K-uppgifter Strukturmekanik/Materialmekanik

Transkript

1 K-uppgifter Strukturmekanik/Materialmekanik K 1 Bestäm resultanten till de båda krafterna. Ange storlek och vinkel i förhållande till x-axeln. y 4N 7N x K 2 Bestäm kraftens komposanter längs x- och y-axeln. y P = 25 kn 30 x K 3 Bestäm resultanten till de båda krafterna. Ange storlek och vinkel i förhållande till x-axeln. y 16 kn 12 kn 50 x

2 K 4 En balk belastas med en jämnt utbredd last. Ersätt den utbredda lasten med en statiskt ekvivalent punktlast. Storlek, riktning och angreppspunkt skall anges. q 0 = 5 kn/m 2.5 m K 5 En balk belastas med en utbredd last som varierar linjärt mellan 0 och 5 kn/m längs balken. Ersätt den utbredda lasten med en statiskt ekvivalent punktlast. Storlek, riktning och angreppspunkt skall anges. 5 kn/m 2.5 m K 6 En balk belastas med en jämnt utbredd last längs en del av längden. Ersätt den utbredda lasten med en statiskt ekvivalent punktlast. Storlek, riktning och angreppspunkt skall anges. q L L

3 K 7 Bestäm momentetav lastenp = 50 N kring punkten A för de två fallen nedan. a) 50 N b) 50 N A A mm 200 mm K 8 Två klot med massorna m 1 = 3 kg och m 2 = 5 kg hänger i två linor varav den översta är fäst i taket. (a) Frilägg det undre klotet. (b) Bestäm kraften i den undre linan. (c) Frilägg de båda kloten inklusive linan mellan dem. (d) Bestäm kraften i den övre linan. m 1 m 2 K 9 En låda hänger i två linor som är fästa i taket (a) Frilägg lådan och bestäm kraften i linan CD. (b) Frilägg punkten C. (c) Bestäm kraften i linorna AC och BC. 1.6 m 0.8 m A C B 0.8 m D m = 20 kg

4 K 10 Två personer sitter på en gungbräda. De har placerat sig så att gungbrädan står stilla i horisontellt läge enligt figuren. Personen till höger väger 45 kg. Hur mycket väger personen till vänster? m = 45 kg A 1.5 m 1.2 m K 11 En balk belastas med en jämnt utbredd last längs en del av sin längd samt med en punktlast med riktning enligt figur. (a) Frilägg balken. Upplaget i A är en led som kan överföra kraft i horisontalled och vertikalled (fixlager). I B kan balken glida fritt i horisontalled så här kan endast kraft överföras i vertikalled (rullager). (b) Beräkna den horisontella upplagskraften i A genom att ställa upp en horisontell jämviktsekvation. (c) Beräkna den vertikala upplagskraften i A genom att ställa upp en momentjämvikt kring punkten B. (d) Beräkna den vertikala upplagskraften i B genom att ställa upp en momentjämvikt kring punkten A. (e) Kontrollera tidigare resultat genom att ställa upp en vertikal jämviktsekvation och verifiera att vertikal jämvikt råder. 10 kn/m kn A B 4 m 2 m 2 m

5 K 12 En träregel med tvärsnittsmåtten 45 mm 70 mm är belastad med en normalkraft på 28 kn som angriper i tvärsnittets tyngdpunkt. Bestäm normalspänningen i regeln och illustrera spänningen i en figur. N = 28 kn K 13 En stålprofil HEA 200 är utsatt för en konstant normalspänning på 180 MPa över hela tvärsnittsytan. Hur stor är normalkraften i tvärsnittet? Se Appendix C för tvärsnittsdata. K 14 Figuren visar ett fundament till en pelare i en byggnad. Fundamentet är kvadratiskt med sidlängden 2 m och belastas med 280 kn från pelaren. Fundamentets egentyngd är 35 kn. Bestäm tryckspänningen mellan fundament och markyta. Antag att spänningen är jämnt fördelad. 280 kn fundament 35 kn markyta 2 m

