LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 13. Systemets masscentrum G ligger hela tiden vid axeln. Kraftekvationen för hela systemet:

Transkript

1 LEDNINAR TILL PROBLEM I KAPITEL 3 LP 3. Systeets asscentru ligger hela tiden id aeln. Krafteationen för hela systeet: F = a P = M+ LP 3. Anänd definitionen a inetis energi. Varje ula har en cirelrörelse. T = T = ( cω) + ( b + c ) ω + ( b + c ) ω LP 3.3 Lagen o inetisa energins tå delar an anändas. Sabandet = Rω är giet. T = + rel T = + ( R ) = ω LP 3.4 Den öre ulan har en fart bω i asscentrusysteet. Den absoluta hastigheten är etorsuan a systeets hastighet och den relatia hastigheten = + rel. Rörelseängd definieras p = en beränas oftast enligt p= p = bωsin θ, bωcos θ, p = + bωsin θ, bωcos θ, p= p + p = (,, )= e

2 LP 3.5 Kinetisa energin beränas antingen so agn ulor T = T + T [ ] T = M + ( rωsinθ) + ( rωcosθ) + [ ( + rωsinθ) + ( rωcosθ) ]= ( M+ ) + r ω eller ed lagen o inetisa energins tå delar: T = + rel T = ( M+ ) + r ω LP 3.6 Tecna först ulornas oordinater och tidsderiera för att få hastigheten. = A b sinθ = b θ A cos θ y = B b cosθ y = b θ B sin θ () Kinetisa energin beränas här ed definitionen T = + T = ( b θ cosθ ) + b θ cosθ Sätt in sabandet (): T = b bsinθ cos θ + = + tan θ LP 3.7 Rörelseängdsoentet för ett partielsyste ed aseende på origo definieras H = r O a) H = be bωe + ( be + be ) bωe O y y = b ωe + b ωe b ωe = b ωe + b ωe b) H = be bωe = b ωe A y c) H = H e = b ω eller H = b ωe O

3 LP 3.8 Krafteationen F = a projicerad i tangentialritningen: 3c θ = R 3gsinθ noralritningen: 3cθ = R 3gcosθ t n LP 3.9 a) I asscentrusysteet syns bara rotationen rel = Rωeθ = Rωcosθe Rωsinθe A y b) Den absoluta hastigheten är A = + A rel = + Rωcosθ e Rωsinθe A y LP 3. O agnens förflyttning är åt höger blir lådans förflyttning åt änster. Trådraften S på lådan gör lia stort arbete so trådraften S på agnen. Det totala arbetet blir därför noll. Lagen o inetisa energin U = T T för hela systeet: P µ g µ g = M + ẋ = ( P µ g) M+ Resultatet blir detsaa so när an ränar fritionsraftens arbete id den relatia förflyttningen. LP 3. Krafteationen F = a för hela systeet: P : P + N g = N = g Lagen o inetisa energin U = T T för hela systeet: Kraften P är onstant. P ( bsinθ bsin β)= Pb = ( sinθ sin β)

4 LP 3. O stora lådans förflyttning neråt är blir lilla lådans förflyttning. Trådraften S på stora lådan gör då lia stort arbete so trådraften S på lilla agnen. Det totala arbetet blir noll. Lagen o inetisa energin U = T T för hela systeet: g sin β g sin β + = + = + gsin β + 4 Obserera att för (lilla lådan finns ej) blir = gsin β LP 3.3 Kropparna har lia stor förflyttning och aielsen från utgångsläget allas. Trådraften S är lia i hela tråden. S på den ena roppen gör då lia stort arbete en ed annat tecen so trådraften S på den andra. Det totala trådraftarbetet blir därför noll. Den eanisa energin bearas efterso de enda rafter so gör arbete (fjäderraften och tyngdraften) är onseratia. T + V = T + V för hela systeet: + p + + gsin β pg = + = gp sin + p β

