KOMIHÅG 2: Kraft är en vektor med angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P. = r PA

Transkript

1 1 KOMIHÅG 2: Kraft är en vektor me angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P = r PA ", r P =momentpunkt, r A angreppspunkt, r PA = r A " r P. - Oberoene av om angreppspunkten flyttas längs verkningslinjen. öreläsning 3: ANALYS och ÖRENKLING av KRATSYSTEM Två elementära (grunläggane) kraftsystem: Ensam kraft: Ensam kraft kan inte förenklas, bara flyttas längs sin verkningslinje. Ensamt KRATPAR: Ensamt kraftpar kan inte ersättas me ensam kraft. Exempel: Betrakta två lika, men motriktae, krafter som angriper ett föremål me xy-axlar på följane fyra sätt: y O x Kraftparens egenskaper? Vilka kan vria? Åt vilket håll?

2 2 Ett kraftpars totala kraftsumma = 0, men et totala kraftmomentet är i allmänhet inte noll. Me angrepp i r 1 och r 2 ger kraftparet ett moment: M O = r 1 " + r 2 " # ( ) ( ) " = r 1 # r 2 Byte av momentpunkt från O till P? M P = ( r 1 " r P ) # + r 2 " r P ( ) # = M O ( ) #(") = r 1 " r 2 Oänligt många olika par av krafter kan skapa samma moment=kraftpar (par). Storleken (abslutbeloppet) av momentet beräknas enklast me formeln: M = =kraftens belopp, =avstån mellan kraftparets verkningslinjer. Vriningsriktningen kan förtyligas me en bågforma pil för vriningar (moturs/meurs) i ett plan. Ett kraftpar ligger allti i ett plan och vriningsriktningen i et planet kan beskrivas me en bågforma pil! örenkling av komplicerae system av krafter: Hur än ett system av många krafter ser ut så är et viktiga för ess verkan på stela kroppar hur totalkraften ser ut och hur en totala vriane förmågan M P ser ut, för någon lämplig momentpunkt P. Därför kan alla kraftsystem ersättas me en ensam kraft och ett ensamt (kraftlöst) kraftpar me moment M P i en vala punkten P.

3 Speciellt vi JÄMVIKT. Jämviktslag (Eulers lagar): för alla val av P : 1) = 0, 2) M P = 0. I praktiken räcker et att välja en lämplig momentpunkt P för beräkning av kraftmomentet. Se slutet av enna föreläsning. EKVIMOMENTA kraftsystem Definition: Ekvimomenta kraftsystem är såana att eras totala kraftmoment är lika för gotyckligt val av momentpunkt. Systemen har samma kraftsumma (totalkraft). 3 M= De båa kraftsystemen i figuren är ekvimomenta. Det vänstra kraftsystemet har bara en kraft, et högra kraftsystemet har en lika stor kraft angripane i en annan punkt me ett kompenserane kraftparsmoment. Reuktionspunkt: angreppspunkt för et förenklae kraftsystemet, vs RESULTANTEN lera val av reuktionspunkt kan förekomma. Ett förenklat, men ekvimoment system av en ensam kraft + ett ensamt kraftpar i en val reuktionspunkt kallas resultant(-systemet) för enna reuktionspunkt.

4 Problem: örenkla följane plana kraftsystem till ett ekvimoment kraft+kraftpar system i origo. Om möjligt hitta även en speciell reuktionspunkt så att inget kraftpar behövs. 4 Lösning: först sean 2 2 M=-2 ENKRATS-RESULTANT Ett kraftsystem som kan reuceras till enast en ekvivalent kraft sägs ha en enkraftsresultant (kraftresultant).

5 5 Problem: inns et fler enkraftsresultanter som är ekvivalenta me ett givet kraftsystem.??? Svar: Ja!! Längs en linje av reuktionspunkter, som ligger på kraftsummans verkningslinje. Hur bevisas etta? Problem: Har et plana kraftsystemet i figuren en enkraftsresultant? Rita ut en i så fall. Lösning: Ja! Se figuren:

6 6 Krafternas vriane förmåga beror av momentpunkten. Hur ska man välja momentpunkt? inns et enkla val? Till exempel: Om man letar efter en enkraftresultant för ett kraftsystem måste man hitta en (moment-)punkt som kraftsystemet inte kan vria kring! Sambansformeln for kraftmoment. Byte av momentpunkt: Antag att vi har ett system av krafter och kraftpar. Detta kan beskrivas av ett antal krafter me respektive angreppspunkter: r j, j { }, är j =1, 2,..., N. I momentpunkten O mäter vi et totala momentet N M O = # r j " j, j=1 för N krafter utplacerae me angreppspunkter r j. I momentpunkten P mäter vi et totala momentet N M P = $ r j " r P, för samma krafter. j=1 ( ) # j Skillnaen blir i etta fall: N N M O " M P = $ r j " r j + r P = # r P " j. j=1 ( ) # j j=1 ( ) Detta uttryck kan lätt förenklas om vi inför totala kraften N = " j. j=1 Ty nu ser vi sambanet: M O = M P + r P ". (Sambansformeln för M) Kom ihåg att r P = r OP! Ifall man vill jämföra anra val av momentpunkter.

