KOMPLETTERINGAR TILL FYSIK A FÖR TEKNIK/NATURVETENSKAPLIGA BASÅRET N 2. Juni 2006 NILS ALMQVIST

Transkript

1 KOMPLETTERINGAR TILL YSIK A ÖR TEKNIK/NATURVETENSKAPLIGA BASÅRET Mg N N Juni 006 NILS ALMQVIST INSTITUTIONEN ÖR TILLÄMPAD YSIK, MASKIN- OCH MATERIALTEKNIK

2 örord Detta kompendium och bifogade laborationshandledningar används i kursen ysik A (MT504, MT404) på de tekniskt/naturvetenskapliga basåret samt på datateknisk ingång. Kompendiet kompletterar kursboken Bergström m. fl: Heureka!, ISBN (alternativt Alphonce m.fl., ysik för gymnasieskolan A ). I senaste versionen av kompendiet har det tillkommit text om mätningar och mätvärden. Det är bl.a att kursen enklare ska kunna ges som nätutbildning. Dessutom finns nu extrauppgifter till avsnittet om ellära. Luleå, juni. 006 Nils Almqvist Innehållsförteckning. Allmänt om att lösa problem i fysik..... Om mätningar och mätvärden... Storhet, mätetal och enhet... Värdesiffror, gällande siffror... Grundpotensform Problemlösningsstrategi Mekanik Inledning Kraftgeometri: grafisk och trigonometrisk lösning... 6 Kraftvektorer... 6 Grafisk och trigonometrisk lösning av kraftsystem Analytisk lösning av kraftsystem... 9 Avslutande kommentar, sammanfattning Newtons lagar och jämvikt riktion Kraftmoment... 7 Moment... 7 Kraftpar Jämvikt... 9 Jämviktsvillkor... 9 riläggning... 0 Problemlösning Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse... 3 Allmänt... 3 Kaströrelse plan rörelse... 4 Övningsuppgifter... 7 Svar... 4 Laborationshandledningar: Laboration : Mekanik Laboration : Geometrisk optik Lektionslaboration Laboration 3: Spänning, ström och resistans

3 . Allmänt om att lösa problem i fysik I den här kursen ska du lösa fysikaliska problem och träna dig i laborativt arbete. Det är viktigt att du har en problemlösningsstrategi och att du redovisar dina lösningar så att andra kan förstå dem. Dina lösningar ska presenteras på ett begripligt sätt och vara klara och tydliga. Du måste också kunna hantera mätningar, mätvärden, skriva tal med tiopotens samt hantera storhet, mätetal och enhet. Om dessa saker står det på lite olika ställen i kursboken. Här försöker vi introducera några viktiga komponenter och visar exempel på en möjlig problemlösningsstrategi. Det här avsnittet kan du läsa i samband med att du löser problem... Om mätningar och mätvärden Storhet, mätetal och enhet Med storhet menas det som mäts t ex längd, tid eller massa. Mätetalet är hur mycket vi mäter. Anta att vi använder ett måttband för att mäta längden på en bil. Vi mäter längden till 4,5 m. Då är storheten vi mäter längd, mätetalet är 4,5 och enheten är meter (m). Det har funnits, och finns, många olika enheter för längd (t ex mil, tum, aln, fot, meter). Inom naturvetenskapen har man enats om ett gemensamt internationellt enhetssystem som kallas SI. SI-enheterna innehåller sju grundenheter som bl. a är meter (m), sekund (s) och kilogram (kg). Det står mer om detta i kap. 3.4 (s.77) som ingår i nästa lektion. I formelsamlingen (s.6) så står dessutom hur man definierar dessa enheter. Värdesiffror, gällande siffror Man ska kunna se direkt på ett mätetal hur noga mätningarna utförts. När vi anger att vi mätt längden på bilen till 4,5 m så visar mätetalet att mätningarna har utförts på centimetern när. Hade vi istället angett längden till 4,50 så menas att mätning gjorts med millimeterprecision. I ett heltal som inte slutar med nolla är samtliga siffror gällande. ör decimaltal gäller att nollor i början av talet inte är gällande. Nollor inuti och i slutet av decimala tal gäller däremot. Några exempel på antal värdesiffror: Mätetal Gällande siffror ,54 4 0, (eller ), 0 Tabell : Antal gällande siffror hos några olika mätetal Allmänt fysik

4 YSIK A - MEKANIK Grundpotensform Tabell visar att det kan vara osäkerhet i hur många gällande siffror mätetalet 0 har. Därför är det ofta lämpligt att ge mätetal på grundpotensform, dvs. med bara en heltalssiffra och tiopotens. Skrivs 0 som,0 0 så menas att det är 3 gällande siffror. Senare i kursen kommer vi använda prefix för att skriva tiopotensen. Exempel : En löpare springer 00 m på 7 s. Tiden har vi då mätt med ett vanligt analogt armbandsur (med sekundvisare). Vi räknar ut löparens medelhastighet. Den räknar vi ut som sträckan dividerat med tiden, dvs. 00/7 m/s. Knappar vi det på vår miniräknare så får vi 5, Hur ska vi svara? Lösning: Eftersom vi inte kan mäta tiden noggrannare än med två värdesiffror, bör vi inte svara med fler siffror än två. Vi ska dessutom ange enhet. Vi bör alltså ange att löparen sprang med medelhastigheten 5,9 m/s. Är det fort? Hur mycket är det i km/h? m 5,9 m 5,9 km 5,9 km 5,9 = 000 = = 3600 = s 000 s 000 s s 5,9 km = 3600 = 5,9 3,6 km / h km / h 000 h Vi kan alltså svara antingen att medelhastigheten är 5,9 m/s eller km/h... Problemlösningsstrategi När du löser fysikproblem ska du försöka göra det på ett strukturerat sätt. EN generell metodik som ofta fungerar är att dela in problemlösningen i olika delar, som: ) Definiera problemet (avgränsa och förstå problemet). ) Undersök (lufsa runt och nosa på problemet) 3) Planera (ta fram olika lösningsvägar, samla in nödvändiga hjälpmedel) 4) Genomför (välj bästa metoden att angripa problemet) 5) Utvärdera (kontrollera resultat och redovisa) En mer detaljerad bild av hur det kan gå till finns i igur. Exempel Vid OS i München 97 vann Gunnar Larsson OS guld i simning 400 m medley med tiden 4.3,98 (4 min och 3,98 s). Gunnars marginal till tvåan (Tim McKee) var 0,00 sekunder. Är det rimligt att mäta tiden så noggrant? Ledning till lösning Prova själv att fundera igenom lösningen, helst med metoden från igur. Räkna t ex ut hans medelhastighet. Sedan hur långt Gunnar i medel simmade på 0,00 sekunder. Det blir mindre än tre millimeter. Alltså, eftersom de simmade 8 bassänglängder (ytterligare uppgift som man måste ta reda på) så motsvarar det mindre än 0,4 mm per bassänglängd. örmodligen är bassänglängderna inte byggda med den noggrannheten. Det är alltså inte rimligt att mäta med den noggrannheten om det ska vara sportsligt rättvist. Men visst, det är ju inte lika roligt att det blir oavgjort 3 Allmänt fysik

