En ALM modell med minimering av CVaR och krav på tillväxt. Tobias Anglevik

Transkript

1 En ALM modell med mnmerng av CVa och krav på llväx av Tobas Anglevk

2 Absrac In hs paper we develope a basc Asse-Lably Managemen model where asses mach he lables ae of reurns are randomly generaed wh Mone Carlo smulaon These raes of reurn descrbe possble evens n he fuure The porfolo s mnmzed wh subjec o consrans on growh n a lnear program As a rsk measure we use Condonal Value-a-sk The model s adaped o he Swedsh Church penson fund and s formulaed afer her needs and demands The resul s presened n a porfolo allocaon o mee hese demands Sammanfanng Jag har uveckla en Asse Lably Managemen modell där llgångarna machas mo skulderna Avkasnngar på llgångarna slumpas fram med Mone Carlo smulerng Dessa avkasnngar beskrver möjlga händelser framden Porföljen mnmeras e lnjärprogram med avseende på rsken där man samdg har önskemål om llväx Som rskmå använder jag Condonal Value a sk Modellen är anpassad ll Svenska Kyrkans pensonskassa och har formuleras efer deras behov och krav esulaen preseneras form av hur porföljen ska allokeras för a nå upp ll dessa krav

3 Acknowledgemens I would lke o hank my supervsor Ulf Brännlund, a he nsuon of Mahemacs KTH, for always gvng me he gudance when needed Ulf s remarks and help has been nvaluable I would also lke o hank professor Boualem Djehche, a he nsuon of Mahemacal Sascs, KTH, for makng possble o complee my repor

4 1 ILEDIG 5 11 BAKGUD 5 12 SYFTE 5 2 ITODUKTIO 6 21 LOTTIG 6 22 OPTIMEIG 6 23 VALBAA PAAMETA 9 24 TIDSEIE OCH ESTIKTIOE 1 3 MODELLE11 31 CODITIOAL VALUE AT ISK, CVA11 32 MODELLBESKIVIG12 33 ESULTAT15 34 POGAMSTUKTU 19 4 SLUMPGEEEIG21 41 ALLMÄT MOTE CALO SIMULEIG 22 5 OPTIMEIGSVILLKO23 51 JÄMVIKTS SAMBAD23 52 BASVILLLKO MIIMEIG AV ISK IVESTEIGSMÅL25 55 ÖVIGA BIVILLKO 26 6 FOMALISEIG28 61 DEFIITIOE POBLEMUPPSTÄLLIG 3 7 ESULTAT TILLGÅGA VAIEA, ÖVIGA PAAMETA Ä FIXEADE31 72 ATALET SLUMPIGA VAIEA, ÖVIGA PAAMETA Ä FIXEADE34 73 ATALET TIDSPEIODE VAIEA, ÖVIGA PAAMETA Ä FIXEADE MAGIALE VAIEA, ÖVIGA PAAMETA Ä FIXEADE 4 75 ISKE VAIEA, ÖVIGA PAAMETA Ä FIXEADE ÄTA PÅ SKULDE VAIEA, ÖVIGA PAAMETA Ä FIXEADE 46 8 DISKUSSIO49 EFEESE 51 APPEDIX 53 A1 MATLAB POGAMMEIGSKOD 53 A2 GLPK POGAMMEIGSKOD 56

5 1 Inlednng 11 Bakgrund En del pensonskassor placerar dag en sor del av llgångarna sasoblgaoner pga solvensregler som uppkomm enlg EU-jänsepensonsdrekv 1 De eferfrågar alernava lösnngar där llgångarna machas mo skulderna och där de samdg önskar a öka avkasnngen och forfarande ha en accepabel nvå på rsk Efer a ha var konak med olka pensonskassor har behove av en ALM-analys uppmärksammas För a undersöka vad som eferfrågades en ALM-analys gjordes en nervju med Anders Granberg, admnsrav chef, på Svenska Kyrkans pensonskassa Av nervjun framgck a de vll se alernava lösnngar för hur de kan macha deras llgångar mo deras skulder De framgck vlka värdepapper som modellen ska a hänsyn ll och som får förekomma deras porfölj Han påpekade a de prmära måle är a mnmera rsken och sekundär vll man öka avkasnngen om de anser a möjlgheen fnns Han poängerade a de är nresserade av e verkyg som kan a fram e beslusunderlag Vdare beonade han nresse av a erav prova olka alernav och ha lämplg rsknvå på egen hand Slusaser efer nervjun kunde v llsammans sammanfaa följande sju punker och som ugör grunden för denna ALM-modell: Mnmera rsken och samdg om möjlg öka avkasnngen 2 Välja hur lång dshorson sam hur noggrann analysen ska vara Anpassa analysen ll olka skulder, räna på skulder och llgångar Möjlghe a användaren själv får besäma nvå på rsk Möjlghe a erav pröva olka scenaron så a Svenska kyrkans pensonskassa själva kan få olka beslusunderlag och dra egna slusaser Vlka värdepapper som ska ngå analysen esrkon av fasgheer så a de maxmal uppar 1% av porföljen 12 Syfe Med nervjun som ugångspunk har jag skapa en ALM-modell som möjlgase mån llgodoser Svenska Kyrkans önskemål Syfe med modellen är a besvara Svenska Kyrkans önskemål och a presenera resula på e pedagogsk sä 1 Se referenslsa, Fnansnspekonen, arklar från D och DI 2 I lnjärprogrammerng kan man anngen mnmera rsken eller maxmera avkasnngen Paramerarna sår mosasförhållande ll varandra

6 2 Inrodukon En användare får lldela relevana värden på paramerar beroende på förusänngar och mål Modellen är uppbyggd sådan a olka ufall slumpas fram vd olka dpunker och får beskrva den framda händelseuvecklngen Med dea som grund opmeras scenarerna e lnjärprogram med avseende på målfunkon och bvllkor och en opmal allokerad porfölj preseneras vd varje dpunk Opmerngsresulaen ugör e beslusunderlag för huruvda användaren vll öka llväxmåle och på så sä vngas a a mer rsk 21 Lonng Varje värdepapper porföljen anas vara normalfördelad och ufrån hsorsk daa slumpas I s resula T s peroder Slumpnng sker genom Mone Carlo smulerng, där de slumpade ufallen av porföljens värdepapper har en kovaransmars som överrenssämmer med kovaransmarsen som är skaad från de hsorska daa De slumpade ufallen kan olkas som slumpvägar och beskrver möjlga händelser fram ll och med den T 22 Opmerng Jag har ugå från en opmerngsmodell som är formulerad som e lnjärprogram Opmerngsmodellen är framagen av Erk Bogenof, H Edwn omejn och Sanslav Uryasev [2] och modellen mnmeras premen för en pensonsfond Jag har ändra målfunkon, bvllkor, paramerar och varabler För a på e enkel se ge en nrodukon av lnjärprogramme säller jag upp en endmensonell allmän modell som ne beror av den Den allmäna modellen speglar hur llväxmåle mplemmeneras modellen samdg som man vll mnmera rsken vlke är cenral suden Jag nroducerar följande varabler och paramerar: x n = Tlllgång n (varabel) = äna på nveserng n ufall (sokassk varabel) r n X = Tllgångarna vd sar (parameer, besäms av användaren) L = Sorlek på skulden (parameer, besäms av användaren) 1 M = Margnalen 2 vd den T (parameer, besäms av användaren) Vd varje dsperod, srävar man efer a llgångarna är sörre än eller lka med skulden, dvs vd en dsperod gäller (1 rn ) xn L, n1 med llräcklg sor sannolkhe (221) 1 Alernav kan skulden ses som en sokassk varabel Efersom modellen är en förenklng ses här skulden som konsan med fas reglerad räna 2 Margnalen vd den = beecknas M

