2. Beräkna. (z-koordinaten för masscentrum för en homogen kropp som upptar området K) ½ u = xy 3. Använd variabelbytet v = y x.

Transkript

1 HH / Georgi Tchilikov FLERVARIABELANALYS för Lp2 noveber 23, kl.9-13 Hjälpedel: Bifogat Forelblad Envariabelanalys. Redovisa och otivera lösningarna så att även en kurskarat kan följa ed och övertygas. Tag varje tillfälle i akt att kontrollera dina svars rilighet. Betygsgränser: 16p. för Godkänd, (inkl. bonuspoäng från inläningsuppgifter) 28p. för Väl Godkänd. 1. Tänk dig att r och s är givna positiva tal. (a) Skissa kurvorna x 2 + y 2 r 2 och x 2 y 2 s 2. (b) Vad åste gälla för r och s för att kurvorna skall skära varandra? (c) Finns tal r och s sådana att kurvorna skär varandra under rät vinkel? 2. Beräkna RRR RRR K zdxdydz K dxdydz där K (x, y, z) :x 2 + y 2 + z 2 1,z ª (z-koordinaten för asscentru för en hoogen kropp so upptar orådet K) (2p) (1p) (3p) (6p) ½ u xy 3. Använd variabelbytet v y x för att hitta alla lösningar f (x, y) till differentialekvationen x + y y, då x> (p) Finns någon lösning f so dessuto uppfyller f (x, y) sinx då y x 2? Finns någon lösning f so uppfyller f (x, y) sinx då y 2x? (1p) (1p). Undersök o f (x, y) xy 3+x y 2 har något största värde (a) i strian x 1 (b) i strian y 1 (p) (3p) och beräkna de i förekoande fall. V.G.V. 1

2 5. Av alla trianglar ed ett visst fixt värde på okretsen, vilken har störst area? (a) Med utnyttjande av Herons forel en triangel ed sidorna a, b, c har arean p p (p a)(p b)(p c) där p (a + b + c) /2 forulera frågan so ett proble av typen optiering ed bivillkor. (b) Hurkananedhjälpavteori(ochutanräkning) inse att det verkligen finns en triangel ed störst area? (c) Lös probleet. (Bestä den sökta triangeln.) (2p) (2p) (3p) 6. Motivera foreln för area av en (buktig) yta given på paraeterfor (p) ZZ r s r t dsdt en allra först: Deonstrera att du förstår och kan tilläpa den geno att beräkna arean av spiralrapen D (p) x r cos θ y r sin θ z θ/, <r<1 < θ < π/ (Du skulle kunna använda rapen so exepel, när du förklarar idén i det allänna fallet.) SLUT! 2

3 GT FLERVARIABELANALYS, 311 c) LÖSNINGAR 1. a) Ekvationerna kan skrivas x 2 (r/2) 2 + y2 r 2 1 resp. x2 s 2 y2 (s/2) 2 1 Två kurvor skär varandra under rät vinkel Kurvornas tangenter i skärningspunkten skär varandra under rät vinkel Kurvornas noraler i skärningspunkten skär varandra under rät vinkel Vi har alltså en ellips r Noralriktningarna fås ur gradienterna: grad x 2 + y 2 (8x, 2y) grad x 2 y 2 (2x, 8y) Rät vinkel ellan två vektorer deras skalärprodukt : ϑr 2 r 2 (8x, 2y) (2x, 8y) 16x 2 16y 2 x 2 y 2 ϑr och en hyperbel ed asyptoterna y ±x/2 : yζx 2 Så kurvorna koer att skära varandra under rät vinkel o och endast o x 2 y 2 i skärn.punkten. Men systeet x 2 + y 2 r 2 x 2 y 2 s 2 x 2 y 2 r, s > 5x 2 r 2 3x 2 s 2 r, s > har inga lösningar, så någon sådan skärningspunkt kan vi inte hitta, oavsett vilka r och s vi väljer. ϑs s yζϑx 2 b) Kurvorna skär varandra ifall hyperbelpunkterna (±s, ) hanar innanför ellipsen, d.v.s. o s r/2 (Då s r tangerar de varandra.) 3

