Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning det finns ett tal k så att A=kB

Transkript

1 MATEMATISK MODELLERING Att ställa upp en differentialevation som besriver ett förlopp Följande uttryc används ofta i olia problem som leder till differentialevationer: Text A är proportionell mot B (A B) A är omvänt proportionell mot B Formell besrivning det finns ett tal så att A=B A= (för ett tal ) B A är proportionell mot summan, A= ( B C) differensen, A= ( B C) produten, A= BC voten, B av B och C A= (för ett tal ) C Funtionens förändringshastighet y ( (eller y (x) ) Funtionen förändras med hastigheten A y ( =A Funtionen förändras med hastigheten som är proportionell mot A y ( =A Funtionen förändras med hastigheten som är omvänt proportionell mot A y ( A Funtionens förändras med hastigheten y ( A( B C) som är proportionell mot produten mellan A och (B C) Funtionens förändras med hastigheten y ( AB som är proportionell mot A och B (s mot produten av A och B) Funtionens förändras med hastigheten som är proportionell mot A och B men omvänt proportionell mot C y ( AB C Uppgift Ställ upp en differential evation för funtionen y ( om a) Funtionen y ( förändras med hastigheten (som är lia med) 5y ( b) Funtionen y ( förändras med hastigheten som är proportionell mot y ( c) Funtionen y ( förändras med hastigheten som är proportionell mot t d) Funtionen y ( förändras med hastigheten som är omvänt proportionell mot y ( e) Funtionen y ( förändras med hastigheten som är proportionell mot differensen mellan t och y ( f) Funtionen y ( förändras med hastigheten som är proportionell mot t och mot y ( Sida av

2 Svar: a) y ( 5 b) y ( c) y ( t d) y ( e) y ( ( t ) f) y ( t Uppgift Ett radioativt ämne sönderfaller med hastigheten som är proportionell mot den mängd av ämnet som finns var Ställ upp en differentialevation som besriver förloppet d Svar a) Uppgift Antal individer som är smittad av en viss sjudom förändras med hastigheten som är proportionell mot både: antalet individer som har sjudomen och antalet individer som är frisa Låt M vara antalet individer i populationer Betecna antalet sjua vid tiden t med och ställ upp en DE för Om är y ( är antalet sjua så är M antalet frisa individer vid tiden t y ( förändras med hastigheten y ( Enligt uppgiften är y ( proportionell mot y ( och M Därför y ( M y ( M Svar: Uppgift 4 En sfäris snöboll med radien l m smälter på ett dygn till den mindre snöbollen med radien 08 m Vi antar, att volymen av snöbollen minsar med en hastighet, som är proportionell mot snöbollens area Vi förutsätter, att bollen behåller sin sfärisa form under hela smältperioden a) Bestäm en differentialevation (med villor) för radien R som funtion av tiden t b) Lös differentialevationen med avseende på R( c) Beräna efter hur lång tid snöbollen är helt borta 4 (Tips: Volymen av en boll är V= R, arean A= 4R ) 4 A dr dr R 4R Svar: a) R (, R ( 0), R ( ) 0 8 b) R( t C R(0) R() 08 C och 0 alltså R ( 0t c) R( 0 0t 0 t 5dygn Anmärning: Eftersom volymen minsar an vi välja negativt oefficient och betrata evationen A I detta fall sulle vi få R( t C och Därmed sulle fi få samma slutsvar R ( 0t Svar: b) R ( 0t c) 0t 0 t 5 dygn Svar: c) t 5 Sida av

