För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen

Transkript

1 Knemak vd roaon av sela kroppar Inledande knemak för sela kroppar. För de vå lnjerna, och, fguren bredvd gäller a deras vnkelposoner, θ och θ, kopplas hop av ekvaonen Θ Θ + β Efersom vnkeln β är konsan (lnjerna lgger på en sel kropp) får v vnkelhasghes- och vnkelacceleraonssambanden Θ & Θ & & & Θ Θ Och då lnjerna och är hel godycklga vsar dessa enkla samband a varje del av en sel kropp roerar med samma vnkelhasghe Θ & ω och har samma vnkelacceleraon Θ & α. Observera a roaonscenrum för kroppen ne behöver lgga lnjeras skärnngspunk, sambanden gäller ändå! Vd roaon krng en axel gäller som föru s Θr där s är båglängd, r är rade och Θ är vnkel. v rω där v är lnjära hasgheen, r är raden och ω är vnkelhasghe [rad/s]. Andra vanlga må på roaonshasgheen är.ex. varvale n [varv/mn]. rα a Där a är lnjära acceleraonen, r är raden och α är vnkelacceleraonen [rad/s ]. P. Carlsson

2 För allmän, plan rörelse gäller (bland anna) följande En allmän, plan rörelse (dvs. en rörelse som bara försggår e plan) kan ses som sammansa av en ren ranslaon och en roaon run en fx axel. I fguren ovan har kroppen en godycklg plan rörelse som vsas ll vänser ( va vb ). Denna rörelse kan beskrvas som summan av den rena ranslaonen menfguren och den rena roaonen krng en fx axel fguren ll höger (mosvarande samband gäller även för en kropps acceleraon). P. Carlsson

3 Ex. Sorleken på den absolua hasgheen av punk A på e personblsdäck är v A m/s då punk A är den poson som vsas fguren. Vlken hasghe v 0 har blen samma ögonblck och hur sor vnkelhasghe ω har däcke om de rullar uan a slra? Svar: v 0 8,49 m/s, ω 6, rad/s Foograf av e rullande däck P. Carlsson 3

4 Rörelsemängdsmomen -Impulsmomen På samma sä som man defnerar rörelsemängden p mv för en parkel lnjär rörelse, kan man defnera rörelsemängdsmomene L med avseende på en vss axel z som går genom punken O. L r p där L är en vekor som går vnkelrä u från plane. Dea kan också ( de vådmensonella falle) skrvas som L z pd mvd där L z är vekorn för rörelsemängdsmomene (som allså går vnkelrä mo x-y-plane från punken O) och d är vnkelräa avsånde mellan p mv och punken O. an kan se L z som e sors momen där rörelsemängden mv mosvarar krafvekorn F och d på vanlg sä är vnkelräa avsånde mellan rörelsemängden mv och momenpunken O. P. Carlsson 4

5 Derverar v rörelsemängdsmomene med avseende på den får v ( en någo förenklad härlednng) dl d dv ( mvd ) m d mad d d d men på vanlg sä gäller a F ma vlke nsa ger dl d mad Fd eller dl d som omskrve ger d dl och, efer negrerng, d dl L L mv d mv d d mv d mv d mv d + d mv d vlke är mpulsmomenlagen m.a.p. en vss axel (allså mosvargheen ll mpulslagen vd rälnjg rörelse). Lagen säger a de llförda mpulsmomene m.a.p. en fx axel är lka med ändrngen rörelsemängdsmomene m.a.p. samma axel. P. Carlsson 5

6 Lagen för rörelsemängdsmomene - omenlagen Från a föru behandla kroppar som parklar (uan a a hänsyn ll deras usräcknng rymden) ska v nu llämpa vad v lär oss om rörelsemängdsmomene på en kropp, sammansa av många små parklar. Kroppen bldar vad man brukar kalla e parkelsysem. En godycklg parkel med massan m på (vnkelräa) avsånde r från roaonsaxeln har den lnjära hasgheen v r ω, rkad enlg fguren. Parkelns bdrag ll rörelsemängdsmomene m.a.p. z-axeln är L m v r m rωr m r ω Kroppens oala rörelsemängdsmomene run z-axeln får v genom a summera över samlga ngående parklar L L m r ω ω m r där summan mr har få e ege namn, kroppens massröghesmomen I z (en vanlg, alernav beecknng, för a sklja de från de besläkade yröghesmomene är J z ). assröghesmomene I mosvarar kroppens massa m vd roerande rörelse, och som v ser ovan är de alld knue ll en besämd roaonsaxel. P. Carlsson 6

