LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 1. Systemets masscentrum G ligger hela tiden vid axeln. Kraftekvationen för hela systemet: F = ma

Transkript

1 LEDNINAR TILL PROBLEM I KAPITEL Obs! Till en fullstänig lösning kräs en figur! LP. Systeets asscentru ligger hela tien i axeln. Kraftekationen för hela systeet: F = a P = M+ x LP. Anän efinitionen a kinetisk energi. Varje kula har en cirkelrörelse. T = k k T = ( cω) + ( b + c ) ω + ( b + c ) ω LP.3 Lagen o kinetiska energins tå elar kan anänas. Sabanet = Rω är giet. T = + kk rel T = + ( R ) = ω LP.4 Den öre kulan har en fart bω i asscentrusysteet. Den absoluta hastigheten är ektorsuan a systeets hastighet och en relatia hastigheten = + rel. Rörelseäng efinieras p= k k en beräknas oftast enligt p= ( ωsin θ, ωcos θ, ) p bωsin θ, bωcos θ, p = + b b p= p + p = (,, )= e x LP.5 Kinetiska energin beräknas antingen so agn kulor T = T + T [ ] T = M + ( rωsinθ) + ( rωcosθ) + [ ( + rωsinθ) + ( rωcosθ) ]= ( M+ ) + r ω eller e lagen o kinetiska energins tå elar: T = + kk rel T = ( M+ ) + r ω

2 LP.6 LP.7 Rörelseängsoentet för ett partikelsyste e aseene på origo efinieras H = r O k k k a) H = be bωe + ( be + be ) bωe = b ωe + b ωe b ωe O x y x y x = b ωe + b ωe b) H = be bωe b ωe x A y x c) H = H e = b ω eller H = b ωe O LP.8 Rörelseängsoentet för ett partikelsyste e aseene på asscentru kan beräknas i asscentrusysteet enligt H = H rel I etta syste ser hjulet ut att rotera kring en fix axel geno centru. Enast e fyra periferipartiklarna birar. Räkna häar gånger rörelseäng och bestä riktningen e högerregeln. a) H rel = 4 R Rωe = 4R ωe b) Rörelseängsoentets tå elar skris HO = H + ro Insättning ger H = 4R ω e R 5e = 9Re O

3 LP.9 Rörelseängsoentets tå elar skris HO = H + ro Rörelseängsoentet för ett partikelsyste e aseene på asscentru kan beräknas i asscentrusysteet enligt H = H rel H rel = b ω e H = b ωe y e = b ω y e O LP. Inläningsuppgift på T just nu. LP. Begynnelseillkoret är t = x = x = Kraftekationen F = a ger o tråkraften kallas S för assan : : S kx = x för assan M: : Mg S = Mx Aeras essa tå ekationer eliineras en inre kraften S. Resultatet är en sängningsekation: Mg kx = ( M + ) x so kan skrias på stanarforen k x M x Mg + = + M+ Mg eller x + ω n x = M+ Den allänna lösningen är Mg x = Acosωt+ Bsinωt+ k x = Aωsinωt+ Bωcosωt Begynnelseillkoret ger Mg = Acos+ Bsin+ k A = = Aωsin+ Bωcos B = Mg k Lösningen är alltså Mg x = cosωt k

4 LP. a) I asscentrusysteet syns bara rotationen A rel = Rωeθ = Rωcosθex Rωsinθey b) Den absoluta hastigheten är A = + A rel = + Rωcosθ e Rωsinθe A x y LP.3 O agnens förflyttning är x åt höger blir låans förflyttning x åt änster. Tråkraften S på låan gör lika stort arbete so tråkraften S på agnen. Det totala arbetet blir ärför noll. Lagen o arbetet U = T T för hela systeet: Px µ gx µ gx = Mx + x ( P µ g) x ẋ = M+ Resultatet blir etsaa so när an räknar friktionskraftens arbete i en relatia förflyttningen x. LP.4 O plattforens förflyttning är x åt höger blir låans förflyttning x åt änster. Tråkraften S på låan gör å lika stort arbete so tråkraften S på plattforen. Det totala tråkraftarbetet blir ärför noll. Lagen o arbetet U = T T för hela systeet: Px µ g + µ ( M + ) g x µ g x Mx x [ ] = + ẋ = [ ] P µ 4+ M g x M+ 4 LP.5 Kraftekationen F = a för hela systeet: P : P + N g = N = g Lagen o arbetet U = T T för hela systeet: Kraften P är konstant. P ( bsinθ bsin β)= Pb = ( sinθ sin β)

