B = sin c C där A, B och C är längden av sidorna mittemot vinkeln a, b och c. cos = O( 6 ); sin = O( 5 ). ~ A ~ B = A B sin AB ~ A ~ B = A B cos AB.