university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11

Transkript

1 Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad / 11

2 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd & Rörelsemängdsmoment 2 / 11

3 Friläggning Viktigt! Isolera relevant(a) kropp(ar) från omgivningen För varje enskild frilagd kropp, ersätt all yttre påverkan (i kontaktpunkter med omgivningen, tyngdkraften i masscentrum) på kroppen med krafter. Använd Newtons 3:e lag för att relatera krafter (om vi frilagt flera kroppar). Tumregler finns: riktning på spännkraft i linor, närvaro/frånvaro av friktion beroende på kontaktytornas egenskaper (glatt/skrovlig),... Korrekt friläggning är en förutsättning för att kunna lösa problem, var noggrann. 3 / 11

4 Koordinatsystem Vi är fria att välja koordinatsystem på lämpligt sätt. Det är ofta (men inte alltid) lämpligt att välja Kartesiska koordinatsystem med en axel i rörelseriktningen Då ett läge anges bl.a. i termer av en vinkel kan det vara lämpligt att använda polära koordinater (r, θ) basvektorer i punkten (r, θ): e r riktad mot ökande r, e θ riktad mot ökande θ hastighet r = v = v r e r + v θ e θ : v r = ṙ, v θ = r θ acceleration r = a = a r e r + a θ e θ : a r = r r θ 2, a θ = r θ + 2ṙ θ 4 / 11

5 Newtons andra lag, NII Vi har studerat konsekvenser av yttre påverkan på kroppar i tre situationer. Jämvikt för stela kroppar (kap. 3 & 4 i statiken) Dynamiken för punktpartiklar inklusive partikelgränsen av stela kroppar, dvs de fall där vi kan approximera stela kroppar med punktpartiklar (kap. 3 & 4 i dynamiken) Allmän plan rörelse för stela kroppar (kap. 6) jämvikt partikel plan rörelse F = 0 m a = m r m a G = m R MG = 0 I G α = I G θ där m är massan för partikeln/stela kroppen, I G är tröghetsmomentet med avseende på en axel genom masscentrum. 5 / 11

6 Energilagen EI: T2 T 1 = W 12 T = 1 2 mv G I θ G 2 W12 = s 2 s 1 F t ds + θ 2 θ 1 M G dθ W12 är arbetet uträttat på kroppen av yttre krafter och moment EII: T + V = E bevarad om alla krafter är konservativa ofta tyngdkraft och fjäderkraft V = Vg + V k Vg = mgh nära jordytan, V g = G mm r allmänt Vk = 1 2 kx 2 där x är fjäderns utsträckning/hoptryckning relativt vilolängden Allmänt T2 + V 2 (T 1 + V 1 ) = W 12 W 12 arbetet uträttat av icke-konservativa krafter 6 / 11

7 Rörelsemängd och Rörelsemängdsmoment Definitioner: p = m v LG = I G θ LO = (I G + md 2 ) θ m.a.p. fix axel genom O, d avståndet från masscentrum G till O Rörelseekvationer (NII): p = F L G = I G θ = M G L O = M O 7 / 11

8 Rörelsemängd och Rörelsemängdsmoment Bevarande av rörelsemängd Om summan av alla yttre krafter i en given riktning x är noll så är rörelsemängden i samma riktning bevarad p x = 0 (ex: stöt) Bevarande av rörelsemängdsmoment Om summan av alla yttre krafter ger momentet noll m.a.p. en axel genom O så är rörelsemängdsmomentet L O m.a.p. samma axel bevarat L O = 0 8 / 11

9 Tvång/kinematiska relationer Relationer mellan olika kroppars rörelse, eller mellan rörelse i olika riktningar (ex. rotation och translation) för en enskild kropp Ex: kroppar sammankopplade med en lina. Linans längd L är konstant och kan uttryckas i kropparnas lägen x resp. y relativt fixa punkter som en funktion f (x, y), L = f (x, y). Derivering ger relationer mellan ẋ och ẏ samt ẍ och ÿ. Ex: Rullningsvillkor för cylinder med radien r som rullar utan att glida. Då cylindern rört sig sträckan x är vinkelförändringen θ, och relationen är x = rθ. Därur följer ẋ = r θ, ẍ = r θ 9 / 11

10 Friktion Friktionskrafter alltid motriktade rörelsen (kinetisk friktion), alternativt hindrar rörelse i viss riktning (statisk friktion). För beloppet F f gäller Ff µ S N statisk friktion Ff = µ k N kinetisk friktion N är normalkraften mellan kontaktytorna där friktionen uppstår 10 / 11

11 Nyttiga relationer v = ẋ = dx dt, a = ẍ = d 2 x dt 2 På samma sätt θ = d 2 θ dt 2 Det följer a = v dv dx adx = vdv θ = θ d θ dθ θdθ = θd θ 11 / 11