5 LP.6 O stora låans förflyttning neråt är x blir lilla låans förflyttning x. Tråkraften S på stora låan gör å lika stort arbete so tråkraften S på lilla agnen. Det totala arbetet blir noll. Lagen o arbetet U = T T för hela systeet: kg xsin β + g xsin β = kx + ( x ) ( k+ ) gxsin β x = k + 4 Obserera att för k (lilla låan finns ej) blir x = gxsin β LP.7 Kropparna har lika stor förflyttning och aikelsen från utgångsläget kallas x. Tråkraften S är lika i hela tråen. S på en ena kroppen gör å lika stort arbete en e annat tecken so tråkraften S på en anra. Det totala tråkraftarbetet blir ärför noll. Den ekaniska energin bearas efterso e ena krafter so gör arbete (fjäerkraften och tyngkraften) är konseratia. T + V = T + V för hela systeet: x + px + kx + gsin β pgx = + x = k gp ( sin ) x + p x β LP.8 Kraftekationen F = a projicera i tangentialriktningen: 3c θ = Rt 3gsinθ () noralriktningen: 3cθ = Rn 3gcosθ () Nu åste θ och θ bestäas på annat sätt! Moentekationen M = H ger 3gc sin θ = [ + ( + ) ] t c θ b c θ 3gcsinθ = b + 3c θ (3) Lagen o ekaniska energins bearane T + V = T + V : c θ + ( b + c ) θ 3gc cos θ = + b + 3c θ 6gccosθ (4) = Sätt in (3) och (4) i () och ()! b R = 6 b c g b c t sinθ ; R n g + 3 = sinθ b + 3c

6 LP.9 De krafter so erkar är tyngkraft och kontaktkraft. Kontaktkraften gör inget arbete i rullning. Den ekaniska energin bearas alltså för hela systeet:: T + V = T + V ( Rω) 5gxsin β = + = gsin β x 9 LP. O agnens förflyttning åt höger är x, blir låans förflyttning x åt saa håll. Aikelsen från utgångsläget kallas x. Tråkraften S på låan gör å lika stort arbete en e otsatt tecken so tråkraften S på agnen. Det totala tråkraftarbetet blir ärför noll. Friktionskraften ellan låan och agnen är i glining f = µ N = µ g Lagen o arbetet U = T T för hela systeet: S f Px + µ g x µ g x = Mx + ( x ) ( P µ g) x ẋ = S M+ 4 N N f g S S P Efterso låans relatia förflyttning är x blir resultatet ẋ = P µ g M+ 4 LP. O alla förluster försuas är et bara tyngkraften so gör arbete. Systeet är konseratit och en ekaniska energin bearas: T + V = T + V för hela systeet: Låt en potentiella energin ara noll i slutläget. + = + g y Tågets asscentru beräknas so asscentru för en kurbåge. Masscentru för en kurbåge otsarane en inkel β är y = sin β R. Här är R β = l β = l β R Insättning ger g R = + 4 l l sin R

7 LP. O prisats förflyttning är x blir cylinerns höjänring x tan β. Motsarane hastigheter är å ẋ respektie x tan β. O all friktion försuas är et bara tyngkraften so gör arbete. Noralkrafterna gör tillsaans inget arbete. Den ekaniska energin bearas: T + V = T + V för hela systeet: M x tan β x Mgxtan β + = + x = Mgxtan β Mtan β + LP.3 Kropparna rör sig friktionsfritt. Det finns å ingen yttre horisontell kraft på hela systeet. Kraftekationen säger å att systeets rörelseäng är en rörelsekonstant. Kraftekationen F = a Fx = x = x x : p + + p p p + = konstant () Här har antagits att är asscentrus hastighet åt änster å fjäerförkortningen är axial. Efterso fjäerkraften är en ena kraft so gör arbete bearas också en ekaniska energin T + V = T + V för hela systeet: + p = kδ + ( p + ) = p kδ p () Insättning a () i ()! δ = p ( p+ ) k