7 Uan a göra beräknngar för olka fall kan v konsaera: assröghesmomene får olka värden beroende på vald roaonsaxel. Kroppar med samma massa kan ha olka massröghesmomen för en vss roaonsaxel. Ju längre bor från roaonscenrum en del-parkel hamnar, deso sörre nverkan på massröghesmomene får den (beror på avsånde kvadra). Varför drar en sprner upp underbene så nära låre när bene är lufen under e lopp? Värden för massröghesmomene I hämas, lksom yngdpunkslägen, ur abell. Går v llbaka ll urycke för oala rörelsemängdsmomene för en kropp med cke försumbar usräcknng kan v allså skrva L I ω där massröghesmomene I defneras som anngen I m r dm. I mr eller P. Carlsson 7

8 ed dessa beecknngar får mpulsmomenlagen run en vss axel z följande form för en kropp med cke försumbar usräcknng: d L L I ω I ω (Om kroppen ne by form under roaonen är I I I och ändrngen rörelsemängdsmomene mosvaras av I(ω - ω ). Resulae av de pålagda mpulsmomene blr allså en ändrng roaonshasgheen ω). Derverar v rörelsemängdsmomene vd en vss dpunk m.a.p. den får v sambande dl d enlg dgare. ed L I ω får v allså dl d d & d ( I ω) I ω I α eller I α vlke ugör den vkga momenlagen som är mosvargheen ll Newons andra lag, F ma, vd roerande rörelse. Newons andra lag kopplar hop acceleraoner och krafer vd lnjär rörelse medan momenlagen kopplar hop momen och vnkelacceleraoner vd roerande rörelse. Observera a båda fallen kan förekomma samdg, den ena lagen uesluer ne på någo sä a den andra också gäller! I den här formen gäller momenlagen bara run yngdpunken eller run en fx roaonsaxel (för andra axlar llkommer fler ermer momenekvaonens högerled). P. Carlsson 8

9 Ex. Hur sor är massröghesmomene m krng den cenral belägna roaonsaxeln z för de förbundna l/ l/ massorna m och 3m? Sången mellan massorna har längden l och z kan berakas som vklös och massorna behandlas som parklar. 3m Svar: I ml Ex 3. Svänghjule fguren har massan 00 kg och en yerrade av 530 mm. Beräkna hur sor vnkelacceleraon α svänghjule får när den belasas med krafen 0g enlg fgur. Hur sor är vnkelhasgheen efer 5 s? Svar: α 3,49 m/s P. Carlsson 9

10 Förflynngssasen för massröghesmomen Seners sas Hur gör man om man söker värde för massröghesmomene I för en annan axel än den som fnns formelsamlngen? Nedansående bld är en del av abellen läroboken, s Uan bevs meddelas här a massröghesmomene I för en annan axel än en som går genom kroppens yngdpunk fås ur sambande I I + md där I är massröghesmomene för den nya axeln, I är massröghesmomene för en parallell axel genom yngdpunken m är kroppens massa och d är de vnkelräa avsånde mellan de båda, parallella axlarna. Ur formeln ovan kan man dra slusasen a massröghesmomene har s lägsa värde axlar som passerar yngdpunken (m och d har alld posva värden). Ex 4. Sämmer sambande för den smala, raka sången abellen ovan? (Tp-axeln går genom sångens m). P. Carlsson 0