7 Dea går dock ne a hanera e opmerngsproblem pga a bvllkore ne är konvex Om (221) ne håller får man en förlus Som e må på denna förlus nförs en förlusfunkon f ( x; r, L) sådan a f ( x; r, L) L (1 r n ) x (222) n1 n Då kan ekvaon (221) skrvas som f ( x; r, L), med llräcklg sor sannolkhe (223) V undersöker en dsperod Lå p( r, L) beeckna den flerdmensonella ähesfunkonen för de sokasska varablerna r och L Fördelnngsfunkonen för den sokasska varabeln f ( x; r, L) kan skrvas som ( x, ) P( f ( x; r, L) ), vlke då kan uryckas som x, ) d( P( r, )), (224) ( f ( x; r, L) L vlke per defnon är sannolkheen a förlusfunkonen f ( x; r, L) ne översger värde Lå beeckna en sannolkhe Då kan (224) formuleras som mn x, då (x, ), (225) -CVa är vänevärde av de ufall som är sörre än -Va V defnerar följande funkon: 1 F ( x, ) ( f ( x; r, L) ) P( d( r, L)) (1 ) (226) Ekvaon (226) är konvex och per defnon också CVa (se Palmqus, Uruasev & Krokhmal 1999 [14]) Funkonen F ( x, ) kan realseras från fördelnngsfunkonen P genom I s olka händelser Då kan (226) approxmeras ll: f ( x; r, L) w 1 1 F ( x, ) I (1 ) (227) Då exra varabeln I z nförs får v: 1 1 I (1 ) z w, (228) 1

8 L n1 1 r x z, n n z, = 1,, I (229) Ekvaonerna (228) och (229) ugör basen lnjärprogramme Genom a mnmera CVa eller w mnmerar v också rsken De sekundära måle är a öka llväxen på ege kapal Krave på a öka llväxen samdg som man vll mnmera rsken, sår mosasförhållande ll varandra För a lösa dea problem har jag lå nföra en parameer där man alar om vlke mål vd den = man har på ege kapal vd den T I rapporen beecknas de egna kapale för margnal, M Sambande mellan skuld, Tllgångar och margnal vd den = ges då av: X = L M, (221) och vd den T gäller: n1 x n, L M, med llräcklg sor sannolkhe (2211) Vd en dsperod måse hl ekvaon (2211) vara uppfyll och v har därför x n n1 L M, med llräcklg sor sannolkhe (2212) Vdare ska värde på nveserngen vd sar vara lka med llgångarna dvs v säller upp följande samband: x n, n1 X (2213) Porföljens värdepapper måse vara sörre än, eller lka med noll V kan ne ha e negav anal värdepapper porföljen Dea leder ll följande ekvaon, x n, n = 1,, (2214) Med ekvaonerna (228), (229) och (2212)-(2214) kan jag sälla upp följande allmäna lnjärprogram vd en dsperod:

9 Mn w, 1 1 då I ( 1) z w, L I 1 r n xn n1 x n n1 1 z, = 1,, I, L M, z, = 1,, I, x n, n1 n X, x, n = 1,, 23 Valbara paramerar För a leva upp ll Svenska Kyrkans krav har jag lå väsenlga paramerar var valbara för a ge dem en möjlghe a erav pröva olka möjlgheer på egen hand Vdare vll jag a modellen ska kunna anpassas ll flera olka pensonskassor med olka förusänngar Med nervjun som ugångspunk har följande anpassnngar gjors Då anale slumpvägar påverkar noggrannheen modellen, fler slumpvägar ger en bäre approxmaon av verklgheen, på bekosnad av daorkraf, blr vale ndvduell Med samma argumen är dshorsonen, dvs hur lång fram den skanng sker, också e ndvduell val och som har hög påverkan på presandan I målfunkonen mnmeras rsken och den påverkas av önskemål på llväx Margnalen mellan llgångar och skulder varje dsperod är en avgörande parameer Modellen ska fungera för olka personer/föreag med olka mängd pengar, skulder, räna på skulder och krav på llväx En annan avgörande parameer är vale av percenl (Va eller Value-a-sk) som beror på ändamål och är därför en ändrngsbar parameer Toal fnns sju paramerarna som användaren kan jusera efer egna förusänngar och krav: 1 Tdshorsonen, T 2 Anale slumpvägar, I 3 Tllgångar vd den = 4 Skulden vd den = 5 Den fasa ränan på skulden 6 Krav på margnal vd den = T 7 Val av percenl, Va

10 24 Tdserer och resrkoner De värdepapper som ngår porföljen är: 1 årga svenska nollkupongsoblgaoner 1 årga europeska oblgaoner svensk akendex, OMXS 3 nernaonell akendex, MSCI World svenska fasgheer, rksäckande E bvllkor är formulera så a fasgheer maxmal kan uppa 1% av porföljen varje dsperod

11 3 Modellen Dea kapel syfar ll a ge en överkådlg försåelse för hur modellen är uppbyggd och fungerar En vss upprepnng kan därför förekomma 31 Condonal Value a sk, CVa Som dgare berörs mnmeras rsken målfunkonen I ALM-modellen mäs rsken mha CVa, Condonal Value-a-sk eller Tal Va För a dea ska vara möjlg måse man förs ange vlken percenl man ska ha som ugångspunk vd opmerng av CVa Denna percenl är mer känd som Va eller Value-a-sk CVa alar om hur sora förluserna är sn gve a den är sörre än en percenl, dvs Va Man får på dea sä även nformaon om hur svansen är fördelad för de sämsa ufallen ll skllnad från de vanlgare rskmåe Va Man kan med ord beskrva CVa som vänevärde av de händelser som nräffar benga a förlusfunkonen är sörre än Va Fgur 31: De blå fäle ugör avsånde från men (Förlusen = ) ll rskgränsen, dvs avsånde är CVa-värde De röda fäle ugör avsånde för Va Tll skllnad från de vanlgare rskmåe Va får man nu även nformaon om var yngdpunken på svansen är belägen gve Va I modellen srävar man efer a mnmera CVa

12 32 Modellbeskrvnng För a pedagogsk beskrva modellen används några exempel Värden och fgurer är påhade och ska försa hand ge en uppfanng om hur modellen fungerar Varje exempel anas beså av re olka värdepapper, fem olka ufall (I=5) vd fem dsperoder (T=5) I en verklg smulerng skulle de behövas beydlg fler scenaron Varje värdepapper ugör med sn hsork en dsere Tdsererna anas vara normalfördelade och llhörande räneuvecklng anas vara lognormalfördelad Fgur 321: ormalfördelnng för re värdepapper med varerande volale och förvänad avkasnng Grön kurva är mns volal med lägs förvänad avkasnng Den röda kurvan har högs volale och förvänad avkasnng Insrumenen kommer a ngå porföljen olka sor usräcknng beroende på vlka llgångar och skulder man har sam vlken margnal man har som mål vd den T Har man mycke llgångar förhållande ll skulden och samdg säller låga mål på margnalen kommer man sannolk a huvudsak nvesera de värdepapper som uppvsar låg volale (grön kurva fgur 321) Säller man sälle höga mål på margnalen vngas man a a mer rsk och därför kommer sannolk värdepapper som uppvsar hög volale a domnera porföljen (röd kurva fgur 321) De fnns flera olka sä a lösa sokasska problem, man kan använda olka smulerngseknker eller sokassk programmerng där man använder sg av bnomalräd Bnomalräd ger på e dg sadum allför sora och komplexa lösnngar som kräver exrem daorkapace I modellen används Mone Carlo smulerng där de loade ufallen är korrelerade Man gör förenklngar av verklgheen för a få hanerbar daamängd