8 LP.4 Kulan A har en cirkelrörelse. Farten kan å skrias raien gånger inkelhastigheten: = A b + c θ. Bestä alltså θ so funktion a tien! Moentekationen e aseene på en fixa punkten O M O = H kan projiceras på -axeln M = H, ilket ger O [ ] M t c b c = θ + ( + ) θ M = ( b + 3 c ) θ M θ = b + 3c θ är alltså konstant och tisintegrering ger θ Mt = b + 3c b c M t = + A b + 3c Kraftekationen F = a projicera i tangentialriktningen: R = 3 t c cm θ R = 3 t b + 3c noralriktningen: R = 3 n cθ cm t R = 3 n b + 3c LP.5 Krafterna på systeet är tyngkraft 5g, noralkraft N och friktionskraft f. Kraftekationen F = a i rörelseriktningen: 5gsin β f = 5x () Moentekationen M = H e aseene på en horisontell axel geno M = H ger f R = R R t 4 θ eller f = 4R θ () Eliinera friktionskraften f aera ekationerna () och (). Rullningsillkoret är giet i texten: x = Rθ x = R θ (3) Insättning a () och (3) i () ger x = 5 gsin β 9

9 LP.6 Vagnarna rör sig friktionsfritt. Det finns å ingen yttre horisontell kraft på hela systeet. Kraftekationen säger å att systeets rörelseäng är en rörelsekonstant. Kraftekationen F = p F = p = ṗ x p x = rörelsekonstant x x Antag att en änstra agnens nya hastighet är åt höger och en högra agnens nya hastighet är åt änster. Rörelseängen är hela tien ensaa: ( + ) = ( + ) + ( + ) : + M M M M M M = ( + ) + [ ] () ( + ) = ( + ) ( + ) : + M M M M O () sätts in i enna ekation fås M M = [( + ) ] + O assorna är lika : M = fås = [ 3 ]; = 3 Den nya relatia farten för agnarna blir å 3 5 rel = + = 6 [ ] LP.7 Det finns inget yttre kraftoent e aseene på en ertikal axel geno en fixa punkten O so erkar på hela systeet. Moentekationen M = H för hela systeet: = Ḣ H är en rörelsekonstant: l ( sin β) ω + kl ( sin β) ω = k( lsin β) ω ω = + k ω 4k b) Friktionskrafter saknas. Noralkrafterna på partikel och rör gör tillsaans inget arbete. Enast tyngkraften gör arbete och en ekaniska energin bearas för hela systeet. T + V = T + V ger o u är en relatia hastigheten. ( lsin βω ) + k( lsin βω ) + = u + k u +( lsin βω) glcosβ kglcosβ [ ] + 9k ( k ) u= ( lsin βω ) + glcosβ 6( k + ) k +

10 LP.8 LP.9 Tråkraft S, noralkraft N, friktionskraft f och tyngkraft g erkar på kroppen på planet. Den hängane kroppen påerkas a tråkraft S och tyngkraft Mg. De båa tråkrafterna gör lika stort arbete så att et totala tråkraftarbetet blir noll. Friktionskraften är i glining f = µ N = µ g. Tyngkraftens och friktionskraftens arbete bestäs so kraft gånger äg ean fjäerkraftens arbete åste bestäas e integrering efterso fjäerkraften ej är konstant. Lagen o kinetiska energin U = T T för hela systeet: Mgx µ gx kx = Mx + x ẋ = ( Mgx µ gx kx ) M+

11 LP.3 Friktionskrafter saknas. Det totala tråkraftarbetet blir noll efterso tråen är oelastisk. Noralkraften på kropp A gör inget arbete. Enast tyngkraften gör arbete och en ekaniska energin bearas. Lagen o ekaniska energins bearane T + V = T + V för hela systeet ger för e tå tillstån å farten är noll π β + AgR( cosβ)+ = + + Bg R Rsin 4 β β cos + sin A = cosβ B LP.3 Till en början är förflyttningarna för kropparna lika. Tråkraften S är ensaa i hela en öre tråen. Tråkrafternas totala arbete är å noll. Saa resoneang gäller en korta tråen. Tyngkraften är en ena kraft so gör arbete för en första fasen a rörelsen och systeet är konseratit. Lagen o ekaniska energins bearane T + V = T + V för hela systeet ger för begynnelsetillstånet och tillstånet strax innan en unre ikten stöter ot golet + + k + kgh gh = + 4 k k gh + Nu är en unre ikten i ila och har förlorat energi i stöten ot golet. Efter stöten gäller ock lagen o ekaniska energins bearane för resten a systeet. Låt ara farten just innan ikterna nuar aranra. + k + kgl gl = + k + ( ) ( + ) k k gl + k 4 k k k gh = Villkoret = ger å l ( ) ( + ) = + k k k k h

