Lösningsförslag Dugga i Mekanik, grundkurs för F, del 2 September 2014

Transkript

1 Lösningsförslag Dugga i Meani, grundurs för F, del 2 Septemer 2014 Till varje uppgift finns det ett lösningsförslag som exempel på hur uppgiften an lösas. Lösningsförslaget visar även hur lösningen ungefärligt ör presenteras i form av strutur och förlarande ilder och text (mängden ilder har här hållits till ett minimum p.g.a. svårigheter med ildredigeringsprogrammet, t.ex. en avritning av prolemfiguren är att reommendera för att underlätta esrivning). Till varje lösning föreslås en rimlighetsontroll vilet inte är ett rav på lösningen men vettigt att göra, speciellt för att hitta grova fel som an leda till extra avdrag. Efter lösningen nämns ett par av de vanligaste felen som gjordes samt saer som ör tänas på för att undvia dessa i framtiden. 1

2 Uppgift 1 Uppgiften är att estämma egenvinelfrevensen vilen an identifieras från standardformen på evationen för en fri odämpad svängning :x ` ω 2 nx 0 (1) där ω n är egenvinelfrevensen. För att erhålla denna evation an man ställa upp raftevationen för en ropp, F m tot a G där F är raftsumman av alla yttre rafter på roppen, m tot är den totala massan för roppen och a G är accelerationen för roppens masscentrum. För att unna utnyttja raftevationen så ehöver man rita upp en friläggningsfigur. I friläggningsfiguren ritas inte statisa rafter upp då de endast påverar var jämvitsläget efinner sig och inte påverar själva svängningen. Figur 1: Friläggning av massan. Koordinatvarialen x sätts som noll när massan efinner sig i jämvitsläget. S är raften från snöret på massan medan 2 x är raften från den högra fjädern på massan. Kraftevationen ställs upp. Ò: S 2 x m:x (2) Denna innehåller S som en oänd som estämms m.h.a. momentevationen M o 9 H o för trissan. Trissan är doc lätt så H o 0 onstant. För att unna ställa upp momentevationen ritas en friläggningsfigur för trissan upp. 2

3 Figur 2: Friläggning av trissan. Storleen på S är lia stor som i friläggningsfiguren för massan medan 1 x är raften från den vänstra fjädern på trissan. Minustecnet ommer från det fatum att raften nedåt från den vänstra fjädern på trissan minsar då x öar, d.v.s. den vänstra fjädern lir ortare när den högra lir längre. R är reationsraften som håller upp trissan i O. Momentevationen lir nu (3) i (2) resulterar i O : S R p 1 xq R 0 ô S 1 x (3) 1 x 2 x m:x ô :x ` 1 ` 2 m x 0 (4) Egenvinelfrevensen hittas nu genom jämförelse mellan 1 och 4 vilet ger svaret. Svar: Egenvinelfrevensen är ω n 1` 2 m Rimlighetsontroll Kontrollera dimpω n q dimp 1` 2 m q. ω n är reellt och när en av fjäderonstanterna är noll så lir uttrycet precis som vi förväntar oss. Tecenfel på en av fjäderonstanterna: Undvies genom att vara noggrann med åt vilet håll öningen av varialen samt raftritningen sätts som positivt. Blir fjädern längre när variaeln lir större? Åt vilet håll lir isåfall fjäderraften större? Kom ihåg att t.ex. 8 ą 10. Hittas ofta genom en rimlighetsontroll. 3

4 Uppgift 2 Uppgiften är att estämma den visösa dämpningsoefficienten c så att ett system av fjädrar och dämpare lir ritist dämpat. Kritist dämpat inneär att dämpningsonstanten ζ 1 i standardformen för en fri dämpad svängning. Standardformen är :x ` 2ζω n 9x ` ω 2 nx 0 (5) där ω n är egenvinelfrevensen. För att erhålla denna evation an man ställa upp raftevationen för en ropp. Därför ehövs en friläggning av massan där återigen statisa rafter som endast påverar var jämvitsläget är har ignorerats. Figur 3: Friläggning av massan. Koordinatvarialen x sätts som noll när massan efinner sig i jämvitsläget. eff x symoliserar raften från de serieopplade fjädrarna som an ersättas med en annan fjäder med den effetiva fjäderonstanten eff. Kraftevationen ställs nu upp för figur 3. Ò: eff x x c 9x m:x (6) Nu måste vi ta reda på vilen effetiv fjäderonstant eff man måste ha för att ersätta två serieopplade fjädrar med fjäderonstanterna 3 (fjäder 1) och (fjäder 2). Om vi låter x 1 och x 2 symolisera förlängningen från jämvitsläget av de respetive två fjädrarna så måste ju x x 1 ` x 2 (7) gälla. Vi vill att den nya tänta fjädern sall ge upphov till samma raft på massan som de två serieopplade fjädrarna. Men det är ju ara fjäder 2 som drar i massan och raften i en fjäder är änd så det måste gälla att eff x x 2 (8) 4

5 Men då det inte finns någon accelererande massa mellan fjädrarna så måste fjäder 1 dra i fjäder 2 lia hårt som fjäder 2 drar i fjäder 1 d.v.s. Utnyttjar man (8) och (9) i (7) så får man x 2 eff x 3x 1 (9) d.v.s. x x 1 ` x 2 eff x 3 (11) i (6) ger nu ` eff x c 3 x c 9x m:x :x ` 4 m 9x ` 7 4 Identifiering med (5) ger nu ωn m ω m n 2 och 1 eff p 1 3 ` 1 q eff p 4 3 q (10) eff 3 4 (11) m x 0 (12) (13) 2ζω n c m (14) (13) tillsammans med (14) ger c 2ζω n m 2ζ 7 m 2 m ζ? 7m (15) ζ 1 för ritis dämpning ger nu svaret. Svar: Den visösa dämpningsoefficienten är c? 7m. Rimlighetsontroll Kontrollera dimpcq dimp? 7mq Felatig ersättning av de serieopplade fjädrarna: Krafter adderas inte vid serieoppling! Tän er t.ex. en edja med länar, varje län drar lia hårt i den efterföljande som man drar i den första men det inneär inte att man an dra en oljetaner ara man gör edjan tillräcligt lång. 5

6 Uppgift 3 Uppgiften är att estämma rörelsemängdsmomentet H o. Då stången är lätt an definitionen av rörelsemängdsmoment för ett system av partilar användas. H o ÿ r ˆ m v (16) I vårt fall har vi ara två partilar så därför ör definitionen vara enel att använda. För plan rörelse an man utnyttja att eloppet av ryssproduten är de vinelräta omponenternas storle multiplicerat med varandra medan man själv får hålla oll på i vilen ritning ut från planet som vetorn pear m.h.a. t.ex. högerhandsregeln. Båda ulorna esriver en cirelrörelse ring en fix axel med vinelhastigheten ω och då ges farten av avståndet från axeln r multiplicerat med ω. För ulan med avståndet r 1 2a till axeln ges då farten av och rörelsemängdsmomentet lir för ulan v 1 r 1 ω 2aω (17) H o1 mr 1 2aω 4ma 2 ω (18) För den andra ulan så an avståndet till axeln fås genom pythagoras sats och lir då r 2 a a 2 ` p2aq 2? 5a. Farten ges då av och rörelsemängdsmomentet lir v 2 r 2 ω? 5aω (19) H o2 mr 2? 5aω 5ma 2 ω (20) Med (16) i minnet lir det totala rörelsemängdsmomentet lätt att eräna. H o H o1 ` H o2 4ma 2 ω ` 5ma 2 ω 9ma 2 ω (21) Svar: Rörelsemängdsmomentet är H o 9ma 2 ω Rimlighetsontroll Kontrollera dimph o q dimp9ma 2 ωq H o 0 om roppen sanar massa (m 0) eller om roppen sanar fart (a 0, el. ω 0). Vetor salär: Rörelsemängdsmomentet är en vetor och då måste ritning anges i svaret. Antingen indiret genom en pil och högerhandsregeln eller på vetorform pe x, e y, e z q. ř r ˆm v r G ˆm tot v G : Masscentrum är ett linjärt vitat mått på var massan efinner sig men massans position ommer in vadratist i rörelsemängdsmomentet, en gång diret i r och en gång indiret i v ω ˆ r. 6

7 Uppgift 4 Uppgiften är att ta reda på den inetisa energin för ett system som innehåller delar som translaterar och roterar. Det verar då rimligt att använda sig av inetisa energins två delar för ett system av partilar med den totala massan m. Formeln för den inetisa energins två delar är T 1 2 mv2 g ` ÿ 1 2 m v 2,rel (22) Masscentrum ligger uppenarligen onstant i mitten av vagnen och därmed är farten v g samma som farten hos vagnen v o, d.v.s. v g v o (23) Relativt masscentrum så är det sedan ara de två ulorna som har en fart. Denna är enel att estämma då de esriver en cirelrörelse relativt masscentrum och farten vid ren cirelrörelse ges av v rω. Detta inneär att v,rel Lω (24) är farten för ulorna relativt masscentrum där L är avståndet från masscentrum till ulan ifråga. (23) och (24) i (22) ger oss Vilet är den inetisa energin vi söte. T 1 2 pm ` 2mqv2 o ` mplωq2 (25) Svar: Den inetisa energin är T 1 2 Mv2 o ` mpv 2 o ` plωq 2 q. Rimlighetsontroll Kontrollera dimpt q dimp 1 2 Mv2 oq dimpmv 2 oq dimpmplωq 2 q Den inetisa energin är noll vid avsanad av rörelse. Vid ren translation respetive rotation lir energin vad vi förväntar oss? Massan hos ulorna tas inte med i translationsenergin: Troligtvis slarvfel men orde hittas vid en sna rimlighetsontroll. Allmänt är v G`v,rel v G ` v,rel : Kom ihåg att hastighet är en vetor som har åde en storle och ritning. Detta inneär att vid addition av hastigheter så lir inte den nya farten summan av de två ingående farterna om hastigheterna inte råar pea åt exat samma håll. 7