4 2. Täljaren, alt.1.: ZZZ zdxdydz K ZZ z z x 2 +y 2 1 z 2 dxdy dz RR dxdy arean av orådet D D (x, y) :x 2 + y 2 1 z 2ª är en cirkel ed radie 1 z 2 z zπ 1 z 2 dz 1 π 2 z2 1 1 z π Alt.2: Med rydpolära koordinater: dxdydz r 2 sin θ drdθdϕ, och integralen blir Zπ/2 Z2π r cos θ r 2 sin θ dϕ dθ dr r 2π 2π 2π 1 2 r r θ r 3 ϕ Z π/2 θ cos θ sin θ dθ dr π/2 1 r 3 2 sin2 θ dr θ 1 r 1 π so ovan Orådet RRR K är ett halvklot och nänaren K dxdydz är ingenting annat än K:s voly, så vi kan utan räkning skriva upp ZZZ dxdydz 1 µ º π K 2 3 R3 2π R1 3 (Alternativt räkna so för täljaren.) Alltså, svar: 3. Kedjeregeln ger u u + v v u y + y v x 2 u y u y + v v y u x + µ 1 v x Insättning i ekvationen: 2xy u u f (u, v) g (v) y f (x, y) g x där g är en godtycklig deriverbar funktion av en variabel. Första tilläggsfrågan: f (x, y) sinx då y x 2 µ x 2 g sinx x g (x) sinx Alltså, svar: Ja, en lösning av önskad typ är Andra tilläggsfrågan: f (x, y) sin y x f (x, y) sinx då y 2x µ 2x g sinx x g (2) sin x Detta går ej att uppfylla för alla x> (och det är underförstått här att likheten skall gälla för alla x i det aktuella orådet). Svar: Nej. π/ 2π/3 3 8

5 . Svar, (a): f är obegränsad det finns inget största värde. Svar, (b): ax f f (1, 1) 1/. Lösning: Med hjälp av de partiella derivatorna y y 3+x y 2 xy x 3 y 2 (3 + x y 2 ) 2 3y 1 x y 2 (3 + x y 2 ) 2 x 3+x y 2 xy 2x y (3 + x y 2 ) 2 x 3 x y 2 (3 + x y 2 ) 2 studera hur funktionen varierar längs räta linjer parallella ed koordinataxlarna. Det räcker att inskränka sig till halvstrilorna <x 1, y > resp. <y 1, x > I dessa är näligen f (x, y) >, edan i de oråden vi tar bort är f (x, y), så vi kan inte issa de största värdena. Av y x 3 x y 2 (3 + x y 2 ) 2 På saa sätt 3y 1 x y 2 (3 + x y 2 ) 2 säger oss att på varje halvstråle y konstant >, x> är f växande för x<1/ y avtagande för x>1/ y Maxiu på en sådan stråle fås alltså då x 1/ y ochvitittardärförpå µ 1 y f y,y 3+1, <y 1 Således har vi i (b) största värde 1 so antas i (x, y) (1, 1) An. Intressant ed fall (a) är att, för varje fixt x, är li y xy 3+x y 2 Ändå är uttrycket obegränsat! (Ett fenoen av saa typ so det i PB, sid.31, Exepel 2.) avläser vi att på varje vertikal stråle x konstant >, y> är f växande för y< 3/x 2 avtagande för y> 3/x 2 På varje enskild sådan stråle har vi alltså axiu då y 3/x 2. Halvstrilan <x 1, y > är saansatt av sådana så vi jäför axiivärdena för olika x : Ã f x, 3 x 2! x 3 x 2 3+x 3 x 1 2 %, när x & 3x Således finns inget största värde i (a). 5

