Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder"

Transkript

1 Inst. för fysik och astronomi Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 017 (1.1) Laddningen q 1 7, C placeras i origo och laddningen q 9, C placeras på x-axeln vid x 40.0 cm. (a) Med vilken kraft påverkar laddningen q 1 laddningen q? Ange storlek och riktning! (b) Med vilken kraft påverkar laddningen q laddningen q 1? Ange storlek och riktning! (c) Var på x-axeln måste du placera en tredje laddning q 3 1, C för att nettokrafterna från q 1 och q på den ska vara noll? (d) Hur ändras ditt svar i (c) om q 3 är negativ? (a) och (b) För att beräkna krafter mellan punktladdningar används Coulombs lag (PhH F-3.1), som anger att beloppet på krafterna mellan punktladdningarna q 1 7, C och q 9, C är F q 1 q r där r är avståndet mellan laddningarna, här r 40 cm 0,4 m. Eftersom q 1 och q har olika tecken kommer krafterna att vara attraheranade. Vi inför beteckningen F 1 för kraften på q 1 från q och F 1 för kraften på q från q 1, se figur. Beloppen av krafterna är lika stora, F 1 F 1 q 1 q r. Vi får F 1 F 1 7, C ( 9, C) Attraherande krafter på punktladdningar. 7,0 9,0 4 π 8, As/ Vm (0,4 m ) 4 π 8,854 N 3,5N. Eftersom krafterna är attraherande kommer F 1 att vara riktad parallellt med +^i och F 1 parallellt med ^i (se figur). Dimensioner? Kraft har enheten N. q 1 q 1C Uttrycket r har enhet 1 As/Vm (1 m ) 1 C (As ) 1 Vm (m ) (efter omvandling 1 V 1 J/C 1 Nm/C; 1 As 1 C) 1C C 1 1Nm 1C 1 1m 1 1N OK! vilket kan skrivas som Svar a: Kraften på q från q 1 är F 1 ( 3,5 N ) ^i. Svar b: Kraften på q 1 från q är F 1 (+3,5N ) ^i.

2 Inst. för fysik och astronomi (c) q 3 ska placeras så att Coulombkrafterna från q 1 och q på den är lika stora men motriktade, d.v.s. den totala kraften är noll. Vi placerar q 3 i punkten x 3 och låter och r vara avstånden från q 3 till q 1 respektive q, se figur. Krafter på den tredje punktladdningen. Här är F 1 den repellerande kraften från q 1 på q 3, och F är den attraherande kraften från q på q 3. Punkten x 3 måste ligga på den negativa delen av x-axeln, eftersom q 1 och q har olika tecken, och q > q 1 (q 3 måste alltså vara längre bort från q än från q 1 för att krafternas belopp ska vara lika stora). Vi har etablerat riktningarna. Krafternas belopp är lika stora, och med Coulombs lag får vi F 1 q 1 q 3 4π ϵ 0 r, F q q 3 1 r,f F q 1 q 3 1 > r q q 3 q 1 > q 1 r r Vi har även r +x där x 0,40 m är avståndet mellan q 1 och q. q 1 Vi får + x q 1 + q 1 x. Detta är en r q 1 ( +x ), vilket kan skrivas som ( q 1 q ) andragradsekvation i, med allmän lösning x q 1 ± ( x q 1 ) 4 ( q 1 q ) q 1 x ( q 1 q ) De numeriska lösningarna är, m,,987 m 3,0 m Det första svaret, som är negativt, betyder att x 3 skulle ligga på den positiva delen av x-axeln. Det motsvaras av lösningen till problemet om q 1 och q har samma tecken (vi har ju räknat med krafternas belopp här). Alltså är det den andra lösningen,,987 m som är vårt svar. Svar c: Laddningen q 3 ska placeras i punkten x 3,0 m. (d) När vi satte krafternas belopp lika med varandra i uppgift (c) så kunde vi genast förkorta bort q 3. Detta hade vi kunnat göra även om vi räknade på vektorform, för om q 3 byter tecken, så ändrar både F 1 och F riktning. Svar (d): Svaret i (c) ändras inte om q 3 byter tecken. (Notera att svaret är oförändrat också om q 3 har en helt annan storlek).

