I Bedford-Fowler, som var kursbok för Mekanik II ges en utförlig beskrivning vad vi menar med en stel kropp. Här tar vi ut två viktiga punkter.

Transkript

1 . Stel kropps allmänna rörelse. Inledning. Repetera gärna partikelsystems mekanik genom att läsa. kapitel 9. Där ges en excellent samlad repetition av partikelsystems dynamik Se särskilt sid 9-4 och punkterna I-VIII. bs! Bokens Energy är i vår vokabulär Mekanisk energi. I Bedford-Fowler, som var kursbok för Mekanik II ges en utförlig beskrivning vad vi menar med en stel kropp. Här tar vi ut två viktiga punkter. Kinematik: En stel kropps kinematik karakteriseras av masscentrums translationshastighet V och vinkelhastigheten för rotationsrörelsen. Dynamik: Inre krafters arbete är noll (försumbart) för en stel kropp.. Kinetisk energi och tröghetstensorn. a) Stel kropps kinematik i tre dimensioner r r representeras i figuren av en ortsvektorpil (streckad nedan). m v V v V r Samband mellan hastighet och vinkelhastighet för en stel kropp V är hastigheten för en punkt fix relativt kroppen (nedan lika med masscentrum) v är hastigheten hos ett litet masselement i kroppen med massan m. är den stela kroppens vinkelhastighet r är läget relativt den punkt, som rör sig med hastigheten V. bs! v dr, v och V är hastigheter relativt ett inertialsystem. I fortsättningen av. är r läget för ett masselement relativt masscentrum

2 för den stela kroppen. Kinetiska energin för en partikel med massan m är T m v v. Vi antar att de masselement vi delat upp den stela kroppen i är så små att de kan betraktas som en partikel. Den stela kroppens kinetiska energi kan då skrivas T m v v Ersätter vi det högra v med V r enligt den inramade ekvationen fås T m v V m v r Men trippelprodukten i sista termen är oförändrad under cyklisk permutation och m v MV (totala rörelsemängden), varav T MV V r m v eller T MV r m v I kursen Mekanik II visades att L r m v för rörelsemängdsmomentet (betecknat H i Bedford-Fowler) för rotation kring masscentrum. Detta är egentligen inte definitionen av L men ett samband, som lätt visas ur definitionen. Definitionen av L för ett goyckligt partikelsystem (ej nödvändigtvis en stel kropp) är dr L r m m r v V [Termen m r V bidrar ej eftersom m r m m r ] ärmasscentrumsortsvektorrelativtmasscentrum,dvs Vi har således T MV L där är vinkelhastigheten. M är kroppens massa, V är masscentrums hastighet och L är rörelsemängdsmomentet. Vi skall nu räkna fram ett samband för L, som är en generalisering av sambandet L z I z för z-komponenten av rörelsemängdsmomentet för det fall att z ẑ. L m r v V första inramade ekv ovan] m r r m r r m r r där vi i den senaste omformningen använder oss av regeln för trippel kryssprodukt, som finns i Chapter 9,, Physics Handbook, mitt på sidan, och som lyder: Ā B C B Ā C C Ā B r r är en vektor, vars komponenter kan beskrivas på följande sätt

3 r r x r r y x x x y x z y x y y y z x y r r z z x z y z z Vi inför nu dyaden ĀB av två vektorer Ā B sådan att ĀB ĀB och sådan att z ĀB x ĀB y A x B x A x B y A x B z A y B x A y B y A y B z x y ĀB z A z B x A z B y A z B z ĀB är en tensor,somrepresenterasavenmatris. z ĀB A x B x A x B y A x B z A y B x A y B y A y B z A z B x A z B y A z B z Vi inför nu även enhetstensorn med egenskapen och med matrisrepresentationen Då kan L skrivas L I,därtröghetstensorn I ges av I m r r r r m r r r På komponentform L x L y I yx I yy I yz x y L z I zx I zy I zz z där I xy I yx etc (symmetrisk matris) och där I xx m y z I yy I zz m x z m x y I xy I yx I xz I zx I yz I zy m x y m x z m y z Spec om x, y fås det välkända L z I zz z och vi igenkänner I zz som det vanliga tröghetsmomentet vid rotation kring z axeln. För samma fall fås

