Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik

Transkript

1 Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik TMME , kl Tentamenskod: TEN1 Tentasal: TER1, TER2, TERE, TERF Examinator: Peter Schmidt Tentajour: Peter Schmidt, Tel , (Besöker salarna ca 15.00) Kursadministratör: Anna Wahlund, Tel , anna.wahlund@liu.se Antal uppifter: 6 Hjälpmedel: Ina hjälpmedel; (Formelblad bifoas). Svar anslås på Mekaniks anslastavla efter skrivninstillfället (In. A17 C-korr.). Tentan lämnas efter rättnin till Studerandeexpeditionen i A-huset, in 19C. Betysränser: 5 = p 4 = 9-11 p 3 = 6-8 p 1 = 0-5 p (UK) Totalt antal sidor inkl. försättsbladet: 6

2 Tentamen i Mekanik I del 1, TMME27, Teoridel: 1) Masscentrum för en kropp definieras som bekant enlit nedan: r G = V V rρ d V ρ d V Betrakta en tunn homoen plåt med tjockleken t och där arean A utörs av en trianel med eometri enlit fiuren. Utå från definitionen och visa att masscentrums läe i y-led es av: y 4 a y G = 3 2a a A a 2a 3a x 2a) Utå från Newtons kraftla F = m a och definitionen av rörelsemänd G = mv och härled impulslaen för en partikel, dvs t2 F dt = G2 G1 t1 2b) Utå från definitionen av en krafts arbete som uträttas vid en förflyttnin från läet r1 till läet r2 läns en odtyckli kurva C r2 U = F d r r1,c och visa att tyndkraftens uträttade arbete är oberoende av väen mellan r1 och r2 och kan skrivas U = mh där h är förflyttninen i höjdled (vertikal förflyttnin uppåt).

3 Tentamen i Mekanik I del 1, TMME27, Problemdel: 3) Två stäner AB och BC med massan m och länden L vardera är sammankopplade enlit fiur. Systemet belastas enom att man drar i snöret med en vertikal kraft P. Snöret löper runt en trissa vid D och sedan horisontellt till E där det är fäst i stånen BC. Trissan är larad i mittpunkten på AB och trissans massa och radie kan försummas. Beräkna reaktionskraften vid A samt kraften från BC på AB vid B. Svara med x- och y-komponenterna. Försumma friktionen o och låt kraften P=2m samt θ = 30. (3p) P B θ θ m, L m, L D E. y A C x 4) En partikel med massan m är fäst i en fjäder enlit fiuren och es vid läe A en hastihet åt vänster läns ett horisontellt spår då fjädern är vertikal. Partikeln vänder sedan vid B då den rört si sträckan R och passerar därefter punkten A och följer sedan en cirkelbana med radien R där O är cirkelns mittpunkt. Fjäderkonstanten är k = 12m / R och fjäderns ospända länd är L 0 = R / 2. Beräkna normalkraften från banan på partikeln som funktion av vinkeln θ för den cirkulära delen av banan. Studera intervallet 0 θ π / 2. Försumma friktionen. (3p) B R A m k θ O

4 Tentamen i Mekanik I del 1, TMME27, ) En partikelpendel med en pendelkula med massan m och snörländen L släpps från vila vid A från en vinkel θ enlit fiur. När pendeln når lästa punkten stöter den samman med en annan stillastående partikel B med massan 4m. Stöttalet vid stöten är e = ½ och låt vinkeln θ = 60 o. Beräkna partiklarnas hastiheter omedelbart efter stöten samt sträckan s som B rör si innan den stannar om friktionskoefficienten mellan partikel B och marken är µ. (3p) A L θ s m 4m B µ 6) En platta med massan 2m är placerad på två fjädrar med fjäderkonstanten k vardera. En vikt med massan m är via ett snöre fäst i plattan enlit fiur. Systemet släpps från vila vid tiden t = 0 då fjädrarna har ospända länden L0. a) Beräkna kraften i snöret som funktion av tiden t för den efterföljande rörelsen. (2p) b) Efter hur lån tid efter starten når systemet sitt vändläe första ånen? 2m k m k

5 Formelblad som bifoas tentamen i Partikeldynamik: Kinematik: Hastihet och acceleration Naturlia komponenter n t v = ṡe t a = se t + ṡ2 ρ e n Krökninen κ och krökninsradien ρ för en kurva x = x(u), y = y(u) es av: κ = d 2 y dx du 2 du dy d 2 x du du { } 2 3/2, ρ = 1/κ ( dx du )2 + ( dy du )2 Polära koordinater r θ v = ṙe r + r θe θ a = ( r r θ 2 )e r + (r θ + 2ṙ θ)e θ Kinetik: Kraftlaen F = ma Mekaniska enerisatsen där U = 2 1 U = T + V + V e F dr, T = 1 2 mv2, V = mh, V e = 1 2 kx2 1

6 Impuls och impulsmomentekvationen t2 t2 t 1 Fdt = G2 G 1, M o dt = H o2 H o1, t 1 M o = r F G = mv H o = r mv Stöttal e = (v 2) n (v 1) n (v 1 ) n (v 2 ) n Svänninar ẍ + 2ζω n ẋ + ωn 2 x = ω2 n x 1 + F 01 m sinωt + F 02 m cosωt Lösninen till differentialekvationen ovan kan skrivas x = x h + x p. Homoena lösninen x h es av: ζ > 1, x h = Ae ωnt( ζ+ ζ 2 1) + Be ωnt( ζ ζ 2 1) ζ = 1, x h = (A + Bt)e ωnt ζ < 1, x h = e ζωnt (Acosω d t + Bsinω d t) = Ce ζωnt sin(ω d t + Ψ) ω d = ω n 1 ζ 2 Partikulärlösninen x p vid en harmonisk störninskraft beräknas med ansatsen: 1 x p = C 1 + C 2 cosωt + C 3 sinωt 1 om ζ = 0 förutsättes att ω ω n 2