3 Inst. för fysik och astronomi (1.) (a) En liten punktladdning q C placeras i origo. Vad är det elektriska fältet E 1, som orsakas av q 1, i punkten P (x, y, z) (4 cm, 3 cm, 0 cm)? (b) En annan laddning, q C, placeras i punkten (x, y, z) (4 cm, 0 cm, 0 cm). Vad är det elektriska fältet E från q i punkten P? Vad är det totala fältet E tot,1 från laddningarna q 1 och q i punkten P? (c) En tredje laddning q C placeras i punkten (x, y, z) (5 cm, 3 cm, 0 cm). Vad är det elektriska fältet E 3 från q 3 i punkten P? Vad är det totala fältet E tot,13 från laddningarna q 1, q och q 3 i punkten P? (d) Vad är den elektrostatiska potentialen i punkten P, när alla laddningarna är utplacerade? E-fältet i en punkt på avstånd r från en punktladdning q är (PhH F-3.1) E q 4π ϵ 0 r ^r där ^r är en enhetsvektor som pekar från punktladdningen mot den punkt där fältet undersöks. Eftersom vi hela tiden befinner oss vid z0 kommer z-koordinaten inte att skrivas ut. (a) Fältet från q C (placerad i origo) i punkten P (x, y,) (4 cm, 3 cm) blir då (se figur) E 1 q 1 ^ med (0,04 m ) + (0,03 m ) 0,05 m ^ ( ) och (0,04 m ) ^i +(0,03 m ) ^j 4 0,05m 5 ^i+ 3 5 ^j. Numeriskt får vi för fältets storlek 3, C E 1 4 π 8, As/Vm (0,05 m ) E 1 1, V/m. På vektorform blir det E1 E 1 ( 4 5 ^i ^j ) (8, V/m ) ^i+ ( V/m ) ^j E-fält i punkten P, från första punkladdningen (q 1 ). 1C Dimension? E-fältet har enhet V/m. Uttrycket har enhet 1 ( As/Vm ) (1 m ) vilket, 1C Vm efter att vi kommit ihåg att 1 As 1 C, blir 1C (1m ) 1 V/m. OK! q 1 Svar a: E-fältet är E 1 (8, V/m )^i+( V/m ) ^j.

4 Inst. för fysik och astronomi (b) Fältet från q C (placerad vid (x, y) (4 cm, 0 cm) ger upphov till det elektriska fältet E i P (se figur): E q r ^r med r 3cm0,03 m och ^r ^j Numeriskt får vi 8,7 10 E 6 C ^j 4 π 8, As/ Vm (0,03m ) E (8, V/m ) ^j E-fält från q i punkten P. Det totala fältet E tot,1 från laddningarna q 1 och q i punkten P erhålls med hjälp av vektoraddition (se figur; notera att vektorerna är approximativt skalenliga och därför inte lika stora som i tidigare figurer) E tot,1 E 1 + E E tot, 1 (8, V/m ) ^i +(6, V/m ) ^j +(8, V/m ) ^j (8, V/m ) ^i+ (9, V/m ) ^j Svar b: E (8, V/m ) ^j E tot, 1 (8, V/m ) ^i+( 9, V/m ) ^j E-fältet i punkten P från q 1 och q.

5 Inst. för fysik och astronomi (c) Det elektriska fältet E 3 i punkten P från laddningen q C (placerad i (x, y) (5 cm, 3 cm) är, på samma sätt som tidigare (se figur) E 3 q 3 r ^r 3 3 med r 3 0,01m och ^r 3 ^i (från laddningen mot P). Vi får 5, 10 E 6 C 3 4 π 8, As/ Vm (0,01 m ) ( ^i ) E 3 (4, V/m )^i E-fältet i punkten P från q 3. Det totala fältet E tot,13 från laddningarna q 1, q och q 3 i punkten P erhålls med vektoraddition som tidigare: E tot,13 E 1 + E + E 3. Vi kan använda vårt tidigare resultat E tot,1 E 1 + E (se figur) vilket blir E tot,13 E tot,1 + E 3 och får med värdet E tot, 1 (8, V/m ) ^i +(9, V/m ) ^j det numeriska uttrycket E tot,13 (8, V/m ) ^i+(9, V/m ) ^j+( 4, V/m ) ^i E tot,13 (4, V/m ) ^i+ (9, V/m ) ^j Totala E-fältet i punkten P från de tre punktladdningarna q 1, q och q 3. Svar c: E 3 (4, V/m )^i E tot,13 (4, V/m ) ^i+ (9, V/m ) ^j.