5 YSIK A - MEKANIK. Avgränsa och förstå, vilket är problemet? örstår du orden i texten? Beskriv problemet med dina egna ord. Vad frågas det efter? Rita diagram eller en skiss av problemet. Vad är givet? Ta med given information i skissen. Vilka fysikaliska principer kan vara relevanta?. Undersök problemet och beskriv fysiken Erinra dig liknande problem eller erfarenheter. Vilka ekvationer beskriver de principer som kan komma ifråga. Vilka storheter behöver vi känna till för att kunna lösa problemet? Vilka antaganden och approximationer måste vi göra? 3. Gör upp en plan Kan problemet delas upp i delproblem? inns det flera sätt att nå målet? Samla in nödvändiga uppgifter. Välj lösningsmetod. 4. Genomför planen/uträkningen Räkna med bokstäver så långt det är praktiskt möjligt. Ev. jämför med alternativa lösningar. Sätt in numeriska värden, gör beräkningar. 5. Utvärdera lösningen Är svaret rimligt? Är enheten rätt? Kontrollera tiopotenser och enheter. Stämmer lösningen med vad du vet från tidigare? Hur noggrant kan resultatet ges? Om allt verkar okay, redovisa svaret och din tolkning. igur. En generell metodik för problemlösning som har stora likheter med Minnesota modellen och Woods metod. 4 Allmänt fysik

6 YSIK A KOMPLETTERINGAR. Mekanik.. Inledning Mekanik är läran om partiklar och kroppar i vila och rörelse. Mekanik indelas i statik och dynamik. Statik behandlar kroppar som befinner sig i kraftjämvikt. Dynamik är läran om kroppars rörelse. Dynamik brukar indelas i kinematik och kinetik. I kinematiken beskriver man hur en kropps rörelse utan att ta hänsyn till vad som orsakar rörelsen. I kinetik beskriver man sambandet mellan kraft och rörelse. I den här kursen ingår både statik och dynamik. Några centrala begrepp som du ska ha kunskap om när du läst mekanik är bl.a: kraft, kraftkomposant, kraftresultant, jämvikt, tyngdacceleration, tyngdpunkt, friktion, Newtons lagar, vad som menas med tröghet, mekanisk energi, lägesenergi, rörelseenergi, energiprincipen, arbete samt acceleration och retardation. 5 Mekanik -Inledning

7 .. Kraftgeometri: grafisk och trigonometrisk lösning En fysikalisk storhet som endast har belopp (storlek) kallas en skalär. Exempel på skalärer inom mekanik är tid, massa, storlek, densitet m.fl. En fysikalisk storhet som både har belopp och riktning kallas en vektor. rån kursboken vet vi att en kraft har både storlek (belopp) och riktning. Det är alltså en vektor. Med kraftens verkningslinje (riktningslinje) menar vi den linje som går genom angreppspunkten och är parallell med kraftens riktning. Även många andra storheter inom mekanik är vektorer, t.ex. hastighet och acceleration. Vi behöver alltså veta som menas med en vektor och lära oss räknelagar för att lägga ihop och dela upp krafter. Kraftvektorer En vektor brukar betecknas med en bokstav och ett streck över bokstaven. En vektor är en riktad sträcka som beskrivs av sin storlek (längd) och sin riktning α. Spets otpunkt α igur. En vektor med längden noll kallas nollvektor (Beteckning: 0 ). Grafisk och trigonometrisk lösning av kraftsystem Två eller fler vektorer kan ersättas av en enda vektor, resultanten. Vi ska addera kraftvektorer grafiskt till en resultant med två olika metoder: parallellogrammetoden och polygonmetoden. I mekanik får vi addera krafter på dessa sätt när krafterna angriper i samma angreppspunkt. Enklast illustreras metoderna med ett par exempel. Vektorerna i dessa exempel antas alltså vara krafter: Exempel 3: Bestäm den resulterande vektorn till vektorerna i igur 3 nedan D A igur 3 B 6 Kraftgeometri grafisk,trigonometrisk

8 Lösning I: Parallellogrammetoden: Rita en parallellogram där och är sidor. D R C A B igur 4 R = AC är resultant till och. Man skriver R = +. Lösning II: Polygonmetoden: Parallellförflytta så att dess fotpunkt är i B. R = + C A igur 5 B Resultanten = den vektor som startar i första vektorns ( ) fotpunkt och slutar i andra vektorns ( ) spets. Exempel 4: Bestäm resultanten till nedanstående vektorer. 3 igur 6 Lösning: Polygonmetoden är speciellt användbar när vi har mer än två vektorer. Parallellförflytta enligt igur 7. R = igur 7 Resultanten = den vektor som startar i första vektorns fotpunkt och slutar i sista vektorns spets. Lika väl som vi kan ersätta två vektorer med en enda, kan vi dela upp en vektor i två andra. Vi delar upp en vektor i två mot varandra vinkelräta komposanter. 7 Kraftgeometri grafisk, trigonometrisk

9 Exempel 5: Kraftvektorn i igur 8 har storlek (längd) = 0 N och verkar i riktningen α = 30 enligt figur 7. Dela upp i två komposanter längs x och y. y = 0 N α = 30 x igur 8 Lösning: ) Grafiskt kan vi använda parallellogrammetoden. Bestäm lämplig skala för krafterna och rita en parallellogram genom att dra två linjer genom :s spets. Den ena linjen dras parallellt med y och den andra dras parallellt med x. y α x igur 9. Uppdelning i komposanter = +, kan ersättas av de två komposanterna och. :s längd mäts med linjal att motsvara ca. 5,0 N och :s längd mäts till ca. 8,7 N ) Trigonometriskt kan vi beräkna komponenterna längs x- och y-axeln som: = sin α = 0 sin 30 5,0 N och = cos α = 0 cos 30 8,7 N Notera att om vi istället hade vetat komposanternas storlek så kunde vi beräknat resultantens storlek genom att använda att de är vinkelräta mot varandra. Resultantens storlek fås då med Pythagoras sats som: = + 5,0 + 8,7 0 N 8 Kraftgeometri grafisk, trigonometrisk

10 .3. Analytisk lösning av kraftsystem Addition av vektorer kan ytterligare förenklas om vi beskriver vektorerna med hjälp av koordinater. Det innebär att vi gör om ett vektoriellt problem till ett skalärt problem. Exempel 6: Vad blir resultanten till krafterna och i figur 0. igur 0 Lösning: Lägg in ett koordinatsystem enligt igur x igur x = ( :s x-koordinat) = x = ( :s x-koordinat) = 5 R = + ; R = 7 N (riktad längs positiva x-axeln). Detta kan vi erhålla med koordinater på följande sätt: R x = x + x = + 5 = 7 Således har resultanten x-koordinaten 7. Om har motsatt riktning blir x = - R x = x + x = = 3 Då blir resultanten en vektor med längden 3 riktad längs positiva x- axeln. 9 Kraftgeometri analytisk lösning

