Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar.

Transkript

1 Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysialisa lagar. 1. Newtons gravitationslag och Newtons andra lag. Vi placerar ett rätvinligt oordinatsystem i solsystemet med solens medelpunt i origo. Till varje planet (eller för att vara mer exat, dess medelpunt) hör då en ortsvetor allad radiusvetor, som vi betecnar med r. Det är inte självlart att planetens rörelse ligger i ett plan, men vi fördjupar oss inte i att argumentera för detta utan tar det för givet. Vårt oordinatsystem är således ett oordinatsystem i planet och vi sriver r = (x, y). Längden av r betecnar vi r och har alltså r = r och r 2 = x 2 + y 2. Observera att r är avståndet från planeten till solen. Vi betecnar vetorer med fet stil och salärer med vanlig stil. Sriver du för hand, så an du istället för fetstil marera vetorer med ett strec: r. Deriverar vi en gång med avseende på tiden t får vi hastighetsvetorn v = r (t) och vi sätter v = v (1.1) Längden v av hastigheten v allas fart. Derivator med avseende på tiden bruar betecnas med en pric dx = ẋ, dy = ẏ så vi har v = (ẋ, ẏ) och v2 = ẋ 2 + ẏ 2 (1.2) Deriverar vi ytterligare en gång får vi accelerationsvetorn a = r (t) = v (t) = (ẍ, ÿ) (1.3) Ett annat sätt att ange en punts läge, som vi ju änner till från våra studier av ellipsen, är att använda polära oordinater r, θ. Vi låter θ = 0 längs med positiva x-axeln. Vi an notera att vi inte har bestämt oss för axlarnas ritningar (mer än att de är vinelräta och har vanlig positiv orientering). Låt oss hålla det öppet. Vi har sambanden x = r cos θ, y = r sin θ, r 2 = x 2 + y 2 (1.4) Låt oss derivera dessa samband! Vi behöver änna till produtregeln för derivering som ger ẋ = dr d cos θ cos θ + r och vi behöver ocså minnas edjeregeln (hur en sammansatt funtion deriveras): d cos θ = sin θ Vi sammanställer nu detta och använder betecningarna ṙ = dr och θ = 1

2 ẋ = ṙ cos θ θ r sin θ och ẏ = ṙ sin θ + θ r cos θ (1.5) Lite omplicerat, det erännes. Vi sall återomma till detta om en stund. Men låt oss först påminna oss Newtons gravitationslag (tyngdlagen). Den an uttrycas så, att solens dragningsraft på en planet är proportionell mot solens massa och planetens massa och omvänt proportionell mot vadraten på avståndet mellan solens och planetens medelpunter. Man sriver ofta: F = GMm r 2 där F är raften, M är solens massa, m är jordens massa och G är en onstant. G är universell d.v.s. samma samband mellan gravitationsraft, massor och avstånd råder för två goycliga roppar. Som beant insåg Newton att det är samma raft som håller månen i en bana runt jorden som får ett äpple att falla. Gravitationslagen formulerad på detta förenlade sätt säger inte något om raftens ritning. Kraften som verar på planeten är förstås ritad mot solen. En enhetsvetor (d.v.s. en vetor av längd 1) ritad från planeten till solen är r r. Låter vi F betecna raften som vetor har vi alltså Observera r 3 i nämnaren. F = GMm r 3 r (1.6) Newton ände förstås till Keplers lagar, och det var i själva veret med utgångspunt i dessa som han resonerade sig fram till sin gravitationslag. Men när man ser resultatet, så nog är väl gravitationslagen mer intuitivt lättsmält än Keplers lagar? Det vi sall göra, och som Newton ocså gjorde, är att med utgångspunt i gravitationslagen härleda Keplers lagar. Till vår hjälp behöver vi ocså Newtons rörelselagar. Begreppsbildningen i fysi fungerar på ett annat sätt än vi är vana vid i matematien där vi preciserar begreppen i definitioner (utom s.. grundbegrepp, som tolas intuitivt, alternativt lämnas öppna för fri tolning). Ett begrepp i fysien, som inte är det lättaste, är begreppet raft. Newton gav i sina rörelselagar ett värdefullt bidrag till förståelsen av detta begrepp. Newton menar (Newtons första lag eller tröghetslagen) att en ropp som befinner sig i rätlinjig rörelse med onstant fart (alternativt uttryct som rör sig med onstant hastighet; silj mellan hastighet och fart) fortsätter med detta så länge inte någon raft påverar roppen. Även Galilei var på det lara med detta. Om däremot, fortsätter Newton, roppen utsätts för en raft, accelererar roppen i raftens ritning, och accelerationens storle är proportionell mot raften och omvänt proportionell mot roppens massa. Vi an uttryca detta som att a = K F m, där K är en onstant. Värdet av onstanten K beror av i vila enheter vi mäter raft, massa, sträca och tid. Använder man SI-systemet så blir = 1. Kraften mäts då i enheten Newton och vi an se det som definitionen av 1 Newton. Vi formulerar nu denna lag (allad Newtons andra lag) på följande sätt: 2