4 T MV z välkänt. I det allmänna fallet blir T MV x y z I yx I yy I yz I zx I zy I zz I yx I yy I yz MV I zz z z x y I zx I zy I zz z Detta samband är mycket användbart när vi skall ställa upp Lagranges ekvationer för allmän tredimensinell rörelse. Vi måste dock komma ihåg att x, y, z iallmänhetej duger som generaliserade hastigheter, vilket ges en omfattande framställning i läroboken. För en allmän rörelse kan det ibland vara bra att ha en annan momentpunkt än masscentrum Då gäller det från Mekanik II välkända sambandet L L R MV. b) Rotation kring en punkt fix i rummet och kroppen r Med en fix punkt som momentpunkt fås L r m v där r är ortsvektorn för ett goyckligt masselement. m är en punkt fix i kroppen och i rummet gäller v r och L m r r m r r m r r där vi i den senaste omformningen använder oss av regeln för trippel kryssprodukt, som finns i Chapter 9,, Physics Handbook, mitt på sidan, och som lyder: Ā B C B Ā C C Ā B Med

5 I m r r r fås L I vid rotation kring en punkt fix i rummet och i kroppen. Motsvarande uttryck för kinetiska energin vid rotation kring en punkt fix i rummet och i kroppen är T x y z I xx I yx I zx I xy I yy I zy I xz I yz I zz För bestämning av I för en stång se nedan: x y z Exempel (Duggan uppgift ). En stång med längd l är friktionsfritt rörlig runt en led i övre ändpunkten i vilken stången hänger.antag att rörelsen startar med 6,, g l (samt. Figur i bilaga på omstående sida. a) Bestäm som funktion av under den fortsatta rörelsen ( p) Konisk pendelrörelse sedd från sidan Masscentrums rörelse sedd uppifrån för fallet konisk pendelrörelse g l Villkoret kommer sig av att med kommer stången att röra sig som en konisk fysisk pendel med konstant lika med (figur ovan). 6 Som ny b-uppgift skall vi senare räkna ut att vi får en konisk fysisk pendel med det senare speciella värdet på. Kinetiska energin för stången: g l Inför en x-axel i stångens riktning och en y-axel vinkelrätt mot stången i riktning växande. z-axeln väljs så attt vi får ett högersystem. Vidplanrörelsemed fås ẑ

6 och välkända T I med I ml dvs T ml m vi å andra sidan betraktar en ren konisk pendelrörelse med fås att bilden uppifrån är en roterande stång av längd lcos, dvs T mlcos Allmänt T sin cos I xx I yy I zz m y z här I xy I yx I xz I zx I xx I yx I zx m x z m x m x m x y m x y här I yz I zy m m dx l m x m l m x z här m y z här l x dx m l här här I xy I yy I zy l 4 ml I xz I yz I zz sin cos sin T sin cos 4 ml cos 4 ml T ml ml cos U mglsin L ml cos ml mglsin med L/ 4 ml cos är en cyklisk koordinat, viket innebär att L/ bevaras. För cos är,varför 4 ml cos ml 4cos vilket är svaret på a-uppgiften duggan nov... Momentlagen Momentlagen, eller Eulers andra lag ges av dl N är en fix punkt i rummet eller systemets masscentrum. N är totala yttre kraftmomentet på systemet med som momentpunkt. Vid beräkning av dl används gärna ett principalsystem, som i någon bemärkelse följer med kroppen. För kroppar som stången ovan är det oftast (som vi gjort) lämpligt att välja ett principalsystem, som helt följer med kroppen. Då gäller sambandet dl dl bf L där dl bf anger förändringar relativt det kroppsfixerade systemet.