11 Exempel 7: Bestäm resultanten till krafterna i igur. y igur = N, x = N Lösning: Vi ska beräkna summan av krafterna (kraftsumman). Dela upp krafterna i vinkelräta komposanter längs koordinataxlarna. y y y 45º 30º x = cos 30 x = - cos 45 y = sin 30 y = sin 45 igur 3 x x x Vi adderar komponenterna längs x-axeln. Resultantens komponent längs x-axeln får x-koordinaten: R x = x + x = cos 30 - cos 45,04 N. Vi adderar komponenterna längs y-axeln. Resultantens komponent längs y-axeln får y-koordinaten: R y = y + y = sin 30 + sin 45 3,99 N. R y De givna krafterna och ersätter vi med komponenterna R x och R y enligt igur 4. y R Storleken R av kraftsystemets resultant R bestäms med Pythagoras sats R = R = R x + R y = N Vinkeln α fås ur: tan α = R y α 85,7. R x α R x igur 4 x Svar: Storleken hos resultanten till och är 4 N och bildar vinkeln 85,7 med positiva x-axeln 0 Kraftgeometri analytisk lösning

12 Avslutande kommentar, sammanfattning De fysikaliska storheter som är vektorer indelas i olika klasser. Inom mekanik gäller att kraftvektorerna är så kallade linjebundna vektorer som får flyttas längs sin verkningslinje. Påverkan av kraften blir samma oavsett vilken angreppspunkt man väljer längs kraftens verkningslinje. Begreppen angreppspunkt och verkningslinje är alltså viktiga begrepp i mekanik. stel kropp kraftens verkningslinje igur 5. Kropparna påverkas på samma sätt oavsett var utefter verkningslinjen kraften verkar. I fortsättningen använder vi ofta ett förenklat skrivsätt för vektorer. Vi använder enbart beloppet (storleken) som beteckning för en vektor och låter pilens riktning motsvara vektorns riktning. 7 N igur 6. örenklade beteckningar för vektorer. Den bokstav eller siffra som finns vid pilen anger vektorns storlek. Kraftgeometri analytisk lösning

13 .4. Newtons lagar och jämvikt Den klassiska mekaniken grundar sig på ett antal grundlagar, som inte kan bevisas matematiskt men som kunnat verifieras genom en mångfald fysikaliska observationer. Lagarna, som formulerades av Isaac Newton (643-77), lyder: Newtons första lag (tröghetslagen): En partikel förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig rörelse (= jämvikt), om det inte verkar någon resulterande kraft på partikeln. Det kan man skriva = 0. Resultanten till de krafter som verkar på ett föremål (kraftsumman) i jämvikt ska alltså vara noll. Vid problemlösning kan man då använda jämviktsvillkoret komponentvis som t ex att summan av de uppåtriktade krafterna som verkar på ett föremål måste vara lika stora som summan av de nedåtriktade krafterna som verkar på det (jämför Heureka s. 8, Alphonce s. 97). Ett annat viktigt sätt att skriva jämviktsvillkoren på är: Summan av alla krafter i x-led ska vara noll : x = 0 (.) Summan av alla krafter i y-led ska vara noll : y = 0 (.) Newtons andra lag (accelerationslagen): En partikels acceleration är proportionell mot den resulterande kraften som verkar på partikeln. Kraft och acceleration är riktade åt samma håll. Vi kommer använda Newtons andra lag i slutet av kursen. Newtons tredje lag (lagen om verkan och motverkan/återverkan): Mot en kraft svarar alltid en lika stor och motsatt riktad kraft. Dessa krafter verkar på olika kroppar. Krafter uppträder alltså alltid i par, lika stora och motriktade. örsta och tredje lagen illustreras med exempel: Exempel 8: Lådorna i figuren är i jämvikt. Den övre lådan har massa m =,0 kg och den undre har massa M =,0 kg. Rita de krafter som verkar på respektive låda samt beräkna deras storlek. m M igur 7 Newtons lagar och kraftjämvikt

14 Lösning: Rita först alla krafter som verkar på den övre lådan. Vi säger att vi frilägger lådan: y mg = 9,8 N N x igur 8. Det verkar endast krafter i y-led (vertikal led) på lådan. Här är mg tyngdkraften (9,8 N) på den övre lådan. Den undre lådan håller emot med en kraft N. Enligt jämviktsvillkoret så måste summan av de uppåtriktade krafterna ha samma storlek som summan av de nedåtriktade krafterna. Alltså måste kraften N = 9,8 N. Krafterna mg och N är yttre krafter till lådan. Använder vi jämviktsvillkoret enligt (.) får vi att y = 0 ger: N mg = 0 N = mg = 9,8 N Rita nu alla krafter som verkar på den undre lådan: y x N = 9,8 N Mg = 9,6 N N Enligt Newtons tredje lag så uppträder krafter i par, lika stora och motriktade, i kontakten. Den undre lådan trycker med kraften N mot den övre lådan. Då trycker den övre lådan med en lika stor och motriktad kraft på den undre lådan. N är en kontaktkraft mellan de två kropparna. igur 9 Vid jämvikt är summan av de uppåtriktade krafterna lika med summan av de nedåtriktade krafterna. y = 0 ger: N -N Mg = 0 N = N + Mg = 9,8 + 9,6 = 9,4 N Svar: enligt ovan 3 Newtons lagar och kraftjämvikt

15 Exempel 9: Med vilken kraft måste personen i figuren dra för att jämvikt ska råda? igur 0 Lösning: Vi ritar knuten och bestämmer de krafter som verkar på den (frilägger). riläggning: S y 60 T x igur 5g N Jämvikt ger: x = 0 ; T S cos 60 = 0 () y = 0 ; S sin 60-5g = 0 () Ekvation () ger S = 5g sin 60 (3) 5g cos60 (3) insätts i () ger T = S cos 60 = sin 60 Numeriskt fås T 8,9 N. Svar: Han måste dra med 8 N. 4 Newtons lagar och kraftjämvikt

16 .5. riktion Tidigare har friktion bara omnämnts i förbigående. Här kompletterar vi bokens behandling av makroskopisk torrfriktion med en approximativ modell av krafternas storlek vid friktion. m P Studera, som en låda med massa m som placeras på ett horisontellt underlag och påverkas av en horisontell kraft P. igur mg N P igur 3. När vi ritar de krafter som verkar på lådan inser vi att den påverkas av en reaktionskraft från underlaget. ör att lådan ska vara i jämvikt (t.ex. i vila) måste gälla att reaktionskraften ska ha en komposant = P parallellt med kontaktytan och en komposant N = mg vinkelrät mot kontaktytan. Detta är det mest praktiska sättet att dela upp kontaktkraften mellan kroppar som har friktion, dvs. en komposant längs ytan och en komposant vinkelrät däremot. Komposanterna brukar kallas friktionskraft respektive normalkraft. riktionskraften är riktad så att den förhindrar rörelse. Man brukar säga att friktionskraften motverkar glidning eller tendens till glidning. Om lådan är i vila och vi successivt ökar kraften P så kommer = P så länge lådan är i jämvikt. Detta brukar kallas vilofriktion eller statisk friktion. Så länge lådan är i vila gäller också att μ s N, där μ s är ett dimensionslöst tal, det så kallade friktionstalet eller statiska friktionskoefficienten. Värdet på friktionstalet beror på ytorna dvs. vad det är för material, hur skrovliga de är mm. När kraften P är tillräckligt stor är lådan precis på gränsen att börja glida. Man säger då att friktionen är fullt utbildad eller att det är på gränsen till glidning. Då gäller = μ s N. När lådan börjar glida blir är friktionskraften något mindre än vid fullt utbildad friktion. När den glider gäller att = μ k N, där μ k är glidfriktionstalet (kinetiska friktionskoefficienten). 5 riktion

