Stelkroppsdynamik i tre dimensioner Ulf Torkelsson. 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och kinetisk energi

Transkript

1 Föreläsnng 4/10 Stelkroppsdynamk tre dmensoner Ulf Torkelsson 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och knetsk energ Låt oss beräkna tröghetsmomentet för en goycklg axel som går genom en fx punkt O en kropp. Detta är I = m r,, 1) där r, är det vnkelräta avståndet från axeln tll masspunkten. V antar att axelns rktnng defneras av enhetsvektorn ˆn, då gäller där θ är vnkeln mellan r och ˆn. V kan skrva ortsvektorn och ˆn kan v uttrycka med hjälp av dess rktnngscosner Detta ger oss r, = r sn θ = r n, ) r = x ˆx + y ŷ + z ẑ, 3) ˆn = cos αˆx + cos βŷ + cos γẑ. 4) r, = r n = y cos γ z cos β) + z cos α x cos γ) + x cos β y cos α) = y + z cos α + x + z cos β + x + y cos γ y z cos β cos γ z x cos γ cos α x y cos α cos β. 5) Alltså blr tröghetsmomentet I = cos α m y + z + cos β m x + z + cos γ m x + y cos β cos γ m y z cos γ cos α m z x cos α cos β m x y. 6) V kan tolka de tre första summorna som tröghetsmomentet krng x-, y- och z-axeln, och beteckna dem som I xx, I yy och I zz. För de tre följande summorna talar v om tröghetsprodukterna I xy = I yx = I yz = I zy = I zx = I xz = m x y 7) m y z 8) m z x 9) 10) För en kontnuerlg massfördelnng övergår summorna tll ntegraler av formen I zz = x + y ) dm. 11) 1

2 V kan nu skrva tröghetsmomentet krng axeln som I = I xx cos α + I yy cos β + I zz cos γ + I yz cos β cos γ + I zx cos γ cos α + I xy cos α cos β. 1) Detta samband kan uttryckas enklare med tröghetsmomentstensorn I = I xx I xy I xz I yx I yy I yz. 13) I zx I zy I zz V skrver ˆn som kolumnmatrsen ˆn = cos α cos β cos γ, 14) och v kan sedan skrva tröghetsmomentet krng axeln ˆn som matrsprodukten I = ˆnIˆn, 15) där ˆn är transponatet av ˆn. Rörelsemängdsmomentet är L = r m v, 16) där så att L = v = ω r, 17) m r ω r ). 18) Enlgt räknereglerna för vektorprodukten har v r ω r ) = r ω r r ω), 19) så att L = m r ω m r r ω), 0) vlket v kan skrva om på tensorform som ) ) [ ) )] L = m r ω m r r ω = m r 1 m r r ω, 1) där kan ses som defntonen av enhetstensorn 1 ω = ω, ) 1 = + jj + kk. 3) Produkten ab kallas för dyadprodukten och genererar en andra ordnngens tensor från två vektorer. Antag att vektorerna a och b ges av a = a x a y, 4) a z och b = b x b y b z. 5)

3 Då ges dyadprodukten av Det går att vsa att ab = a xb x a x b y a x b z a y b x a y b y a y b z a z b x a z b y a z b z ) ) I = m r 1 m r r ger tröghetsmomentstensorn. Alltså kan v skrva Rotatonsenergn är. 6) 7) L = I ω. 8) T rot = 1 m v v = 1 ω r ) m v = 1 ω r m v ) = 1 ω r m v ) = 1 ω L. 9) Den totala knetska energn är summan av rotatonsenergn och den knetska energn för masscentrum T = T rot + T trans = 1 ω L + 1 v cm p, 30) där L är rörelsemängdsmomentet krng masscentrum. Huvuröghetsaxlar Det går alltd att dagonalsera tröghetsmomentstensorn, det vll säga man kan alltd htta tre vnkelräta axlar 1, och 3, så att I 1 = I 3 = I 31 = 0, så att v får tröghetsmomentstensorn I I = 0 I 0 31) 0 0 I 3 och ω = ω 1, ω, ω 3 ). I detta fall får v de enklare sambanden I = I 1 cos α + I cos β + I 3 cos γ, 3) och L = I 1 ω 1 ê 1 + I ω ê + I 3 ω 3 ê 3 33) T rot = 1 I1 ω1 + I ω + I 3 ω3. 34) Exempel: Bestäm huvuröghetsaxlarna och tröghetsmomentstensorn för ett rätblock med sdorna a, b och c. Lösnng: Axlarna måste vara rätblockets symmetraxlar. Krng dessa axlar kan v beräkna tröghetsmomenten på det vanlga vset, så v har I 1 = m b + c ) 1 35) I = m a + c ) 1 36) I 3 = m b + a ) 1 37) 38) Exempel: Bestäm huvuröghetsaxlar och tröghetsmomentet för ett pngsracket. Lösnng: V beskrver pngsracket som en tunn crkelskva med raden a och massan m/ samt en tunn stav med längden a och massan m/. Pngsracket har en symmetraxel 1 som 3