5 LP 3.4 Krafteationen F = a projicerad i tangentialritningen: 3c θ = Rt 3gsinθ () noralritningen: 3cθ = R 3gcosθ () Nu åste θ och θ bestäas på annat sätt! n Moenteationen M = H ger [ ] 3gc sin d θ = + ( + ) t c θ b c θ d 3gcsinθ = b + 3c θ (3) Lagen o eanisa energins bearande T + V = T + V: c θ + ( b + c ) θ 3gc cos θ = + = b + 3c θ 6gccosθ (4) Sätt in (3) och (4) i () och ()! b R = 6 b c g b c t sinθ ; R n g + 3 = sinθ b + 3c LP 3.5 O agnens förflyttning åt höger är blir lådans förflyttning åt saa håll. aielsen från utgångsläget allas. Trådraften S på lådan gör då lia stort arbete en ed otsatt tecen so trådraften S på agnen. Det totala trådraftarbetet blir därför noll. Fritionsraften ellan lådan och agnen är id glidning f = µ N = µ g Lagen o inetisa energin U = T T för hela systeet: P µ g µ g M + = + S f N N f g S S S P ẋ = P µ g M+ 4 Efterso lådans relatia förflyttning är blir resultatet ẋ = P µ g d M+ 4

6 LP 3.6 O alla förluster försuas är det bara tyngdraften so gör arbete. Systeet är onseratit och den eanisa energin bearas: T + V = T + V för hela systeet: Låt den potentiella energin ara noll i slutläget. + = + g y Tågets asscentru beränas so asscentru för en urbåge. Masscentru för en urbåge otsarande en inel β är y = sin β R. β Här är R β = l β = l R Insättning ger g R l = + 4 sin l R LP 3.7 Kropparna rör sig fritionsfritt. Det finns då ingen yttre horisontell raft på hela systeet. Krafteationen säger då att systeets rörelseängd är en rörelseonstant. Krafteationen F = a F = = : p + = + p p = p + = onstant () Här har antagits att är asscentrus hastighet åt änster då fjäderförortningen är aial. Efterso fjäderraften är den enda raft so gör arbete bearas ocså den eanisa energin T + V = T + V för hela systeet: + p = δ + ( p + ) = + ( + ) + p δ p () p Insättning a () i ()! δ = p+

7 LP 3.8 Begynnelseilloret är t = = = Krafteationen F = a ger o trådraften allas S för assan : : S = för assan M: : Mg S = M Adderas dessa tå eationer eliineras den inre raften S. Resultatet är en sängningseation: Mg = ( M + ) so an srias på standardforen + M Mg = + M+ eller + ω = n Mg M+ Den allänna lösningen är Begynnelseilloret ger Mg = Acosωt+ Bsinωt+ = Aωsinωt+ Bωcosωt Mg = Acos+ Bsin+ A = = Aωsin+ Bωcos B = Mg Lösningen är alltså Mg = cosωt

8 LP 3.9 Kulan A har en cirelrörelse. Farten an då srias radien gånger inelhastigheten: = A b + c θ. Bestä alltså θ so funtion a tiden! Moenteationen ed aseende på den fia punten O M = H an projiceras på -aeln M = H, ilet ger O O [ ] d M t c b c = θ + ( + ) θ d M = ( b + 3 c ) θ θ = M ( b + 3c ) θ är alltså onstant och tidsintegrering ger θ = b c M t = + A b + 3c Krafteationen F = a projicerad i Mt ( b + 3c ) tangentialritningen: R = 3 t c cm θ R = 3 t b + 3c noralritningen: R = 3 n cθ cm t R = 3 n b + 3c LP 3. Krafterna på systeet är tyngdraft 5g, noralraft N och fritionsraft f. Krafteationen F = a i rörelseritningen: 5gsin β f = 5 () Moenteationen M = H ed aseende på en horisontell ael geno M = H ger d f R = R R dt 4 θ eller f = 4R θ () Eliinera fritionsraften f addera eationerna () och (). Rullningsilloret är giet i teten: = Rθ = R θ (3) Insättning a () och (3) i () ger = 5 gsin β 9