3 I följande uppgift används Newtons avsvalningslag: Om en ropp med temperaturen T 0 placeras i en omgivning med temperaturen T R, ommer roppens temperaturer att förändras med hastigheten som är proportionell mot sillnaden mellan föremålets temperatur och omgivnings temperatur Med andra ord har vi följande evation y( ( T ) med beggynelsevillor : R 0) T 0 Uppgift 5 Ett föremål med temperaturen 00 C har efter en minut i rumstemperatur ( C) svalnat till 40 Hastigheten med vilen temperaturen sjuner är proportionell mot sillnaden mellan föremålets temperatur och rumstemperaturen Ställ upp en differentialevation (med villor) som besriver förloppet dy Svar: ( ), y ( 0) 00, y ( ) 40 Torricellis lag Betrata en tan fylld med vätsa (t ex vatten) med en litet hål eller en ran i tanens botten Anta att vid tiden t har vätseytan höjden h=h( Enligt Torricellis lag rinner vätsan ut med hastigheten v gh, om man inte tar hänsyn till motståndsrafter vid hålet Här är g 98m / s Men motståndrafter vid hålet påverar hastigheten så att effetiv hastighet blir v gh där 0 Korretionsoefficienten beror bl a av typen av hålet Om a betecnar arean av avtappningshålet så förändras (minsas) volymen av vätsan med hastigheten a gh Notera att vi har två oända funtioner V( och h( Om vi uttrycer volymen som en funtion av h, V=V(h) har vi med hjälp av edjeregeln följande DE map höjden h: a gh (ev) Koefficienten an vi finna i tenisa böcer om strömningslära, a är arean av avtappningshålet och g 98m / s Begynnelsevilloret för (ev): Oftast har man höjden (eller volymen) vid tiden t=0 ================================================================= Vi an använda (ev) för att bestämma h( om vi har värdet av oefficienten Har man inte värdet av oefficienten bruar man förenla (ev) genom att betecna onstanta delen med, s a g Då förenlas (ev) till Sida av

4 h (ev) Alltså, om vi betecnar V( volymen av vätsan och h( höjden av vätseytan vid tiden t då är hastigheten som vätsevolymen ändras, s, proportionell mot vadratroten av höjden av vätseytan Som ovan, är det enlast att uttryca volymen V =V(h) som en funtion av h och, med hjälp av edjeregeln, få en DE med en obeant funtion h(: h (ev ) Anmärning: För att lösa (ev) eller evivalent (ev ) behöver man två villor, så att man an bestämma två onstanter i den allmänna lösningen (C och ) Oftast har man höjden (eller volymen) vid tiden t=0 Som andra villor, an men t ex möta h( vid en annan tidpunt eller bestämma (approximativ volymens förändringshastighet vid t=0 Anmärning: Från envariabelanalys har vi A(h) där A(h ) är snittarean av vätseytan vid höjden h Från (ev) får vi då A( h) h (ev4), som är i pratien (bland alla nämnda evationer) enlast att ställa upp och lösa (Notera att A(h) är oftast enlare att beräna än V(h) ) Uppgift 6 En behållare har formen av en on med höjden H, radien R och spetsen ritad nedåt, enligt figuren (H och R är givna onstanter) Från början är behållaren fylld med vatten till höjden H cm Vattnet rinner ut genom ett litet hål i botten Ställ upp en differentialevation (med villor) som besriver förloppet Enligt Torricellis lag gäller enligt edjeregeln h eller Sida 4 av

5 h (*) Metod Från envariabelanalys har vi A(h) där A(h ) är snittarean (cireln) vid höjden h Vi substituerar detta i (*) och får A( h) h (**) r h hr Vi har var att bestämma A (h) Liformighet ger r R H H h R Arean (cirelns area) är A( h) r H Slutligen, från (*) får vi den söta DE : h R h H Begynnelsevillor: (Från början är behållaren fylld med vatten till höjden H cm) ger begynnelsevilloret h( 0) H Metod Först bestämmer vi V (h) och därefter som vi substituerar i (*) V ( h) r h Eftersom radien hr r h h R r (bestäms som ovan) har vi V ( h) H H h R Därför och slutligen, från (*) har vi den söta DE H h R h H Svar: h R H h, BV: h( 0) H Uppgift 7 En behållare har formen av en on med spetsen nedåt enligt figuren Från början är behållaren fylld med vatten till höjden 5,0 cm Vattnet rinner ut genom ett litet hål i botten Utflödet är h cm /s, där h är vattnets höjd i cm Ställ upp en differentialevation (med villor) som besriver förloppet Sida 5 av