6 5. a) Sök axiu av f (x, y, z) p p (p x)(p y)(p z), <x,y,z<p p given konstant > under bivillkoret g (x, y, z) x + y + z 2p Kvadratroten är en växande funktion och p en positiv konstant, så vi kan förenkla till: Sök axiu av f (x, y, z) (p x)(p y)(p z), under bivillkoret g (x, y, z) x + y + z 2p <x,y,z<p b) D f {(x, y, z) :<x,y,z<p} är öppen ängd, en vi förstör ingenting o vi inkluderar randen f (x, y, z) (p x)(p y)(p z), x, y, z p På randen är f, so inte kan vara axiu. Nu är D f {(x, y, z) : x, y, z p} såväl sluten so begränsad. Snittet ed den slutna ängden {(x, y, z) :x + y + z 2p} är då också en sluten och begränsad ängd, d.v.s. en kopakt ängd, och teorin säger att den kontinuerliga funktionen f antar ett största värde på den. c) I axiipunkten åste (skriver gradienterna so kolonnatriser för bättre överskådlighet grad f k grad g (p y)(p z) (p x)(p z) λ 1 1 (p x)(p y) 1 för något λ R ½ (p y)(p z) (p x)(p z) (p y)(p z) (p x)(p y) Alla faktorerna 6 i axiipunkten ½ p y p x p z p x x y z D.v.s. axiu fås för en liksidig triangel. 6. Här är r (x, y, z) och det allänna fallets s och t står för de två paraetrarna so i vårt specialfall ( rapen ) heter r och θ. r s µ r r, y, z (cosθ, sin θ, ) r t µ r θ, y, z ( r sin θ,rcos θ, 1/) Krysset står för vektorprodukt: µ 1 r r r θ sin θ, 1 cos θ,r och absolutbeloppet för längd av vektor: s µ1 2 µ 2 1 r r r θ sin θ + cos θ + r 2 s µ1 2 + r 2 Integralen beräknas.h.a. forelbladets sista rad O f (x) 1 2 xp x 2 + α + α x 2 ln p + x2 + α så är f (x) p x 2 + α ZZ r r drdθ Zπ/2 r r dθ dr π 2 r θ r r r dr " π r r r r # r 32 ln + r Ãr à π r!! ln ln 1 q π ln / π µ ln

7 Motivering: Paraetriseringen innebär att varje punkt på ytan paras ihop ed en punkt i kvadrat i rθ-planet: K {(r, θ) :<r<1, < θ < π/2} Vi gör en indelning av ytan i så bitar (ytstycken) geno att dela in K i så axelparallella rektanglar. En liten rektangel R i rθ-planet ed hörn i (r, θ + θ) (r + r, θ + θ) (r, θ) (r + r, θ) svarar ot ett ytstycke so är approxiativt (ju indre rektangel desto bättre överensstäelse) en parallellogra so spänns upp av vektorerna, y, z r och, y, z θ. Ytstyckena vi pratar o, är i vårt speciallfall, spiralrapen, de så rutor ytan i figurenärindeladi. Nu ser rutorna ut so regelrätta rektanglar, vilket koer sig av att, y, z, y, z och är ortogonala överallt för just denna yta : (cos θ, sin θ, ) ( r sin θ,rcos θ, 1/) r cos θ sin θ + r sin θ cos θ + För andra ytor behöver inte vinkeln vara rät. Parallellograens area µ, y, z µ r, y, z θ µ, y, z µ, y, z rθ Utförligare o parallellograapproxiationen : R består av punkterna (r + s, θ + t), s r, t θ Då s och t är så och funktionerna x (r, θ),y(r, θ),z(r, θ) differentierbara, är x (r + s, θ + t) x (r, θ)+ (r, θ) s + (r, θ) t y (r + s, θ + t) y (r, θ)+ y y (r, θ) s + (r, θ) t z (r + s, θ + t) z (r, θ)+ z z (r, θ) s + (r, θ) t Betrakta r och θ so fixa, s och t varierar. Jäför ed x x + α 1 s + β 1 t y y + α 2 s + β 2 t z z + α 3 s + β 3 t, s,t R so är ekvationen på paraeterfor för det plan so spänns upp av vektorerna (α 1, α 2, α 3 ) och (β 1, β 2, β 3 ) och går geno punkten (x,y,z ). O vi ersätter x (r + s, θ + t) y (r + s, θ + t) z (r + s, θ + t) ed resp. approxiation och låter s och t variera helt fritt, genererar vi alltså ett plan. Nu har vi inskränkningar på s och t : s r, t θ so innebär att vi får endast en bit av det planet, och, denna bit är en parallellogra. Ytans totala area bör definieras so gränsvärdet av suan av alla sådana parallellograareor, när indelningen görs finare och finare. Men det är just detta gränsvärde so definierar integralen ZZ µ, y, z µ, y, z drdθ 7