7 7 Problem: Bestäm enkraftsresultanten för e två verkane krafterna på balken. 8 kn 2 m 4 m 5 kn Lösning: Den ekvimomenta enkraftsresultanten måste vara lika stor som kraftsumman av e ursprungliga krafterna, vs y =-3 kn. Antag att en angriper på avstånet x från väggen. Då måste gälla att totala momenten m a p väggfästet är lika: y x = 5" 2 knm# 8 " 6 knm = #38 knm x =12.67 m HOPPSAN! Enkraftsresultanten kanske inte allti är förknippa me en fysikalisk punkt! Anmärkning: Enkraftsresultanten kan ju inte vria map sin egen angreppspunkt. Det måste å även gälla et ursprungliga kraftsystemets totala moment i en angreppspunkten.

8 8 KOMIHÅG 3: Ekvimomenta kraftsystem: Lika kraftsumma och momentsumma. Sambansformeln: M O = M P + r P ". eller M Q = M P + r QP ", för momentpunkter Q, P. Enkraftsresultant. öreläsning 4: Enkraftsresultant finns inte allti! Antag att et finns en enkraftsresultant som angriper i r A. Då kan enna ensamma kraft återskapa momentet M O för et ursprungliga kraftsystemet. Dvs: M O = r A ". ör kraftsystem me enkraftsresultant gäller sålees: M O " (kryssprouktens egenskap). Egenskapen är ett använbart villkor för att testa om ett kraftsystem har en enkraftsresultant eller inte. Hur hittar man placeringen r A av en kraftresultant? ör att bestämma enna behöver man räkna ut kraftsumman och momentsumman av et ursprungliga kraftsystemet. Vi kan allti använa origo som momenpunkt. Sean ställer vi upp ekvationen: M O = r A "

9 9 Använ komponenter i ekvationen. ör ett plant kraftsystem förenklas vektorekvationen till en 'skalära' ekvationen för z-riktingens komponent (upp ur xy-planet): x A y " y A x = M O Detta är ett samban för en linje i ( x, y )-planet, men et räcker att hitta en punkt på linjen, t.ex är y = y A = 0. Alltså har vi resultantens läge i planet givet av " r A = M % O $,0 # ', samt längs verkningslinjen. y & Komihåg: En krafts angreppspunkt kan fritt väljas längs kraftens verkningslinje!! JÄMVIKTER Definition: öremål i jämvikt: Det finns en icke-roterane och icke-accelererane referensram (vs inertialsystem) är föremålet befinner sig i vila. Jämviktslag: Jämvikt kräver (növänigt) för gotycklig resultant 1) = 0 2) M P = 0 (alla momentpunkter P) Detta är förutsättningen för att ett föremål ej börjar röra sig = börjar translation+rotation.

10 10 Jämviktsproblem 3 kn A 1.2 m 2.4 m B Problem: En homogen och likformig balk har en massa /läng given av 60 kg/m. Bestäm reaktionskrafterna i stöpunkterna A och B. Lösning: ritt vribar le i A representeras av en s.k. enkraftsresultant i planet. ri rullkontakt i B representeras av en vertikal normalkraft. Totala tyngkraften kan skrivas som en enkraftsresultant W som angriper i mitten på balken. 3 obekanta! 3 ekvationer krävs! rilägg balk! A y A x 2 B W 3/2 Jämvikt kräver: " A x = 0, " A y + B # #W = 0, A!! W( 3 / 2) + B( 3) = 0 och är vi infört: =1.2 m, W = 60 " 9.81" 3.6 N = 2120 N Vi löser ut obekanta ur e två sista ekvationerna: A y = W, B = W

11 11 A α N A N B mg B Problem: Ett glatt homogent klot me massan m vilar mot två plana håra ytor enligt figuren. Bestäm kontaktkrafternas storlek. Lösning: Kraftanalys: Det finns ingen friktion vi kontaktytorna enligt uppgift, enast tyngkraften och normalkrafterna beaktas. Vi bestämmer N A > 0 och N B > 0 på följane sätt. Den plana jämvikten kräver: N A cos" # mg = 0, N A sin" # N B = 0, vs N A = mg cos", N B = mg tan".

12 12 Typiska resultanter Leer - Glatt le: - Ej glatt le: Inre spänningskrafter De krafter som uppkommer i och verkar på en snittyta mellan två elsystem i samma kropp representeras av två motriktae resultanter, som verkar på varera elsystem. j M M R R

13 13 Problem: Betrakta en smal, homogen balk i jämvikt som är infäst i en betongvägg. Den synliga elen av balken har läng L och massa m. Rita krafter på en elen av balken som ligger bortom snittet sett från väggen! Lösning: Vi frilägger (ritar krafter, kraftmoment och ientifierar essa) en högra (fria) elen av balken. M R L-x W W betecknar tyngkraft. R och M utgör resultant från en anra elen av balken som angriper i snittet.