9 LP 3. Vagnarna rör sig fritionsfritt. Det finns då ingen yttre horisontell raft på hela systeet. Krafteationen säger då att systeets rörelseängd är en rörelseonstant. Krafteationen F = p F = p = ṗ p = rörelseonstant Antag att den änstra agnens nya hastighet är åt höger och den högra agnens nya hastighet är åt änster. Rörelseängden är hela tiden densaa: ( + ) = ( + ) + ( + ) : + M M M M M M = ( + ) + [ ] () ( + ) = ( + ) ( + ) : + M M M M O () sätts in i denna eation fås = ( M M + + ) [ ] O assorna är lia : M = fås = [ 3 ]; = 3 Den nya relatia farten för agnarna blir då 3 5 rel = + = 6 [ ]

10 LP 3. Det finns inget yttre raftoent ed aseende på en ertial ael geno den fia punten O so erar på hela systeet. Moenteationen M = H för hela systeet = Ḣ H är en rörelseonstant: l ( sin β) ω + l ( sin β) ω = ( lsin β) ω ω = + ω 4 b) Fritionsrafter sanas. Noralrafterna på partiel och rör gör tillsaans inget arbete. Endast tyngdraften gör arbete och den eanisa energin bearas. T + V = T + V för hela systeet ger o u är den relatia hastigheten. ( lsin βω ) + ( lsin βω ) + = u + u +( lsin βω) glcosβ glcosβ [ ] + u lsin βω = 9 + glcosβ 6( + ) + LP 3.3 Kulorna har farten bθ och tyngden har saa fart rθ so cirelsians periferi. Rörelseängdsoentet för tyngden bestäs so häar gånger rörelseängd. Moenteationen för hela systeet ed aseende på rotationsaeln: M = H d gr = b + r r dt θ θ gr = b + r θ θ = gr b + r Alternatit utnyttjas lagen o eanisa energin. Tyngden sjuner sträcan rθ och asscentru för ulorna ändrar ej niå. Lagen o eanisa energins bearande T + V = T + V för hela systeet b θ + ( rθ ) grθ = + Tidsderiering ger b θθ + r θθ = grθ θ = gr b + r

11 LP 3.4 Trådraft S, noralraft N, fritionsraft f och tyngdraft g erar på roppen på planet. Den hängande roppen påeras a trådraft S och tyngdraft Mg. De båda trådrafterna gör lia stort arbete så att det totala trådraftarbetet blir noll. Fritionsraften är id glidning f = µ N = µ g. Tyngdraftens och fritionsraftens arbete bestäs so raft gånger äg edan fjäderraftens arbete åste bestäas ed integrering efterso fjäderraften ej är onstant. Lagen o inetisa energin U = T T för hela systeet: Mg µ g = M + ẋ = ( Mg µ g ) M+ LP 3.5 Fritionsrafter sanas. Det totala trådraftarbetet blir noll efterso tråden är oelastis. Noralraften på ropp A gör inget arbete. Endast tyngdraften gör arbete och den eanisa energin bearas. Lagen o eanisa energins bearande T + V = T + V för hela systeet ger för de tå tillstånd då farten är noll π β + AgR( cosβ)+ = + + Bg R Rsin 4 A B = β β cos + sin cosβ

12 LP 3.6 Till en början är förflyttningarna för ropparna lia. Trådraften S är densaa i hela den öre tråden. Trådrafternas totala arbete är då noll. Saa resoneang gäller den orta tråden. Tyngdraften är den enda raft so gör arbete för den första fasen a rörelsen och systeet är onseratit. Lagen o eanisa energins bearande T + V = T + V för hela systeet ger för begynnelsetillståndet och tillståndet stra innan den undre iten stöter ot golet gh gh = + 4 gh = + Nu är den undre iten i ila och har förlorat energi id stöten ot golet. Efter stöten gäller doc lagen o eanisa energins bearande för resten a systeet. Låt ara farten just innan iterna nuddar arandra. + + gl gl = + + ( ) ( + ) gl + 4 gh = Villoret = ger då l ( ) ( + ) = + h