6 Inst. för fysik och astronomi (d) Den elektrostatiska potentialen från en punktladdning q i på avståndet r i är (PhH F-3.1) q i V i 4 π ϵ 0 r i Elektrisk potential är en skalär, och den totala potentialen i punkten P är summan av de individuella bidragen från varje punktladdning: q q 3 V tot q r r 3 med samma notation som tidigare. Numeriskt får vi (med q C, q C, q C, samt 0,05 m, r 0,03 m, r 3 0,01m ) för de individuella bidragen 3, C V 1 4 π 8, As/Vm 0,05 m 0, V 8, C V 4 π 8, As/Vm 0,03 m, V 5, 10 6 C V 3 4 π 8, As/Vm 0,01 m 4, V vilket totalt ger V tot 1, V. Avstånden, r och r 3 från de tre punktladdningarna till punkten P. Dimension? I 1.a såg vi att uttrycket ha enhet (1 V/m) (1 m) V. OK! q 1 har enhet 1 V/m. Då måste uttrycket q i 4 π ϵ 0 r i Svar d: Potentialen i punkten P är 1, V. (Notera att potentialen blir negativ. Det är intuitivt begripligt, eftersom den enda negativa laddningen är närmre än de positiva).

7 Inst. för fysik och astronomi (1.3) En elektrisk dipol, intialt i vila, med dipolmomentet p ( Cm) î, placeras i ett elektriskt fält E ( N/C) î + ( N/C) ĵ. (a) Åt vilket håll vrids dipolen? (b) Vilket är det maximala vridmoment som dipolen utsätts för? (c) Vilken position kommer dipolen att inta när lång tid har gått? (a) Det elektriska fältet är homogent, och dipolmomentet p ( Cm) î är parallellt med x-axeln. Vi definierar origo så att dipolen ligger mitt på, se figur. En dipol kan sägas bestå av två punktladdningar med olika tecken men samma laddningsbelopp q, separarade av avståndet d. Dipolmomentets belopp är (PhH F-3.4) p q d och enligt definition går det från den negativa laddningen till den positiva. I vårt fall hamnar den negativa laddningen i x d/ och den positiva i x + d/. Laddningar som befinner sig i ett E-fält påverkas av en kraft Fq E (PhH F-3.1). Med E-fältet E ( N/C) î + ( N/C) ĵ Dipol i ett yttre E-fält. kommer den positiva delen av dipolen att påverkas av en kraft F + +q E, d.v.s parallell med E och den negativa delen av dipolen med en kraft F q E, parallell med E, se figur. Dessa krafter gör att dipolen kommer att vridas motsols. Svar a: Dipolen vrids motsols. (b) En dipol i ett E-fält utsätts för vridmomentet (PhH F-3.4) τ p E och vridmomentets belopp kan skrivas som τ p E sin θ där är vinkeln mellan E och p (se figuren) Dipolen kommer att vridas så att p blir mer och mer parallell med E, d.v.s. minskar. För vinklar mindre än 90 minskar sin om minskar. Alltså kommer det maximala vridmomentet inträffa precis i början av vridningen i det här exemplet, när 45. Vi får τ max p E sin 45 o vilket, med E (, N/C ) +(, N/C ), N/C, ger τ max (5, Cm) (, N/C )1, Nm. Dimension? p har enhet [q d] Cm och E-fältet har enhet N/C. Vridmomentet får då dimension Cm N/C Nm, vilket är vad vi är vana vid från mekaniken. OK! Svar b: Maximala vridmomentet ä, Nm. (c) Vridmomentet τ p E sin θ blir noll när 0, d.v.s. när E och p är parallella. Svar c: Efter lång tid kommer dipolen att vara parallell med E, d.v.s. bilda 45 vinkel med x- axeln.

