SVÄNGNINGAR Odämpad svängning för ett diskret system med en frihetsgrad.

Transkript

1 SVÄNGNINGA Odäpad svängnng för e dsre sse ed en frhesgrad. r svängnng jäder [N/] Sas jävsläge. [g ] [ ] & & : & & & So har lösnngen; Bsn C cos Lösnngen nnebär; Vnelhasgheen rad/s och svängnngsfrevensen f π Hz Lösnngen an ocså srvas på foren; Asn ϕ A C π Där A B C och C an ϕ B ϕ B Med.ex. begnnelsevlloren:, &, fås: cos cos π f cos eller srve på den andra foren snπ f π π radaner π seunder

2 Påvngad svängnng Ana nu a fjäderfäse rör sg enlg urce ξ ξ cos. Excerande rörelse ξ ξ cos Sas jävsläge närξ ξ Sas jävsläge närξ O v borser från hur rörelsen blr under den försa den efer a rörelsen saras så nnebär de a v söer den saonära lösnngen ll rörelseevaonen. V söer då parulärlösnngen. & : ξ : & cos ξ : & ξ cos O ssees egenvnelfrevens beecnas ed så an rörelseevaonen srvas ed parulärlösnngen : & cos Acos fås : ξ A cos Acos ξ cos : A A ξ A ξ eller osuva A ξ aorn A ξ bruar allas försorngsfaorn och beecnas ofa ed λ

3 Excerande rörelse cos ξ ξ Sas jävsläge närξ λ ξ λ ξ λ ξ cos Saonära lösnngar ed vnelfrevens Saa frevens so excerngen O assan sälle påveras av en excerande raf cos an en lnande härlednng genoföras ed resula enlg nedansående fgur. Läplg övnng Sas jävsläge när Excerande raf cos - λ λ λ cos Observera a örsorngsfaor λ O excerngsfrevensen ssees egenfrevens ESONANS och λ 3

4 SVÄNGNINGA Saband ellan sräca, hasghe och acceleraon Massans försjunng s från s sasa jävsläge varerar ed den. Sabande ellan försjunngen och den an srvas s ŝ sn där ŝ beecnar svängnngens axala uslag och allas vägapluden SI-enhe eer och beecnar svängnngens hasghe vnel per dsenhe SI-enhe radaner/seund Svängnngshasgheen an ocså urcas ed frevens SI-enhe Herz och sabande ellan och frevensen f blr f π Svängnngens perodd Tπ/ /f, ed SI-enhe seunder. [g] s s ŝ ŝ π s ŝ sn s sn πf π π d Aplud, ŝ, pea Topp-Topp, ŝ, pea o pea Hasghe v är sräca per dsenhe, sräca derverad ed avseende på den v vˆ v π f ˆcos s πf T d Acceleraon a är hasghesändrng per dsenhe, hasghe derverad ed avseende på den a â f a π f sˆsnπf d T Vbraonen an således besrvas ed väg, hasghe och acceleraon sa frevens. f 4

5 SVÄNGNINGA Påvngade svängnngar fors. Lå oss sudera e exepel ed dlg pras annnng. En asn, so vsas scheas fguren nedan, har den oala assan M och därav en roerande assa. oorassan roerar ed vnelhasgheen, och dess asscenru lgger på raden e. Den s.. obalansen är således. e. Masnen är fjädrande uppsälld ed fjäderonsanen och dessuo vsös däpad. Vsös däpnng nnebär a däprafen är proporonell o hasgheen ed proporonalesonsanen c [ Ns/]. Ssees odäpade egenvnelfrevens är beecna ed och enlg dgare är M O proporonalesonsanen för den vsösa däpnngen är la ed M sägs ssee vara rs däpa och denna däponsan beecnas ed c s. Graden av däpnng an då urcas so den relava däpnngen ζ c / c s. Vle leder ll a c ζm Masnens avsånd x från de sasa jävsläge blr de saonära llsånde x X sn φ Sora X urce beecnar försjunngens aplud och φ beecnar fasvrdnngen ellan roorrörelsen och asnens svängnngsrörelse. Sabanden för svängnngsrörelsen an urcas ed hjälp av den M X densonslösa paraeern och åsådlggöras grafs so e vsas dagraen nedan. Härlednngen fnns på sdan 6-7. M X e 6, 5, 4, 3,,,, 3 4 5,,5,5,5 φ / grader

