Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik

Transkript

1 Tentmen i Meni I del Stti och prtieldynmi TMME , l Tentmensod: TEN Tentsl: TERE, TER Exmintor: Peter Schmidt Tentjour: Peter Schmidt, Tel , (Besöer slrn c 5.00 och 7.30) Kursdministrtör: nn Whlund, Tel. 8 57, emil nn.whlund@liu.se ntl uppgifter: 6 Hjälpmedel: Ing hjälpmedel; (Formelbld bifogs). Svr nslås på Menis nslgstvl efter srivningstillfället (Ing. 7 C-orr.). Tentn lämns efter rättning till Studerndeexpeditionen i -huset, ing 9C. Betygsgränser: 5 = -5 p 4 = 9- p 3 = 6-8 p = 0-5 p (UK) Totlt ntl sidor inl. försättsbldet: 7

2 Tentmen i Meni I del, TMME7, Teoridel: ) Centroiden för en yt definiers som bent som r d r C. d 6 Vis tt centroidens läge i y-led ges v y C b för ren nedn som begränss v urvn 5 y (b / ) x smt den rät linjen C enligt figur, där är origo och särningspunten C hr oordintern x =, y = b. (p) y b y x b C x ) En prtiel förflytts v en onstnt rft F en sträc s uppför ett lutnde pln med lutningsvineln enligt figur. Krften bildr hel tiden vineln mot plnet. Utgå från definitionen v rbete, dvs U F d r uträttr på prtieln under förflyttningen är U F s cosα. och vis tt rbetet som rften F s F F (p)

3 Tentmen i Meni I del, TMME7, b) Utgå från Newtons rftlg F m och definitionen v rörelsemängd G mv och härled impulslgen för en prtiel, dvs t t F dt G G (p) Problemdel: 3) En stång B med längden befinner sig i jämvit när den är orienterd längs z-xeln enligt figur. Stången är lgrd vid med en fritionsfri ulled och vid änden B är två snören BC och BD fäst och dess är sedn fixerde vid C och D som är punter på respetive x- och y-xeln. Stången belsts med en given lst P vid mittpunten i rät vinel mot stången i ritningen E, se figur. Berän storleen v drgrften i snören BC och BD. Geometri enligt figuren och roppens mss n försumms. (p) z B E P C D x y

4 Tentmen i Meni I del, TMME7, ) En liten hyls med mssn m n rör sig från till C längs en stång enligt figur. Hylsn släpps utn hstighet vid läge och rör sig först horisontellt och vid B följer den en cirulär bn med rdien R enligt figur. Berän normlrften på hylsn från stången som funtion v vineln under den cirulär delen v bnn. Studer intervllet 0 θ π. Ingen frition och ll rörelse ser i ett och smm vertilpln. Fjäderonstnten är =8mg/R och fjäderns ospänd längd är L 0 =R/. (3p) C R g m 3 R B 5) Ett bloc B med mssn m befinner sig i vil och är fäst i två ospänd fjädrr med fjäderonstnten vrder enligt figuren. Ett nnt bloc med mssn m släpps från vil från en höjd h och glider med frition längs ett lutnde pln ned till punten där en mju övergång ser till ett horisontellt fritionsfritt underlg. Bloc stöter sedn n mot bloc B och fstnr på bloc B i en fullständig plstis stöt (e=0). Bestäm fjädrrns mximl deformtion för den efterföljnde rörelsen. Plnets lutning är 45 grder och den inetis fritionsoefficienten är melln och. Försumm dimensionern för blocen. (3p) m h 45 o B m Fritionsfritt

5 Tentmen i Meni I del, TMME7, ) Ett fjäder-dämpsystem består v två li fjädrr med fjäderonstnten vrder smt en dämpre med dämponstnten c m upphängd i ett t. Fjädrrns ospänd längd är L 0. Systemet strts genom tt mssn m ges en frt v 0 nedåt i figuren då fjädrrn hr längden L 0 + mg/. ) Berän fjädrrns längd som funtion v tiden för den efterföljnde rörelsen, låt t = 0 vid strten. (p) b) Berän tidpunten då fjädrrns längd är mximl. (p) c v 0 m

6 Formelbld som bifogs tentmen i Prtieldynmi: Kinemti: Hstighet och ccelertion Nturlig omponenter n t v = ṡe t = se t + ṡ ρ e n Kröningen κ och röningsrdien ρ för en urv x = x(u), y = y(u) ges v: κ = d y dx du du dy d x du du { } 3/, ρ = /κ ( dx du ) + ( dy du ) Polär oordinter r θ v = ṙe r + r θe θ = ( r r θ )e r + (r θ + ṙ θ)e θ Kineti: Krftlgen F = m Menis energistsen där U = U = T + V g + V e F dr, T = mv, V g = mgh, V e = x

7 Impuls och impulsmomentevtionen t t t Fdt = G G, M o dt = H o H o, t M o = r F G = mv H o = r mv Stöttl e = (v ) n (v ) n (v ) n (v ) n Svängningr ẍ + ζω n ẋ + ωn x = ω n x + F 0 m sinωt + F 0 m cosωt Lösningen till differentilevtionen ovn n srivs x = x h + x p. Homogen lösningen x h ges v: ζ >, x h = e ωnt( ζ+ ζ ) + Be ωnt( ζ ζ ) ζ =, x h = ( + Bt)e ωnt ζ <, x h = e ζωnt (cosω d t + Bsinω d t) = Ce ζωnt sin(ω d t + Ψ) ω d = ω n ζ Prtiulärlösningen x p vid en hrmonis störningsrft beräns med nstsen: x p = C + C cosωt + C 3 sinωt om ζ = 0 förutsättes tt ω ω n