Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

Transkript

1 1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2. Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar och presentationer! Problemlösning Tentamen efter kursen.

2 2 Newtons 3 lagar för partikelrörelse: 1. En 'fri' partikel förblir i vila eller i konstant rätlinjig rörelse. 2. ma = F (vektorekvation) m = massa, a = acceleration, F =totala kraften. 3. Krafter i naturen uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan är noll. Eulers lagar för stela kroppar i vila: 1. F = 0 (Ingen translation av masscentrum) där F = totala yttre krafter. 2. M O = 0 (Ingen rotation kring masscentrum) M O = totala kraftmomentet från yttre krafter. O är en godtycklig momentpunkt. 3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan är noll. (se Newton 3!)

3 3 MEKANIKENS STORHETER och dimensionsanalys. STORHET DIMENSION (SI-)enhet Grundläggande storheter: massa M kg längd, läge L m tid T s Härledda storheter, t.ex. kraft MLT!2 N (= kg m/s/s) hastighet LT -1 m/s acceleration LT!2 m / s 2 Härledda storheter beror av grundläggande storheter genom definitioner och/eller lagar.

4 4 EXEMPEL: Avgör om hastighetsformeln v = 2gh är dimensionsriktig. Lösning: dim{ v} = LT!1, dim{ g} = LT!2, dim{ h} = L. Dimensionsanalys av VL och HL ger samma resultat EXEMPEL: Bestäm så långt möjligt ett samband vid fritt fall mellan hastighet, massa, tyngdacceleration och fallhöjd! Lösning: Ansätt v = konst.!m " g # h $ (finns det andra ansatser?) Jämför dimensioner i VL och HL.: dim v { } = LT!1, dim{ m } = M, dim g { } = LT!2, dim h dvs L:s exponent i VL=HL ger: 1 =! + " M:s exponent i VL=HL ger: 0 =! T:s exponent i VL=HL ger:!1 =!2" Detta ger:! = 0, " = 1 / 2, # =1 / 2 dvs v = konst gh Jämför med det riktiga uttrycket!! { } = L

5 5 Krafter -Newtons 3:e lag: Krafter uppkommer i par så att den uppkomna totalkraften är noll. Exempel 1: Kontaktkrafter. De båda motriktade krafterna verkar på olika föremål. Övning: Krafter verkar på vad? P är en yttre kraft. N är olika normalkrafter.

6 6 Exempel: Trådkrafter. Betrakta en trådbit som spänns av två yttre krafter. Vid varje tänkt tvärsnittsyta genom en lätt tråd finns ett motriktat kraftpar bestående av två krafter som är lika stora som de båda yttre krafterna i ändarna. T T Övning: Hur stor kraft påverkas skivan med? Olika typer av krafter: Vardagskrafter: Trådkraft, fjäderkraft, normalkraft, friktion (vid kontakt). Elektromagnetisk kraft, tyngdkraft och gravitation (avståndsverkan). Fundamentala krafter: Växelverkan mellan materia via kraftbärare (fotoner, mesoner, gluoner, gravitoner).

7 7 Lägevektorn: r = ( x, y,z), där x, y, z är koordinater. Vardagskrafter är vektorer: Tre komponenter: F = ( F x,f y,f z ). En vektor har längd och riktning: Längd: F = F = F 2 x + F 2 2 y + F z Riktning: e F = F F. (Sortlös vektor med längden 1) Exempel: Bestäm kraftens komponenter från vinkel! Svar: F x = F sin", F y = F cos", F z = 0, dvs F = ( Fsin", Fcos",0). Exempel: Bestäm kraftens riktning! Svar: e F = ( sin", cos",0).