3 F = ma (1.7) Nu är det ju gravitationsraften vi studerar, så vi an ombinera evation (1.6) med evation (1.7), Newtons gravitationslag med Newtons andra lag. Vi får då a = GM r 3 r = r 3 r (1.8) där = GM ju är onstant så länge vi håller oss i vårt eget solsystem. Alternativt an vi uttryca detta oordinatvis ẍ = r 3 x ÿ = (1.9) r 3 y Vi an eliminera r ur dessa evationer genom att multiplicera andra evationen med x och första evationen med y och subtrahera: Vänsterledet här är en exat derivata. Vi får nämligen Övning 1. Visa att xÿ ẍy = 0 (1.10) d (xẏ ẋy) = xÿ ẍy (1.11) Vi har alltså d (xẏ ẋy) = 0, vilet innebär att det finns en onstant h så att xẏ ẋy = h (1.12) Observera att h varierar från planet till planet i motsats till, som är densamma för alla planeter i vårt solsystem. 2. Keplers andra lag. Vi minns ju definitionen av 2 2-determinanter: a b c d = ad bc. Det ger oss möjlighet att formulera evation (1.12) på detta sätt: x ẋ y ẏ = h (2.1) Innan vi går vidare sall vi översätta evation (1.12) (eller evivalent (2.1)) till polära oordinater. Det gör du genom att använda evation (1.5): 3

4 Övning 2. r 2 θ = h (2.2) Minns nu ocså att absolutbeloppet av a b c d är arean av den parallellogram som spänns upp av vetorerna (a, c) och (b, d). Om du inte minns detta, så bevisar du det! Arean av den parallellogram som spänns upp av planetens ortsvetor r och hastighetsvetor v är alltså onstant=h. Figuren nedan visar planetens utgångsläge r 0 (vi täner oss ett sådant då t = t 0 ), läget r vid en viss tidpunt och läget vid en tidpunt t senare: Vi täner oss här att t är litet, så att rörelsen under detta lilla tidsintervall ap an anses rätlinjig. Lägesförändringen är hastigheten gånger tiden, d.v.s. t marerat i figuren. Då planeten rör sig i planet så sveper radiusvetor (ortsv ett område. Hur stor är arean A(t) av det område som radiusvetor svepe ett visst tidsintervall [t 0, t]? Vi an beräna derivatan A (t) genom att divid triangeln i figuren med t och sedan gå i limes. Arean av triangeln är hä som arean av parallellogrammen som spänns upp av r och t v, och detta ä 1 2 x y ẋ t ẏ t Dividerar vi med t och låter t 0 får vi derivatan A (t) = 1 2 x ẋ y ẏ = h 2 Derivatan är onstant, vilet innebär att A(t) = h 2 (t t 0), där förstås t 0 an utgångspunt som helst. Under ett tidsintervall av längd T sveper alltså över en yta med arean h 2 T (vi sall senare använda detta då T är planeten runt solen). Vi har nu hastigt och lustigt bevisat Keplers andra lag med utg Newtons andra lag och Newtons gravitationslag: Keplers andra lag: Arean av den yta som radiusvetor sveper över under ett tervall är proportionell mot tidsintervallets längd:

5 A = h 2 T (2.4) där h är en för oss än så länge oänd onstant, som doc har olia värden för olia planeter. Förhoppningsvis an h bestämmas genom observationer av planetens rörelse. Då planeten befinner sig nära solen måste alltså planeten röra sig fortare än då planeten befinner sig långt bort från solen. Det är i och för sig rätt naturligt. En boll som faller mot jordytan accelereras av tyngdraften. När avståndet mellan planet och sol minsar, faller så att säga planeten mot solen och rörelsen accelererar. 3. Planeterna rör sig i ellipser - Keplers första lag. Vi sall nu derivera fartfuntionens vadrat v 2 = ẋ 2 + ẏ 2 och förenla uttrycet med hjälp av evationerna (1.9). Vi unde ocså ge oss på att derivera v men det är förstås enlare att arbeta med v 2 och undvia rottecen. Den utredning som följer nu, (fram till (3.2), unde göras enlare om vi vore ritiga fysier och beanta med sådana begrepp som inetis och potentiell energi, men här har jag valt att undvia energibegreppet. Följ nu med i dessa räningar, där edjeregeln flitigt används: dv 2 = 2ẋẍ + 2ẏÿ = r 3 (2ẋx + 2ẏy) = d ( x 2 r 3 + y 2) = dr 2 r 3 = dr 2r r3 = 2 dr r 2 = 2 d ( ) 1 r (3.1) Observera sista steget där vi använder edjeregeln balänges. Övning 3. Visa nu v 2 = 2 r + C där C är ännu en onstant (3.2) I evation (1.5) har vi ẋ och ẏ uttrycta i polära oordinater. Visa nu Övning 4. v 2 = ṙ 2 + r 2 θ2 (3.3) Men vi har ju ocså evation (2.2), så du visar nu Övning 5 v 2 = ṙ 2 + h2 r 2 (3.4) Kombinerar vi nu evation (3.2) med evation (3.4) får vi 5