8 Inst. för fysik och astronomi (1.4) (lite svårare) Ett oändligt stort plan har den positiva laddningstätheten C/m. Utgå ifrån uttrycket för E-fältet kring en punktladdning och härled ett uttryck för det elektriska fältet E ( x ) på en höjd x över planet. Tips: Titta på exempel 1.9 och 1.11 i boken! Vi vill använda E-fältet från en punktladdning för att härleda ett uttryck för E-fältet från det oändliga planet. Vi vill alltså integrera över alla infinitesimala bidrag E d E från alla små laddningsbidrag dq da på hela ytan. Det här kan göras på många olika sätt, men tipset att titta på exempel 1.9 och 1.11 ger oss ledningen att först räkna ut E-fältet från en ring (ex 1.9) och sedan integera över ringar med större och större radie upp till R, för att till sist låta R (ex 1.11). Vi börjar med att titta på en ring av det laddade planet, se figur. Vi antar att ringen har radie a och total laddning Q. Vi antar vidare att den laddade plattan ligger i yz-planet. E-fältet i en punkt P på höjden x över planet från ett litet segment av ringen med laddning dq blir då d E 1 dq x +a ^r där r x +a är avståndet i kvadrat mellan punkten P och laddningselementet dq, och ^r är enhetsvektorn som pekar från laddningselementet mot punkten P.. Av symmetriskäl ser vi att nettobeloppet från alla bidrag d E från alla delar av ringen kommer att peka i x-riktningen. Alltså nöjer vi oss med att titta på bidragen i x-led. Vinkeln mellan ^r och x-axeln är. Beloppet av E-fältets x-komposant från laddningelelementet dq blir då de x de cos, vilket tillsammans med relationen cosα x r x ger oss x +a d E x de cosα 1 dq x x +a x +a 1 x dq. ( x +a 3 / ) Allt i det här yttrycket är oberoende av var på ringen vi befinner oss, så vi kan helt enkelt integera över dq: Q 1 x 1 x E x de x dq 0 (x +a 3 / dq. ) ( x +a ) 3 / 0 Integralen över dq är Q och vi får E 1 Q x dq 4π ϵ ^i 1 Qx 0 (x +a ) 3 / 0 4 π ϵ ^i, (ekv 1.4.1) 0 ( x +a ) 3/ där vi har använt att de x de (enbart fält i x-led). E-fältet på en höjd x över ett oändligt plan med positiv laddning. Q E-fält från en laddad ring. Modifierad från Young- Freedman University Physics fig. 1.3.

9 Inst. för fysik och astronomi Nu låter vi ringen i första deluppgiften vara ett litet element av en mycket stor cirkelskiva med radie R. Ringens laddning är Q dq och den stora cirkelskivans laddning är q R där är ytladdningstätheten och R den stora skivans area. Om ringens radie är a och dess bredd da kommer den att ha laddningen dq A, där A a da är ringens area (eftersom den är väldigt tunn är den approximativt en väldigt smal rektangel om man rullar ut den). Vi får alltså dq a da. Vi kallar E-fältet från den stora cirkelskivan E tot (för att skilja det får E-fältet från ringen i första delen av uppgiften). E-fältet d E tot från den lilla ringen är, enligt ekv d E tot 1 x dq 4 π ϵ ^i, 0 (x +a ) 3/ där vi har använt att ringens laddning är dq och dess radie är a, samt att hela fältet från ringen i ekv nu är en liten del av fältet vi integrerar över. Av symmetriskäl vet vi, precis som tidigare, att enbart fältet i x-led bidrar till det totala fältet, så vi tittar enbart på x-komposanten nu. Vi använder dq a da och får d E tot, x 1 xσ π a da (x +a ). 3/ Vi integrerar detta över hela cirkelskivan (från 0 till R) och får E tot, x x σ R a da. 4 ϵ 0 0 (x +a 3/ ) Den här integralen kan evalueras med variabelsubstitution, t x + a, vilket ger dt a da med integrationsgränserna a0 <> t x och a R <> x + R. E tot, x x σ x +R dt 4 ϵ 0 x t x σ x 1 3/ 4 ϵ 0 [ +R σ x 1 1 / t 4 ϵ ]x 0 ( x +R + x ) 1. Eftersom vi tittar på den positiva x-axel har vi x x, och vi får E tot, x σ ϵ 0 ( R / x ). Vi har enbart ett E-fält i x-led, så totala fältets torlek och riktning är E tot σ ϵ 0 ( R /x )^i Om vi nu låter R bli väldigt stort, säg 10 elle00 gånger större än x, kommer vi snabbt att se att lim R 1 1+R /x 0, vilket alltså innebär att lim Etot σ ^i R ϵ 0 vilket är vårt svar. Svar: E-fältet ovanför ett oändligt plan med laddningstäthet är (oavsett höjd) lim E σ ^i R max ϵ 0 där ^i är vinkelrätt mot planet. Tips: Det här svaret kan man få mycket mycket lättare med Gauss lag. Titta på exempel.7!