17 = P P igur 4 Samband mellan friktionskraft och dragkraft P för lådan enligt texten. Vi kan sammanfatta vad som gäller för lådan i en tabell: Vila Tillstånd riktionskraft = P μ s N ullt utbildad friktion, på gränsen till glidning Glidning = P = μ s N = P = μ k N Tabell. Sammanställning av friktionskraftens storlek i olika fall. Vid laborationen kommer du att ytterligare undersöka friktion. 6 riktion

18 YSIK A - KOMPLETTERINGAR.6. Kraftmoment Moment Definition av kraftmoment (moment, vridmoment) M är att momentet är lika med produkten av kraft,, och momentarm (hävarm) l. M = l (.3) Enheten för moment är newtonmeter ( [M] = Nm). Med momentarm menas vinkelräta avståndet från vridningsaxeln till kraftens verkningslinje. Moment kan beskrivas med vektorer, precis som krafter, men vi ska inte göra det i den här kursen. Däremot måste vi ha ett sätt att ange positiv riktning för momentet. Det gör vi genom att rita en krokig pil ( som i Exempel 0). Vi väljer först vilken riktning den krokiga pilen ska ha (moturs eller medurs). Sedan räknar vi moment i pilens riktning som positiva och moment i motsatt riktning som negativa. Exempel 0: Rita ut momentarm till samtliga krafter i figuren. Vridningsaxeln går genom punkten A och är vinkelrät mot papperets plan. Beräkna även det resulterande momentet (momentsumman) kring denna axel. A 3 igur 5 4 Lösning: Vi räknar skalärt. Vi bestämmer att krafter som vrider moturs runt A ger ett positivt moment och krafter som vrider medurs ger ett negativt moment. l l A l 3 3 igur 6 Det resulterande momentet runt A, M A, blir då: 4 M A = - l l + 3 l Pilen ovanför M A anger alltså den vridningsriktning som vi räknar positiv. I bland skriver man momentsumman M istället för M A. A 7 Kraftmoment

19 Exempel : Beräkna det moment som verkar på muttern i A i figuren. Kraften är 00 N. A igur 7 Lösning: Metod I: l l = 0,30 sin 60 igur 8 M A = l = 0,30 sin Nm. Svar: Muttern påverkas av momentet 5 Nm medurs. Metod II: igur 9 Vi kan dela upp kraften i komposanter och bestämma momentet genom att summera komposanternas moment. = cos 30 = 00 cos 30 M A = 0, = 0,30 00 cos 30 5 Nm (samma resultat).. :s hävarm har längden noll eftersom :s verkningslinje går genom momentpunkten (A). 8 Kraftmoment

20 Kraftpar Ett kraftpar är två lika stora och motriktade krafter med skilda parallella verkningslinjer. Kraftsumman från ett kraftpar blir noll. Momentsumman från ett kraftpar blir lika stort överallt i planet och beror bara på det vinkelräta avståndet, d, mellan krafternas verkningslinjer. A = 0 N B d = m C = 0 N x D igur 30 Ett kraftpar ger samma moment med avseende på alla vridningsaxlar. Övningsfråga: Hur stort är det resulterande momentet i punkterna A, B, C och D av kraftparet i igur 30?.7. Jämvikt En kropp som är i vila eller rör sig med konstant hastighet längs en rät linje eller roterar med konstant hastighet är i jämvikt. ör att ett system ska vara i jämvikt så menas att alla delar av systemet ska vara i jämvikt. Tidigare i kursen (Heureka 3.6, Alphonce 4.4 och kap..4 i detta kompendium) har vi använt att resultanten till de krafter som verkar på ett föremål i jämvikt är noll och ställt upp villkor för kraftjämvikt. Vi har också använt att kraftmomenten moturs och medurs är lika stora vid jämvikt (Heureka.4, Alphonce 0.4). Nu uttrycker kraft- och momentsituationen för en kropp som är i jämvikt mer formellt och löser problem mer systematiskt. Jämviktsvillkor Enligt Newtons första lag förblir en partikel i sitt tillstånd av vila eller likformig rörelse (= jämvikt), om kraftsumman på partikeln är noll. ör en kropp gäller dessutom att momentsumman med avseende på varje axel A ska vara noll, annars roterar kroppen allt snabbare. ör att en kropp ska vara i jämvikt ska alltså gälla: = 0 = 0 M A (.4) (.5) 9 Jämvikt

21 I den här kursen räknar vi på problem där alla krafterna ligger i ett plan (xy-planet). Då kan vi enligt tidigare skriva skalära jämviktsekvationer som t ex: Summan av alla krafter i x-led ska vara noll = 0 (.6) Summan av alla krafter i y-led ska vara noll = 0 (.7) Summan av alla moment runt en axel som är parallell med z-axeln ska vara noll M z = 0 (.8) x y Det nya här, jämfört med i kapitel.4 är momentekvationen (.8). I Exempel 9 var den automatiskt uppfylld eftersom alla krafterna hade samma angreppspunkt. Att vi har tre ekvationer betyder att vi kan beräkna tre obekanta krafter (eller moment). riläggning riläggning är ett av de viktigaste momenten när vi löser problem i mekanik. Vi har redan gjort flera friläggningar. Med friläggning menar vi att den kropp vi studerar isoleras från omgivningen. Andra kroppars påverkan på kroppen ersätts med krafter, dvs. krafter ritas i kontaktpunkterna mellan kropparna. På nästa sida visas en tabell med några vanliga kraftsituationer i kontakter. Tabellen kan vara till hjälp när krafter ska ritas in på en frilagd kropp. Ett lämpligt arbetssätt vid en friläggning kan vara: Bestäm och anteckna vad som ska friläggas. Rita en figur med enbart de yttre gränserna hos kroppen som friläggs. Det är viktigt att verkligen frilägga delen/kroppen från omgivningen (som vi gjorde t ex i Exempel 8). Rita in alla yttre krafter som verkar på kroppen. Ersätt alla tidigare kontakter med omgivningen med en kontaktkraft. Inför resterande yttre krafter såsom tyngdkraft. Om verkningslinjen för en kraft är känd, rita kraften som en vektor längs verkningslinjen. Rita in alla yttre moment som verkar på kroppen. ör in alla vinklar och viktiga mått i figuren, lägg in ett koordinatsystem. 0 Jämvikt

