Biomekanik, 5 poäng Moment

Transkript

1 (kraftmoment) En resulterande (obalanserad kraft) strävar efter att ändra en kropps rörelsetillstånd. Den kan också sträva efter att vrida en kropp. Måttet på kraftens förmåga att vrida kroppen runt en axel är dess moment runt den aktuella axeln. Enhet för moment: Nm. = Kraft * hävstångsarm = *d Viktigt: Hävstångsarm är vinkelräta avståndet från kraftens verkningslinje till vridaxeln (rotationspunkten) Om kraftens verkningslinje går igenom vridaxeln blir momentet noll Om flera krafter samtidigt verkar på en kropp bestäms krafternas sammantagna vridningsverkan av det resulterande momentet. Detta bestäms genom addition av samtliga verkande moment, M R = l Ett moment har alltid en viss vridningsriktning. När moment adderas måste man ta hänsyn till vridningsriktningen (med- och moturs etc.). Om M R = 0, dvs. om momenten tar ut varandra har vi momentjämvikt (rotationsjämvikt). P. Carlsson

2 Varignons teorem En krafts verkan på en kropp förändras inte om kraften ersätts med sina komposanter. Om detta gäller fullt ut måste det även gälla att: En krafts moment med avseende på en viss axel är lika med summan av komposanternas moment Grafisk illustration av Varignons teorem Ur figur b (positiv momentriktning medurs): M O = R d = P p + Q q P. Carlsson 2

3 Ytterligare illustration av Varignons teorem Ex. Bestäm momentverkan av 600 N- kraften runt punkt O. Svar: M o = 260 Nm P. Carlsson 3

4 Kraftsumma, momentsumma Vi antar att flera krafter, ett s.k. kraftsystem, verkar på en kropp. Deras gemensamma kraftverkan bestäms av kraftsumman Σ. Def: = n i I figuren har vi tre verkande krafter: 3 = i = Summeringen delas lämpligen upp i komposanter: x = n ix, = y n iy, R = ( Σ ) 2 ( ) 2 x + Σy På samma sätt definieras momentsumman med avseende på (den godtyckliga) axeln O. n M O = M Oi Positiv momentriktning måste definieras. I fig. får vi (moturs): M O = d + 2d 2 3d 3 P. Carlsson 4

5 Ex 2. Bestäm kraftsumma och momentsumma vid balkens infästning A. Svar: x =,65 kn, y =,6 kn, R = 2,0 kn, M A = 2,22 knm (moturs) P. Carlsson 5

6 Kraftpar, rent moment Ett kraftpar bildas av två lika stora, motriktade krafter. Tecknas kraftparets momentsumma runt en godtycklig axel O får vi (moturs pos.): Σ M O = ( a + d) a = d summan beror endast på krafternas belopp och avståndet mellan deras verkningslinjer! Mer om kraftsumma, momentsumma I det generella fallet finns det både krafter och (rena) moment som verkar på en kropp. ör krafter och system i figuren gäller: = 3 i M O = d + + 2d 2 3d 3 M M 2 (positiv riktning medurs) P. Carlsson 6

7 Reduktion av kraftsystem Handlar om att omvandla komplicerade kraftsystem till enkla system som är ekvivalenta (dvs. har samma verkan) som de ursprungliga. Steg I Vi behöver veta hur man flyttar angreppspunkten för en kraft. I figuren vill vi flytta kraften :s angreppspunkt från A till B. Lägg två motriktade krafter av :s storlek och riktning i B (ändrar ej kraft- och momentsumma) Ersätt det uppkomna kraftparet med ett rent moment med storleken M = d. Kvar i B finns (den flyttade) kraften samt momentet M = d (som ej är knutet till B). P. Carlsson 7

8 Steg II Vi ska nu visa att ett godtyckligt kraftsystem kan reduceras till ett kraftsystem som består av högst en kraft och ett rent moment. Vi antar att fig a) innehåller n st krafter och m st rena moment (i figuren är 3 krafter och 2 moment utritade). Enligt steg I kan varje kraft flyttas så att den angriper i en godtycklig punkt O om vi samtidigt adderar ett rent moment för vaje kraft. Mot kraften i svarar alltså momentet i d i osv. Resultatet av operationen visas i fig b) Därefter adderas krafterna till en enda kraft och momenten adderas till ett enda moment enligt (se fig. c): R = M O n = n i d i i + m M i Man kan också räkna fram en angreppspunkt för krafternas resultant (P i figur), där resultanten får ett moment lika med M O runt punkt O. Avståndet d till angreppspunkten fås ur det enkla sambandet M O = Pd, där d är avståndet från resultant till punkt O. Denna enda kraft ersätter då även momentet M O (benämt M i figuren). P. Carlsson 8

9 Ex. 3 Bestäm kraftsumma och angreppspunkt för krafternas resultant samt momentsumma för balken i figuren. Utgå från infästningspunkten vid momentberäkningen. Svar: y = -3 kn (riktad nedåt), M = 3 knm (medurs) Resultantens angreppspunkt: d = 4,33 m från infästningen. P. Carlsson 9

10 Sammanfattning Ett godtyckligt, tvådimensionellt kraftsystem kan alltid reduceras till en kraft och ett rent moment. Kraftens angreppspunkt, reduktionspunkten, kan väljas godtyckligt. Observera dock att momentsumman får olika värden beroende på vald reduktionspunkt. Om kraftsumman är skild från noll, kan systemet reduceras till enbart en kraft med given verkningslinje. Om kraftsumman är lika med noll, kan systemet reduceras till ett rent moment. P. Carlsson 0

11 Studium av krafter moment i armbåge 5g 5g Med hur stor kraft m måste bicepsmuskeln verka för att hålla emot en massa om 5 kg i de båda fallen ovan? Avstånd mellan armbågsled och kraftens angreppspunkt är 40 cm i både A och B. Svar: ma = 50g, mb = 00g Hur skiljer sig personerna A och B sig åt vad gäller styrka och snabbhet? Vi antar att biceps utvecklar samma kraft i båda fallen. P. Carlsson

12 Ex 4. En tyngd mg hålls uppe med armens muskelkraft. Vilken är tyngdens verkan i leden A resp. B? (Övriga massor försummas.) Ersätt alltså i tur och ordning i dessa punkter kraften mg men en kraft och ett rent moment! Svar: Punkt A vid armbågen: A = mg, M A = mgd Punkt B vid axel: B = mg, M B = mg(c+d) P. Carlsson 2

13 Ex 5. En man som tränar axelmuskulaturen börjar övningen med armen i vertikalt, avslappnat läge OA enl. figur (gummibandet är då nätt och jämt sträckt). Han lyfter sedan armen till det horisontella läget OB. Gummibandets fjäderkonstant är k = 60 N/m, dvs. det går åt kraften 60 N för att sträcka gummibandet sträckan m. Beräkna momentet runt axeln i punkt O, dvs. M o, med hjälp av den kraft som bandet drar i handen vid B. Svar: M o = 26,8 Nm (moturs) P. Carlsson 3

14 Inre och yttre krafters moment Rörelse i kroppen uppstår genom att musklerna producerar (inre) moment runt en ledaxel. Hävstångens längd är till stor del avgörande för muskelns förmåga att utveckla ett moment. Armbågsböjare Knäled Yttre moment kan t. ex. produceras av tyngdkrafter, normalkrafter etc. P. Carlsson 4