10 Inst. för fysik och astronomi (1.5) Ungefär hur många protoner finns det i ett äpple? Hur många elektroner? Tips: Här är inte det exakta antalet så viktigt. Gör rimliga antaganden, som du motiverar, och uppskatta storleksordningen, d.v.s. vilken tiopotens svaret borde ha. Hur mycket väger ett typiskt äpple? Vad består det av till största delen? O.s.v. Vi börjar med att anta att ett äpple väger ungefär ett hektogram (eftersom ett äpple sällan väger så mycket som ett helt kilogram, och oftast mer än 10 gram). Ett äpple består till största delen av vatten, så vi antar att det består enbart av vatten (H O). Antalet protoner i ett äpple är antalet molekyler vatten i äpplet, multiplicerat med antalet protoner per vattenmolekyl. Antalet mol vatten i ett äpple är n H O m äpple M H O där m äpple är äpplets massa (1 hg) och M HO är vattens molmassa ( M HO M H +M O 1g/mol+16g/mol18g/mol ). Antalet vattenmolekyler i äpplet är N H O N A n HO där N A är Avogadros tal (antalet molekyler per mol). Antalet protoner per vattenmolekyl ä0; två väteatomer med en proton vardera och en syreatom med 8 protoner, Z H O Z H +Z O Antalet protoner i ett äpple blir därmed n p, äpple N H O Z H O N A n H O Z H O N m A äpple Z M H O. HO Numeriskt: n p, äpple mol 1 10 g 10protoner protoner. 18 g/mol (Dimension? I uträkningen ovan ser vi att svaret har SI-enhet 1, eller antal, d.v.s. vad vi förväntar oss). Eftersom äpplen i allmänhet är elektriskt neutrala finns det exakt lika många elektroner som protoner i varje äpple. Svar: Antalet protoner i ett äpple är lika stort som antalet elektroner, ungefär stycken. Är det rimligt? Ja, för en mol vatten väge8 g, och vi antog att vi hade ungefä00 g vatten, eller 50 mol vatten, som borde bli ungefär 50 N A

Fysik TFYA68. Föreläsning 2/14

Fysik TFYA68. Föreläsning 2/14 Fysik TFYA68 Föreläsning 2/14 1 Elektrostatik University Physics: Kapitel 21 & 22 2 Elektrisk laddning Två typer av elektrisk laddning: positiv + och negativ Atom Atomkärnan: Proton (+1), neutron (0) elekton

Läs mer

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055) Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.

Läs mer

Lösningsförslag Inlämningsuppgift 3 Kapacitans, ström, resistans

Lösningsförslag Inlämningsuppgift 3 Kapacitans, ström, resistans Inst. för fysik och astronomi 2017-11-26 1 Lösningsförslag Inlämningsuppgift 3 Kapacitans, ström, resistans Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 2017 (3.1) En plattkondensator har

Läs mer

Repetition kapitel 21

Repetition kapitel 21 Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi

Läs mer

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 FK5019 - Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 Läs noggrant igenom hela tentan först Tentan består av 5 olika uppgifter med

Läs mer

Rep. Kap. 27 som behandlade kraften på en laddningar från ett B-fält.

Rep. Kap. 27 som behandlade kraften på en laddningar från ett B-fält. Rep. Kap. 7 som behandlade kraften på en laddningar från ett -fält. Kraft på laddning i rörelse Kraft på ström i ledare Gauss sats för -fältet Inte så användbar som den för E-fältet, eftersom flödet här

Läs mer

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514)

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514) Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Kod: Program: Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 205-2-22 för W2 och ES2 (FA54) Kan även skrivas av studenter på andra program där FA54 ingår Skrivtid:

Läs mer

14. Elektriska fält (sähkökenttä)

14. Elektriska fält (sähkökenttä) 14. Elektriska fält (sähkökenttä) För tillfället vet vi av bara fyra olika fundamentala krafter i universum: Gravitationskraften Elektromagnetiska kraften, detta kapitels ämne Orsaken till att elektronerna

Läs mer

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514)

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514) Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Kod: Program: Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 2016-03-19 för W2 och ES2 (1FA514) Kan även skrivas av studenter på andra program där 1FA514 ingår