22 Typ av kontakt Kraftsituation på den kropp som friläggs. Snöre, rep, lina eller kedja (masslöst). Kraften T är riktad från kroppen längs linan (Man kan inte trycka med en lina).. riktionsfri trissa T T 3. Glatt yta Kraften T är lika stor i båda snörändarna. 4. Sträv yta Kraften är vinkelrät mot kontaktytan. 5. Rullager eller rullstöd När vi har friktion är det lämpligt att dela upp kontaktkraften i en komposant vinkelrät mot kontaktytan (normalkraften N) och en komposant tangentiellt längs kontaktytan (friktionskraften ). Tänk dig att balken utsätts för en kraft i x-led. Då skulle rullstödet inte kunna hålla kvar balken. Man säger att rullstödet bara kan ta upp krafter i y-led. 6. ast lager 7. ast inspännig Ett fast lager kan ta upp krafter i både x- och y-led. 8. riktionsfri led En fast inspänning kan även ta upp moment. En friktionsfri led kan ta upp krafter i både x- och y-led. Tabell 3 Kontaktkrafter vid olika kraftsituationer. Jämvikt

23 Problemlösning öljande metod kan vara lämplig att använda då vi löser problem: Bestäm vad som ska friläggas för att vi ska kunna lösa det efterfrågade. rilägg, dvs. såga ut delen och rita in alla yttre krafter o. dyl. enligt tidigare. Ställ upp lämpliga jämviktsvillkor, ekvation (.6) (.8). Vid beräkningar kan det vara smart att välja momentcentrum så att så många krafter (okända) som möjligt passerar genom det. Beräkna den efterfrågade kraften eller momentet samt kontrollera att svaret är rimligt. Exempel Var ska en nedåtriktad kraft = 3 N placeras för att stången i figuren ska vara i jämvikt? Beräkna även stödkraften på leden G. Avståndet mellan två hål är m. 4 N G N 0 N 7 N igur 3 5 N Lösning: rilägg stången, inga krafter i horisontalled: 4 N G N y x igur 3 0 N 7 N N x = 3 N 5 N Jämvikt ger: M G = 0 ; x = 0 3 x = 9; x = 3 m. y = 0 ; N = 0 N = 9 N Svar: ska placeras 3 m till höger om leden G. Kraften som verkar på leden G är 9 N Jämvikt

24 .8. Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse Allmänt I kapitel 5 och i kursboken Heureka (kap.9 och i Alphonce) har vi studerat partikeldynamik. Inom kinematik beskriver vi en partikels rörelse genom att ange hur dess lägeskoordinater, hastighet och acceleration varierar med tiden. Vi har studerat det enklaste fallet av rörelse för en partikel, nämligen rätlinjig rörelse (linjebunden rörelse). Då behöver vi bara införa två rörelseriktningar t.ex. en åt vardera hållet längs banan som en bil (partikeln) kör. Speciellt har vi studerat likformig rörelse (konstant hastighet) och likformigt accelererad rörelse (konstant acceleration). Vid likformigt accelererad rörelse har vi funnit att: v = v0 + at (.9) at s = s0 + v0t + v = v0 + a(s s0 ) (.0) (.) I ekvationerna ovan är v 0 och s 0 farten respektive lägeskoordinaten då vi startar tidtagningen (tid = 0). Accelerationen a har samma värde hela tiden. Vi kan då räkna ut lägeskoordinaten (s) och farten (v) vid en senare tidpunkt (t). I den här beskrivningen har vi inte tagit hänsyn till riktningsändringar. När en partikel har kroklinjig rörelse är det därför lämplig att uttrycka hastighet och acceleration med vektorer. Hastigheten, liksom accelerationen, har belopp (fart) och riktning. På precis samma sätt som vi tidigare gjort med kraftvektorer, kan vi addera hastighetsvektorer till en resultant eller dela upp en hastighetsvektor i komposanter. Tidigare (kapitel i kursboken) har vi också studerat kinetik, dvs. hur ett föremåls rörelse ändras då det påverkas av en kraft. Enligt Newtons andra lag ( = m a) så gäller: Är kraftresultanten noll, så är rörelsen likformig (med konstant hastighetsvektor). Om kraftresultanten är konstant, så är rörelsen likformigt accelererad (konstant acceleration). 3 Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse

25 I ysik B kursen kommer vi att studera kroklinjig plan rörelse lite mer, nämligen när partiklar/föremål rör sig i cirkulära banor med konstant fart. Här ska vi ta upp ett annat viktigt specialfall av plan rörelse, nämligen kaströrelse. Kaströrelse plan rörelse I ett kraftfält beror kraften på en partikel enbart på var den befinner sig. Vi kan betrakta gravitationsfältet nära jordytan som homogent. Det betyder att ett föremål med massan m överallt påverkas av tyngdkraften = mg som är konstant både till belopp och till riktning. Tyngdkraften är ju överallt mg och riktad nedåt. Vi kastar iväg en boll snett uppåt med en viss utgångshastighet v0 enligt figur 3. Vi försummar eventuellt luftmotstånd på bollen. Den heldragna linjen i figuren visar bollens bana, den så kallade kastparabeln. Vi kan ange bollens läge vid olika tidpunkter med två koordinater, en x-koordinat i horisontell led och en y-koordinat i vertikal led. När vi försummar luftmotståndet verkar inga krafter på bollen i x-led under rörelsen. I y-led är det endast den konstanta tyngdkraften som verkar. Enligt Newtons andra lag ( = ma ) är accelerationen noll då kraften är noll och accelerationen är konstant då det verkar en konstant kraft. Alltså borde rörelsen i x-led vara likformig (konstant fart) och rörelsen i y- led borde vara likformigt accelererad (konstant acceleration). Det visar sig att vi kan dela upp rörelsen i två oberoende rörelser, en horisontell och en vertikal. Därför delar vi upp hastighetsvektorn i dess komponenter i x-led respektive y-led. Vi anger hastighetskomponenterna med tecken. Den horisontella rörelsen sker med konstant hastighet v x = v x0 = v 0 cos α. Den vertikala rörelsen motsvaras av att bollen kastas rakt uppåt med hastigheten v yo = v 0 sin α vid tiden t = 0. y y v 0y v 0 v y B β v x v α v 0x x x igur 33. Kaströrelse, bollens bana följer den heldragna linjen. Vi ska nu beräkna vilken hastighet bollen har i läge B, vid tiden t efter utkastet då vi känner utgångshastigheten v 0 och vinkeln α: 4 Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse

26 Beräkna utgångshastigheterna: v 0x = v 0 cos α v 0y = v 0 sin α Den horisontella rörelsen är likformig: Hastigheten i x-led vid tiden t blir v x = v 0x x-koordinaten vid tiden t blir x = v 0x t Rörelsen i y-led är likformigt accelererad. Eftersom y-axelns riktning är uppåt och accelerationen är riktad nedåt, blir accelerationen negativ: a = -g. Ekvationerna (8. ) (8.3) ger: v y = v 0y gt y = v 0y t - gt Nu har vi räknat ut läget (x, y) samt hastighetskomposanterna (v x, v y ) när bollen passerar B. Ofta vill man beräkna farten v och vinkeln β istället för hastighetskomposanterna. Pythagoras sats ger då: v = + ; Vinkel β ges av tan β = v x v y v v y x Vi kan nu bestämma bollens läge och hastighet vid vilken tidpunkt som helst under rörelsen under förutsättning att luftmotståndet kan försummas och att bollen inte har skruv (roterar). Luftmotståndet är långt ifrån alltid försumbart. Om vi ska ta hänsyn till luftmotståndet blir beräkningarna komplicerade. I igur 34 nedan visas en datorberäkning av banan för en baseboll med utgångshastighet 50 m/s, med respektive utan, hänsyn till luftmotståndet. Det är tydligt att luftmotståndet spelar stor roll för rörelsen. ör en kulstötare, å andra sidan, är luftmotståndet tämligen försumbart. Med luftmotstånd Utan luftmotstånd igur 34 Resultat av datorberäkning av rörelsen för en baseboll. 5 Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse

27 Exempel 3: En stuntman kör motorcykel utför en brant klippa. Precis på klippkanten är hans hastighet horisontell med beloppet 9 m/s. Bestäm var motorcykeln befinner sig och vilken total hastighet den har 0,50 sekunder efter den lämnat klippkanten. Lösning: y v 0 x v y α v x v igur 34. Läget efter 0,50 s fås direkt ur ekvation.4 x-led: x = v 0x t = {v 0x = v 0 } = 9,0 0,5 = 4,5 m gt 9,8 0,50 y-led: y = (- ) = = -, m Hastighetskomposanterna efter 0,50 s fås med hjälp av ekvation.3 x-led: v x = v 0x = 9 m/s y-led: v y = - gt = -9,8 0,5 = - 4,9 m/s Hastighetens belopp fås med Pythagoras sats v = + = v x v y ( 9,0) + ( 4,9) = 0, m/s vinkeln α = arctan(-4,9/9,0) = - 9 Svar: Motorcykeln befinner sig i (4.5,-.) dvs. den har rört sig 4,5 m i horisontell led och samtidigt fallit, m. Motorcykelns hastighet är 0, m/s och vinkeln α i figuren är 9. 6 Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse

28 Övningsuppgifter K. Beräkna resultanten (storlek och riktning) till krafterna i varje fall nedan: a) b) N 4 N 4 N N c) d) N 3 N 4 N 4 N 4 N e) f) 4 N 3 N 3 N 3 N 4 N N 4 N 4 N 4 N K. Rita av krafterna och bestäm deras resultant. a) b) 6 N 6 N 6 N 45º 0 N 45º 45º 0 N K3. Bestäm resultantens storlek till de två vinkelräta krafterna. a) b) 4 N 5 N N 3 N K4. Dela upp kraften i två vinkelräta komposanter längs de markerade riktningarna (x och y). a) b) y = 58 N 38º x y = 300 N 30º 30º = 300 N 7 x

29 K5. I en punkt angriper krafterna = 00 N, = 0 N och 3 = 40 N. Bestäm resultanten till krafterna om: a) Alla tre är riktade åt samma håll. b) och 3 är motriktade. c) är vinkelrät mot och 3, som är riktade åt samma håll. d) är riktad vinkelrät mot och 3, som är motriktade. e) Om vinklarna mellan och respektive och 3 i tur och ordning moturs är 60 resp. 60. K6. yra stångkrafter i samma plan verkar på en knutpunkt i ett fackverk. Beräkna resultanten till storlek och riktning. 000 N 500 N 500 N 000 N K7. Två krafter, och, är givna av sina komponenter (= koordinater): x = 00 N, y = 00 N, x = 50 N, y = -00 N. Beräkna, samt deras riktningar. K8. Beräkna x- och y-komponenterna för snörspänningen T = 5 kn i figuren. 8

30 K9. Tre av de fyra krafterna i nedanstående figur har storleken 0 N. Den fjärde kraften har storleken 5 N. Beräkna resultanten (storlek och riktning) till de fyra krafterna analytiskt (ej grafisk). 0 N 5 N 60º 60º 0 N 45º 30º 0 N K0. Två av de tre krafterna i nedanstående figur har storleken 5 N. Den tredje kraften har storleken 8 N. Beräkna resultanten (storlek och riktning) till de tre krafterna (analytiskt eller grafiskt) 5,0 N 60º 8,0 N 45º 30º 5,0 N K. yra stångkrafter i samma plan verkar på en knutpunkt i ett fackverk. Beräkna analytiskt (ej grafiskt) krafternas resultant till storlek och riktning. 750 N 400 N 50 N 700 N K. På en liten låda med massa,0 kg verkar de tre krafterna enligt figuren. Krafterna har gemensam angreppspunkt och inga andra krafter verkar på lådan. Beräkna storleken hos resultanten till de tre krafterna i figuren. 5,0 N 60º 30º,0 N 9,8 N 9

31 K3. Tre identiska böcker A, B och C är staplade ovanpå varandra på ett bord. Vardera bokens massa är 0,5 kg. Rita samtliga krafter som verkar på a) boken A b) boken B c) boken C A B C K4. En last på 0000 N skall lyftas med en symmetrisk anordning. Man har två längder på bärlinorna enligt figur. Beräkna dragkrafterna i linorna i de två fallen då lasten befinner sig i jämvikt. K5. En last hänger fast i en lina i punkten C. Lastens tyngd är 000 N. a) Beräkna dragkrafterna i lindelarna CA och CB p.g.a. enbart lasten. b) Hur stor kraft erfordras i horisontell led i C för att en lindel ska bli helt spänningsfri (Det finns två möjligheter)? K6. Med vilken kraft måste mannen dra i repet för att det ska vara jämvikt? Lös uppgiften grafiskt! 30

32 K7. En planka och en låda är i jämvikt enligt figur. Plankans massa är m. Lådans massa är M. Kontaktytan mellan lådan och plankan är friktionsfri (glatt). Mellan lådan och golvet, liksom mellan plankan och golvet, finns friktion. Rita ut de krafter som verkar på lådan respektive de krafter som verkar på plankan! Planka Låda K8. En låda med massan m = 0 kg befinner sig i jämvikt på ett lutande plan enligt figur. Rita de krafter som verkar på lådan och beräkna a) friktionskraften µ b) normalkraften N. m 3 m K9. Beräkna momentet M 0 som P ger kring axeln genom punkten 0 i nedanstående figur. Utnyttja att man kan parallellförflytta P längs sin verkningslinje. a) Parallellförflytta P så att P:s vertikala komposant ger momentet noll. b) Parallellförflytta P så att P:s horisontella komposant ger momentet noll. 3 P = 500 N 4 m K0. Beräkna momentet M B som ger kring axeln genom punkten B i nedanstående figur. 3