13 I fgur (322) llusreras hur smulerngen går ll Där vsas alla möjlga scenaron för värden av en opmal allokerad porfölj enlg modellen som grundar sg på de paramerar användaren har val I exemple ser man fem olka scenaron under fem olka dpunker Varje ufall är en oberoende slumpnng som ugår från en dgare händelse Smulerngen bygger på dea sä upp e händelseförlopp av framda scenaron som bygger på varandra Man får på dea sä I s olka slumpvägar Den blåa lnjen represenerar porföljen som lgger på vald percenlen Va Som framgår av blden är Va-porföljen de fjärde sämsa scenaro vd samlga dpunker, vlke nnebär a man har val 8 % Va Den bega kurvan represenerar CVa-värde på porföljen CVa-kurvan är konvex och lämpar sg för lnjärprogrammerng Fgur 322: Skss över möjlga slumpvägar av en opmal allokerad porfölj enlg modellen med gvna ngångsvärden De svara lnjerna ugör möjlga ufall för den allokerade porföljen varje dpunk I skssen fnns fem olka slumpvägar (I=5) vd varje dsperod och fem dsperoder (T=5) Den blå lnjen mosvaras av Va-värde av porföljen och ugör den fjärde sämsa slumpvägen (8%) och den bega lnjen bekrver resulae av opmerngen, dvs CVa-värde av porföljen I fgur (323) har man lag ll vå lnjer, den gröna lnjen beskrver nveserngens målsänng som syrs av vlken margnal M, användaren har val som mål Den röda lnjen beskrver skuldens uvecklng Som framgår av blden lgger samlga ufall alla peroder över skulden Enlg modellen kommer man a klara av sna åaganden med 1% sannolkhe med gvna paramerar

14 Fgur 323: I skssen vsas den allokerade porföljens möjlga ufall sam skuldens uvecklng och nveserngens mål I skssen ovan vsas margnalen M, vd den =5 Samlga scenaron är ovanför skulden vlke nnebär a man kommer a kunna beala llbaka sna skulder varje dsperod med 1% säkerhe enlg modellen Av fgur (324) har användaren gjor en ny smulerng Personen fråga har höj måle för margnalen vlke åerges den branare gröna lnjen De olka scenarerna är mer sprdda och varerar krafgare Modellen vngas a nvesera mer volala värdepapper för a leva upp ll måle på margnalen Enlg modellen är man nu ne längre säker på a kunna beala skulderna Man har å andra sdan sörre möjlghe a öka kapale Som framgck av nlednngen vll jag skapa en modell som mnmerar rsken och samdg ar hänsyn ll llväxmål Vdare framgck a modellen skulle skapas sådan a ndvden själv skulle ges möjlghe a erav pröva olka möjlgheer och med dea som ugångspunk faa egna beslu Fgurerna syfar ll a spegla hanerngen av dea

15 Fgur 324: I skssen vsas den allokerade porföljens möjlga ufall sam skuldens uvecklng och nveserngens mål I skssen ovan har man en sörre margnal M vd den =5 jämförelse med fgur 313 De fnns nu en rsk a man ne kan beala llbaka sna skulder 33 esula Vd varje dsperod opmeras en ny porfölj och modellen genererar på dea sä en förvalnngssraeg som sräcker sg från den noll ll och med den T 1 1 Jag förusäer dock a man endas är nresserad av e beslusunderlag vd den noll som sräcker sg fram om den T och ne a sraegn åföljs Jag förusäer således a användaren konnuerlg opmerar fram nya resula efersom förusänngarna hela den kommer a ändras med den Som resula preseneras re grafer, en normalfördelnngskurva över ufallen vd den noll, en graf som presenerar porföljallokerngarna vd den noll ll och med den T-1, sam en graf som presenerar relevana porföljuvecklngar från den noll om den T-1 Som framgå av modellbeskrvnngen allokeras porföljerna lka för alla scenaron ros a de skljer sg å Varaonerna fångas upp en varabel som ses som konaner Dessa konaner, eller skllnader mellan slumpvägar, unyjas bla ll a räkna u en snporfölj, en maxmal porfölj och en mnmal porfölj vd varje dsperod Dea syfar ll a ge användaren yerlgare nformaon om sprdnng av den allokerade porföljens olka värden Dessa referenspunker preseneras llsammans med Va, CVa och skuld, en graf efer a opmerngen är genomförd Exempel på dea vsas fgur (331) 1 Varje porföljallokerng grundar sg på en smulerng ll framförvarande dsperod Väljer man en dshorson på T s dsperoder kommer den ssa porföljallokerngen a vara vd den T-1

16 Ur fguren kan man ursklja spanne mellan översa blå kurvan (maxmal porfölj) och den undre bega kurvan (mnmal porfölj) som llsammans ugör gränser för möjlga ufall för porföljallokerngarna under gven dshorson Den gröna kurvan anger uvecklngen för medelvärde av alla slumpvägar vd varje dsperod (medelporföljen) Den röda vågräa kurvan anger skuldens uvecklng och de övrga vå färgerna anger uvecklngen av porföljerna som är mosvarade av rskmåen Va och CVa Om någon kurva lgger nedanför den röda kurvan beyder de a de fnns en rsk a man ne kan beala llbaka skulden enlg modellen Hur sor denna rsk är beror på hur många kurvor som lgger nedanför den röda kurvan sam hur ofa eller under hur lång d de pågår Fgur 331: Beskrver uvecklng av en allokerad porfölj modellen Av fguren framgår a de fnns rsk a man ne kan beala llbaka skulden Tex så lgger vald percenl under skulden, således även CVa-porföljen och den mnmala porföljen, medan den genomsnlga porföljen lgger ovanför I fgur 332 preseneras samlga ufall av den allokerade porföljen en normalfördelnngskurva med Va-värde och CVa-värde på porföljen, vd den noll 1 De blå fäle anger avsånde mellan dessa vå sorheer, den högra kanen represenerar porföljens Va-värde och den vänsra kanen porföljens CVa-värde Man srävar efer a mnmera CVa och e le avsånd mellan Va och CVa vnar om en låg sprdnng av de värsa scenarerna som faller uanför vald percenl 1 Porföljallokerngen vd den = är skaad på ufall om = 1

17 Fgur 332: Ufallen av porföljallokerngen vd den noll med llhörande rskmå en normalfördelnngskurva De blå fäle anger avsånde mellan dessa vå sorheer, den högra kanen represenerar porföljens Va-värde och den vänsra kanen porföljens CVa-värde

18 Fgur 333 : Här vsas hur porföljen ska allokeras varje dsperod fram ll och med år 4 (T-1) I fgur 333 vsas hur den opmala porföljen enlg modellen ska allokeras procen av ngående värdepapper varje dsperod Den ssa skanngen ges vd den = T-1 då allokerngen beror av händelseuvecklngen fram ll och med = T (T = 5 exemple) Av fguren framgår a näsan 9% av porföljen ska beså av svenska oblgaoner, 1 % av fasgheer och en len mängd av aker som är ungefär lka vd varje dsperod

19 34 Programsrukur Modellen är programmerad Malab och GLPK (Gnu Lnear Programmng K) Srukuren nedan syfar ll a ge en överblck över vlka meoder som är skapade och hur programme är uppbygg 1 1 Opmera (I,T,Tllgang,Skuld,rskuld, Margnal,Bea); 11 Skapa_slumpmarser (I,T,Tllgang,Skuld,rskuld, Margnal,Bea); 111 [sere,,ry]=tdserer; 112 [Paramerar]=Parameermars (,I,T,Tllgang,Skuld,rskuld, Margnal,Bea,ry); 113 [GLPK]=Slumpnng (sere,i,t,tllgang,skuld,rskuld,m argnal,bea,ry); 114 Formaeraex (Paramerar,GLPK,,I,T); 12 GLPK_opmerng; 13 Skapa_resula; Fgur 34: Modellens programmerngssrukur 1 För mer nformaon se Appendx

20 1 Opmera: Programme anropas Malab och resulaen preseneras beroende på val av paramerarna, I, T, Tllgångar, Skuld, äna på skuld, Margnal och Value-a-sk 11 Skapa slumpmarser: Besår av fyra underprogram där lonng sker genom Mone Carlo Smulerng gve hsorsk daa över dsererna Beräknngsunderlage sammansälls e forma som programme GLPK kan läsa 12 GLPK opmerng: Slumpresulaen beräknas programme GLPK och rsken, CVa, mnmeras genom lnjärprogrammerng 13 Skapa resula: elevana resula preseneras pedagogsk 1 1 Se resula

