Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen

Transkript

1 Tentamen i Meani SG1130, basurs P1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och srivdon får användas! KTH Meani 1. Problemtentamen Ett tunt hyllplan (plana) med massan m är fäst i en led (gångjärn) i den vertiala väggen och hålls i horisontellt läge med hjälp av ett lätt, stelt stag. Staget är ocså ledad i väggen och stödjer planan i dess yttersta högra ände i en annan led. Alla leder är fritt vridbara i figurens plan. Bestäm beloppet av stödraften från staget. (3p). 3. En hylsa med massan m släpps ifrån den glatta ledstångens högsta punt och glider sedan fram och tillbaa i en halvcirelformad bana med radien. örelseplanet är vertialt. Bestäm storleen på den normalraft som hylsan änner av från ledstången som funtion av höjden i banan. (3p) Två satellitbanor är illustrerade i figuren. Man önsar manövrera en satellit med massan m som befinner sig i den (oönsade) elliptisa banan så att den ommer att följa den cirulära banan. Manövern beränas ta mycet ort tid i den elliptisa banans närmsta punt A till jorytan. Bestäm fartändringen i detta banbyte? Tyngdaccelerationen g är änd. (3p) 4. En cylinder med massan m hänger i en fjäder med fjäderonstanten. Under cylindern sitter en visösa dämpare med en raftonstant c anpassad så att cylinderns rörelse blir ritist dämpad. Bestäm raftonstanten c, samt cylinderns maximala förflyttning nedåt om den släpps från ett läge där fjädern är ospänd. (3p)

2 SG1130 Meani, basurs P Teoritentamen 5. a) Vila är meaniens tre grundstorheter? b) Betrata en raft som angriper i punten r A. Bevisa att raftmomentet av raften med avseende på en punt r P inte ändras, om raften förflyttas från r A längs sin verningslinje till den nya angreppspunten r B. c) Formulera ewtons 3 lagar för partilar. 6. a) Gör en dimensionsanalys av två storheter: Kraftmomentet och Arbetet. b) Figuren visar en cylinder och en plana i en jämvitssituation. Gör en analys av raftveran på planan! c) Definiera ett raftsystems totala raftmoment och visa att för två godtycliga momentpunter A och B gäller den så allade "sambandsformeln för raftmoment". 7. a) Härled momentlagen. b) Härled lagen om raftens effet. c) Definiera en onservativ rafts potentiella energi. 8. a) Antag att ett meanist system satisfierar svängningsevationen: x + x M + x = a, där, M, och a är onstanter. Avgör M dämpningstypen (odämpat, ritist, start, svagt) för systemet, samt ange jämvitsläget! (p) b) ämn två saer som ännetecnar en resonans? /KET

3 Problemlösningar SG1130 Meani, basurs P Lösning: ita ut rafter för planan och för staget! Först rafter på staget enligt figur. Staget har ingen massa och rafterna måste ta ut varandra och får inte ge något moment. Detta följer ur jämvitslagarna för en ropp. Det är S-raften nere till vänster som sös!! Krafterna på planan (inför ortogonala ritningar i fig): Här tillommer en stödraft från leden i väggen, förutom tyngdraft och stagets raft S. ( L, h) ( itningen för stagets raft: e S = L + h så att S = S L, h). Väggledens raft an delas L + h upp som = ( x, y ). Jämvitslagarna för planan ger nu: " S L L + h + x = 0 (1), " S h L + h + y # mg = 0 (), Momentpunt vid väggen: LS h L + h " L mg = 0 (3). Evation (3) ger diret: S = L + h mg. Detta är storleen på stödraften från väggen på h staget!

4 SG1130 Meani, basurs P Bestäm normalraftens belopp som funtion av höjden h! Lösning: Energiprincipen och ewtons :a lag gäller för denna rörelse. Krafterna på hylsan ritas ut! : (cyl. omp. e r :) m "# " EP: 1 m " ( ) = mgcos# ", dvs = mgcos" + m( ) (1). ( ) + mgh = mg, dvs m( " ) = mg ( # h) (). Insättning av () i (1) ger: = mgcos" + mg 1# h. Men geometrin i figuren ger cos" = # h, som insatt i (3) ger: = mg " h + mg ( 1" h ), eller förenlat: ( ) = 3mg 1" h ( ) (svar). Gäller för positiva och negativa vinlar! Lösning: Banornas storaxlar bestämmer totala meanisa energierna. Cirelbanan: E c = " mg 4, förenlas till E c = " mg. 4 Ellipsbanan: E e = " mg 5, förenlas till E e = " mg. 5 De inetisa energierna i läget A blir: 1 mv c = E c "V A = " mg 4 och 1 mv e = E e "V A = " mg + mg = 3mg # Hatighetssillnaden blir då v c "v e = " g 3 5 " 1 & % (. (svar) $ ' + mg = mg 4