7 [jfr rörelse relativt jordytan behandlad tidigare och notera att ( d ) bf d enär Sambandet dl bf L N brukar (på komponentform) benämnas Eulers dynamiska ekvationer. Ibland behövs även Eulers första lag M dv F där F är summan av yttre krafter (inklusive tvångskrafter, BS!) på systemet. Exempel Villkoret för konisk pendelrörelse /6 Konisk pendelrörelse sedd från sidan Masscentrums rörelse sedd uppifrån ŷ /6 för fallet konisk pendelrörelse x N mglcosẑ mglẑ I detta fall med /6 blir sin cos I lösningen till duggauppgift ovan har vi bestämt tröghetstensorn I 4 ml och sambandet L I vid rörelse kring fix punkt 4 ml i rummet och kroppen ger

8 L 4 ml 4 ml ŷ 4 ml För fallet konstant blir d L L ml ẑ d L N med N givet av uttrycket under figurerna ovan ger ml mgl varav g l Vi har således erhållit att /6 ger en konisk rörelse g l (s k reguljär precession) med..4. Beräkning av tröghetstensorn Steiners sats. I stället för m väljer vi som vid framräkningen av tröghetstensorn för en stång ovan ett differentiellt masselement dm, beläget i r Summan övergår i en integral I r r r dm kroppen Rätblock, momentpunkt i ena hörnet. I y z dm xydm xzdm xydm x z dm yzdm xzdm yzdm x y dm där vi väljer dm som massan av ett litet rätblock av volym dxdydz och där x varierar mellan och c, y varierar mellan och b och z varierar mellan och a. För ett homogent rätblock gäller dxdydz varav dm m dm abc m abc dxdydz och c b a dx y dy abc m b y b m a z a ma b I xx y z dm m I xy xydm m c abc b xdx a ydy b dz a dy z dz dz m bc x c. y b mbc 4 På analogt sätt bestäms övriga icke-diagonala och diagonala matriselement: I ma b mbc mac 4 4 mbc 4 ma c mab 4 mac mab 4 4 mb c Nu skall vi beräkna tröghetsmomentet för ett rätblock sidor c, b, a och masscentrum som momentpunkt och med axlarna parallella med rätblockets sidor.

9 Här varierar x mellan c och c, y mellan b och b samt z mellan a och a (enl. beteckningar i Physics Handbook). På matrisform i cartesiska koordinater ges I av I y z dm xydm xzdm xydm x z dm yzdm xzdm yzdm x y dm där vi väljer dm som massan av ett litet rätblock av volym dxdydz, och dm m dvs dm dxdydz abc, m dxdydz. abc I xx y z dm m b y b/ b/ m abc c/ c/ a/ m a z a/ I xy xydm m abc c/ c/ b/ dx b/ xdx b/ b/ a/ y dy a/ b/ dz b/ a/ dy z dz a/ ma b a/ ydy dz m 4bc x c/ c/. y b/ b/ a/ På samma sätt visas att övriga icke-diagonala matriselement är noll samt att I yy ma c, I zz mb c ma b I ma c för ett rätblock. mb c Häräraxlarnaprincipalaxlar (tröghetstensorn diagonal). För masscentrums rörelse gäller i det speciella fallet av rörelse kring en i kroppen och rummet fix punkt : V R,därR är masscentrums läge relativt. För detta fall kan T skrivas T L, rotation kring fix punkt, där för rörelse kring fix punkt L L R MV L R M R L MR R MR R där vi i den senaste omformningen använder oss av regeln för trippel kryssprodukt, som finns i Chapter 9,, Physics Handbook, mitt på sidan, och som lyder: Ā B C B Ā C C Ā B Vi kan skriva L I med I I MR R R eller på matrisform I xx I xy I xz I xy I yy I yz I xz I yz I zz I xx MY Z I xy MXY I xz MXZ I xy MXY I yy MX Z I yz MYZ I xz MXZ I yz MYZ I zz MX Y