21 4 Slumpgenererng 41 Allmän Kursen för varje värdepapper anas vara normalfördelad Två varabler nförs och den förusäs vara dskre med dsege n s = kursen för värdepapper n, vd den n r, = Avkasnngen för värdepapper n, från den fram ll den En kursuvecklng kan då skrvas enlg: ) 1 (,,,,, n n n n n S S r S (411) Lå n Z vara en sokassk varabel sådan a ) (,1 Z n och anag a den sokasska varabeln ), ( n n n Y Då är Z S S S S Y n n n n n n n n n ) log( ) log( ) log( ) log(,,,,, (412) Anag vdare a j Y Y j Cov ), ( Då kan ekvaon (412) skrvas på vekorform enlg: C Y,,2,1 2, 2,2 2,1 1, 1,2 1, ,,, ), ( ) log( Efersom C är posv semdefn kan C Choleskyfakorseras enlg T C Dvs T kan erhållas genom ekvaonerna (se Genle 1998 [8]): ,,, ) ( k k j, (413) ,,,,, ) ( 1 k k j k j j, j = + 1, +2,, (414) Där och T LU-fakorseras enlg:

22 T C, 3, 3,3 2, 2,3 2,2 1, 1,3 1,2 1,1,,3,2,1 3,3 3,2 3,1 2,2 2,1 1,1,,2,1 2, 2,2 2,1 1, 1,2 1,1 Enlg ekvaon (412) - (414) gäller: (,1),, 2 1 Z Z Z Z Z Z Y n T, n = 1,, (415) 42 Mone Carlo smulerng De scenaron som beskrver kursuvecklngen framden skapas programme Malab Kovaransmarsen C och medelvärde på avkasnngarna är beräknade på hsorsk daa Kommando: chol genererar en Cholesky-uppdelnng sådan a ) chol(c T Vd varje dsperod och vd varje scenaro, loas s avkasnngar Z ll en vekor Z från en sandardserad normalfördelnng sådan a: T Z Y ) ( ) log( (421) Enlg ekvaon (411) och (421) gäller: Z r r r r e r T 1, ) ( 2 1, = 1,, I, = 1,, T (422) Ekvaon (422) ugör basen för slumpgenererngen programme Malab

23 5 Opmerngsvllkor De prmära måle med rapporen är a skapa en modell som genererar en porfölj som klara av a beala skulden varje dsperod med så le rsk som möjlg Samdg har de framkomm a man säller krav på llväxen Vllkoren som preseneras nedan syfar ll a förklara hur opmerngsmodellen är uppbyggd sam ge en förklarng ll hur denna balans mellan llväx och rsk har mplemmeneras modellen V börjar med a defnera några paramerar och varabler som kommer a åerkomma kaple x n, = Tlllgång n vd den (varabel) X = Tllgångarna vd den = (parameer, besäms av användaren) y n r y = Konaner vd den ufall (varabel) r, = äna på nveserng n vd den ufall (sokassk varabel) = äna på konanerna på banken (konsan) r L = äna på skulden (parameer, besäms av användaren) L = Sorlek på skulden (parameer, besäms av användaren) 1 M = Margnalen 2 vd den T 51 Jämvks samband Då v smulerar framda scenaron kommer v a ha I s slumpvägar T s dsperoder Efersom alla slumpvägar är olka kommer slumpnngarna a generera olka resula samdg som modellen opmerar en gemensam porföljallokerng vd varje dpunk Efersom ufallen varerar kommer e översko/undersko a uppså vlke jus kommer sg av a porföljen allokeras lka oberoende slumpväg Varaonerna as därför upp en varabel y, som ses som konaner som man sparar/lånar på banken Själva ransakonen kommer ne a ske fyssk, de är endas e sä a fånga upp varaonerna Genom a välja en låg llväxräna på konanerna kan man försäkra sg om a man ne gynnas av a ha dem på banken då konanerna är sörre än noll Å andra sdan blr de e bllg lån händelsen av e negav värde på konanerna Med dessa osäkerheer åanke vll v därför ha en så len andel konaner som möjlg Enlg Bogenof, E e al [2] defneras följande bvllkor: I 1 y I =, = 1,, I, = 1,, T (511) Snvärde av konanerna över samlga scenaron ska vara lka med noll Vd dpunken = förusäer modellen a v ne har några konaner dvs y, = 1,, I (512) 1 Alernav kan skulden ses som en sokassk varabel Efersom modellen är en förenklng ses här skulden som konsan med fas reglerad räna 2 Margnalen vd den = beecknas M

24 Vdare måse jämvk råda vd varje dsperod, dvs v säller upp följande bvllkor: x 1 r ) x y (1 r y r L n, n, n, 1 y ) 1 n1 (, = 1,, I, = 1,, T (513) L Vd varje dsperod allokeras en porfölj ros s olka ufall Varaonerna varje ufall vd varje dsperod fångas upp varabeln y, konaner Vdare ska värde på nveserngen vd den = vara lka med llgångarna vd samma dpunk dvs v säller upp följande samband: x n, n1 X (514) Varje dsperod måse varje värdepapper porföljen vara sörre än eller lka med noll V kan ne ha e negav anal värdepapper porföljen Dea leder ll följande ekvaon, x n,, n = 1,,, = 1,, T (515) Man kan ange en gräns för hur sor andel e specfk värdepapper som porföljen får ugöras av Denna andel syrs av parameern sådan a 1 : x s, s x n, n1, s = 1,,, = 1,, T (516) 52 Basvlllkor Då v nför varbeln y med llhörande räneuvecklng och samdg nför dsaspeken kan ekvaon (228) skrvas som: I 1 1 I ( 1 ) z w (521) 1 Där varabeln är Va-värde och w är CVa-värde Båda dessa varabler är en beskrvnng av rsk vd varje dpunk De z som är posva, dvs de scenaron som faller uanför - percenlen, kommer a påverka w Ekvaon (229) kan då med samma förusänngar skrvas som 2 : r L L 1r ) x (1r ) y z, ( n, n, 1 y 1, n1 z = 1,, I = 1,, T (522) 1 =,1 för fasgheer, enlghe med Svenska Kyrkans pensonskassas önskemål 2 I modellen är skulden oberoende av den pga av a skuldränan förusäs vara fxerad

25 Varabeln anar de värde som de slumpscenaro har, som överrenssämmer med - percenlen vd den Om man exempelvs har hundra slumpvägar (I = 1) och har val en percenl på 95% ( =,95) kommer a resulera de värde som de 95:e sämsa slumpscenaro har Efersom varabeln z måse vara sörre än, eller lka med noll, kommer z a vara noll de scenaron som är sörre än, eller lka med I de scenaron som faller uanför -percenlen kommer lnjärprogramme z a ana e posv värde Ekvaonerna (521) och (522) ugör basen 53 Mnmerng av rsk Enlg ekvaon (521) gäller: I 1 1 I (1 ) z w, där w är CVa-värde Som dgare framgå av rapporen ska 1 rsken mnmeras V säller därför upp följande målfunkon: Mnmera T 1 w T (53) För a mnmera rsken från den = ll den = T har jag val a mnmera snvärde av CVa under alla dsperoder dvs en summerng av CVa från alla dsperoder, dvdera med anale dsperoder På dea sä har jag samlga dsperoder beakande när jag mnmerar rsken 54 Inveserngsmål De sekundära måle är a öka llväxen på ege kapal Krave på a öka llväxen samdg som man vll mnmera rsken, sår mosasförhållande ll varandra För a lösa dea problem har jag lå nföra en parameer där man alar om vlke mål vd den noll man har på ege kapal vd den T I rapporen beecknas de egna kapale för margnal, M Sambande mellan skuld, Tllgångar och margnal vd den = ges då av: X = L M, (541) och vd den T gäller: n1 x n, L M, med llräcklg sor sannolkhe (542) Efersom modellen mnmerar rsken målfunkonen och jag nu samdg säller krav på llväxen vll jag vnga / släppa efer på målfunkonen med jämna seg varje dsperod Jag efersrävar en jämn fördelad llväx och en jämn fördelad rsk under hela dsförloppe Jag skapar bvllkore sådan a llväxen ökar/mnskar lnjär enlg fgur (541) och (542)