Läs mer

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer

Läs mer

Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Gör en skiss av funktionen f(t) = t, t [ π, π] (med period 2π) och beräkna dess fourierserie. 2. Gör en skiss

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

Lösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner

Lösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Lösningar Heureka Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik Heureka:Kapitel 3 3.1) Enligt figuren: nordliga förflyttningen: 100+00-100=00m Östliga förflyttningen:

Läs mer

Strålningsfält och fotoner. Våren 2016

Strålningsfält och fotoner. Våren 2016 Strålningsfält och fotoner Våren 2016 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt

Läs mer

Tentamen i El- och vågrörelselära,

Tentamen i El- och vågrörelselära, Tentamen i El- och vågrörelselära, 05-0-05. Beräknastorlekochriktningpådetelektriskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som orsakas av laddningarna q = Q i origo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i

Läs mer

Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv

Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv 1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska

Läs mer

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013 Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt

Läs mer

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n

Läs mer

Tentamen i El- och vågrörelselära,

Tentamen i El- och vågrörelselära, Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1

Läs mer

r 2 C Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 C Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 högskolepoäng, FK4009 Tisdagen den 17 juni 2008 kl 9-15

FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 högskolepoäng, FK4009 Tisdagen den 17 juni 2008 kl 9-15 FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 1,5 högskolepoäng, FK49 Tisdagen den 17 juni 28 kl 9-15 Hjälpmedel: Handbok (Physics handbook eller motsvarande) och räknare

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.

Läs mer

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION 1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen

Läs mer

3. Potentialenergi i elfält och elektrisk potential

3. Potentialenergi i elfält och elektrisk potential 3. Potentialenergi i elfält och elektrisk potential 3.1 Potentiell energi i elfält Vi betraktar en positiv testladdning som förs i närheten av en annan laddning. I det första fallet är den andra laddningen

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta samt en egenhändigt handskriven A4 med valfritt innehåll (bägge

Läs mer

Tentamen ellära 92FY21 och 27

Tentamen ellära 92FY21 och 27 Tentamen ellära 92FY21 och 27 2014-06-04 kl. 8 13 Svaren anges på separat papper. Fullständiga lösningar med alla steg motiverade och beteckningar utsatta ska redovisas för att få full poäng. Poängen för

Läs mer

Integraler av vektorfält Mats Persson

Integraler av vektorfält Mats Persson Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på

Läs mer

Övningar för finalister i Wallenbergs fysikpris

Övningar för finalister i Wallenbergs fysikpris Övningar för finalister i Wallenbergs fysikpris 0 mars 05 Läsa tegelstensböcker i all ära, men inlärning sker som mest effektivt genom att själv öva på att lösa problem. Du kanske har upplevt under gymnasiet

Läs mer

Tentamen KFKF01,

Tentamen KFKF01, Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (med tillhörande handbok), utdelat formelblad med tabellsamling. Slutsatser skall motiveras och beräkningar redovisas. Tag för vana att alltid göra en rimlighetsbedömning.

Läs mer

TFYA58, Ht 2 Elektromagnetism och Labbar i vågrörelselära

TFYA58, Ht 2 Elektromagnetism och Labbar i vågrörelselära TFYA58, Ht Elektromagnetism och Labbar i vågrörelselära 13 föreläsningar 1 lektioner x 4 timmar lab Föreläsningar: Ragnar Erlandsson Lektioner: Ragnar Erlandsson (a), Christopher Tholander (b, d), Emma

Läs mer

Dugga i elektromagnetism, sommarkurs (TFYA61)

Dugga i elektromagnetism, sommarkurs (TFYA61) Dugga i elektromagnetism, sommarkurs (TFYA61) 2012-08-10 kl. 13.00 15.00, sal T1 Svaren anges på utrymmet under respektive uppgift på detta papper. Namn:......................................................................................

Läs mer

Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig)

Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig) Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig) Elektrostatik 1. Ange Faradays lag i elektrostatiken. 2. Vad är kravet för att ett vektorfält F är konservativt? 3. En låda

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 20121124 kl. 8.3012.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Tentamen i El- och vågrörelselära,

Tentamen i El- och vågrörelselära, Tentamen i El- och vågrörelselära, 204 08 28. Beräkna den totala kraft på laddningen q = 7.5 nc i origo som orsakas av laddningarna q 2 = 6 nc i punkten x,y) = 5,0) cm och q 3 = 0 nc i x,y) = 3,4) cm.