12 LP.4 Raketekationen e biillkor skris F+ q q = p qi t Ströningen är stationär. Den ser likaan ut i alla tipunkter och alla tiseriator är ärför noll. Massflöet in är lika e assflöet ut och kan skrias q qi = = ρ Q. Vattnet i sjön har hastigheten noll. Insättning ger : S+ q qcos = + t β t q q t S qcosβ = S= ρqcosβ LP.4 Raketekationen e biillkor skris F+ q q = p qi t Ströningen är stationär. Den ser likaan ut i alla tipunkter och alla tiseriator är noll. Massflöet in är lika e assflöet ut och kan skrias q qi =. Flygplanets hastighet är konstant. Antag att otstånskraften är F D. Agasernas absoluta hastighet fraåt är u. Insättning ger : F + q q( u)= + t D q q t F q u D = Detta gäller o bränslets anel a agasernas assa försuas.

13 LP.4 Raketekationen e biillkor skris F+ q q = p qi t Ströningen är stationär. Den ser likaan ut i alla tipunkter och alla tiseriator är noll. Massflöet in är lika e assflöet ut och kan skrias q q = q = ρπr u. Insättning ger i u : g + N + q ( u) q ( cos )= + t i u β t = qi g + N + q cos β = N = g+ q u cosβ N = g+ ρπr u u cosβ LP.45 Raketekationen e biillkor skris F+ q q = p qi t Det finns ingen yttre kraft i rörelseriktningen. Massflöet in har en ertikal hastighet. Massflöet ut är noll. Insättning ger ( ) t : + q = + t t q t = = (en rörelsekonstant) = x t = (kejeregeln) x = t x = q x = q + ln

14 LP.46 Raketekationen e biillkor skris F+ q q = p qi t O granaterna skjuts iäg fraåt koer flygplanets hastighet att inska o inget görs. Antag att et kräs en extra ragkraft F för att hålla hastigheten konstant! Systeets totala assa betecknas. Varje granat har en absoluta hastigheten + rel, är är flygplanets hastighet. Insättning ger : F + q ( + )= + t u rel t t F t t + ( + rel)= + F + ( t + )= t rel F t rel F n rel F = 7 (. 64 kg ) ( 9 /s ) 4. 3 kn

15 LP.47 Raketekationen e biillkor skris F+ q q = p qi t Insättning ger : g + S + q( usin )= + t β t q t I första ögonblicket är farten noll och accelerationen a. Det totala assflöet ut ifrån hinken är q. g + S + sin β q + a S= g sin β + a S= ( + ) ( g+ a) sin β LP.48 Raketekationen e biillkor skris F+ q q = p qi t Betrakta kejan so ligger på hyllan. Låt et ara systeet. Antag att hyllan påerkar kejan e kraften N. Insättning ger : g + N + q = + t i t qi t Systeet har accelerationen a och hastigheten ẏ = at. Den öersta länken, likso e anra oanför systeet, faller fritt så att ẋ = gt. Hur lång är en keja so per ti koer in i systeet? Den är x + y. Massflöet in i systeet är alltså qi = ρ x + y. ρ( x+ y) g+ N + ρ( x + y )( gt) = ρ( x + y ) at+ ρ( x+ y) a ( + ) + ( + )( + ) N = ρ gt+ at g a t ρ x y g a 3 N = ρ ( g+ a) t

16 LP.49 Raketekationen e biillkor skris F+ q q = p qi t Insättning ger : g + q( u)= + t t q t g q ( u )= q + t g + = t g + = t g = u q g q u + = ( + )+ ln LP.5 Raketekationen e biillkor skris F+ q q = p qi t Insättning ger : g + q( u)= + t t q t g q ( u )= q + t g + = t g + = t g q u = ( ) ln g = u q