Tentamen i Mekanik - partikeldynamik

Transkript

1 Tentamen i Meani - partieldynami TMME , l Tentamensod: TEN1 Tentasal: TER4 Examinator: Peter Schmidt Tentajour: Peter Schmidt, Tel , (Besöer salarna ca 9.00 och 11.00) Kursadministratör: Anna Wahlund, Tel , anna.wahlund@liu.se Antal uppgifter: 6 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel; (Formelblad bifogas). Svar anslås på Meanis anslagstavla efter srivningstillfället (Ing. A17 C-orr.). Tentan lämnas efter rättning till Studerandeexpeditionen i A-huset, ing 19C. Betygsgränser: 5 = 1-15 p 4 = 9-11 p 3 = 6-8 p 1 = 0-5 p (UK) Totalt antal sidor inl. försättsbladet: 7

2 Teoridel: 1) En raft med onstant belopp F verar hela tiden i horisontell ritning på en partiel som rör sig uppför ett lutande plan enligt figur. Vineln är planets lutningsvinel och h är partielns höjdändring under rörelsen. Utgå från definitionen av arbete, dvs U F d r, och beräna arbetet U som raften F uträttar på partieln. 1 (1p) h F ) Givet en partiel vars rörelse är en centralrörelse, dvs totala raften F som verar på partieln är hela tiden ritad in mot samma punt O (fix punt), se figur. r F O Ställ upp Newtons raftlag i polära oordinater och visa att för en sådan rörelse gäller: r onstant (p)

3 Problemdel: 3) En partiel med massan m an sjutas iväg med hjälp av en atapult som består av en fjäder med fjäderonstanten =3mg/R. Partieln släpps utan hastighet då fjädern är ihoptryct sträcan δ från det ospända läget, se figur. Efter att partieln lämnat fjädern följer den en sena som först är horisontell och sedan övergår till en cirelformad bana i ett vertialplan. All frition an försummas. R Låt δ och beräna normalraften från senan på partieln som funtion av 4 vineln under den cirulära delen av banan. (3p) m R g R

4 4) En liten hylsa P an fritionsfritt glida längs en fix stång enligt figur. Hylsans rörelse ontrolleras med hjälp av en spårförsedd arm lagrad vid O vilen roterar med onstant b. Evationen för stången ges av r, 1 cosθ där b är en given onstant, och r är avståndet mellan O och P. Beräna raften som verar på hylsan P från stången, samt raften på hylsan P från armen då vineln Hylsan har massan m och all frition an försummas. Rörelsen ser i ett horisontalplan och startas utan hastighet då 3p P O r g b 5) En partiel med massan m =m är upphängd i ett snöre med längden L och snörets andra ände är fäst i ett ta. En annan partiel med massan m 1 =m och horisontell hastighet u gl stöter an mot m, och stöttalet mellan partilarna är e=0.5. Bestäm hastigheten hos m 1 och m omedelbart efter stöten (1p), och raften i snöret då massan m når sitt vändläge efter stöten (p). u L m 1 m

5 6) Ett fjäder-dämpsystem består av två lia fjädrar med fjäderonstanten vardera, samt en dämpare med dämponstanten c m. Systemet startas genom att massan m ges en fart v 0 nedåt i figuren då massan befinner sig i sitt statisa jämvitsläge. För vila värden på v 0 nuddar massan aldrig golvet om höjden h=mg/. (3p) Ta c v 0 m Jämvitsläget h Golv

6 Formelblad som bifogas tentamen i Partieldynami: Kinemati: Hastighet och acceleration Naturliga omponenter n t v = ṡe t a = se t + ṡ ρ e n Kröningen κ och röningsradien ρ för en urva x = x(u), y = y(u) ges av: κ = d y dx du du dy d x du du { } 3/, ρ = 1/κ ( dx du ) + ( dy du ) Polära oordinater r θ v = ṙe r + r θe θ a = ( r r θ )e r + (r θ + ṙ θ)e θ Kineti: Kraftlagen F = ma Meanisa energisatsen där U = 1 U = T + V g + V e F dr, T = 1 mv, V g = mgh, V e = 1 x 1

7 Impuls och impulsmomentevationen t t t 1 Fdt = p p 1, p = mv M o dt = h o h o1, h o = r mv t 1 M o = r F Stöttal Svängningar e = (v ) n (v 1) n (v 1 ) n (v ) n ẍ + ζω n ẋ + ωn x = ω n x 1 + F 01 m sinωt + F 0 m cosωt Lösningen till differentialevationen ovan an srivas x = x h + x p. Homogena lösningen x h ges av: ζ > 1, x h = Ae ωnt( ζ+ ζ 1) + Be ωnt( ζ ζ 1) ζ = 1, x h = (A + Bt)e ωnt ζ < 1, x h = e ζωnt (Acosω d t + Bsinω d t) = Ce ζωnt sin(ω d t + Ψ) ω d = ω n 1 ζ Partiulärlösningen x p vid en harmonis störningsraft beränas med ansatsen: 1 x p = C 1 + C cosωt + C 3 sinωt 1 om ζ = 0 förutsättes att ω ω n