6 K 15 Figuren visar en beräkningsmodell för en konsol till en trähylla. Stängerna i konsolen skall ha kvadratiskt tvärsnitt och alla skall ha samma dimension. Bestäm minsta möjliga dimension om tryckspänningen i träet högst får uppgå till 21 MPa och dragspänningen högst får uppgå till 14 MPa m A B 10 kn 0.35 m C K 16 Ett stag av aluminium belastas av en dragkraft enligt figuren. Staget är 3.8 m långt och har en diameter på 2 mm. Elasticitetsmodulen är 75 GPa. Om spänningen inte får överskrida 60 MPa och största tillåtna förlängning av staget är 3 mm, hur stor kan då lasten P vara? P P K 17 En 14 m lång balk i en bro har tvärsnittsarean A = mm 2, längdutvidgningskoefficienten α = C 1 och elasticitetsmodulen E = 210 GPa. Bron är utförd med rörelsefogar för att kunna ta upp längdändringar p.g.a. temperaturändringar. Detta betyder att bron kan längdändras helt fritt. Antag att balken har monterats vid en temperatur på +5 C. (a) Bestäm töjningen i balken om temperaturen minskar till 25 C. (b) Bestäm töjningen i balken om temperaturen ökar till 40 C. (c) Bestäm balkens längdändring vid en temperaturändring från 5 till 40 C (d) Om balken hade monterats med perfekt passning och rörelsefogar inte hade funnits (d.v.s. antag att balken är fullständigt förhindrad att röra sig), vilken spänning hade då uppstått i balken vid 40 C? (e) Vilken normalkraft motsvarar detta?

7 K 18 En räl har tvärsnittsarean A = 63.7 cm 2, längdutvidgningskoefficienten α = C 1 och elasticitetsmodulen E = 210 GPa. Antag att rälen är förhindrad att röra sig p.g.a. att den sitter fast i slipers samt att den är spänningsfri vid en temperatur på +5 C. (a) Bestäm spänningen i rälen om temperaturen minskar till 25 C. (b) Bestäm spänningen i rälen om temperaturen ökar till 40 C. (c) Bestäm normalkraften i rälen vid 40 C. (d) Vilken längdändring skulle en temperaturändring från 5 till 40 C ge för 1 km räl som var fri att röra sig? K 19 Figuren visar en sliper som belastas av ett tågs hjulaxel. Antag att trycket q från ballasten mot slipern är jämnt fördelat. (a) Bestäm genom jämvikt hur stort trycket från ballasten på slipern är uttryckt i N/m. (b) Bestäm tvärkrafts- och momentdiagram för slipern. 110 kn 110 kn q [mm] 2500

8 K 20 I figuren visas två fall där en balk utsätts för en last som ger upphov till böjning. (a) Skissa hur balkarna kommer att deformeras. (b) Ange neutrala lagrets läge. Vad gäller för spänningen i neutrala lagret? (c) Blir det drag- eller tryckspänning vid balkens övre yta? (hitre yta i b) Illustrera spänningens riktning i en figur. (d) Blir det drag- eller tryckspänning vid balkens undre yta? (bortre yta i b) Illustrera spänningens riktning i en figur. (e) Skissa balkens momentdiagram och bestäm maxmomentet för fall a) med hjälp av appendix B. (f) I de undre figurerna har balkarna snittats omedelbart före lasten och frilagts. Upplagskraft och tvärkraft har ritats in i den riktning de verkar. Rita in det obekanta momentet i snittet i positiv riktning, använd högerhandsregeln. Kring vilken axel böjer momentet? Vilket index skall momentet ha? (g) Bestäm momentet genom momentjämvikt kring z-axeln respektive y- axeln. a) P b) y P y P/2 L/2 z L y P/2 x z x L/2 P/2 z L y x P/2 z x

9 K 21 En fritt upplagd balk belastas med jämnt utbredd last enligt figuren. Vilken HEA-profil krävs om normalspänningen högst får vara 235 MPa? Balken bär i styva riktningen. 15 kn/m 3.6 m K 22 En fast inspänd tvåvåningspelare i betong är belastad med en centrisk last på 400kNipelartoppsamtmedenexcentrisklastpå300kNvidförstabjälklaget. Pelarens tvärsnitt är rektangulärt med måtten 0.3 m 0.5 m. (a) Bestäm normalkraft och böjmoment i pelarens inspänningssnitt. (b) Bestäm normalspänningens fördelning vid inspänningssnittet och visa resultatet i figur. 400 kn 3 m 300 kn 0.5 m 3 m 0.5 m

