TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Transkript

1 TFYA16 1 TFYA16: Tenta Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Svar: 89 cm x = 0 t 3 dt = [ t 3 9 ] 0 = 8 m 89 cm 9 b) Om vi betecknar tågets (T) hastighet relativt marken med v T J, så kan vi teckna passagerarens (P) hastighet relativt jorden (J) som: v P J = v P T + v T J = t 3 + t dvs d dt v P J = d ( ) t dt 3 + t = 3 t 1 = 0 t = 3 s = 1,5 s Svar: 1,5 s

2 TFYA16 Uppgift a) Provröret är i jämvikt, dvs vattnets lyftkraft F är lika stor som rörets tyngd. Då provröret sjunker sträckan h = 3,0 cm tränger det undan volymen: och lyftkraften ökar med: V = πd 4 h F = ρgv = ρg πd 4 h Ökningen av lyftkraft motsvarar den adderade massan, m, så att Svar: 6,0 g b) För jämvikt gäller: F = mg ρgπ d d h = mg ρπ 4 4 h = m m = 997π 0,016 3,0 kg = 0,0060 kg = 6,0 g 4 F = 0 τ = 0 enligt Newtons andra lag. Vi frilägger balken och tecknar jämviktsvillkoren: x : R x T = 0 y : R y mg = 0 + : T (L d) sin mg L sin φ = 0 y R y x T φ mg d Vi ser att φ = = 90, vilket innebär att R x sin φ = sin 90 = cos R x = T R y = mg T = mgl 1 (L d) tan 1 T = mg ( 0,68) tan 30 = 1,00mg och därmed har vi: R = Rx + Ry = (mg) + (mg) = mg = 1,0 9,8 N = 167 N som bildar vinkeln: med marken. arctan R y R x = arctan mg mg = 45 Svar: 167 N, 45 med marken.

3 TFYA16 3 Uppgift 3 a) Friläggning : mg cos F N = 0 (1) : T mg sin f = ma () : T mg = ma (3) Ekvation (1) ger F N = mg cos och f = µf N, som insatt i ekvation () ger sambandet: T mg sin µmg cos = ma T mg(sin + µ cos ) = ma Vi subtraherar ekvation (3) från denna ekvation, vilket ger: mg(sin + µ cos ) + mg = ma a = 1 sin µ cos g Svar: 0,97 m/s a = 1 sin 37 µ cos 37 9,8 m/s = 0,97476 m/s 0,97 m/s b) T = ma + mg = m(g a) T = 5,0(9,8 0,97476) N = 44 N Svar: 44 N

4 TFYA16 4 Uppgift 4 a) Om vi utgår från uttrycket för harmonisk svängning: så får vi att hastigheten är x(t) = A sin(ωt + α) v(t) = ẋ(t) = Aω cos(ωt + α) Största värdet av denna funktion är Aω. där ω = π/t = k/m, dvs största hastigheten är Svar: A k/m A k/m b) Vi kan utnyttja att i det (nya) vändläget, x = B, har den sammansatta kroppens kinetiska energin övergått i potentiell energi: 1 (M + kb m)v = där v är kroppens hastigheten i x = 0 just efter att klumpen fastnat. Amplituden är alltså: Bevarande av rörelsemängd i kollisionen ger: där u = A k/m, dvs, Insatt i uttrycket för B får vi att: M Svar: A M + m B = A m + M B = v k Mu = (M + m)v v = m + M v = A M k M + m M k M M + m u M k M M + m M = A M + m

5 TFYA16 5 Uppgift 5 a) Kinetisk energi för en stel kropp kan skrivas: E k = 1 Mv + 1 Iω där v är hastigheten för masscentrum. Om spolen rullar utan att glida har vi att: ω = v R (om underlaget är friktionsfritt kan man visa att ω = v/r) Eftersom kraften är konstant kommer accelerationen att vara konstant. Centrums hastighet kan beräknas enligt vilket med I = MR / ger att: v = as E k = 1 Mv ( v ) MR R = 1 Mv Mv = 3 4 Mv = 3 4 Mas = 3 Mas Svar: 3Mas/ b) Om spolen inte glider finns en friktionskraft, f, mellan spolen och underlaget. Det är inte uppenbart åt vilket håll som friktionkraften är riktad. Vi ansätter friktionskraftens riktning åt vänster, samt positiv momentriktning medurs. Friläggning ger nu: T f = Ma (1) F N mg = 0 () + (T + f)r = Iα (3) Vi kan bestämma spännkraften T, genom att skriva ekvation (3) som: T + f = Iα R T + f = 1 MRα T + f = 1 Ma och addera denna ekvation till (1), vilket ger: T = Ma + 1 Ma = 3 Ma T = 3 4 Ma Svar: 3Ma/4

6 TFYA16 6 Uppgift 6 a) Vi utnyttjar energilagen: E k + E p = W f Vi räknar på gränsfallet, att personens hastighet blir noll i punkten Q. Ändringen i kinetisk energi blir: Ändringen i potentiell energi: E k = E Q k EP k = 0 mv 0 E p = E Q p E P p = mg y = mv 0 där y = ( 9) m = 7 m. Det arbete som ickekonservativa krafter utför, W f är det arbete som vindkraften utför. xq yq W f = F ds = F x dx + F y dy x P Eftersom F y = 0 och F x = F har vi att: W f = F x där x = ( 16 33) m = 49 m Vi har alltså ekvationen: y P mv 0 + mg y = F x x och vi löser ut den sökta hastigheten: Numeriskt får vi: Svar: 7,6 m/s v 0 = v 0 = (mg y F x) m (50,0 9,8( 7) 100( 49)) m/s = 7,6498 m/s 7,6 m/s 50,0

7 TFYA16 7 b) Momentaneffekt kan skrivas: Den resulterande kraften är: P = F R v = F R,x v x + F R,y v y dvs F R = T mgŷ + F ˆx P = T x v x + T y v y mgv y + F v x L Spännkraften, som utgör en centripetalkraft, är per definition vinkelrät mot v, och därför är och kvar har vi: T v = T x v x + T y v y = 0 T v mg F P = mgv y + F v x där v x = v 0 cos = v 0 L y 0 L och v y = v 0 x 0 L. P = v 0 L (mgx 0 F (L y 0 )) P = 7, (50 9, (65 9)) W = 1, 10 3 W = 1, kw Svar: 1, kw