33 K. Storleken på alla krafter -6 i figuren nedan är 0 N. a) Beräkna momentet som kraften i figuren nedan ger kring punkten A. b) Beräkna momentet som kraften i figuren nedan ger kring punkten A. c) Beräkna momentet som kraften 3 i figuren nedan ger kring punkten A. d) Beräkna momentet som kraften 4 i figuren nedan ger kring punkten A. e) Beräkna momentet som kraften 5 i figuren nedan ger kring punkten A. f) Beräkna momentet som kraften 6 i figuren nedan ger kring punkten A º 3 45º,0 m A,0 m K. Beräkna momentet som krafterna på den,0 m långa balken i nedanstående figur ger kring axeln genom punkten A. Kraften 0 N angriper i balkens mitt. 0,0 N 0º,0 m 54,9 N 0,0 N A 54,9 N K3. ör att kunna resa flaggstången i figuren måste T ge ett moment kring O på 7 knm. Bestäm T 3

34 K4. iguren nedan visar fyra krafter i xy-planet. Bestäm kraftsystemets resultant. I svaret ska resultantens storlek, riktning och verkningslinje anges. K5. Bestäm den kraft R som kan ersätta de fyra krafter som verkar på balken i figuren. Ange också hur långt från väggen R:s verkningslinje ligger. K6. Ett jämntjockt gungbräde är 6,0 m långt och kan vrida sig kring en axel genom mittpunkten. Två pojkar som väger 5 respektive 35 kg sätter sig längst ut på gungbrädet, en på vardera sidan. Var ska en tredje pojke, som väger 0 kg, sätta sig för att gungan ska väga jämnt? K7. ör att måla en flaggstång har man fällt den till horisontellt läge enligt figuren. Med vilken kraft trycker bocken mot stången? Stångens massa är 30 kg. Rita ut de krafter som verkar på stången. G är flaggstångens tyngdpunkt. 33

35 K8. Bommen AB i figuren är homogen och jämtjock samt vridbar kring ett gångjärn i A. Vad väger den? Ledning: Snörkrafterna är lika stora på båda sidor om blocket. K9. En stav med massan 3, kg och längden,5 m är i jämvikt enligt figuren nedan. Dynamometer Stav 48º P riktionsfri led a) rilägg staven b) Vad visar dynamometern? c) Vilken kraft verkar på staven i P (storlek och riktning)? K30. En tunn homogen stång är vridbar i ena änden. Stången väger 5,5 kg och är 8,0 m lång. På slutet av stången hänger en vikt med massan 30,0 kg. På ¾ :s avstånd från vridningspunkten hålls stången i jämvikt av en lina i vertikalled. a) rilägg stången b) Beräkna kraften i linan. Lina Stång 30 kg K3. örklara följande begrepp: Arbete (Vilken enhet?). Energi (Vilken enhet?). Lägesenergi. Potentiell energi. Nollnivå. Rörelseenergi. Konserveringslag. Energiprincipen. Effekt (vilken enhet?) 34

36 K3. En partikel rör sig enligt nedanstående vt-diagram. Hur långt har den rört sig efter 0 sekunder? K33. En partikel med massan,0 kg rör sig rätlinjigt mellan två punkter i ett horisontalplan enligt nedanstående hastighet-tid-graf (vt-diagram). Partikeln startar från utgångspunkten vid tiden t = 0 s. Bestäm med hjälp av diagrammet: a) Hur lång sträcka partikeln totalt avverkar (0 3 s) b) Hur stor acceleration partikeln har under de första 4,0 sekunderna c) Hur stor acceleration partikeln har under tiden 5,0 s 0,0 s d) Hur stor medelhastigheten är under de 3,0 sekunderna e) Partikelns rörelseenergi efter 7,0 sekunder art v 5 (m/s) Tid t 5 (s) K34. En låda med massan 400 g kastas utför ett lutande plan enligt figuren. Kroppens fart är,0 m/s då den passerar A. Under rörelsen påverkas kroppen av en konstant friktionskraft på,3 N. Avståndet mellan A och B är 5 cm. a) Vilken fart har kroppen då 5 cm den passerar punkten B? b) Hur långt från A befinner sig kroppen när den stannat? A B 30,0 K35. En fotboll, som väger 500 gram, påverkas när två spelare samtidigt sparkar på den av en kraft som varierar med tiden enligt figuren nedan. Vilken hastighet erhåller fotbollen om den ursprungligen var i vila? 35

37 K36. Anta att ett fordon rör sig med konstant hastighet. Hur ser då ett (s-t)-diagram ut? Hur ser ett (v-t)-diagram ut? K37. Anta att ett fordon rör sig likformigt accelererat. Hur ser då ett (s-t)-diagram ut? Hur ser ett (v-t)-diagram ut? K38. Anta att fordonet rör sig med olikformig rörelse, och vi har ett (s-t)-diagram som beskriver rörelsen. Hur avläser vi medelhastighet och momentanhastighet? K39. Hur lyder Newtons andra lag? K40. Hur ser man i ett (hastighet-tid)-diagram att accelerationen är a) noll b) konstant c) positiv d) negativ? K4. Hur räknar man ut vilken sträcka en kropp har åkt om man har hastighet-tid diagrammet för rörelsen? K4. Ett järnvägslok med massan 3,5 ton accelererar, varvid dess hastighet varierar med tiden enligt nedanstående graf. a) Hur stor är den accelererande kraften som loket påverkas av efter 5 s? b) Ange ett närmevärde till hur långt loket har avlägsnat sig från startpunkten vid denna tidpunkt! K43. örklara följande begrepp: Hastighet (Vilken enhet?). Medelhastighet. Vägintervall. Tidsintervall. Likformig och olikformig rörelse. Momentanhastighet. Acceleration (Vilken enhet?) Vektor eller skalär?). Medelacceleration. Momentanacceleration. Retardation. Likformigt accelererad rörelse: K44. Hur är stigtid och motsvarande falltid relaterade till varandra? K45. Vad gäller vid kaströrelse för hastigheten i horisontell respektive vertikal led? K46. Hur tillämpar vi energiprincipen på en kaströrelse? K47. En bil kommer sakta rullande och börjar vid tiden t = 0 accelerera. Den tillryggalagda vägsträckan s meter beror av tiden t sekunder enligt s = t + t. a) Bestäm hastigheten som funktion av tiden t b) När är hastigheten 3 m/s? c) Bestäm accelerationen K48. En kropp rör sig i rät linje så att den på tiden t tillryggalagda vägsträckan är proportionell mot t 3. a) Vilken slutsats kan man dra om accelerationen? Är den konstant? Ökar den? Minskar den? b) Vilken slutsats kan man dra om krafterna som verkar på kroppen? 36