Läs mer

Sensorer och elektronik. Grundläggande ellära

Sensorer och elektronik. Grundläggande ellära Sensorer och elektronik Grundläggande ellära Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik Elektriskt fält och elektrisk potential Dielektrika och kapacitans Ström och strömtäthet Ohms lag och resistans

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken

Sensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika

Läs mer

Kapitel 27: Magnetfält och magnetiska krafter Beskriva permanentmagneters beteende Samband magnetism-laddning i rörelse Ta fram uttryck för magnetisk

Kapitel 27: Magnetfält och magnetiska krafter Beskriva permanentmagneters beteende Samband magnetism-laddning i rörelse Ta fram uttryck för magnetisk Kapitel 27: Magnetfält och magnetiska krafter Beskriva permanentmagneters beteende Samband magnetism-laddning i rörelse Ta fram uttryck för magnetisk kraft på laddning Magnetiskt flöde, Gauss sats för

Läs mer

Mekanik FK2002m. Vektorer

Mekanik FK2002m. Vektorer Mekanik FK2002m Föreläsning 2 Vektorer 2013-09-02 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 2 Introduktion Förra gången pratade vi om rörelse i en dimension. När vi går till flera dimensioner behöver

Läs mer

Andra EP-laborationen

Andra EP-laborationen Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med

Läs mer

FK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 17 juni 2014, kl 9:00-14:00

FK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 17 juni 2014, kl 9:00-14:00 FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 17 juni 2014, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror

Läs mer

Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar

Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna

Läs mer

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.

Läs mer

Förslag: En laddad partikel i ett magnetfält påverkas av kraften F = qvb, dvs B = F qv = 0.31 T.

Förslag: En laddad partikel i ett magnetfält påverkas av kraften F = qvb, dvs B = F qv = 0.31 T. 1. En elektron rör sig med v = 100 000 m/s i ett magnetfält. Den påverkas av en kraft F = 5 10 15 N vinkelrätt mot rörelseriktningen. Rita figur och beräkna den magnetiska flödestätheten. Förslag: En laddad

Läs mer

Magnetism. Beskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält.

Magnetism. Beskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält. Magnetism Magnetostatik eskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält. Vi känner till följande effekter: 1. En fritt upphängd

Läs mer

Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. 1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller

Läs mer

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102 LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

Dubbelintegraler och volymberäkning

Dubbelintegraler och volymberäkning ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),

Läs mer

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för F1 och Q1 (1FA514)

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för F1 och Q1 (1FA514) Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 05-06-04 för F och Q (FA54) Skrivtid: 5 tim Kan även skrivas av studenter på andra program där FA54 ingår Hjälpmedel:

Läs mer

FK Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00

FK Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00 FK2003 - Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror du

Läs mer

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets 9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets

Läs mer

FK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 16 juni 2015, kl 9:00-14:00

FK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 16 juni 2015, kl 9:00-14:00 FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 16 juni 2015, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror

Läs mer

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill

Läs mer

MEKANIK II 1FA102. VIK detta blad om bladen med dina lösningar. Se till så att tentamensvakterna INTE häftar samman lösningsbladen.

MEKANIK II 1FA102. VIK detta blad om bladen med dina lösningar. Se till så att tentamensvakterna INTE häftar samman lösningsbladen. UPPSALA UNIVERSITET Inst för fysik och astronomi Allan Hallgren TENTAMEN 08-08 -29 MEKANIK II 1FA102 SKRIVTID: 5 timmar, kl 8.00-13.00 Hjälpmedel: Nordling-Österman: Physics Handbook Råde-Westergren: Mathematics

Läs mer

Dipoler och dipol-dipolbindningar Del 2. Niklas Dahrén

Dipoler och dipol-dipolbindningar Del 2. Niklas Dahrén Dipoler och dipol-dipolbindningar Del 2 Niklas Dahrén Uppgift 1: Är nedanstående molekyler dipoler? På bild a) är det ganska tydligt att vi får en negativ sida där -atomerna sitter och en positiv sida

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de

Läs mer

Vad betyder det att? E-fältet riktat åt det håll V minskar snabbast

Vad betyder det att? E-fältet riktat åt det håll V minskar snabbast , V Vad betyder det att V? -fältet riktat åt det håll V minskar snabbast dv Om -fältet endast beror av x blir det enkelt: xˆ dx Om V är konstant i ett område är där. konst. V -x x Om är homogent så ges

