TENTAMEN I KURSEN BYGGNADSMEKANIK 2

Transkript

1 UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Byggteknik TENTAMEN I KURSEN BYGGNADSMEKANIK Datum: Tid: Antal uppgifter: 4 Max poäng: 40 Lärare: Annika Moström och Fredrik Häggström Hjälpmedel: Byggkonstruktion: Regel- och formelsamling (Studentlitteratur) Byggformler och tabeller (Liber) Miniräknare Matematisk formelsamling. Tips: För full poäng ska svaren motiveras med lämpliga beräkningar. Redovisa gjorda antaganden och beräkningsgång noggrant. Ange källa till använda formler. Sätt ut enheter. Saknas information i en uppgift så antag ett rimligt värde och motivera antagandet. Tentamen: Byggnadsmekanik 1 ( 9 )

2 1. Ett plattjärn är fastskruvad enligt gur 1 (alla mått i mm). Hur stor kan lasten P vara om man inte vill att någon skruv ska utsättas för skjuvkraft på mer än 40 kn? (8 p) Figur. Konsolbalk av plattjärn.. I guren nedan syns en stålbalk av HEA 60-prol som är fast inspänd i A och fritt upplagd i B. Balken belastas med ett moment M 0 på 50 knm enligt guren. Stålet har E- modulen 10 GPa och sträckgränsen 75 MPa. Bestäm nedböjningen mitt på balken genom att härleda den utifrån elastiska linjens ekvation. Du får med andra ord inte använda formler från typfallen i formelsamlingen. (6 p) Figur. Stålbalk HEA60. Tentamen: Byggnadsmekanik ( 9 )

3 3. En betongplatta med bredd 1, m och tjocklek 80 mm samverkar med en stålbalk HEB 40. Betongen antas ha tryckhållfasthet, σ cc = 5 MP a, elasticitetsmodul, E c = 30 GP a och draghållfastheten försummas. Stålets ytspänning är σ sy = 80 MP a och elasticitetsmodulen E s = 10 GP a. (a) Beräkna momentkapacitet för det sammansatta tvärsnittet enligt elasticitetsteori. (8 p) (b) Beräkna momentkapacitet för det sammansatta tvärsnittet om tvärsnittet antas vara genomplasticerat. (8 p) 4. En platta i betong belastas med en jämnt utbredd last 18 kn/m. Plattan är 100 mm tjock, 6.0 m lång och 5.0 m bred. Plattan är fast inspänd längs en långsida och en kortsida och fritt upplagd för övrigt. Betongen antas ha tryckkraftkapacitet, f cc = 5 MP a och elasticitetsmodul, E c = 30 GP a. (a) Beräkna nedböjning mitt under plattan med hjälp av diagram. (b) Beräkna plattans stödmoment med hjälp av diagram. (c) Beräkna plattans stödmoment med hjälp av Tabellmetod. (d) Beräkna den totala upplagskraften för den fast inspända långsidan. ( p) ( p) ( p) (4 p) Tentamen: Byggnadsmekanik 3 ( 9 )

4 Formler i byggnadsmekanik Approximativ metod för andra ordningens teori för pelare M = M 0 + P v II (1) Transformation av spänning v II = v I 1 P P cr () σ n (α) = σ x + σ y + σ x σ y cos(α) + τ xy sin(α) (3) τ t (α) = σ x σ y sin(α) + τ xy cos(α) (4) Huvudspänningar och huvudspänningsriktningar σ 1, = σ x + σ (σx y σ ) y ± + τ xy (5) tan α 1 = σ 1 σ x, tan α = σ σ x τ xy τ xy (6) (σx σ ) y τ max,min = ± + τ xy (7) tan(α) = σ x σ y τ xy (8) Tentamen: Byggnadsmekanik 4 ( 9 )

5 Brotthypoteser Eektivspänning enligt von Mises eller σ vm e = 1 ((σ 1 σ ) + (σ σ 3 ) + (σ 3 σ 1 ) ) (9) σe vm = (σx + σy + σz σ x σ y σ y σ z σ z σ x + 3τxy + 3τyz + 3τzx) (10) Eektivspänning enligt von Mises i plant spänningstillstånd σ vm e = Eektivspänning enligt Tresca (σ x + σ y σ x σ y + 3τ xy) (11) σ T e = max( σ 1 σ, σ σ 3, σ 3 σ 1 ) (1) Eektivspänning enligt Tresca i plant spänningstillstånd σe T = (σx + σy σ x σ y + 4τxy) (13) Samband last-tvärkraft-moment-vinkeländring-utböjing Utböjning: v(x) (14) Vinkeländring: Böjmoment: Tväkraft: Last: Elastiska linjens ekvation θ(x) = dv dx (15) M(x) = EI dθ dx = EI d v dx (16) V (x) = dm dx = d dx EI d v dx = EI d3 v (om EI konstant) (17) dx3 q(x) = dv dx = d dx EI d v dx = EI d4 v (om EI konstant) (18) dx4 Elastiska linjens ekvation för balk med konstant tvärsnitt: d dx EI d v = q(x) (19) dx EI d4 v = q(x) (0) dx4 Tentamen: Byggnadsmekanik 5 ( 9 )

6 Tvärsnitt sammansatt av era olika material Formler: Normalkraft: σ ix = E i N nj=1 E j A j (1) Momentbelastning: Neutrala lagret: y tot = nj=1 y j E j A j nj=1 E j A j () Normalspänning σ ix = E im z y nj=1 E j I zj (3) Skjuvspänning τ yx = V mi=1 i (E i A i y i ) ( n j=1 E j I zj )b (4) Moment Beräkning av punktkrafter M z = d v n dx ( E j I zj ) (5) j=1 Kraft i enskild punkt av yttre kraft F v = P n (6) där P är yttre kraft och n antal punkter Kraft i x-led i enskild punkt av moment F Mx = My i r i (7) där M är momentet och y i avstånd i y-led Kraft i y-led i enskild punkt av moment F My = Mx i r i (8) där M är momentet och x i avstånd i x-led r i = (x i + y i ) (9) Tentamen: Byggnadsmekanik 6 ( 9 )

7 Dynamik Fjäderkonstanter Parallellkopplade fjädrar k tot = k 1 + k (30) Seriekopplade fjädrar 1 k tot = 1 k k (31) Odämpad egensvängning mü + ku = P (3) Egenvinkelfrekvens Homogen lösning k ω 0 = m (33) u h = C 1 cos ω 0 t + C 1 sin ω 0 t (34) Partikulär lösning Egenfrekvens Dämpad egensvängning u p = P k f 0 = 1 T p = ω 0 π (35) (36) mü + c u + ku = P (37) Dimensionslös dämpningskoecient Homogen reell lösning ζ = c km (38) u(t) = e ζω 0t (C 1 cos ω 1 t + C sin ω 1 t) (39) Egenfrekvens där ω 1 = ω 0 1 ζ f 1 = ω 1 π (40) Påtvingad svängning Homogen reell lösning u(t) = e ζω 0t (C 1 cos ω 1 t + C sin ω 1 t) (41) Dynamisk förstoringsfaktor u max u s = 1 1 ω ω 0 (4) Tentamen: Byggnadsmekanik 7 ( 9 )

8 Diagram från A7 Fyrsidigt upplagda plattor - nedböjning och moment Tentamen: Byggnadsmekanik 8 ( 9 )

9 Tresidigt upplagda plattor - nedböjning och moment Beräkning av upplagskrafter för plattor Tentamen: Byggnadsmekanik 9 ( 9 )