10 K 23 En betongmur utsätts för vattentryck på ena sidan. Betongen har densitet 2400 kg/m 3 och vattnet har densitet 1000 kg/m 3. (a) Bestäm största drag- och tryckspänning vid murens inspänningssnitt då vattnet når till ovankanten av muren, d.v.s. d = 1.8 m. (b) Vilket vattendjup d kan tillåtas utan att det uppstår dragspänning i inspänningssnittet? 0.3 m 1.8 m d K 24 Enpelaremedkvadratiskttvärsnitt mm 2 belastasmedenexcentrisk last P = 15 kn. (a) Beräkna spänningen längs kant 1 och 2 om e = 25 mm. (b) Beräkna maximal excentricitet e så att ingen del av tvärsnittet blir dragen. Hur stor blir maximal tryckspänning för detta värde på e? (c) Inom vilket område i tvärsnittet kan man placera en axiell last på en pelare eller vägg om man vill undvika dragspänning, t.ex. för att materialet har låg draghållfasthet? e 1 P =15 kn 2

11 K 25 Ett balktvärsnitt har måtten 45 mm 145 mm. (a) Tvärsnittet utsätts för en tvärkraft V y = 5 kn. Bestäm skjuvspänningen vid snitt 1, 2 och 3. (b) TvärsnittetutsättsförentvärkraftV z = 1.5kN.Bestämskjuvspänningen vid snitt 1. z y a) b) z y mm 45 K 26 En fritt upplagd balk belastas med en jämnt utbredd last på 10 kn/m. Balken är utförd i limträ med tvärsnittsmåtten 95 mm 315 mm. Hur stor kan spännvidden L maximalt vara om normalspänningen högst får uppgå till 15 MPa och skjuvspänningen högst får uppgå till 1.7 MPa. 10 kn/m L

12 K 27 Ett rektangulärt balktvärsnitt har bredden b och höjden h. Största tillåtna skjuvspänningärτ till.visaattdenstörstatvärkrafttvärsnittetklararär Aτ till 1.5, där A är tvärsnittsarean. h b K 28 Ett balktvärsnitt enligt figuren utsätts för en tvärkraft på 300 kn. (a) För att bestämma skjuvspänningen vid neutrala lagret behövs det statiska momentet. Beräkna det statiska momentet på två sätt: 1) Betrakta övre halvan av tvärsnittet som avskjuvad area och bestämm tyngdpunktens läge för denna yta. 2) Bestäm istället statiska momentet genom att lägga ihop det statiska momentet för två enkla delytor; övre flänsen samt övre halvan av livet. (b) För att bestämma skjuvspänningen behövs tvärsnittets yttröghetsmoment.bestämävendettapå tvåsätt.1)delaupptvärsnittetienkladelytor och använd Steiners sats. 2) Beräkna tröghetsmomentet genom att ta tröghetsmomentet för ett rektangulärt tvärsnitt med måtten mm 2 och dra ifrån tröghetsmomentet för de två rektanglar som består av luft. (c) Bestäm den maximala skjuvspänningen i tvärsnittet. (d) Bestäm ett approximativt värde på maximala skjuvspänningen genom att använda τ = V/A liv mm

13 K 29 En HEA 220-balk är upplagd och belastad enligt figuren. Materialet är elastisktidealplastiskt med flytspänning σ s = 355 MPa. (a) Bestäm hur stor lasten P kan vara om ingen plasticering tillåts i balken. Utnyttja appendix B. (b) Bestäm hur stor lasten P kan vara om flytleder accepteras. Antag här ett moment-krökningssamband enligt figur P 5 m 2.75 m K 30 En konsolbalk är belastad med en punktlast i konsolspetsen enligt figuren. Balken är en HEA300-profil med elasticitetsmodul 210 GPa. Bestäm med hjälp av appendix B utböjningen i konsolspetsen samt 1.0 m från infästningen. 50 kn 2.5 m K 31 En fritt upplagd balk belastas med en jämnt utbredd last samt ett punktmoment i vardera balkänden enligt figuren. Balken har I = m 4 och E = 13 GPa. (a) Bestäm balkens momentdiagram. (b) Bestäm balkens mittnedböjning. 13 kn/m 5 knm 10 knm 4.8 m

14 K 32 En stålpelare HEA 160 är ledat infäst upptill och nedtill och belastas med en centrisk axiell last enligt figuren nedan. Materialet har elasticitetsmodulen E = 210 GPa. Bestäm den kritiska lasten för följande två fall. (a) Pelaren är stagad i veka riktningen. Detta innebär att utböjning och därmed knäckning är förhindrad i veka riktningen. Stagning i veka riktningen illustreras symboliskt i den högra delfiguren och kan i praktiken uppnås t.ex. genom att pelaren är inbyggd i en vägg som förhindrar knäckning i väggens plan. (b) Pelaren är inte stagad i någon riktning.