4 är parallell med hanaget. Axlarna och 3 går genom den punkt där skva och hanag möts. Axeln 3 är vnkelrät mot skvan, och axeln måste då lgga skvans plan. I varje rktnng så är tröghetsmomentet I = I stav + I skva. Då har v I = 1 m 3 I 3 = 1 3 a) + m m a) + 1 a I 1 = m 4 a = ma 8 a 39) 4 + m a = 31 1 ma 40) m + m a = 17 1 ma 41) Antag att en kropp roterar krng en av sna huvuröghetsaxlar, säg 1, då har v L = I 1 ω 1 ê 1. I detta fall är alltså rörelsemängdsmomentet parallellt med rotatonsaxeln, vlket nte gäller allmänhet. Om rörelsemängdsmomentet nte sammanfaller med rotatonsaxeln så kommer L att varera med tden, vlket kräver att den roterande kroppen utsätts för ett yttre vrdmoment. 3 Eulers rörelseekvatoner för stela kroppar I ett nertalsystem gäller rörelseekvatonen 4) N = dl, 43) men L är enklast att uttrycka ett koordnatsystem orenterat längs med kroppens huvuröghetsaxlar, vlket nte är ett nertalsystem, eftersom det roterar med kroppen. Sambandet mellan tdsdervatan ett fxt och ett roterande koordnatsystem är dl ) fxed = dl ) rot + ω L. 44) Därför kan v skrva rörelseekvatonerna ett roterande koordnatsystem som ) dl N = + ω L. 45) På matrsform kan v skrva ekvatonerna som N 1 N = I 1 ω 1 I ω + ω ω 3 I 3 I ω 3 ω 1 I 1 I 3 ). 46) N 3 I 3 ω 3 ω 1 ω I I 1 ) Börja med att betrakta en kropp som är tvngad att rotera krng en fx axel med konstant vnkelhastghet. I så fall är ω 1 = ω = ω 3 = 0, som ger rot N 1 = ω ω 3 I 3 I 47) N = ω 3 ω 1 I 1 I 3 ) 48) N 3 = ω 1 ω I I 1 ) 49) Om rotatonen sker krng huvuröghetsaxeln, tll exempel 1 så har v ω = ω 3 = 0 och ω 1 är konstant. Detta ger oss att N 1 = N = N 3 = 0. Detta är skälet tll att man balanserar blhjul. Genom att justera hjulets massfördelnng, så kan man få att en av hjulets huvuröghetsaxlar sammanfaller med hjulaxeln. 50) 4

5 4 En stel kropps fra rotaton Betrakta en stel kropp som nte påverkas av något yttre vrdmoment. rörelsemängdsmomentet är konstant, det vll säga I så fall gäller det att L L = I 1 ω 1 + I ω + I 3 ω 3 = konstant. 51) I avsaknad av ett yttre vrdmoment så måste också rotatonsenergn vara bevarad, vlket ger T rot = ω L = I 1 ω 1 + I ω + I 3 ω 3 = konstant. 5) Ekvatonerna 51) och 5) beskrver två ellpser med halvaxlarna I1 1 : I 1 : I3 1 och I 1/ 1 : I 1/ : I 1/ 3, respektve. Vnkelhastghetsvektorn ω är begränsad att röra sg längs med skärnngskurvan mellan dessa ellpser. Det fnns två ntressanta specalfall; om ω är parallell med huvuröghetsaxeln med det största eller mnsta tröghetsmomentet så blr skärnngen en punkt, och ω är då fx, det vll säga v har en stabl rotaton. Däremot så är en rotaton krng axeln med det mellanlggande tröghetsmomentet nte stabl 5