26 Fgur 541: De blå kolumnerna är skulden och de Fgur 542: De blå kolumnerna är skulden och de röda kolumnerna är margnalen Vd den = T har röda kolumnerna är margnalen Vd den = T har man sörre krav på margnal än vd = man mndre krav på margnal än vd = De nnebär a jag måse a hänsyn ll om jag har en margnal M vd den = och efersom jag modellen endas har möjlghe a ange X, L och M, leder de mg ll följande bvllkor: n1 x n, X ( M ( X L)), = 1,, T (543) T M 55 Övrga bvllkor V har kaple beskrv basvllkor, jämvksvllkor och målfunkon som llsammans opmerar en porfölj beroende på vlka förusänngar som ges vd ugångspunken edan presenerar jag yerlgare fem bvllkor som ne påverkar opmerngen Dessa bvllkor har ll uppgf a presenera yerlgare nformaon ll användaren och pedagogsk beskrva olka uvecklngsförlopp som enlg modellen är möjlga Den slumpväg som genererar maxmal mängd konaner vd varje dsperod ges av: max y y, = 1,, I, = 1,, T (551) Den slumpväg som genererar mnmal mängd konaner vd varje dsperod ges av: mn y y, = 1,, I, = 1,, T (552) max Med ekvaon (551) kan då den maxmala porföljen V vd varje dpunk skrvas enlg: max max V x n, y, = 1,, I, = 1,, T (553) n1 Medelporföljen V vd varje dsperod, llsammans med ekvaon (511), kan skrvas enlg: medel

27 medel V n1 x n,, = 1,, I, = 1,, T (554) Bvllkoren (543) och (554) ger llsammans: medel V X ( M ( X L)), = 1,, T (555) T M Vlke leder oss ll a nveserngsmåle är mndre än, eller lka med medelporföljen mn Tllsammans med ekvaon (552) ges den mnmala porföljen V vd varje dpunk av: mn mn V x n, y, = 1,, I, = 1,, T (556) n1

28 6 Formalserng Modellen som jag har ugå från är e lnjärprogram som är anpassa för en pensonskassa där man mnmerar premen för de akva medlemmarna (se Bogenof, E e al 21 [2]) Då v har en annan målsänng har målfunkon, ekvaoner, varabler, konsaner och paramerar ändras Beräknngarna uförs programme Gnu Lnear Programmng K (GLPK) och modellen är skrven AMPL forma (A Mahemacal Programmng Language) 61 Defnoner Tden delas n lka sora nervall där man ugår från dpunk noll Tdshorsonen är T och defneras som,1,, T Vd varje d görs e val som gäller fram ll den + 1 Däremellan kan man ne göra någo val och porföljen påverkas endas av slumpen I rapporen är en dsperod e år Paramerar: = Anale värdepapper I = Anale ufall/slumpvägar T = Anale dsperoder X = Hur sora llgångarna är vd den = L = Hur sor skulden är M = Hur sor margnal förhållande ll skulden som efersrävas vd den = T = Den percenl (Va) man vll mäa CVa emo r L = äna på skulden r = äna på konaner y Sokasska varabler: r, = Avkasnng på llgång n vd den slumpväg n r 1, = Avkasnng på svenska oblgaoner vd den slumpväg r 2, = Avkasnng på uändska oblgaoner vd den slumpväg r 3, = Avkasnng på OMXS 3 vd den slumpväg r 4, = Avkasnng på MCSI World vd den slumpväg r 5, = Avkasnng på svenska fasgheer vd den slumpväg

29 Varabler: x n, = Pengar nvesera llgång n vd den Varabeln är lka sor alla scenaron under samma dsperod x 1, = Pengar nvesera nollkupongsoblgaoner vd den x 2, = Pengar nvesera uändska oblgaoner vd den x 3, = Pengar nvesera OMXS 3, svensk akendex, vd den x 4, = Pengar nvesera MSCI World, uländsk akendex, vd den x 5, = Pengar nvesera svenska fasgheer vd den y = Pengar konaner slumpväg vd den Varabel för a fånga upp varaoner de olka ufallen max y = Konanernas maxmala värde vd den, dvs konaner de scenaro som avvker mes då y mn y = Konanernas mnmala värde vd den, dvs konaner de scenaro som avvker mes då y = -Va vd den, bvarabel som erhålles vd opmal lösnng z = Exra varabel, förlus för ufall som faller uanför percenlen scenaro vd den w = CVa-värde vd den max V = Den maxmala porföljen vd den medel V = Medelporföljen vd den mn V = Den mnmala porföljen vd den Konsaner: n = Konsanen är en vk sådan a n 1 och ugör en andel av porföljen som värdepapper n maxmal kan nnehålla

30 62 Problemuppsällnng Mnmera då T w 1 T, (53) x n, n1 X, (514) y, = 1,, I (512) x s, s x n, n1 rll 1rn, ) x n, 1 (1ry) y 1 n1 I 1 1 I ( 1 ) z 1, s = 1,,, = 1,, T (516) ( 1 r ) x y (1 r y xn, ( n, n, 1 y ) 1 r L L n1 I y I 1 n1 x n, z, = 1,, I, = 1,, T (522) w, = 1,, T (521), = 1,, I, = 1,, T (513), = 1,, I, = 1,, T (511) X ( M ( X L)), = 1,, T (543) T M z, = 1,, I, = 1,, T (552) x n,, n = 1,,, = 1,, T (515) max y mn y max V medel V mn V y, = 1,, I, = 1,, T (551) y, = 1,, I, = 1,, T (552) max x n, y, = 1,, I, = 1,, T (553) n1 x n n1 x y n1,, = 1,, I, = 1,, T (554) mn n,, = 1,, I, = 1,, T (556)

31 7 esula Vd varje dsperod opmeras en ny porfölj och modellen genererar på dea sä en förvalnngssraeg som sräcker sg från den noll ll och med den T 1 1 Jag förusäer dock a man endas är nresserad av e beslusunderlag vd den noll som sräcker sg fram om den T och ne a sraegn åföljs Jag förusäer således a användaren konnuerlg opmerar fram nya resula efersom förusänngarna hela den kommer a ändras med den Som resula preseneras re grafer, en normalfördelnngskurva över ufallen vd den noll, en graf som presenerar porföljallokerngarna vd den noll ll och med den T-1, sam en graf som presenerar relevana porföljuvecklngar från den noll om den T-1 För a leva upp ll Svenska Kyrkans krav har jag lå väsenlga paramerar var valbara för a ge dem en möjlghe a erav pröva olka möjlgheer på egen hand Därför har följande sju paramerar nförs: I = Anale slumpnngar vd varje dsperod/anale slumpvägar T = Anale dsperoder X = Hur sora llgångarna är vd den = L = Hur sor skulden är M = Hur sor margnal som efersrävas vd den = T = Den percenl (Va) man vll mäa CVa emo r = äna på skulden L I kaple vareras en parameer och övrga paramerar är fxerade för a åskådlggöra evenuell påverkan 71 Tllgångar varerar, övrga paramerar är fxerade Förusänngarna vd sar nnefaas av llgångarna, skulden och räna på skulden Dessa påverkar modellen på lkande sä pga modellens konsrukon, dvs en mnsknng av skulden kan ersäas av en öknng av llgångarna och vce versa Gvevs gäller dea under förusänng a de båda paramerarna förhåller sg lka ll varandra Alernave hade var a ha e förhållande mellan paramerarna sälle och på så sä endas behöva lldela modellen e värde sälle för vå För a undvka mssförsånd var de dock enklare a lldela båda paramerarna värden, dock vsar jag här endas e resula av dem Följande ndaa användes: X Vareras I = 1 T = 5 L = 8 M = 3 =,95 r L =,5 1 Varje porföljallokerng grundar sg på en smulerng ll framförvarande dsperod Väljer man en dshorson på T s dsperoder kommer den ssa porföljallokerngen a vara vd den T-1