8 8 Exempel: Bestäm kraftens komponenter från lutningsförhållande! Svar: Den liggande sidan i den lilla triangeln förhåller sig till hypotenusan som 4 till 5: F = 8N. Den stående sidan i den lilla F x = 4 5 triangeln förhåller sig till hypotenusan som 3 till 5: F y = 3 5 F = 6 N, och F z = 0, " dvs F = $ # 4 5 F, 3 5 F,0 %'. & Exempel: Bestäm kraftens riktning! " $ %'. # & Svar: e F = 4 5, 3 5,0

9 9 Exempel: Kraften med storlek 10 N har samma riktning som linjen från punkten A: (1,1,0)a till punkten B: (5,4,0)a. a är en längdenhet. (a) Bestäm kraftens komponenter, samt (b) kraftens vinkel mot y-axeln. Lösning(a): Kolla först skillnadsvektor från A till B. Den blir: r AB = (4,3,0)a, där komponenterna direkt kan läsas av. Längden av vektorn (Pythagoras sats) är r AB = 5a. Skillnadsvektorns och kraftvektorns komponenter är proportionella, som också vektorernas längder är. Alltså: F = 10N r AB 5a = F x 4a = F y. Kraftkomponenterna blir: 3a Svar(a): F x = 8N, F y = 6N, F z = 0, så att hela kraftvektorn blir F = ( 8,6,0)N. Lösning(b): Kolla med föregående exempel. Om kraftvektorerna jämförs så fås: sin" = 8 10 eller/och cos" = 6. Mer än något av dessa svar krävs inte. 10

10 10 Koordinataxlar representeras ibland av axelriktningarna e x,e y,e z, som är enhetsvektorer. En kraft kan därför beskrivas som: F = (F x,f y,f z ) = F x (1,0,0) + F y (0,1,0) + F z (0,0,1) Eller enklare: F = F x e x + F y e y + F z e z, F x e x är en komposant. F x är en komponent.

11 KOMIHÅG 1: oberoende storheter-3 oberoende dimensioner Kraft beskrivs med vektorer. Komposanter är delvektorer. Föreläsning 2: Skalärprodukt Två definitioner: Med vektorkomponenter: A B = A x B x + A y B y + A z B z. Med längder och riktningar: A B = ABcos". Här är " vinkelöppningen melan vektorpilarna. Projektion (speciell skalärprodukt) Kraftens projektion på x-axel: OBS, använd axelns riktningsvektor! ( ) = F x "1+ F y " 0 + F z " 0 F e x = ( F x,f y,f z ) 1,0,0 = F x. Komponent i annan axelriktning: Sök komponenten av kraften längs en axel (riktad linje) L. Om kraftvetorn och axelns riktning e L är kända, så fås komponenten längs axeln av beräkningen: F L = F e L. Här används skalärprodukten. Man får med skalärprodukten på en linjes riktning en projektion på axeln L. 11

12 12 Exempel: Bestäm kraftens komponent längs axlarna a och b! Svar: F a = F cos", F b = F cos". Kraftens projektion på a-axel med hjälp av xykomponenter (se figuren): a-axelns riktning i det ortogonala koordinatsystemet (x,y,z): e a = ( cos",sin",0). Kraftens projektion på axelriktningen e a : ( ) = F x #cos" + F y #sin" + F z #0 F e a = ( F x,f y,f z ) cos",sin",0 = F x " cos# + F y " sin#. Koordinataxlar och linjer En koordinataxel har en riktning och sammanfaller med en rät linje. Linjen är en kontinuerlig punktmängd utan speciell riktning.

13 13 KRAFTERS VERKAN PÅ STELA KROPPAR Orsakar ändringar i kroppens två rörelser: translation (Eulers 1:a lag) rotation (Eulers 2:a lag) F A F B ej rot rot Det behövs tre tillbehör för att beskriva kraftens verkan: angreppspunkt (se figuren ovan, A och B eller r A och r B ) verkningslinje ( r AL = r A + Le F, "# < L < # ) momentpunkt r P (en tänkt vridpunkt) Viktigt! Kraft är en matematisk vektor! En angreppspunkt behandlas också som en vektor i många fall. Hur räknar man med vektorer?