Läs mer

Föreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x

Föreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x Föreläsning 2 1 Matematiska grundbegrepp Fält kalärfält: Vektorfält: Till varje punkt i rummet tilldelas en skalär Exempel: Temperaturen i olika punkter i rummet, T r,t ( ) = T ( x, y, z,t) Till varje

Läs mer

Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor

Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor 1! 2! Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor Tommy Andersson! 3! Ämnens elektriska egenskaper härrör! från de atomer som bygger upp ämnet.! Atomerna i sin tur är uppbyggda av! en atomkärna,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår

Läs mer

Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)

Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521) Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521) Tid och plats: Fredagen den 1 juni 2018 klockan 08.30-12.30 Johanneberg. Hjälpmedel: Matte Beta och miniräknare. Examinator: Stellan Östlund Jour: Stellan Östlund,

Läs mer

Lösningar till Tentamen i fysik B del 1 vid förutbildningar vid Malmö högskola

Lösningar till Tentamen i fysik B del 1 vid förutbildningar vid Malmö högskola Lösningar till Tentamen i fysik B del 1 vid förutbildningar vid Malmö högskola Tid: Måndagen 5/3-2012 kl: 8.15-12.15. Hjälpmedel: Räknedosa. Bifogad formelsamling. Lösningar: Lösningarna skall vara väl

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2 TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

Arbete och effekt vid rotation

Arbete och effekt vid rotation ˆ F rˆ Arbete och effekt vid rotation = Betrakta den masslösa staven med längden r och en partikel med massan m fastsatt i änden. Arbetet som kraften ሜF uträttar vid infinitesimal rotation d blir då: ds

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Datum för tentamen 2010-12-20 Sal (1) Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som

Läs mer

VIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

VIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP Appendix VIKTIGA TIÄMPNINGA AV GUNDÄGGANDE BEGEPP I detta appendix diskuteras viktiga tillämpningar av grundläggande begrepp inom vektoranalysen. Exemplen är främst hämtade från den elektromagnetiska teorin.

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum:

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum: Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF108 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 2006-05-27 Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/491280/Åke Wisten070/5597072 Skrivtid: 9.00-15.00 Jourhavande lärare/tfn:

Läs mer

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70 1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 2013-11-23 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori. Valfri kalkylator, minnet måste raderas

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika Eftersom de minsta beståndsdelarna i ett dielektrikum är molekyler kan man definiera ett molekylärt dipolmoment Nu gäller p m = mol dqr (3.3)

Läs mer

s 1 och s 2 är icke kvantmekaniska partiklar? e. (1p) Vad blir sannolikheterna i uppgifterna b, c och d om vinkeln = /2?

s 1 och s 2 är icke kvantmekaniska partiklar? e. (1p) Vad blir sannolikheterna i uppgifterna b, c och d om vinkeln = /2? FK003 - Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 7e mars 018, kl 17:00 - :00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror du klarar

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet

Läs mer

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik

Läs mer

Fysik TFYA68. Föreläsning 5/14

Fysik TFYA68. Föreläsning 5/14 Fysik TFYA68 Föreläsning 5/14 1 tröm University Physics: Kapitel 25.1-3 (6) OB - Ej kretsar i denna kurs! EMK diskuteras senare i kursen 2 tröm Lämnar elektrostatiken (orörliga laddningar) trömmar av laddning

Läs mer

Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)

Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521) Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521) Tid och plats: Fredagen den 2 juni 2017 klockan 08.30-12.30 Johanneberg. Hjälpmedel: Godkänd minikräknare och Matte Beta Examinator: Stellan Östlund Jour: Stellan

Läs mer

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, oktober, 006 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori Varje uppgift ger 0 poäng. Delbetyget

Läs mer

1( ), 2( ), 3( ), 4( ), 5( ), 6( ), 7( ), 8( ), 9( )

1( ), 2( ), 3( ), 4( ), 5( ), 6( ), 7( ), 8( ), 9( ) Inst. för Fysik och materialvetenskap Ola Hartmann Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I 2008-10-08 Skrivtid: 5 tim. för Kand_Fy 2 och STS 3. Hjälpmedel: Physics Handbook, formelblad i Elektricitetslära, räknedosa

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer