M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,"

Lisa Andersson
för 4 år sedan
Visningar:

1 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 1 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 31

2 Lärare Ove Edlund Föreläsningar för Luleå, Malmfälten och Filipstad Övningar för Luleå och Malmfälten e-post: Rum: E191 Åsa Widmark Övningar i Filipstad Eva Lövf Lektioner och övningar i Skellefteå Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 2/ 31

3 Vektorer Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. A v B Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 3/ 31

4 Definition En vektor v är mängden av riktade sträckor, som har egenskapen att två riktade sträckor AB och CD båda tillhör v om och endast om de kan överföras till varandra genom parallellförflyttning. Man tar alltså ingen hänsyn till var de två vektorerna befinner sig när man gör denna jämförelse. Varje riktad sträcka i mängden utgör en representant för vektorn. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 4/ 31

5 Terminologi Riktad sträcka AB eller #» AB. Fotpunkt, spets I uttrycket AB sägs A vara dess fotpunkt och B dess spets. Nollvektor Om A = B i vektordefinitionen så får vi nollvektorn 0. Längd Med längden av en vektor menas längden av en av dess representanter. Längden betecknas v eller v. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 5/ 31

6 Räkneoperationer för vektorer u u+v Två grundläggande operationer: v Addition, Multiplikation med skalär. u u+v v u tu Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 6/ 31

7 Subtraktion Vektorer kan subtraheras: u v = u + ( 1) v. u-v u -v v Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 7/ 31

8 Enhetsvektor En vektor e med egenskapen e = 1 kallas en enhetsvektor. Att normera en vektor v görs genom att dividera med vektorns längd: e = ˆv = v v Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 8/ 31

9 Exempel Låt O, A, B vara tre punkter i rummet. Antag vidare att OA = u och OB = v. Om M är mittpunkten på u A M AB så gäller att OM = 1 (u + v). 2 Visa det O v B Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 9/ 31

10 Basbegreppet Ett koordinatsystem i planet består av en punkt O och en bas {e x, e y }. Vi skall göra en intuitiv beskrivning av det mycket viktiga basbegreppet. v y e y O y e x v v x (x,y) x Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 10/ 31

11 y Plana fallet Låt e x, e y vara två icke-parallella vektorer i planet. v y e y v (x,y) O e x v x x Då kan varje vektor v i planet skrivas v = v x + v y = x e x + y e y, x, y R Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 11/ 31

12 3-dim. fallet 3-dim. fallet Låt e x, e y, e z vara tre vektorer som inte ligger i ett plan. Då kan varje vektor v i rummet skrivas v = x e x + y e y + z e z, x, y, z R Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 12/ 31

13 Bas, koordinater Planet Två icke-parallella vektorer e x, e y utgör en bas för [ ] x vektorerna i planet. I uttrycket v = x e x + y e y är y koordinaterna för vektorn v m. a. p. basen {e x, e y }. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 13/ 31

14 Rummet Tre vektorer e x, e y, e z, som inte ligger i samma plan, utgör en bas för vektorerna i rummet. I uttrycket x v = x e x + y e y + z e z är y koordinaterna för vektorn v z m. a. p. basen {e x, e y, e z }. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 14/ 31

15 Annorlunda uttryckt Basen {e x, e y } i planet består av två icke-parallella vektorer. Dessa vektorer är linjärt oberoende. En godtycklig vektor v i planet kan skrivas v = x e x + y e y. Basen {e x, e y, e z } i rummet består av tre vektorer som inte ligger i samma plan. Dessa vektorer är linjärt oberoende. En godtycklig vektor v i rummet kan skrivas v = x e x + y e y + z e z. Uttryck av typen x e x + y e y kallas en linjärkombination av e x resp. e y. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 15/ 31

16 Anmärkning Basen är ortogonal om basvektorerna är inbördes ortogonala. Är dessutom basvektorernas längder lika med 1, har vi en ortonormerad bas eller en ON-bas. När en ON-bas {e x, e y } är definierad, förenklas beteckningarna och kalkylerna avsevärt. [ ] Man skriver normalt v = x e x + y e y på den kortare x formen v =. y Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 16/ 31

17 Exempel [ u1 ] Antag att u = och v = u 2 [ ] u1 + v u + v = 1. u 2 + v 2 [ ] tu1 tu =. tu 2 [ v1 ] (m.a.p. en ON-bas.) Vi får: v 2 Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 17/ 31

18 Koordinater Vi betraktar ett rätvinkligt koordinatsystem i planet. Antag att vektorn u = AP har sin fotpunkt i punkten A : (a, b) och sin spets i punkten P : (p, q). y A:(a,b) r u Q:(p-a,q-b) P:(p,q) O x Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 18/ 31

19 Då gäller att vektorn AP har koordinaterna [ ] p a AP = u =. q b y A:(a,b) r u Q:(p-a,q-b) P:(p,q) O x Längden av vektorn AP blir med Pythagoras sats AP = u = (p a) 2 + (q b) 2. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 19/ 31

20 Anmärkning Vi noterar att vektorn AP är ekvivalent med ortsvektorn r = OQ, som har fotpunkt i origo och spets i punkten Q. y A:(a,b) r u Q:(p-a,q-b) P:(p,q) O x Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 20/ 31

21 Exempel Låt u = [ ] 1 och v = 2 Beräkna 2u + 3v. Beräkna v. [ ] 4. 3 Bestäm en enhetsvektor med samma riktning som v. Betrakta punkterna P : (1, 2) och Q : (4, 3). Bestäm avståndet mellan P och Q. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 21/ 31

22 Exempel C Betrakta triangeln ABC. Antag att 2 AP = PC samt att CQ = 1 4 CB. Bestäm koordinaterna till vektorn PQ med avseende på basen {AB, AC}. A P Q B Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 22/ 31

23 vslutande exempel Avslutande exempel Inedanstående I figur figur är är a, a, b bresp. c, dc, två d två baseriplanet. i planet. 1 Vilka 1 Vilka koordinater har har c c respektive d med d med avseende på på basena, b? a, b? 2 Bestäm 2 Bestäm koordinaterna för för vektorn vektorn u med u med avseende på på basen basen c, d. c, d. d b u a c Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 23/ 31

24 Läs och lös på egen hand Låt ABCD vara en oregelbunden fyrhörning i planet. Om A väljs som origo och vektorerna AB och AD väljs till basvektorer får C koordinaterna (2, 3), dvs. AC = 2 AB + 3 AD. Vilka koordinater får A om C väljs till origo och vektorerna CB och CD väljs till basvektorer? A D B C Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 24/ 31

25 Lösningsförslag tjuvkika inte A D B C Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 25/ 31

26 Ur förutsättningarna får vi: AC = 2AB + 3AD BC = AB + 3AD AD = AC + CD Detta ger att AC = 2(BC 3(AC + CD)) + 3(AC + CD). Förenkling ger AC = 2BC 6AC 6CD + 3AC + 3CD. Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 26/ 31

27 Vi löser ut AC: 4AC = 2BC 3CD dvs AC = 1 2 BC 3 4 CD Slutligen får vi: CA = 1 2 CB CD, dvs. koordinaterna för punkten A är ( 1 2, 3 4 ) med avseende på basen (CB, CD). Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 27/ 31

28 Läs och lös på egen hand Uttryck en godtycklig enhetsvektor u i två olika ON-baser. ONbasen {v 1, v 2 } är vriden vinkeln α i förhållande till ON-basen {e 1, e 2 }. Enhetsvektorn u bildar vinkeln β med basvektorn v 1. v 2 e 2 β u α v 1 e 1 Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 28/ 31

29 Lösningsförslag tjuvkika inte M.a.p. ON-basen {v 1, v 2 } gäller v 2 e 2 u u = cos β v 1 + sin β v 2. (1) β α v 1 e 1 M.a.p. ON-basen {e 1, e 2 } gäller u = cos(α + β) e 1 + sin(α + β) e 2. (2) Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 29/ 31

30 Vi skriver ett samband mellan de bägge baserna: Vi sätter in (3) i (1) och får u = v 1 = cos α e 1 + sin α e 2, v 2 = sin α e 1 + cos α e 2. (3) = cos β (cos α e 1 + sin α e 2 )+ + sin β ( sin α e 1 + cos α e 2 ) = (Nästa sida) Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 30/ 31

31 = (cos α cos β sin α sin β) e (sin α cos β + cos α sin β) e 2. Vi har med elementär vektorräkning fått de (välkända?) additionsformlerna, genom att vi identifierar slututtrycket med (2). u = cos(α + β) e 1 + sin(α + β) e 2 = = (cos α cos β sin α sin β) e 1 + +(sin α cos β + cos α sin β) e 2 Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 31/ 31

Relevanta dokument

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på