6 Vattenvolymen V( uppfyller evationen h (*) Evationen (*) har två obeanta funtioner V( och h( För att lösa evationen måste vi r h eliminera en av dem Formeln för volymen av en on ger V, där r är vattenytans h radie På grund av 45 -vineln gäller r = h och alltså V ( h( ) Vi deriverar sambandet V ( och får ( med hjälp av edjeregeln ) h h (**) som vi substituerar i ev (*) : h h (ev ) Anmärning: Från envariabelanalys har vi A(h) där A(h ) är snittarean (cireln) vid höjden h På grunda av 45 -vineln är cirelns radie r= h, och A( h) h Därmed blir h samma som (**) och därmed får vi evationen h h på ett enlare sätt Svar: h h Uppgift 8 Vattnet rinner ut genom ett litet hål i botten av en tan Från början är tanen fylld med vatten till toppen Ställ upp en differentialevation (med villor) som besriver förloppet om tanen är a) en cylinder med höjden H vars basen är en cirel med radien R b) ett prisma med höjden H vars basen är vadrat med sidan a c) ett lot med radien R Enligt Torricellis lag gäller h eller enligt edjeregeln h (*) Sida 6 av

7 Från envariabelanalys har vi A(h) där A(h ) är snittarean (cireln) vid höjden h Vi substituerar detta i ( *) och får A( h) h (**) Vi sa använda (**) i alla tre fall (Tipps Sissera ropparna i a,b och c) a) (cylinder) A( h) R Därmed, från (**) har vi den söta DE R h BV: Enligt antagande är tanen fylld till toppen vid t=0 s b) (prisma) A( h) a Därmed, från (**) har vi följande DE BV: h( 0) H c) (lo a h h( 0) H Från triangeln OAB har vi r ( h R) R om h R eller r ( R h) R om h R som är samma sa ( eftersom ( R h) = ( h R) ) Härav r R ( R h) hr h Därför A( h) r (hr h ) och slutligen (**) ger DE (hr h ) h BV: Enligt antagande är tanen fylld till toppen vid t=0 s h( 0) R Svar: a) R h med BV: h( 0) H b) a h med BV: h( 0) H c) (hr h ) h med BV h( 0) R Uppgift 9 Sida 7 av

8 Det har regnat under en längre tid Vatten har helt fyllt ett 00 m långt och m brett die Diets vertiala genomsärningsprofil har V-form, i form av en halv vadrat, delad längs en horisontell diagonal, m lång Regnet har upphört vid tidpunten t = 0 Antag att diet neill är helt tät så att vattnet endast an försvinna genom avdunstning uppåt Låt V( vara vattenvolymen vid tiden t > 0, med t mätt i dagar a) Visa att V( uppfyller en differentialevation på formen V, V(0) =00, där =positiv onstant, om avdunstningshastigheten (i m /dag) är proportionell mot den fria vattenytans area b) Bestäm en DE med h( som obeant a) Låt A( = den fria vattenytans area Enligt förutsättningarna gäller A (*) Om h betecnar vattnets höjd då gäller h h V V ( 00 00h h 0 V och A h 00 00h = 00 = 0 V 0 Detta substituerar vi i evationen(*) och får 0 V Vi an byta 0 med en ny oefficient Då an vi sriva evationen på formen V VS V b) Det är fatist enlare att bestämma en evation map h( Enligt antagande gäller A( (ev a) där A( h 00 00h Enligt edjeregeln har vi 00h (ev b) Från (ev a) och (ev b) har vi DE Sida 8 av

9 00h 00h eller (Uppenbart är h t C lösningen till DE ) Villoret V(0) =00 ger h(0)= Svar: b), h(0)= Blandning av vätsor med olia oncentrationer av ett ämne Uppgift 0 I nedanstående vattentan finns 00 liter vatten Vid t=0 finns det 500 g salt i tanen Tanen tillförs vatten med hastigheten 0 liter per timme och saltinnehåll 4 g per liter Efter ordentlig mixning förs ut vatten med hastigheten a) 0 liter per timme b) liter per timme Låt y ( betecna antalet g salt i tanen vid tiden t (d v s efter t timmar) Ställ upp en differentialevation för med tillhörande villor a) Förändringshastigheten (s y ( ) i antal gram salt per timme = (antalet gram salt som tillförs tanen) (antalet gram salt som förs ut tanen) Kortare y ( H in H ut i) Först bestämmer vi H in =(antalet gram salt som tillförs tanen) g Varje timme tillförs 0 liter vatten I varje liter är 4 g salt Därför är H in 0 4 h Formellt beränas detta enligt " volymhastighet" saltoncentration s H in l g g H in (där g=gram, h=timme) h l h ii) H ut ränar vi på linande sätt H ut " volymhastighet" saltoncentration Vi måste först beräna saltoncentrationen vid tiden t: total saltmängd vid tiden t g Saltoncentrationen vid tiden t = Därmed vattenvolym vid tiden t 00 l H l g g 0 0 ut h 00l 00 l Alltså y ( H in H ger y ( ut Sida 9 av

10 eller y ( 80 0 Begynnelsevilloret är y ( 0) 500 Svar a: y ( 80, y ( 0) b) endast sillnad är att vattenvolym minsas med liter per timme Därför är g g volymen V(=00 t och saltoncentration = V ( l (00 l Alltså y ( H in H ger ut y ( t Begynnelsevilloret är y ( 0) 500 Svar b: y ( 80, y ( 0) t Newtons andra lag Vi betratar en ropp som påveras av en eller flera rafter och rör sig längs en axel, (tex y-axeln) Enligt Newtons andra lag gäller ma F (ev a) där a är acceleration och F rafternas omponenter längs axeln Låt vara roppens läge (position på y-axeln) och v( roppens hastighet vid tidpunten t Då gäller y ( v(, y ( a( och v ( a( Vi an därmed sriva (ev a) som eller som m F (ev b) d y m F (ev c) Om vi an sriva rafter som en funtion av hastigheten v ( då väljer vi (ev b) Om vi an sriva rafter som en funtion av y ( och y ( då väljer vi (ev c) Uppgift En ropp med massan 5 g rör sig på ett horisontell yta När roppen har hastigheten v m/s utsätts den för två bromsande rafter: luftmotståndet F =0 v N och fritionsraft F =5v N Ställ upp en DE för roppens hastighet v( Enligt Newtons andra lag gäller ma F eller m F Alltså m F F 5 0v 5v v v Svar: v v Sida 0 av

11 Uppgift På en fritt fallande ropp med massan m verar två rafter: tyngden F =mg och luftmotståndet F som är proportionell mot a) roppens fart b) vadraten av farten Ställ upp en DE för roppenshastighet v( Låt y vara den vertiala axeln ritad nedåt Enligt Newtons andra lag gäller ma F eller m F (Notera att tyngden och luftmotståndet verar åt olia håll) a) m F F m mg v (vi delar med m och ersätter med ) m ( b) m F F m mg v g v g v Svar: a) g v b) g v Uppgift En ropp med massan m som är opplad till en fjäder och en dämpare påveras av en yttre raft F (se figuren) rör sig längs y-axeln Origo sammanfaller med fjäderns ändpunt Rörelsen bromsas av dämpningsraften F och fjäderraften F Vi antar att dämpningsraften är proportionell mot roppenshastighet och att fjäderraften är proportionell med förflyttning från roppens jämvitsläge Låt vara position av fjäderns ändpunt vid tiden t Bestäm en DE för Enligt Newtons andra lag gäller ma F F F (Notera att F och F pear åt negativritning på y-axeln) Enligt antagande är dämpningsraften F v( y( och fjäderraften F = där och är onstanter Därmed my F( y( ) eller my y( F( ) ( t Svar my y( F( ) ( t ( t Sida av