6 MEKANIK Påvngade svängnngar fors. Den den varerande belasnngen på underlage ugörs av fjäderrafen plus däparrafen. O apluden för resulanen ll dessa rafer beecnas ed så an sabande ellan, avsänngen / och graden av däpnng ζ besrvas ed hjälp av dagrae nedan. x c& x x x cx& e 7, 6, 5, 4, 3,,,,,5,5,5,

7 MEKANIK Påvngade svängnngar fors. De resula so fnns saanfaade graferna på sdan 5 och 6 an härledas ufrån Newons :a lag, sua rafer x-led är la ed assan gånger acceleraonen x-led. dx d x Väg beecnas ed x, hasghe bruar beecnas ed x& och acceleraonen ed && x. d d Geno a frlägga asnere so fguren vsar och använda Newons :a lag, an rörelseevaonen ecnas d : x cx& M && x x e sn d Ej roerande assa oerande assans acceleraon Ovansående evaon an då srvas : x cx& M && x && x e sn eller : M & x c x& x e sn x c& x x Med en saonär lösnng på foren, x X sn φ, an evaonen srvas M X sn φ c X cos φ X sn φ e sn Ovansående evaon an åsådlggöras grafs so en rafpolgon enlg fguren nedan, och e urc för vägapluden X respeve fasvrdnngen φ an ecnas örsjunngens aplud e X M c ed cζm, /M an dea srvas so M X cx φ MX e Densonslös! e X eferenslnje asvrdnngen c φ nv an M ζ an nv Xcos -φ Xsn -φ 9 - Xsn -φ Xsn -φ 8 se dagra sd. 5 7

8 8 x x x c& eferenslnje X X M φ e cx MEKANIK Påvngade svängnngar fors. Den resulerande belasnngen på underlage är resulanen ll fjäderrafen x och däparrafen x c& och an däred åsådlggöras rafblden nedan Ur ovansående rafbld fås X c X ed c M e X, M c och M ovansående an urce srvas på densonslös for e e se dagra sdan 6

9 MEKANIK Harons las på våfrhesgradssse V beraar e sse ed vå assor, och vå fjädrar ed fjäderonsanerna respeve sa en harons las so verar på assan.. & & sn sn. & & : & sn : & V söer nu lösnngen ll dessa opplade dfferenalevaoner. De är läplg a förs besäa de fra ssees egenfrevenser. Den saonära lösnngen för e fr,, odäpa sse ed vå assor är av pen A sn resp. A sn, 3 De fnns således vå egenvnelfrevenser respeve. Med en ansas enlg 3 ev. och fås [ ] A A 4 [ ] A 5 A 5 ger Evaon 6 och 4 ger A [ ] A 6 9

10 [ ] [ ] A A 7 Vle ger evaonen 4 8 och däred ssees egenvnelfrevenser 4 ± 9 4 9a 4 9b O v nu påvngar ssee en svängnng ed en raf på assa so varerar den enlg urce sn så oer ocså assorna a svänga ed vnelfrevensen. sn ϕ Y sn ϕ Y Ev., och leder ll a / / Y / Y

11 ev. resp. ger Y sas resp. Y sas Y sas Ysas och an an srva Y Y sas λ resp. Y Y sas λ / där λ och λ De saonära svängnngarna an då besrvas ed nedansående graf λ, λ λ λ / Noera a vd / blr λ edan λ har e ändlg värde. Massan so påveras av rafen sår allså slla edan assan får en sor aplud. Dea allas för anresonans eller s.. dnas svängnngsdäpnng.