15 K 33 Pelare som avses vara raka och vertikala blir ibland inte det. Dessa imperfektioner orsakar extra belastningar. (a) Studera pelarna i delfigur a och b. Uppstår moment i pelarna? Bestäm isåfall det största momentet och var det uppstår. (b) Studera pelarna i delfigur c och d. Uppstår moment i pelarna? Bestäm isåfall det största momentet och var det uppstår. (c) Studera pelarna i delfigur c och e. Uppstår det horisontella upplagskrafter i A och B? Bestäm isåfall deras storlek, t.ex. genom att frilägga pelaren och ställa upp en momentjämvikt kring A. Andra ordningens teori beaktas ej och vinkeln α antas vara liten.

16 Svar till K-uppgifter K N 29.7 K 2 P x = kn P y = kn K kn 98.0 K kn, riktad nedåt, 1.25 m från vänster ände. K kn, riktad nedåt, 1.67 m från vänster ände. K 6 0.4q 0 L, riktad nedåt, 0.2L från vänster ände. K 7 (a) M = 10.0 Nm K 8 (b) M = 8.67 Nm F 2 m 1 F 1 m 1 m 1 g m 2 m 2 m 2 g m 2 g F 1 = N F 2 = N K 9 b) a) F CD F AC F BC 20 g F CD F CD = N F AC = N F BC = N

17 K kg K 11 (a) (b) R Ax = 25 kn (c) R Ay = kn (d) R By = kn K 12 s = 8.9 MPa K 13 N = 969 kn (A = 5383 mm 2 ) K 14 σ = 78.7 kpa K mm (N AB = N AC = 10 kn, N BC = 14.1 kn drag: 26.7 mm, tryck: 25.9 mm) K 16 P 186 N (σ: P 188 N, δ: P 186 N)

18 K 17 (a) ǫ = ( <0 krympning) (b) ǫ = ( >0 utvidgning) (c) δ = 5.9 mm (d) σ = 88.2 MPa (e) N = 1570 kn (tryck) K 18 (a) σ = 75.6 MPa (b) σ = 88.2 MPa (c) N = 562 kn (tryck) (d) δ = 0.42 m K 19 (a) q = 88.0 kn/m (b) kn kn kn kn V [kn]

19 K 20 (a) Neutrala lagret tryck drag drag tryck (b) σ = 0 i neutrala lagret (c) Tryckspänning i balkens längsriktning (d) Dragspänning i balkens längsriktning (e) x M PL 4 (f) (g) M z = PL 4 M y = PL 4

20 K 21 HEA 120 (W el m 3 ) K 22 (a) N = 700 kn, M = 150 knm, drag till vänster (b) 0.5 m 7.33 MPa MPa K 23 (a) σ drag = 593 kpa (på vattensidan) σ tryck = 678 kpa (b) d = 0.73 m K 24 (a) σ 1 = 0.75 MPa (N = 15 kn, M = knm) σ 2 = 3.75 MPa (b) e = 16.7 mm σ 2 = 3.00 MPa (c) Lasten kan placeras inom den mellersta tredjedelen av tvärsnittet, den s.k. kärnytan. K 25 (a) snitt 1: τ = 1.15 MPa snitt 2: τ = 0.86 MPa snitt 3: τ = 0 MPa (b) τ = 0.34 MPa K 26 L 4.34 m Skjuvspänning: L 6.78 m K 28 (a) Aȳ = mm 3 (b) I = mm 4 (c) τ = 169 MPa (d) τ 176 MPa K 29 (a) P kn M A = 0.96P, M B = 0.71P, M e = 182.8kNm (b) P kn K 30 v B = 6.8 mm (v B < 0 utböjning nedåt) v 1 = 1.4 mm M p = knm, första flytled vid P = kn

21 K 31 (a) M(x) [knm] M mitt = 29.9 knm x [m] (b) v mitt = m K 32 (a) 3228 kn (b) 1152 kn K 33 (a) b) M = PαL vid A (b) d) M = Pe på mitten (c) e) R Ax = R Bx = Pα