32 X = 8: Fgur 711 Fgur 712 X = 1: Porfölj allokerng Procen förvala värdepapper Fasghe MCSIworld OMXS(3) Sv obl EMU obl Td (år) Fgur 713 Fgur 714 X = 12: Porfölj allokerng Procen förvala värdepapper Fasghe MCSIworld OMXS(3) Sv obl EMU obl Td (år) Fgur 715 Fgur 716

33 X = 8: 18 ormalfördelnng vd den = Sannolkhe Tllgångar (SEK) Fgur 718 X = 1: 12 ormalfördelnng vd den = 1 8 Sannolkhe Tllgångar (SEK) Fgur 718 X = 12: 5 ormalfördelnng vd den = Sannolkhe Tllgångar (SEK) Fgur 719

34 Då v varerar llgångarna och samdg har e mål a nå en vss llväx, M = 3, är de naurlg a v får en krafg rskexponerng vd låga värden på llgångarna vd sar och en mndre rskexponerng för höga värden Dea framgår ydlg samlga fgurer, bla så ser v a porföljallokerngen ll sörsa delen besår av aker fgur 711 och a porföljen fgur 715 domneras av ränebärande papper skexponerng framgår av normalfördelnngskurvorna och sprdnngen av porföljerna fgur 712, fgur 714 och fgur 716 I fgur 712 framkommer a max- och mn- porföljen lgger lång från varandra och Va och CVa lgger ydlg under den röda lnjen (skulden) I fgur 716 lgger å andra sdan all lnjer samla med sor margnal ll skulden vd samlga dpunker I fgur 711 kan man yda en krafg mnsknng av volala värdepapper då den ökar Vd den = besår porföljen av ca: 9 % aker och 1 % fasgheer och vd den =4 besår porföljen av ca: 6% aker, 3% ränebärande värdepapper och 1% fasgheer E lknande mönser kan urskljas ur fgur 712 då andelen aker uppnår s maxmala värde vd den = I fgurerna llusreras jus dea samband då en krafg sprdnng från den = ll den =1 vnar om en volal porfölj Med llagande kan en sablserng urskljas volaleen med avagande lunng på maxporföljen och llagande lunng på mnporföljen Även reserande lnjer såsom Va, CVa och medelporfölj planar u med den 72 Anale slumpnngar varerar, övrga paramerar är fxerade Följande daa användes: X = 1 I Vareras T = 5 L = 8 M = 3 =,95 r L =,5

35 I = 1: Porfölj allokerng Procen förvala värdepapper Fasghe MCSIworld OMXS(3) Sv obl EMU obl Td (år) Fgur 721 Fgur 722 I = 5: Porfölj allokerng Procen förvala värdepapper Fasghe MCSIworld OMXS(3) Sv obl EMU obl Td (år) Fgur 723 Fgur 724 I = 1: Fgur 725 Fgur 726

36 I = 1: 12 ormalfördelnng vd den = 1 8 Sannolkhe Tllgångar (SEK) Fgur 727 I = 5: 12 ormalfördelnng vd den = 1 8 Sannolkhe Tllgångar (SEK) Fgur 728 I = 1: Fgur 729

37 Gvevs ökar noggrannheen modellen med e ökande anal slumpnngar Dea är dock på bekosnad av daorkraf För a a e exempel så og de ungefär 1,5 mnu a lösa I = 1 slumpnngar, 1,25 mmar a lösa I= 5 slumpnngar och dryg 7 mmar a lösa 1 slumpnngar varje dsperod Dock är porföljen allokerad på ungefär samma sä varje dsperod vlke framgår av fgur 721, fgur 723 och fgur 725 och samma resula kan urskljas från fgurerna En någo sörre sprdnng av maxporföljen och mnporföljen kan urskljas med växande anal slumpvägar vlke framgår av fgurerna 722 och 724 Mellan fgur 724 och 726 fnns små skllnader dock verkar sprdnngen av maxporföljen och mnporföljen ha sablseras 73 Anale dsperoder varerar, övrga paramerar är fxerade Följande ndaa användes: X = 1 I = 1 T Vareras L = 8 M = 3 =,95 r L =,5

38 T = 5: T = 1: Fgur 731 Fgur 732 T = 2: Fgur 733 Fgur 734 Fgur 735 Fgur 736

39 T = 5: T = 1: Fgur 737 T = 2: Fgur 738 Fgur 739

40 Av fgurerna 731, 733 och 735 framgår a porföljen besår av en ydlgare exponerng av volala värdepapper vd kora val av dsperoder Av fgurerna 732, 734 och 736 och fgurerna framgår a en lägra sprdnng av slumpnngarna med sora val av dsperoder 74 Margnalen varerar, övrga paramerar är fxerade Följande ndaa användes: X = 1 I = 1 T = 5 L = 8 M Vareras =,95 r L =,5

41 M = : M = 3: Fgur 741 Fgur 742 M = 7: Fgur 743 Fgur 744 Fgur 745 Fgur 746

42 M = : M = 3: Fgur 747 M =7: Fgur 748 Fgur 749

43 Samlga fgurer åskådlggör en avvägnng mellan rsk och karv på llväx De framgår a en ydlg exponerng av volala värdepapper ökar med llagande margnal De kommer sg av a e högre krav på llväx nnebär e högre rskagande 75 sken varerar, övrga paramerar är fxerade Följande ndaa användes: X = 1 I = 1 T = 5 L = 8 M = 3 Vareras r L =,5

44 =,5 Fgur 751 Fgur 752 =,8 Fgur 753 Fgur 754 =,99

45 Fgur 755 Fgur 756 =,5 =,8 Fgur 757 =,99 Fgur 758

46 Fgur 759 Porföljallokerngen ändras ne nämnvär då rskmåe ändras Modellen mnmerar rsken men krave på margnal översyr Av samlga fgurer framgår en förskjunng av de olka rskmåen medans mn-, medel- och maxporföljen besår oavse rskmå 76 änan på skulden varerar, övrga paramerar är fxerade Följande ndaa användes: X = 1 I = 1 T = 5 L = 8 M = 3 =,95 Vareras r L

47 r L =,8: Fgur 761 Fgur 762 r L =,1: Fgur 763 Fgur 764 r L =,12:

48 Fgur 765 Fgur 766 r L =,8: Fgur 767 r L =,1: Fgur 768 r L =,12:

49 Fgur 769 En naurlg öknng av aker med llagande skuldräna Modellen mnmerar rsken med bvllkore a krave på margnal måse vara uppfyll En någo varerande porföljallokerng varje dpunk kan urskljas vlke sannolk beror på,ängden slumpnngar En sörre mängd slumpnngar sannolk plana u varaonerna och ge en jämnare porföljallokerng över den 8 Dskusson Modellen är anpassad efer de önskemålen som Svenska Kyrkans pensonkassa har Jag har skapa en modell där man kan varera noggrannheen genom a personen som gör analysen, själv kan varera rsken och anale slumpvägar Tllgångar, skuld och räna på skuld kan vareras beroende på förusänngar vd den noll Vdare kan margnalen vareras beroende på krav och den ändras beroende på vlken dshorson man väljer esulaen preseneras re fgurer för a pedagogsk beskrva vlken rsk man med valda paramerar usäs för Man kan erav pröva olka paramerar för a se hur de påverkar resulaen och på dea sä få olka beslusunderlag De fnns flera olka sä a lösa sokasska problem, man kan använda sg av olka smulerngseknker eller sokassk programmerng där man använder sg av bnomalräd Bnomalräd ger på e dg sadum allför sora och komplexa lösnngar som kräver exrem daorkapace Man srävar efer a på någo sä nskränka slumpmöjlgheerna så a de på e bäre sä speglar verklga scenaron för a få probleme hanerbar Smulerng är å andra sdan mer uspr och de flesa fnansella nsuoner kan llhandahålla med relevan daa Kvaleen varerar beroende på vlken smulerngseknk man använder och förusäer ofas approxmaoner och anaganden om verklgheen I modellen används Mone Carlo smulerng där de loade ufallen är korrelerade I modellen har förenklngar gjors av skulden och ränan på skulden som anas vara fas Dessa paramerar kan ändras för a exempelvs anpassas bäre ll en pensonskassa De förusäer dock a man har kännedom om pensonskassans uvecklng av skulden