6 ṙ 2 + h2 r 2 = 2 r + C (3.5) Låt oss påminna oss vårt mål att visa att planeten rör sig i en elliptis bana. Vi har tidigare härlett ellipsens evation i polära oordinater, där r är en funtion av θ. Så snarare än ṙ sulle vi vilja använda oss av dr. Men sambanden dessa storheter emellan ges omedelbart av edjeregeln och du an nu visa Övning 6. som vi förstås sätter in i (3.5): vilet srivs om som ṙ = h r 2 dr ( h r 2 dr ) 2 + h2 r 2 = 2 r + C (3.6) ( ) 2 1 dr r r 2 2 h 2 1 r = C h 2 (3.7) Detta är en differentialevation, som ger oss ett samband mellan den funtion r(θ), som vi söer, och dess derivata. Att lösa differentialevationer an vara nog så nepigt. Vi får försöa hitta omsrivningar som gör evationen lättare att arbeta med. En vitig metod i matematis problemlösning är att substituera, och den metoden ommer vi använda flitigt. Vi börjar med att använda samma list som i (3.1), där vi använde edjeregeln balänges. Gör så, samt en vadratomplettering, och du får Övning 7. ( d ( )) 2 ( r r ) 2 h 2 = 2 h 4 + C h 2 (3.8) Det änns nu som en bra idé att göra substitutionen u = 1 r h. Observera att du 2 = ( d 1 ) r. Vi har alltså, där vi nu sätter D = 2 h + C 4 h. 2 ( ) 2 du + u 2 = D (3.9) Observera att det följer att D > 0. Ännu gladare sulle vi vara om vi hade D = 1, men det är lätt åstadommet med substitutionen u = z D. Av säl som ommer framgå strax, väljer vi doc u = z D och du får 6

7 Övning 8. ( ) 2 dz + z 2 = 1 (3.10) En trevlig liten differentialevation. Jag tycte precis jag hörde någon säga något om trigonometrisa ettan, och visst leder denna evation oss på sådana tanar. Låt oss testa med z = cos θ. Övning 9. Gör så, d.v.s visa att z = cos θ är en lösning till (3.10). Men det anse finns fler lösningar? Låt oss sätta z = cos q, där q är en funtion av θ. Eftersom (3.10) har onsevensen att z 1 är denna substitution fullt möjlig. Kedjeregeln igen ger oss nu ur vilet du omedelbart finner Övning 10 ( sin θ dq ) 2 + cos 2 q = 1 (3.11) dq = ±1 (3.12) som i förstone verar ha två lasser av lösningar som vi an sriva som q = θ θ 0 respetive q = θ + θ 0. Men när vi applicerar cosinusfuntionen leder detta till samma lass av lösningar: z = cos(θ θ 0 ) (3.13) Värdet av onstanten θ 0 beror av var vi lägger positiva x-axeln eller med andra ord den halvlinje där θ = 0. Låt oss lägga den så att θ 0 = 0. Då är alltså z = cos θ och efter att ha substituerat tillbaa finner du Övning 11. r = h 1 2 h D cos θ = 1 h2 D 2 cos θ = p 1 e cos θ (3.14) där p = h2 och e = h2 D. Om e < 1 är detta en ellips. Om e = 1 är det en parabel och om e > 1 är det en hyperbel, så planeterna rör sig i en elliptis, parabolis eller hyperbolis bana. Men å andra sidan har vi ju lagt märe till att planeterna med jämna mellanrum återommer till samma läge relativt solen, så vi an utesluta de två senare möjligheterna och onstatera 7

8 Keplers första lag: brännpunten. Planeterna rör sig i elliptisa banor runt solen, med solen i ena Vi ser ocså att r är som störst då nämnaren är som minst, vilet är då cos θ = 1, som inträffar då θ = 0 och då θ = 2nπ. När θ = 0 befinner sig planeten som längst från solen, s.. aphelium. 4. Keplers tredje lag. Låt oss studera planetbanan lite närmare. Vi vet sedan tidigare att om stor- och lillaxel är 2a respetive 2b, så är a = p 1 e och b = p πp2 2 1 e och ellipsens area är A = πab =. 2 (1 e 2 ) 3/2 Låt T vara ett planetår, d.v.s. planetens omloppstid runt solen. Enligt (2.4) är den area som radiusvetor sveper över under denna tid (d.v.s. ellipsens area) lia med ht 2 och vi har alltså och alltså ht 2 = πp 2 (1 e 2 ) 3/2 vilet tillsammans med h = p ger T = 2πp 2 ( 2π = p(1 e2 ) 3/2 p 1 e 2 ) 3/2 = 2π a 3/2 T 2 a 3 = 4π2 (4.1) Minns att är oberoende av vilen planet vi betratar, endast beroende av den allmänna gravitationsonstanten G och solens massa M. Vi har alltså härlett Keplers tredje lag: Keplers tredje lag: Förhållandet mellan vadraten på omloppstiden och uben på storaxelns längd är detsamma för alla planeter. 8