Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik

Transkript

1 Tentaen i Mekanik I del Statik och partikeldynaik TMME7 0-0-, kl Tentaenskod: TEN Tentasal: TER, TER, TERC, TERD Eainator: Peter Schidt Tentajour: Peter Schidt, Tel , (Besöker salarna ca 5.00 och 7.30) Kursadinistratör: nna Wahlund, Tel. 8 57, eail anna.wahlund@liu.se ntal uppifter: 6 Hjälpedel: Ina hjälpedel; (Forelblad bifoas). Svar anslås på Mekaniks anslastavla efter skrivninstillfället (In. 7 C-korr.). Tentan länas efter rättnin till Studerandeepeditionen i -huset, in 9C. Betysränser: 5 = -5 p 4 = 9- p 3 = 6-8 p = 0-5 p (UK) Totalt antal sidor inkl. försättsbladet: 7

2 Teoridel: ) Centroiden för en yta definieras so bekant so punkten r C r d. d Utå från definitionen ovan och visa att centroidens läe i y-led för arean so beränsas av -aeln sat kurvan y = /a och linjen = a i fiuren es av: 3a yc (p) 0 y y a a a) Utå från Newtons kraftla F a och definitionen av rörelseänd G v och härled ipulslaen för en partikel, dvs t t F dt G G (p)

3 b) En partikels bana i polära koordinater es av r = r(t) och (t) där t är tiden, se fiur. y e e r r fit Visa att partikelns hastihetsvektor v i polära koordinater kan skrivas v r e r rθ e (p) Probledel: 3) En tunn horisontell stån O ed assan och länden L hålles i jävikt ed hjälp av ett snöre och en vikt ed assan so är placerad på stånen enlit fiur. Snöret är fäst vid änden och löper sedan över en fi trissa vid B och sedan vertikalt nedåt där det är fäst i vikten. Snöret bildar vinkeln =30 rader ot stånen och all friktion kan försuas. a) Beräkna drakraften i snöret sat reaktionskraftens och y koponent vid O. (p) b) Beräkna noralkraften (kontaktkraften) ellan vikten och stånen. (p) L L B y O

4 4) En liten kula ed assan släpps från vila vid läe på höjden h ovanför B enlit fiur. När kulan når läe B stöter den ihop ed en låda ed assan och fastnar i lådan i en fullständit plastisk stöt (e=0). Före stöten är lådan stillastående och kulans hastihet vid B är horisontell. Kulans rörelse ellan och B sker utan friktion edan rörelsen efter stöten sker ed friktion där den kinetiska friktionskoefficienten är ellan lådan och det horisontella underlaet. Man observerar att lådan (ed kulan inuti) stannar vid läe C då den rört si sträckan s. Beräkna brossträckan s. (3p) friktionsfritt h B s C 3

5 5) En liten hylsa ed assan kan röra si från till C läns en stån enlit fiur. Hylsan släpps utan hastihet vid läe på höjden R ovanför B. Hylsan rör si först vertikalt nedåt och ellan B och C följer den en halvcirkel ed radien R enlit fiur. Beräkna noralkraften på hylsan från stånen so funktion av vinkeln under den cirkulära delen av banan ellan B och C. Inen friktion och fjäderkonstanten är k=/r och fjäderns ospända länd är L 0 =R. (3p) R k B R C 6) Ett svänande syste består av en platta ed assan so är fäst i två likadana fjädrar ed fjäderkonstanten k vardera. På plattan placeras sedan en låda ed assan enlit fiur. 9 Systeet startas eno att an släpper systeet från vila i ett läe där L0 4 k. Beräkna noralkraften ellan lådan och plattan so funktion av tiden t för den efterföljande rörelsen. Låt t = 0 då systeet startas. Fjädrarnas ospända länd är L 0. (3p) k k

6 Forelblad so bifoas tentaen i Partikeldynaik: Kineatik: Hastihet och acceleration Naturlia koponenter n t v = ṡe t a = se t + ṡ ρ e n Krökninen κ och krökninsradien ρ för en kurva = (u), y = y(u) es av: κ = d y d du du dy d du du { } 3/, ρ = /κ ( d du ) + ( dy du ) Polära koordinater r θ v = ṙe r + r θe θ a = ( r r θ )e r + (r θ + ṙ θ)e θ Kinetik: Kraftlaen F = a Mekaniska enerisatsen där U = U = T + V + V e F dr, T = v, V = h, V e = k

7 Ipuls och ipulsoentekvationen t t t Fdt = G G, M o dt = H o H o, t M o = r F G = v H o = r v Stöttal e = (v ) n (v ) n (v ) n (v ) n Svänninar ẍ + ζω n ẋ + ωn = ω n + F 0 sinωt + F 0 cosωt Lösninen till differentialekvationen ovan kan skrivas = h + p. Hooena lösninen h es av: ζ >, h = e ωnt( ζ+ ζ ) + Be ωnt( ζ ζ ) ζ =, h = ( + Bt)e ωnt ζ <, h = e ζωnt (cosω d t + Bsinω d t) = Ce ζωnt sin(ω d t + Ψ) ω d = ω n ζ Partikulärlösninen p vid en haronisk störninskraft beräknas ed ansatsen: p = C + C cosωt + C 3 sinωt o ζ = 0 förutsättes att ω ω n