Tentamen i mekanik TFYA kl

Transkript

1 TEKISKA ÖGSKOA I IKÖPIG Institutionen för ysi, Kei och Biologi Galia Pozina Tentaen i eani TYA6 -- l. 4-9 Tillåtna jälpedel: Physics andboo eller Tefya utan egna antecningar, avprograerad ränedosa enligt IM:s regler. orelsalingen från hesida utan egna antecningar. Ordlista från hesidan. Tentaen ofattar sex proble so ger axialt 4 poäng styc. öljande betygsala gäller preliinärt: Betyg : -,5 poäng Betyg 4: 4-8,5 poäng Betyg 5: 9-4 poäng Anvisningar: ös inte er än uppgift på saa blad! Sriv enbart på ena sidan av bladet! Sriv AID od på varje blad! Införda betecningar sall definieras, gärna ed hjälp av figur, och uppställda evationer otiveras. Alla steg i lösningarna åste unna följas. ös uppgifterna analytist först och stoppa in eventuella nuerisa värden på slutet.

2 Uppgift En partiel rör sig längst en rät linje (s-axeln). Dess acceleration a beror av hastigheten v enligt sabandet a/v där är en onstant. ör t är s och v v >. Bestä a) v(t) ( p) b) v(s) ( p) ösningsförslag: t v dv (a) a dt vdv t v dt v ( v v ) v t + v (b) v v dv dv ds dv a v ds v dv s ( v dt ds dt ds [ s + v ] / s v v v ) Uppgift Blocet A har assan g. Den statisa fritionsoefficienten ellan blocet A och underlaget är µ s.56. Vinel är 4. Bestä den iniala assan och den axiala assan på blocet B för vilen blocet A befinner sig i vila. (4 p).

3 ösningsförslag. y x Vi väljer x- och y-led so är visat på bilden. Vi an sriva ewtons II lag för tillfället när blocet B har den axiala assan (så att blocet A nästan glider upp): Blocet A: X-led: T-f- A gsin () Y-led: - A gcos () Blocet B (bara Y-led): T- B g () Så: T B g rån (): B g-f- A gsin B ( A gsin +f)/g fs,axµ s µ s A gcos B ( A gsin +f)/g ( A gsin+ µ s A gcos)/g A (sin+ µ s cos)( *.77).7 g ewtons II lag för tillfället när blocet B har den inial assan (så att blocet A nästan glider ner): u är fritionsraften ritat åt andra håll: Blocet A: X-led: T+f- A gsin () Y-led: - A gcos () Blocet B: T- B g () T B g rån (): B g+f- A gsin B ( A gsin -f)/g fs,axµ s µ s A gcos B ( A gsin -f)/g ( A gsin µ s A gcos)/g A (sin µ s cos)( *.77). g Svar:. g B.7 g

4 Uppgift En bal ed längden och assan vilar ot en fritionsfri vägg so har höjden (se bilden). Balen är i vila o vineln är större än. ( ) och glider för indre vinlar. Bestä den statisa fritionsoefficienten µ s ellan balen och golvet (4 p). fritionsfri ösningsförslag. Vi ritar raftdiagraet: O f g y x D Tyngdraften (g) är applicerad på asscenter på avståndet / från golvet. Sträcan D är: D/tan Balanserade rafter: x-led: f-sin () y-led: cos-g+ () Balanserade vridoent (runt O): D-f-g(D-(/)cos) () 4

5 är börjar balen glida, så f µ s, rån e.() vi har: (g )/cos Och från e. () får vi: f sin (g ) sin /cos (g ) tan (4) Vi använder e.(4) i e. (): D - f - g(d-(/)cos) D-(g ) tan - g(d-(/)cos) (5) Vi an uttryca från e.(5) so: ( D + tan ) g g ( cos tan g ( D g ( tan + ( D cos )) D + tan g ( tan + ( sin )) ( + tan ) sin ) cos ) ( D / tan ) ( + tan g ( ) cos tan + ( cos )) tan + tan tan g ( ( ) sin )) cos cos E. (4): f (g ) tan Efterso f µ s f g( + cos sin ) tan g cos sin an vi uttryca g cos sin f µ s g( cos sin ) cos sin cos sin 5

6 Uppgift 4 Två liadana cirulära hoogena cylindrar so vardera har assan är förenade ed en tunn lifog so axialt an överföra raften g/. So en ropp hängs de upp i en fjäder ed fjäderonstanten. Systeet släpps från vila då fjädern har sin naturliga längd. a)bestä vid vilen tidpunt den undre cylindern lossnar. Sätt t när systeet släpps. ( p) b)bestä i vilet läge den undre cylindern lossnar. Använd punten där systeet släpps so referenspunt. ( p) ifog ösningsförslag: Definiera oordinatsyste enligt figur. Svängningen ser ed aplituden Ag/, vilet erhålles ur oos lag, ga. Med t när assorna släpps besrivs rörelsen av: g/ x x jävit för enbart fjäder jävit ed assor x( t) g cos a( t) d x dt g cos g cos ettoraften på den undre assan är suan av tyngdraften g och raften från lifogen, OG. Tilläpa ewton II på undre assan: 6

7 a g + OG g cos g cos cos π t g + g g + π t OG (Svar a) g g x detta är avståndet från x g + g g, från den punt där viterna i negativ x - ritning (Svar b) släpptes är avståndet : Uppgift 5 En satellit sa placeras i oloppsbana runt jorden. Dess höjd över jordytan sa vara R/ där R är gr jordens radie. Man vet att satellitens begynnelsefart är v där g är tyngdaccelerationen vid jordytan. Vilen elevationsvinel β sall an välja? Jordens rotation försuas. (4 p) ösningsförslag Den enda raften so verar på satelliten är gravitationsraften. Verningslinjen för den går geno jordens centru och därför är oentet ed avseende på jordens centru noll. Detta betyder enligt 7

8 oentevationen: τ & att rörelseängdsoentet är onstant. r v Rv cos β () Uppgift 6. Ett tunt sfärist sal (assa, radie R) rullar utan att glida utför ett lutande plan ed lutningsvinel α. ärled tyngdpuntens acceleration. (4 p) 8

9 ösningsförslag: Y X g ewtons II lag: X: g sin a Y: g cos ör rotation: τ R Iα I a R R R a ( g sin a) I I R R a( + ) g sin I I R g sin I R g sin a R I + R + I Tröghetsoent för en sfär I R a R g sin R + R g sin 5 9