50 Vale av värdepapper kan ändras efer behov genom a lägga ll eller dra från dserer modellen Längden på dshsorken kan ändras efer behov I uppsasen sräcker sg de hsorska daa från December 1998 ll och med December 28 I modellen fnns e bvllkor som begränsar mängden fasgheer porföljen och de har ske på Kyrkans nrådan Uan dea bvllkor skulle fasgheer domnera porföljen de flesa fall De beror på a dserernas hsork under vald 1-årsperod har en överlägsen avkasnng förhållande ll volaleen jämförelse med övrga dserer Beroende på behov kan bvllkor läggas ll eller dras från modellen för a bäre anpassas ll en specfk pensonskassa Målfunkonen generera en porföljvknng som är vkad med någo högre rsk början av dsperoden och någo mndre slue av dsperoden De beror dels på a alla slumpnngar ugår från en punk vd den noll vlke ger e begränsa urval vd jus denna dpunk Vd senare dpunker fnns en ugångspunk för varje slumpnng vlke också ger en sörre varaon Varbeln y, konaner, är noll för samlga slumpnngar vd den noll Under senare dpunker kommer varabeln a fungera som en ujämnngsparameer vlke också ger en sörre varaon Vdare har bvllkore: Inveserngsmål en cenral roll Som dgare nämns defneras bvllkore som medelvärde av porföljen varje dpunk och som ska vara sörre än, eller lka med vale av margnal Säer man exempelvs margnalen kapel 74 ll 8 eller mer, kommer dea a resulera en cke uppnåbar lösnng Kraven man säller på margnalen förusäer a de fnns slumpnngar sådanna a målen kan uppnås Vdare är bvllkore formulera sådan a nveserngsmåle ska uppnås vd dshorsonen med en lnjär llväx av medelporföljen Dea påverkar delvs porföljallokerngen med en någo högre rskexponerng vd den noll och en avagande rskexponerng med ökande dsperoder De kan dskueras hur dea bvllkor ska formuleras för a bäre anpassas för en jämnare allokerng över dsperoderna, eller huruvda man bör formulera om opmerngsmodellen så a porföljallokerngen är lka över alla dsperoder Probleme är dock anpassa för a svara upp mo Svenska kyrkans önskemål Vd dpunk noll får man nformaon om vlke opmal porföljbeslu man enlg modellen bör a vd ugångspunken (dag) Modellen är en smulerng och presenerar resula och rsker som bygger på förenklngar av verklgheen Pga dea kommer man förslagsvs a göra om smulerngen efer a exempelvs en dsperod har passera då förusänngarna kan sklja sg från resulaen som modellen genererar dag Modellen genererar e porföljbeslue vd den = som grundar sg på en poenell uvecklng fram ll den T

51 eferenser [1] Adler, J (28 24 Januar) FI:s Pensonsbolagen klarar fnanskrsen Dagens Indusr 1-28 på hp://dse/yheer/?page=/avdelnngar/arkelaspx%3fmobous%3dy%26arcleid% 3D28%255C1%255C24%255C266883%26SeconID%3DEan%26menusecon%3 DSarsdan%3BHuvudnyheer [2] Bngham, H & Kesel, (1998) sk-eural Valuaon Prcng and Hedgng of Fnancal Dervaves London: Unversy of London [3] Bogenof, E, omejn, H E, & Uryasev, S (21) Asse/lably managemen for pensonfunds usng CVa consans (esearch epor 21-1), ISE Dep, Unversy of Florda [4] Brealey, A, Myers, S C & Allen, F (26) Corporae Fnance eghh edon, (sd ) ew York: McGraw-Hll nernaonal edon [5] Crofs, M (25 2 Jun) FI:s llsynsmodell möer krk Dagens yheer 9-27 på wwwdnse/de/jsp/polopolyjsp?d=678&a=43662 [6] Euro 1Y-bond neres rae ksgäldskonore 1-27 [7] Fasghesprsndex Sasska cenralbyrån(27) 1-27 på wwwscbse/emplaes/ableorchar 7416asp [8] Genle, J E (1998) Cholesky Facorzaon, 322 umercal Lnear Applcaons n Sascs, (sd 93-95) Berln:Sprnger-Verlag [9] Haugh, M (24) The Mone Carlo Framework, examples from fnance and generang correlaed random varables Deparmen of Indusral Engneerng & Operaons esearch, Columba Unvery [1] Jönsson, P (26, Augus) MATLAB beräknngar nom eknk och naurveenskap Sockholm: Sudenleraur AB [11] Makhorn, A (26, Januar) Modelng Language GU MahProg Verson 49 Deparmen for Appled Informacs, Moscow Avaon Insue [12] MSCI World SIX Trus AB 1-27 [13] OMX Sockholm 3 SIX Trus AB 1-27 [14] Palmqus, J, Uryasev, S & Krokhmal, P (1999) Porfolo Opmzaon wh Condonal Value-a-sk Objecve and Consrans (esearch epor ), ISE Dep, Unversy of Florda

52 [15] Skngsley, C (25 27 Okober) Aleca: Trafkljusen ho mo spararna Dagens Indusr 9-27 på hp://dse/yheer/?page=/arklar/aleca Trafkljusen_ho_mo_spararnaaspx%3FAr cleid%3d25%255c1%255c27%255c162511%26words%3d%26seconid%3dpr vaekonom%26menusecon%3dprvaekonom%3bprvayheer [16] Sweden 1Y (149) ksgäldskonore 1-27 [17] Trafkljusmodellen Fnansnspekonen (28) 8-27 på wwwfse/templaes/lspage 594aspx

53 Appendx A1 Malab progammerngskod funcon Opmera(I,T,Tllgang,Skuld,rskuld,Margnal,Bea); Skapa_slumpmarser(I,T,Tllgang,Skuld,rskuld,Margnal,Bea); GLPK_opmerng; Skapa_resula; funcon Skapa_slumpmarser(I,T,Tllgang,Skuld,rskuld,Margnal,Bea); [sere,,ry]=tdserer; [Paramerar]=Parameermars(,I,T,Tllgang,Skuld,rskuld,Margnal,Bea,ry); [GLPK]=Slumpnng(sere,I,T,Tllgang,Skuld,rskuld,Margnal,Bea,ry); Formaeraex(Paramerar,GLPK,,I,T); funcon [sere,,ry]=tdserer; FPI=[ ]; MCSIworld=[ ]; omxs3=[ ]; OBLEMU=[ ]; OBLSEK=[ ]; seredaa=[fpi;mcsiworld;omxs3;oblsek;oblemu]; serenamn={'fasghe' 'MCSIworld' 'OMXS(3) ' 'Sv obl ' 'EMU obl'}; [, Tdaa]=sze(seredaa); ry=1; funcon [Paramerar]=Parameermars(,I,T,Tllgang,Skuld,rskuld,Margnal,Bea,ry); Paramerar(1)namn=''; Paramerar(1)anal=; Paramerar(2)namn='I'; Paramerar(2)anal=I; Paramerar(3)namn='T'; Paramerar(3)anal=T; Paramerar(4)namn='Tllgang'; Paramerar(4)anal=Tllgang; Paramerar(5)namn='Skuld'; Paramerar(5)anal=Skuld; Paramerar(6)namn='rskuld'; Paramerar(6)anal=rskuld; Paramerar(7)namn='Margnal'; Paramerar(7)anal=Margnal; Paramerar(8)namn='Bea'; Paramerar(8)anal=Bea; Paramerar(9)namn='ry'; Paramerar(9)anal=ry; funcon [GLPK]=Slumpnng(sere,I,T,Tllgang,Skuld,rskuld,Margnal,Bea,ry); [ Tdaa]=sze(seredaa); for n=1: for daa=1:tdaa-1