5 4. SG1130 Meani, basurs P Inför origo för ospänd fjäder. Fjäderraften F = "x. Dämpningsrafter F c = "c x, samt tyngdraften nedåt. ewtons :a lag: m x = mg" x "c x. Svängningsevationen: x + c x + { m { m x = g. "# n # n Svängningsparametrarna är här införda i evationen. Vi har naturliga vinelfrevensen för svängningen: " n =. Kritis dämpning räver " =1, så att i svängningsevationen gäller m c m =, dvs c = m. Svängningsrörelsen bestäms från den allmänna rörelsen m x( t) = ( B + Ct)e -" n t + x j, där jämvitsäget är x j = mg. Begynnelsevilloren är x( 0) = 0, x ( 0) = 0: Då bestäms först onstanten B: B = " mg. Sedan behövs uttrycet för begynnelsehastigheten: x # ( 0) = %" mg $ + Ct & ( e -) nt = C + mg ' ) n. För att detta sall unna vara noll rävs: C = " mg # n. örelsen är nu bestämd: x ( t ) = " mg ( 1+# t n )e-# n t + mg. Vid maxutslag blir hastigheten noll, dvs x ( t) = mg " ( 1+" t n n )e-" n t # mg " n e-" n t = mg " nte -" n t som blir noll när t = ". Läget vid den tiden är jämvitsläget x j = mg. Förflyttningen är alltså som mest från origo till jämvitsläget. (svar)

6 Teoridelen SG1130 Meani, basurs P a) Längd (läge), massa, tid. b) Definitionen av raftmoment ger M P = r A " r P Sillnaden blir M P " M P # = r A ( ) # F respetive M P " = ( r B # r P ) $ F. ( ) $ F. Om r A och r B ligger på samma verningslinje som raften så är vetorn r A parallell med raften F. Kryssproduten för två parallella vetorer blir nollvetorn. Alltså M P = M P ". c) 1: En partiel förblir i rörelse med onstant hastighet om ingen raft verar på den. : För en partiel gäller att ma = F, där partielns massa är m, dess acceleration a och raften som verar är F. 3: Krafter uppstår i par så att raftsumman är noll. 6. a) dim(m 0 )=dim(r " F )= L = L ML T " =M L T " dim(u 0"1 )=dim( T )=dim( mv b) ) =ML T " Samma! c) Definitionen av totalt raftmoment med avseende på en godtyclig momentpunt A: M A = $ r j " r A, för rafter F j angripande i r j. [ ] # F j Liaså för en annan momentpunt B: M B = $ Sillnaden blir i detta fall: M B " M A = $ r j " r j " r A = $ r A = r A $ [ ] # F j [ ( )] # F j [ ] # F j [ r j ] # F j Detta uttryc an lätt förenlas om vi inför totala raften F = " F j. Vi får sambandet: M B = M A + [ r A ] # F.

7 SG1130 Meani, basurs P a) Definitioner: örelsemängd p = mv, där v är hastigheten, rörelsemängdsmoment H O = r " p. Tids derivering ger H O = d( r " p ) = v " p + r " p dt = r " p, ty v och p är parallella. ewtons :a lag: p = F medför att r " p = r " F. Sammantaget fås momentlagen: H O = M O, där vi inför raftmomentet enligt definitionen M O = r " F. b) Härledning: ewton : m v = F. Båda leden multipliceras scalärt med hastigheten v. Man får då: m v v = F v. Enligt definition är HL raftens effet P. VL är tidsderivatan av inetisa energin, ty d mv def regel " % } $ ' = d mv v dt # & dt ( ) = } m ( v v + v v regel } ) = m ( v v ) = m v v. def } Dvs T mv = P, där T =. r c) Potentiell energi:v ( r ) = " # F dr', där F är raften. Här är r läget i rummet. r r ref är ref en godtyclig referenspunt. 8. a) Om man jämför med x + "# n x +# n x = a, så ser man att dämpningsförhållandet är " = 1, dvs ett svagt dämpat system. Jämvitsläget är x = am. (p) b) Vid resonans an (respons)amplituden bli mycet stor och fasen i svängningen riserar att plötsligt astas om till motfas relativt den yttre fasen (och vise versa).