10 Detta samband mellan I och I benämns Steiners parallellaxelteorem. Känner man ma b I ma c för ett rätblock mb c kan man lätt räkna fram I med ena hörnet som momentpunkt. Vid rotation kring en fix punkt gäller T L x y z I xx I yx I xy I yy I xz I yz x y I zx I zy I zz z Några tröghetstensorer Solid sfär radie R: Låt kroppen vara en solid sfär med radie R. Det finns ett system av axlar sådant att tröghetstensorn är diagonal. Då blir I y z dm x z dm x y dm Men på grund av sfärens symmetri (se symmetriregler nedan under.5) duger varje uppsättning cartesiska koordinataxlar genom masscentrum. Vidare gäller att summan av diagonalelementen I xx I yy I zz x y z dm r dm Men av symmetriskäll gäller i detta fall I xx I yy I zz r dm Notera att vi här kan välja dm som massan av ett skal mellan r och r dr För en homogen sfär förhåller sig massan av denna del till hela massan m som volymen 4r dr av skalet till hela volymen 4 R dm m 4r dr 4 r dr dvs R R dm m r dr R I xx I yy I zz R r dm m R R r 4 dr m R 5 r5 R 5 mr 5 mr I 5 mr för en solid sfär radie R. 5 mr Vi använder för speciella kroppar beteckningen m för totala massan för att få överensstämmelse med Physics Handbook..Rectangular block, mass m Physics Handbook ma b I xy I yy I yz I xz I yz I zz ma c mb c

11 Notera att här är x-axeln parallell med c, y-axeln parallell med b och z-axeln parallell med a. Speciellt fås för en tunn stav med b och c försumbara i förhållande till a I xy I yy I yz I xz I yz I zz ma ma 6. Cylinder, mass m radius r, height h, Physics Handbook mh r I xy I yy I yz mr I xz I yz I zz mh r För en tunn skiva (där y-axeln är vinkelrät mot skivan) försummas h..hollow sphere, mass m inner radius r, outer radius r, Physics Handbook I xy I yy I yz I xz I yz I zz 5 m r5 r 5 r r m r5 r5 5 r r m r är mycket nära r (sfäriskt skal) är m r5 r5 5 r r För en solid sfär är diagonalelementen 5 mr. m r5 r5 5 r r mr 4. Solid cone, mass m radius r of flat boundary surface, height h, Physics Handbook 8 mh 4r I xy I yy I yz I xz I yz I zz mr 8 mh 4r I de ovan angivna exemplen är axlarna principalaxlar av symmetriskäl..5 Regler för principalaxlar Symmetriregler: x-axeln är principalaxel om den utgår från en punkt på ett symmetriplan till kroppen och är riktad vinkelrätt mot symmetriplanet. x-axeln principalaxel innebär att I xy I yx I xz I zx z-axeln är principalaxel till en rotationssymmetrisk kropp om kroppen är rotationssymmetrisk med avseende på z-axeln För en kub sida massa M sidan b gäller 6 Mb I 6 Mb 6 Mb

12 .6 Principalriktningar genom diagonalisering För en kub sida massa M sidan b gäller I Mb 4 Mb 4 Mb 4 Mb Mb 4 Mb 4 Mb 4 Mb Mb De i Physics Handbook för en parallellepiped valda riktningarna på axlarna är principalriktningar för I men inte för I. Principalriktningarna för I fås genom att lösa egenvärdesekvationen för I I I eller I xx I xy I xyx I xz I yy I yz I xz I yz I zz x y z I x I y I z Detta ger för fallet kub ekvationssystemet ( Mb I x 4 Mb y 4 Mb z 4 Mb x ( Mb I y 4 Mb z 4 Mb x 4 Mb y Mb I z Symmetrin gör att det är lätt att hitta principalaxlar ê Låt ê vara riktad längs diagonalen till kuben.utgående från. Den har riktningen ê x ŷ ẑ Betrakta en rotation med ê x ŷ ẑ Den uppfyller Mb 4 Mb 4 Mb 4 Mb Mb 4 Mb 4 Mb 4 Mb Mb 6 Mb Vi ser således att ê x ŷ ẑ är en principalriktning svarande mot tröghetsmomentet 6 Mb. Ekvationssystemet (*) har icke-triviala lösningar om och endast om

