Repetition Mekanik, grundkurs

Transkript

1 Repetition Mekanik, grundkurs

2 Kraft är en vektor och beskrivs med storlek riktning och angreppspunkt F= Fe + F e + Fe x x y y z z Kraften kan flytta längs sin verkninglinje

3 Addera krafter

4 Moment i planet Kraftmoment-Kraftens vridande förmåga M o = Rd = Pp + Qq M = r F 0

5 Kraftmoment i 3D Kraftmoment m a p en punkt M 0 =r F Kraftmoment m a p en axel M = ( M nn ) (( r F) nn ) λ 0 =

6 Kraftpar I planet I 3D

7 Resultant i planet

8 Resultant i 3D R = M = i i F i M i Positiv kraftskruv negativ kraftskruv

9 JÄMVIKT Fi = 0 i M i i = 0 =

10 Friläggning 1. Fatta beslut om vilken eller vilka delar som ska friläggas. Rita en figur av den frilagda kroppen. (Kroppen ska vara totalt isolerad från omgivningen) 3.Sätt ut alla yttre krafter som verkar på kroppen inklusive tyngdkraft och alla ev. andra fältkrafter. Gå igenom ytterkonturen och sätt ut krafter och moment i de punkter där kroppen skurits av från omgivningen. 4. Lägg in ett lämpligt koordinatsystem i figuren.

11 Jämvikt i 3D I D kan man ställa upp högst 3 oberoende jämviktsekvationer I 3D kan man ställa upp högst 6 oberoende jämviktsekvationer

12 Fackverk Tvåkraftsystem Tryck Drag

13 Knutpunktsmetoden Steg1 : Frilläg hela systemet och bestäm reaktionskrafterna Steg : Gå systematiskt igenom alla knutpunkret och bestäm krafterna genom att ställa upp kraftekvationer i två riktningar Steg 3: Avgör om det är tryck eller drag i stängerna knutpunkt A knutpunkt F knutpunkt B knutpunkt C knutpunkt D knutpunkt E

14 Fackverk Snittmetoden Steg1 : Frilläg hela systemet och bestäm reaktionskrafterna Steg : Välj ut ett en av systemet och gör ett snitt. Rita ut alla krafter i stängerna som snittades. Steg 3 : Bestäm krafterna genom att ställa upp kraft- och momentekvationer (högst 3 oberoende ekv.) Steg 3: Avgör om det är tryck eller drag i stängerna

15 Strukturer Steg1 : Frilägg hela systemet. Om man har fler än tre obekanta går det inte att räkna ut alla krafter. Steg : Frilägg varje del för sig och bestäm krafterna genom att ställa upp kraft- och momentekvationer.

16 Masscentrum

17 Masscentrum Exempel

18 Papus första regel - rotationsarea Papus andra regel - rotationsvolym

19 Friktion Torr (Coulomb )friktion Remfriktion F µ N s T = e T µβ 1

20 Exempel Frilägg

21 Partikelkinematik Läge (position) r=r() t Hastighet d v () t =r () t = r dt Medelhastighet v medel r r( t+ t) r() t = = t t Fart Acceleration d v =v= r dt dv dv ds dv a() t = r () t = = = v dt ds dt ds

22 Kartesiska koordinater ( ex, ey, ez) r= xe + ye + ze x y z x y x y z z a= r= xex + yey + zez v= r= e + e + e Kastparabel x = 0 y = g y = gt + v sin β 0 x = v0 cos β 1 x = v0 cos β t y = gt + v0 sin β t Bankurvan: eliminera t Kastvidd Stighöjd 1 x v sin β = ( ) = + 0 y yx g x v0cos β v0cos β v0 y = 0 x= sin β g v0 v0 y = 0 t = sin β y = sin g g β

23 Naturliga koordinater ( e, e, e ) t n b Normal riktningen pekar mot Krökningskurvans centrum Tangetial riktningen är tangenten till kurvans i rörelseriktningen v = r= s e t s a= r= set + e ρ n cirkelrörelse s = rθ s = rθ s = rθ v= s e = rθ e t s ( r ) a= se + e = r θ θe + e ρ r t n t n t

24 Cylinderkoordinater ( e, e, e ) r θ z v = r e + r θe + z e r θ z a= r r e + r + r e + ze ( θ ) r ( θ θ) θ z Cirkelrörelse med konstant fart a = v r e r

25 Relativ rörelse r = r + r A A A/ B v = v + v v = v A B A/ B A/ B REL a = a + a a = a A B A/ B A/ B REL

26 Kraftekvationen F = ma Kartesiska koordinater F F F x y z = mx = my = mz Naturliga koordinater v Fn = man = m ρ F = ma = mr θ t F b = 0 t Cylinder koordinater Fr = mar = m( r r θ ) F = ma = m( r θ + r θ) F θ z θ = mz

27 Arbete och Energilagar du = F dr dv dv ds ds Ft = mat = m = m = mv dt ds dt dt s s 1 1 F ds = mvdv = mv mv t s1 s1 1 T - kinetisk energi U1 = T T1

28 Tyngdkraftens arbete y U = ( F dx + F dy) = mgdy = mg( y y ) x y 1 y1 1 Fjäderkraftens arbete x x 1 U = F dx = kxdx = k ( x1 x ) x x1 x1

29 Konservativa krafter - arbetet är oberoende av bankurvan och motsvaras av en potentialfunktion V V = Fdr Tyngdkraftens potentialfunktion Fjäderkraftens potentialfunktion Mekaniska energilagen y V = mgdy = mgy 0 x 1 V = kxdx = kx 0 T + V = T0 + V0 Effekt P = du d dt = r F dt = Fr = Fv Enhet: 1Watt =1Nm/s 1hp=745.6 Watt

30 Impulsekvationen Impuls-kraftens verkan under en viss tid d d d Newton andra lag ger: = m = m v p F a = m v = ( mv) = = p dt dt dt t t p p Fdt = dp= p() t p( t ) eller 0 t p( t ) + Fdt = p() t t 1 Om inga yttre krafter verkar på systemet, dvs F=0 bevaras systemets rörelsemängd p t = p t0 () ( )

31 Exempel: m/s m/s Bestäm kraften R som påverkar Bollen om slaget varar i 0.05 s t = 0.05 s m = 0.5 kg Impulsekvationen i x- och y-led

32 Sned central stöt 1. Rörelsemängden för hela systemet bevaras i n-led Rörelsemängden för vardera kroppen bevaras i t-led. 3. Studstalet e är definierad i n-led 4.

33 Rörelsemämngdsmoment H0 = r mv Differentiera med avseende på tiden t: H = r mv + r mv = r mv 0 parallela vektorer= 0 Insättning av Newtons andra lag ger: H = r mv = r ma= r F= M 0 0 Momentekvationen Integrering ger impulsmomentekvationen: t 0 M d = H = H dt 0 0 M 0dt = H 0() t H 0( t0) t 0 Rörelsemängdsmomentet bevaras om Inget impulsmoment verkar på systemet: H () t = H ( t ) 0 0 0

34 Exempel: Bestäm bollens rörelsemängdsmoment kring O på fem olika sätt: 1. H0 = r mv r = 4e + 3e x y v= ( 7 cos30e + 7sin 30 e ) x H0 = m( r v) = 64.4 ez kg m/s y. H0 = mvd H0 = mvd = = 64.4 kg m/s moturs

35 3. H0 = mvx 3+ mvy 4 = H 0 = 64.4 kg m/s moturs 4. H0 = mv d = 7 9. y x H 0 = 64.4 kg m/s moturs

36 5. H0 = mv d = x y H 0 = 64.4 kg m/s moturs