11 Energlagen vd roerande rörelse För.ex. e rullande hjul, som både rör sg framå och roerar, säs den kneska energn hop av vå komponener enlg T T Translao + T n Roaon där T T Translaon Roaon mv Iω 0 med fgurens beecknngar. V får allså T mv0 + Iω Observera a den hasghe som räknas T Translaon är yngdpunkens hasghe v och a massröghesmomene I urycke för T Roaon ska vara de massröghesmomen som hör ll en axel genom yngdpunken. I de fall där roaon sker krng en fx axel z faller försås T Translaon bor urycke för den kneska energn och I ersäs med massröghesmomene krng akuell roaonsaxel z: T I ω. ed denna modferng av urycke för kneska energn (rörelseenergn) gäller energlagen som föru, dvs. När en kropp förflyas från e läge ll e anna, så är ändrngen den kneska energn lka med de arbee som har uräas av samlga krafer på kroppen. T + W T P. Carlsson

12 Ex 5. En skdåkare pendlar med sn arm som vsas fguren när han för fram saven för e ny ag under e lopp. Beräkna hur sor reakonskrafen axeln (som sn ur ger en sörre normalkraf mo snön) blr om han låer armen pendla under nverkan av sn egen yngd från sllasående läge ll läge 3. Armens vnkel θ mo horsonalplane är, för enkelhes skull, läge θ 0 o och läge 3 θ 3 90 o. Armen längd l är 0,7 m, yngdpunken lgger 0,4l från axeln, massan är 5 kg och röghesraden (räknad från axeln) är k 0,43l (vlke medför a I axel mk ). Ex 6. En jojo rullar fr ner på s snöre under nverkan av enbar yngdkrafen. Beräkna hur sor hasghe jojon har efer a ha rör sg 0,5 m från sllasående. Jojon:s röghesmomen run yngdpunksaxeln I G, kgm, massan m 85 gram, r cm och r 5 cm. Svar: v 0,85 m/s P. Carlsson

13 Konserverng av rörelsemängdsmomen Hur bär sg en konsåkerska å för a varera roaonshasgheen under en prue? Hur kan en smhopperska roera snabb under mdelen av hoppe, medan hon näsan slua roera när hon slår vaenyan? Varför roerar laan överkroppen å mosa håll som underkroppen (vänserbene) under en spark med full kraf? P. Carlsson 3

14 I samlga fall handlar de om rörelsemängdsmomenes konserverng! Rörelsemängdsmomene konserveras (bevaras) under följande fall Om F:s verknngslnje alld går genom en axel z som går genom punken O (se fgur) konserveras rörelsemängdsmomene m.a.o. axeln z. Inge momen uppsår! När en parkel påverkas av krafer vars momensumma alld är noll med avseende en vss fx axel z. I dea fall kommer parkelns rörelsemängdsmomen m.a.p. den axeln a vara konsan. Dea efersom som med 0 ger d L L d 0 L L eller L L alernav mv d mvd För en kropp med cke försumbar usräcknng gäller enlg dgare sambanden d I ω L L 0 I ω I ω I ω P. Carlsson 4

15 Ex 7. En konsåkare uför en prue där han börjar sn roaon med armarna usräcka enlg fgur och har då en roaonshasghe av n varv/s. Genom a slue av prueen föra n armarna så de sräcks lodrä, ä umed kroppen, mnskar han s massröghesmomen från I 4,9 kgm ll I, kgm. Beräkna hur snabb roaon han har läge när armarna är sräcka uefer kroppen. Frkon mellan skrdskor och s försummas. ännskokroppens massröghesmomen I fguren anges relava värden för massröghesmomene I för olka kroppssällnngar och roaonsaxlar. P. Carlsson 5

16 er exempel där rörelsemängdsmomenes konsans är nblandad Slalomsväng I olka delar av svängen har åkaren olka sora I vlke påverkar roaonshasgheen ω. I början av svängen djup sällnng ( 4I), reser sg upp under svängen ( I) och fördubblar då sn nledande roaon. I slue av svängen nedsjunknng gen, mnskar därmed roaonen när han lämnar svängen och kan läare syra n ny åkrknng. Längdhopp: I början av hoppe; kroppen böjd en båge (beroende på hoppsl). Vd landnng; pendlng framå med benen, vlke kräver samdg moroaon överkroppen. P. Carlsson 6