13 Mb I 4 Mb 4 Mb 4 Mb Mb I 4 Mb 4 Mb 4 Mb Mb I Detta är en tredjegradsekvation men vi har redan hittat en lösning I 6 Mb En annan lösning till tredjegradsekvation svarar mot att alla element i determinanten är lika Mb I 4 Mb varav I Mb Den tredje roten fås ur ett algebraiskt samband på sid 6 i Beta som säger att summan av rötterna är lika med faktorn framför I dividerad med faktorn framför I med ombytt tecken, varav Mb Mb Mb 6 Mb Mb I varav I Mb och 6 Mb [I ] ê ê ê Mb Mb där ê ê måste vara ortogonala mot ê, normerade till enhetslängd och väljas så att de bildar ett högersystem, och där enligt ovan ê x ŷ ẑ Man kan visa att möjliga val är ê ŷ ẑ och ê x ŷ ẑ Vi erhåller således 6 Mb I ê ê ê Mb Mb Eftersom I I kan man visa att vilka riktningar som helst ortogonala mot kubens diagonal (och ortogonala mot varandra) duger som återstående principalaxlar. Antag att vi nu skulle vilja använda ê ê ê som axelriktningar med masscentrum för kuben som momentpunkt. Då erhålls I ê ê ê ê Iê ê Iê ê Iê ê Iê ê Iê ê Iê ê Iê ê Iê ê Iê Men i vårt fall är Iê i 6 Mb ê i 6 Mb ê i, j,,, varför

14 6 Mb ê ê 6 Mb ê ê 6 Mb ê ê I ê ê ê 6 Mb ê ê 6 Mb ê ê 6 Mb ê ê 6 Mb ê ê 6 Mb ê ê 6 Mb ê ê rtogonalitet ger 6 Mb I ê ê ê 6 Mb 6 Mb d v s i detta speciella fall är ê ê ê gemensamma axelriktningar (ehuru inte gemensamma axlar, origo skiljer sig) för masscentrum och kubens hörn. I allmänhet går det dock inte att hitta gemensamma axelriktningar på detta sätt, som läroboken påpekar. Sambandet ê Iê ê Iê ê Iê I ê ê ê ê Iê ê Iê ê Iê är generellt, och kan användas ê Iê ê Iê ê Iê i ett allmänt fall för att byta från ett system av axlar till ett annat, om uttrycken för ê ê ê uttryckta i de gamla axelriktningarna är kända. I ovanstående fall är ê Iê 6 Mb 6 Mb 6 Mb.7 Partiellt kroppsfixerade system. Stöt. a) Partiellt kroppsfixerade system Momentlagen dl N Ibland används partiellt kroppsfixerat system, där principalsystemet ej behöver fullständigt följa med i kroppens rotation av symmetriskäl. Då gäller dl dl pbf L, där är principalsystemets vinkelhastighet. Det dynamiska sambandet dl pbf L N med för fallet rörelse kring fix punkt eller masscentrum L I brukar (på komponentform) benämnas Eulers dynamiska ekvationer. Ibland behövs även Eulers första lag M dv F där F är summan av yttre krafter (inklusive tvångskrafter, BS!) på systemet.

15 b) Stöt. Eulers andra lag integrerad över en kort stöttid ger L t L t t t N stöt Från t till t (kort tid) behöver endast stötimpulsmoment från stora stötkrafter tas med m endast en stötkraft F P, som angriper i r P bidrar kan vi skriva t N t stöt r P F P t t enär lägesförflyttningar under den korta stöttiden försummas i stötapproximationen. Denna approximation underlättar valet av referenssystem. Eulers första lag ger t MV t MV t F stöt t Notera att en stötkraft kan bidra till (den integrerade) Euler I men inte nödvändigtvis till (den integrerade) Euler II om stötimpulsmomentet med avseende på kan försummas men inte stötimpulsen..8. Eulers vinklar Eulers vinklar är ett systematiskt sätt att övergå från ett system av riktningar x, ŷ, ẑ fixa i rummet till x, ŷ,ẑ fixa i kroppen. Först vrider vi systemet vinkeln runt z-axeln så att de nya x N y N -riktningarna (otydligt i figuren) är sådana att y N z-planet innehållerdet kroppsfixerade systemets z -axel. Därefter vrider vi systemet x N y N z vinkel runt x N -axeln så att z -axeln kommer på plats (kroppsfixerad). Slutligen vrider vi vinkeln kring z -axeln så att det kroppsfixerade systemet med basvektorriktningar x, ŷ,ẑ fixa i kroppen är på plats. Primtecknet anger alltså kroppsfixering.