14 Den räta linjen: Linjens ekvation i ett plan: y = kx + y 0, där y 0 och k är konstanter, x och y är variabler (som beror av varandra). -En vald punkt på linjen har koordinater som bildar läget r 0 = (0,y 0,0). -En godtycklig punkt på linjen kan skrivas r = (x, y,0) = (x,kx + y 0,0) = (x,kx,0) + (0,y 0,0) =(1,k,0)x + r 0 = Le L + r 0, där L (= 1+ k 2 x) är en fri koordinat för linjen, och e L = (1,k,0) är linjens riktning k Linjens punktmängd: Linjens punkter kan alltså skrivas: r L = Le L + r 0, där bara L är godtycklig. Men även r = L("e L ) + r 0. En rak linje har två möjliga riktningar ±e L, och r 0 är en känd punkt. 14 Exempel: Beskriv x-axelns linje i xy-planet. Lösning: Axelns riktning är känd ( e x ), och en koordinataxel går igenom origot för axlarna (nollvektorn (0,0,0)). Linjen (dess punktmängd r x ) kan då skrivas: r x = xe x, där x är godtycklig.

15 KRAFTMOMENT med avséende på en momentpunkt P. 15 Kraftmomentet som kryssprodukt av två andra vektorer: Definition: M P = r PA " F, där r PA = r A " r P och r A är angreppspunktens koordinater och r P är momentpunktens dito. Speciellt: Om r PA // F är M P = 0. Vektorproduktens viktiga egenskaper: Den är 0 (nollvektorn) om faktorer är parallella (anti-parallella). Den byter tecken om faktorerna byter plats.

16 16 KOMIHÅG 2: Skalärprodukt som projektion. Axlar (riktade) och linjer Kraftmomentet är en vektor Föreläsning 3: Kraft i ett plan och dess vridförmåga Låt r A = x A,y A,0 ( ) och F = F x,f y,0 ( ), r P = 0,0,0 Momentet map origo blir ( ). M O = r A " F = Betrakta figuren: e x e y e z x A y A 0 F x F y 0 F y = ( x A F y " y A F x )e z. F y A F x O x A F x och F y vrider åt olika håll om F x, F y >0. Moment m a p punkt respektive axel Totala vridande förmågan med avseende på en punkt O: M O = M Ox,M Oy,M Oz ( ). Komponenten M Oz är kraftens vridande förmåga map z- axel genom origo. M Oz = x A F y " y A F x. Matematisk projektion av hela momentet: M Oz = M O e z.

17 Kraften kan flyttas längs sin verkningslinje. Förskjut kraften så att angreppspunkten ändras: r "r + Le F. Bestämning av kraftmomentet: M ' O = ( r + Le F ) " F = r " F + L e F " F = M O =0, ty // För ett givet kraftmoment kan samma kraft ligga var som helst på en linje. Problem: Tyngdkraften mg verkar i mitten av en kub och är riktad nedåt. Beräkna kraftens moment med avseende på kontaktpunkten A. 17 Lösning: Dela upp kraften med komposanter längs kroppens två symmetrilinjer map mittpunkten. Då är avstånden till komposanternas vardera verkningslinjer L/2 respektive L/4. Med hänsyn till vridningsrikningar vrider komposanterna åt samma håll (medurs, som är en negativ riktning i givna planet). Dvs M A = " L 4 mgcos# " L mgsin#. (vektorn in i planet). 2

18 18 Problem: Kraften P appliceras vinkelrätt på balkens övre del. Beräkna kraftens moment med avseende på böjleden respektive fotfästet. P=30 N d=1.6 m 45 o d=1.6 m Lösning: Med 'origo' i böjpunkten ( B ) blir angreppsvektorn och kraften vinkelräta: M B = dp =1.6 " 30 Nm = 48 Nm (negativ vridning i planet) Med 'origo' i fotpunkten ( A ) blir det svårare. Dela upp kraften i horisontell och vertikal komposant. Den horisontell komposanten har sin momentarm och den vertikala sin. Addera: M A = P cos45 o d + d cos45 o ( ) + P cos45 o ( d cos45 o ) " = dp 1+ 1 % $ ' = Nm (negativ vridning i planet) # 2 &

19 19 Problem: En låda belastas med tre yttre krafter enligt figuren med verkningslinjer längs tre av lådans kanter. Lådan har formen av ett rätvinkligt block med kantlängderna a, b och c. Bestäm kraftsystemets kraftmoment med avseende på (map) origo! Lösning: Vad är positiva moment kring en axel??? M O = 2Pb " Pc," 2Pa,0 ( ).