54 r(n,daa)=seredaa(n,daa+1)/seredaa(n,daa); end; end; Log_r=log(r); _T=chol(cov(Log_r')); for n=1: for =1:T*I My(n,)=mean(r(n,1:Tdaa-1))-1; end; end; TempGLPK=My + (_T')*randn(,T*I); for n=1: for =1:I for =1:T GLPK{n}(+1,+1)=TempGLPK(n,(-1)*T+); end; end; GLPK{n}(1,2:T+1)=1:T; GLPK{n}(2:I+1,1)=1:I; end; funcon Formaeraex(Paramerar,GLPK,,I,T) fd=fopen('c:\program\gnuwn32\bn\daabladx','w'); for p=1:lengh(paramerar) fprnf(fd,'param %s:=%f;\n',paramerar(p)namn,paramerar(p)anal); end; fprnf(fd,'param r:=\n'); for n=1: for =1:I+1 for =1:T+1 f (<2) & (<2) fprnf(fd,'[%g,*,*] : ',n); else f (<2) fprnf(fd,' % -16d',GLPK{n}(,)); else f (>T) & (<2) fprnf(fd,'% -16d:= \n',glpk{n}(,)); else f (n>-1) & (>I) & (>T) fprnf(fd,'% -16d;\n',GLPK{n}(,)); else f (>T) fprnf(fd,'% -16d\n',GLPK{n}(,)); else fprnf(fd,'% -16d',GLPK{n}(,)); end; end; end; end; end; end; end; end; fprnf(fd,'end;'); fclose(fd); funcon GLPK_opmerng; cd('c:\program\gnuwn32\bn');!glpsol --model Modellbladx --daa Daabladx --dsplay esx

55 cd('c:\program\matlab71\work'); funcon Skapa_resula; load c:\program\gnuwn32\bn\esx; =es(1,1); I=es(1,2); T=es(1,3); Tllgang=es(1,4); Skuld=es(1,5); rskuld=es(1,6); Margnal=es(1,7); Bea=es(1,8); Uvecklng(1:T,1:6)=es(2:T+1,1:6); Xmars(1:T,1:)=es(T+2:2*T+1,1:); Summa=sum(Xmars'); for =1:T Andelar(,1:)=Xmars(,1:)/Summa(); end; Slump(1:I,1:T-1)=es(2*T+2:2*T+1+I,1:T-1); [sere,,ry]=tdserer; [Paramerar]=Parameermars(,I,T,Tllgang,Skuld,rskuld,Margnal,Bea,ry); Td=:1:T-1; plo(td,uvecklng,'lnewdh',2); se(gca,'xlm',[ T-1]); xlabel(gca,'td (år)'); ylabel(gca,'tllgångar (SEK)'); le(gca,'uvecklng av porfölj'); legend(gca,'max porfölj','medel porfölj','skuld','va','cva','mn porfölj',); saveas(gcf,'c:\program\gnuwn32\bn\grafer\uvecklngjpg'); bar(td,andelar,5,'sack'); se(gca,'xlm',[-1 T]); se(gca,'ylm',[ 2]); se(gca,'ytcklabel',' '); xlabel(gca,'td (år)'); ylabel(gca,'procen förvala värdepapper'); le(gca,'porfölj allokerng'); legend(gca,char(serenamn(1:)),); saveas(gca,'c:\program\gnuwn32\bn\grafer\andelarjpg'); [mu,sgma]=normf(slump(1:i,1)); normspec([uvecklng(2,4) Uvecklng(2,5)],mu,sgma); xlabel('tllgångar (SEK)'); ylabel('sannolkhe'); le(gca,'ormalfördelnng efer 1 år'); saveas(gca,'c:\program\gnuwn32\bn\grafer\fordelnng1jpg');

56 A2 GLPK programmerngskod param ; param I; param T; param Tllgang; param Skuld; param Bea; param rskuld; param ry; param Margnal; param r{n n 1, n 1I, n 1T}; var alfa{ n 1T}; var z{ n 1I, n 1T} >=; var w{ n 1T}; var x{n n 1, n T} >=; var y{ n 1I, n T}; var ymax{ n 1T}; var ymn{ n 1T}; var maxpor{ n 1T}; var medelpor{ n 1T}; var mnpor{ n 1T}; mnmze malfunkon : (sum{ n 1T}w[])/T; s Tllgangar : sum{n n 1} x[n,] = Tllgang; s Yden{ n 1I} : y[,] = ; s BegransngFasgheer{ n T} : x[1,] <= 1*(sum{n n 1}x[n,]); s Forlusfunkon{ n 1T, n 1I} : rskuld*skuld sum{n n 1} ((1+r[n,,]-ry)*x[n,-1]) - (1+ry)*y[,-1] - alfa[] <= z[,]; s CVa{ n 1T} : alfa[] + (sum{ n 1I}z[,]) / (I*(1 - Bea)) <= w[];

57 s Jamvk{ n 1T, n 1I} : sum{n n 1} (x[n,] - (1 + r[n,,])*x[n,-1]) + y[,] - (1+ry)*y[,-1] = -(rskuld)*skuld; s skreglerng{ n 1T} : (sum{ n 1I} y[,]) / I >= Margnal*(/T); s Tllvax{ n 1T} : sum{n n 1} (x[n,]) >= Tllgang; /*Ekvaonerna nedan är endas ll för presenaonen av resula, dvs för a läare olka svaren, och de påverkar ITE opmerngen */ s Maxy{ n 1I, n 1T} : ymax[] >= y[,]; s Mny{ n 1I, n 1T} : ymn[] <= y[,]; s MaxPorTllvax{ n 1T} : maxpor[] = sum{n n 1} (x[n,-1]) + ymax[]; s MedelPorTllvax{ n 1T} : medelpor[] = sum{n n 1} (x[n,-1]) + ((sum{ n 1I} y[,])/i); s MnPorTllvax{ n 1T} : mnpor[] = sum{n n 1} (x[n,-1]) + ymn[]; solve; prnf : "% f % f % f % f % f % f % f % f ",,I,T,Tllgang,Skuld,rskuld,Margnal,Bea;prnf{a n 9T-1} : "% f ",a;prnf : "\n"; prnf : "% f % f % f % f % f % f % f % f ",sum{n n 1}x[n,], sum{n n 1}x[n,],Skuld,sum{n n 1}x[n,],sum{n n 1}x[n,], sum{n n 1}x[n,],7,8;prnf{a n 9T-1} : "% f ",a;prnf : "\n"; for { n 1T-1} {prnf : "% f % f % f % f % f % f % f % f ",maxpor[],medelpor[],skuld,-alfa[],- w[],mnpor[],7,8;prnf{a n 9T-1} : "% f ",a;prnf : "\n";} for { n T-1} {prnf{n n 1} : "% f ",x[n,];prnf{a n +18} : "% f ",a; prnf{b n 9T-1} : "% f ",b;prnf : "\n";} for { n 1I} {prnf{ n 1T-1} : "% f ",sum{n n 1}(x[n,])+y[,]; prnf{a n T8} : "% f ",a;prnf :"\n";} end;

58