38 K49. En sten kastas ut horisontellt från 0 m höjd över en vattenyta. a) Hur lång tid förflyter från utkastningsögonblicket till dess stenen når vattnet? b) Hur långt ut i vattnet hamnar den? K50. rån ett flygplan på låg höjd (30 m) över marken släpps en postsäck till en isolerad by. Planet flyger horisontellt med farten 40 m/s. Säcken släpps rakt ovanför en stolpe. a) Hur långt från stolpen träffar säcken marken? b) Hur ska man rikta blicken, om man från planet vill se säcken just som den slår ned? K5. En liten kula skjuts iväg från P och träffar punkten R, belägen 0 m i horisontell riktning från P (se figuren). Den horisontella hastighetskomponenten är m/s. a) Hur lång tid behöver kulan från P till R? b) Hur lång tid behöver kulan från P till högsta punkten i banan? c) Hur stor är v y0? d) Beräkna h. K5. En sten kastas rakt uppåt och når,5 m höjd över utgångspunkten, innan den börjar falla nedåt igen. Luftmotståndet är ringa. a) Hur stor är stenens utgångsfart? v Sten Nu kastas stenen på ett annat sätt. Den kastas nu snett uppåt (vinkel 57º mot horisontalplanet) från utgångspunkten P, enligt figuren nedan. Stenens utgångsfart är då 5 m/s och den högsta höjden stenen når över marken (P) är 8,0 m. Bestäm för detta kast: b) Stenens fart i banans högsta punkt. c) På vilken höjd över P är farten 0 m/s? d) Efter hur lång tid träffar stenen marken igen? 5 m/s P 57º 8,0 m 37

39 Uppgifter i ellära K53. Två likadana glödlampor, A och B, är seriekopplade till en spänningskälla med konstant spänning enligt figuren. En voltmeter med stor ("oändlig") resistans mäter spänningen över lampan A. När båda lamporna är hela visar den 8, V. Vad visar voltmetern om a) lampan A är hel men glödtråden i B har brunnit av? b) lampan B är hel men glödtråden i A har brunnit av? K54. Beräkna värdet av en ersättningsresistans till de tre resistorerna i figuren nedan. K55. yra motstånd kopplas som figuren nedan visar. Beräkna kopplingens ersättningsresistans. K56. Strömmen genom 0 Ω-motståndet är 0,30 A. Hur stor är strömmen genom 0 Ω- motståndet? K57. I kretsschemat nedan: a) Beräkna en ersättningsresistans för motstånden på 4, 6 och 0 kω b) Beräkna strömmen genom 5 kω-motståndet. c) Beräkna strömmen genom 0 kω-motståndet. d) Beräkna potentialen i punkten A. e) Beräkna potentialen i punkten B. 38

40 K58. Ett motstånd, vars resistans R ska mätas, ansluts i serie med en amperemeter till en spänningskälla enligt figuren nedan. Amperemeterns resistans är 0,50 Ω. Parallellt med resistorn kopplas en voltmeter, vars resistans är 0,30 MΩ. Instrumentavläsningarna anges i figuren. Bestäm motståndets resistans. Observera att du ska ta hänsyn till att mätinstrumenten inte är ideala. Not: Att mäta enligt figuren ovan brukar kallas inre voltmeterkoppling ( spänningsriktig, dvs. spänningen mäts över R medan strömmen som mäts är genom både resistorn och voltmetern). K59. Hur stor är spänningen över 7,0 Ω motståndet i kretsen nedan? V 3,0 Ω 7,0 Ω,0 Ω 3,0 Ω K60. iguren nedan visar kopplingen inuti en voltmeter som har tre olika mätområden (3V, 5V och 50 V). När voltmetern används så kopplas den ena anslutningen till + och den andra till det önskade mätområdet. Instrumentet ger fullt utslag då strömmen genom motståndet R G = 40,0 Ω är,00 ma. a) Bestäm storleken hos R så att voltmetern ger fullt utslag för mätområdet 3,00 V. b) Bestäm storleken hos R så att voltmetern ger fullt utslag för mätområdet 5,0 V. Använd värdet på R från uppgift a) c) Bestäm storleken hos R 3 så att voltmetern ger fullt utslag för mätområdet 50 V. Använd värdet på R och R från uppgift a) och b). 39

41 K6. Bryggkopplingen enligt figuren nedan används för att mäta resistansen hos en motståndstermometer. Resistansen, Rx, hos termometern ändras när temperaturen ändras. Utspänningen, V, på voltmetern är direkt proportionell mot resistansförändringen. Voltmetern antas ha oändlig resistans så att strömmen genom den är försumbar. R R ε + V R x R 3 De kända värdena är: ε = 0 V, R =,00 kω, R = 500 Ω, R3 = 30,0 Ω. Vid ett visst tillfälle är Rx = 50 Ω. Använd Kirchhoffs spänningslag för att vid detta tillfälle bestämma: a) Strömmen genom motståndet R b) Strömmen genom motståndet R. K6. ett svårt tal Inget av motstånden i figuren nedan får belastas med mer än 3 W. Vilket är det största värde man kan ha på U, utan att man förstör något av de tre motstånden? 40

42 Svar. a) 6 N åt höger b) N åt vänster c) 3 N åt höger d) 0 N e) 3 N åt vänster f) 0N. a) 5 N b) 3 N 3. a) 5N b) 3 N 4. a) 46 N och 36 N b) 60 N och 50 N 5. a) 60 N; b) 40 N; c) 7 N; d) 0 N; e) 80 N N riktad 34, nedåt från negativa x-axeln. 7. = 4 N, riktning 63,4 moturs positiva x-axeln. = N, riktning 63,4 medurs positiva x-axeln. 8. T x = kn, T y = 9 kn 9. Resultanten har storleken,6 N. Riktningen är 33º medurs från positiva x- axeln. 0. Resultantens storlek är 7,0 N i riktning 57 enligt figur (sydost).. 97 N? riktad 44,5 nedåt från negativa x-axeln. 7,0 N 3 a) Normalkraft 4,9 N b) Normalkrafter 4,9 N och 9,8 N c) Normalkrafter 9,8 N och 4,7 N 4. 9,3 kn respektive 5,77 kn 5. a) 900 N resp. 730 N b) 730 N åt vänster eller 000 N åt höger N N, 79 N 9. ca. 83 Nm i båda fallen 0. 8 knm. a) 0; b) 0 Nm medurs; c) 0 Nm moturs; d) 0 Nm medurs, e) 0; f) 0 Nm medurs.. 0,0 Nm 3. 8,7 kn 4. 0 N i positiv x-riktning längs y = 5 5.,5 kn i negativ y-led m från väggen. 6.,5 m från mittpunkten 7. 5,0 0 N 8. 8,7 kg a) b) 7,36 0 N 3-3. Partikeln har rört sig 9 m 33 a) 30,5 m b) 0,60 m/s c) 0 m/s 34 a),4 m/s b),3 m 35. Hastigheten blir 0 m/s 36 4: - 4. a) Accelererande kraft är 800 N b) Loket har flyttat sig 8,8 m :. 47. a) +4t b) När t=3 s c) 4 m/s 48. a) Den ökar b) Deras resultant måste växa proportionellt mot tiden. 49. a),0 s b) 8 m 50. a) 99 m b) Lodrätt nedåt 5. a) 5,0 s b),5 s c) 4,5 m/s, d) 3 m 5. a) 5,0 m/s b) 8, m/s c) 6,4 m d),6 s 53. a) 0; b) 6,4 V Ω Ω 56. 0,8 A 57. a) 5,0 kω; b),0 ma; c) 0,50 ma; d) +,0 V; e) - 3,0 V 58.,3 kω 59. 8,4 V 60. a) 960 Ω; b),0 k Ω; c) 35 k Ω 6. a) 4,65 ma ; b) 8,9 ma 6. U får högst vara 9 V 4