Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Transkript

1 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. h 2a roblemtentamen En homogen låda står på ett strävt horisontellt plan och belastas av den horisontella kraften enligt figuren. Bestäm villkoret på belastningspunktens höjd h över planet så att lådan inte välter. Lådan har massan m. (3p) A 2. En kraft har en verkningslinje längs sidodiagonalen AB. a) Bestäm kraftmomentet med avseende på origo. b) Bestäm kraftmomentets komponent med avseende på axeln! som enligt figuren sammanfaller med diagonalen CD. 3. Antag att kollisionen mellan bussen och bilen är rak och att båda fordonen har samma ursprungliga fart. a) Bestäm hastigheten bilen får efter en fullständigt oelastisk kollision. b) Bestäm bilens hastighet efter en fullständigt elastisk kollision. 4. En vagn med massa 2M som befinner sig i jämviktsläget enligt figuren ges plötsligt farten v 0 så att den påbörjar en svängningsrörelse. Fjädern som är fäst i vagnen har en känd fjäderkonstant k. Bestäm vagnens maximala utslag från jämviktsläget. (3p)

2 Teoritentamen 5 a) Figuren visar en trådrulle som står still på ett strävt lutande plan med hjälp av en fastspänd tråd. Tråden löper ut horisontellt från cylindern med radie r. Identifiera och rita ut de krafter som verkar på trådrullen. Ange varje krafts riktning och angreppspunkt så realistiskt som möjligt. b) Betrakta en kraft som angriper i punkten r A. Bevisa att kraftmomentet av kraften med avseende på en punkt r inte ändras, om kraften förflyttas från r A längs sin verkningslinje till den nya angreppspunkten r B. 6 a) Om en kraftsumma F och en momentsumma M O för ett givet kraftsystem är vinkelräta med origo som reduktionspunkt, är de då vinkelräta i någon annan reduktionspunkt? Ja eller nej! b) Definiera masscentrum för ett partikelsystem. c) Ange uttrycket för accelerationen i ett cylindriskt system av koordinater och motsvarande riktningar. 7. a) En partikel med massa m, läge r och hastighet v påverkas av kraften F. Några av följande kortfattade definitioner kan innehålla felaktiga ekvationer? Skriv om de felaktiga ekvationerna på ett korrekt sätt. i: artikelns rörelsemängd p = mv. r 2!. ii: Kraftens impuls I = F dr r 1 iii: artikelns rörelsemängdsmoment H O = mv! r. iv: artikelns acceleration a = dv dt. b) Ange uttrycket för potentiella energin till fjäderkraften F =!k ( x! l)e x, där k och l är konstanter och x är en koordinat. 8. a) Antag att en civilingenjör träffar på följande ekvation: x 2 F +! nx = 0 sin!t, där m 2! n, F0, m och! är konstanter och t anger tiden. Vilken typ av beteende hos x(t) kan civilingenjören vänta sig. Förklara med ord, samt med matematik. b) Vilka är de tre grundstorheterna i mekaniken? /KET

3 1) 2a roblemlösningar h A En homogen låda står på ett strävt horisontellt plan och belastas av den horisontella kraften enligt figuren. Bestäm villkoret på belastnings-punktens höjd h över planet så att lådan inte välter. Lådan har massan m. Lösning: Kraftanalys: 2a h A x mg N (2b) f Kraftjämvikten ger: = f och N = mg. Antag friktionen är tillräckligt stark för jämvikt. Momentjämvikten map punkten A:!h! amg + xn = 0. Härur kan x bestämmas. x = a + h mg Gränsen för stjälpning: x = a + h mg = 2a ger h = amg. Villkor för att undvika vältning: h < amg

4 2 En kraft har en verkningslinje längs sidodiagonalen AB. a) Bestäm kraftmomentet med avseende på origo. b) Bestäm kraftmomentets komponent med avseende på axeln!. Lösning: a) Riktningen på diagonalen AB. ( 0, b, c)! a, b, 0 e AB = ( ) = (!a, 0, c ) a 2 + c 2 a 2 + c. 2 Kraftvektorn blir:!a, 0,c F = ( ). a 2 + c 2 Det spelar ingen roll för momentet var kraften angriper längs verkningslinjen. Räkna med angreppet i A. e x e y e z M O = r! F = a b 0 a 2 + c 2 "a 0 c = ( bc,!ac, ba) M C = ( r! r C ) " F = a 2 + c 2. b) Komponenten map axeln kräver momentvektorn någonstans på axeln e x e y e z a 0 0!a 0 c a 2 + c 2 ( 0,!ac,0) =. a 2 + c 2 och en skalärprodukt med axelriktningen. ( a, 0, c) " 0, b, 0 e! = ( a, "b, c) = a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 Vi får M! = M C e! = abc a 2 + b 2 + c 2 a 2 + c

5 3 5C1107 Mekanik, baskurs S Antag att kollisionen mellan bussen och bilen är rak och att båda fordonen har samma ursprungliga fart. a) Bestäm hastigheten bilen får efter en fullständigt oelastisk kollision. b) Bestäm bilens hastighet efter en fullständigt elastisk kollision. Lösning: 3 a) å grund av att kraftpåverkan mellan bil och buss är ömsesidig ändras inte totala rörelsemängden. Fullständigt oelastisk stöt betyder att fordonen fastnar i varandra. ositiv hastighet åt höger i figuren. före: efter: mv! Mv = ( m + M)v 1, dvs sluthastigheten blir v 1 =! M! m v, dvs åt vänster i figuren. M + m 3 b) Fullständigt elastisk stöt innebär att relativa farten bevaras med ombytt tecken. före: efter: mv! Mv = mv 1 + Mv 2, total rörelsemängd 2v = v 2! v 1 relativ fart dvs mv! Mv = ( m + M)v 1 + 2Mv och sluthastigheten blir v 1 =! 3M! m v, dvs åt vänster i figuren. M + m

6 4 5C1107 Mekanik, baskurs S En vagn med massa 2M som befinner sig i jämviktsläget enligt figuren ges plötsligt farten v 0 så att den påbörjar en svängningsrörelse. Fjädern som är fäst i vagnen har en känd fjäderkonstant k. Bestäm vagnens maximala utslag från jämviktsläget. Lösning: Bara fjäderkraften F =!kx i rörelseriktningen. Konservativ kraft. Newtons 2:a lag: 2M x = "kx Mekaniska energin bevaras. Jämför energier i jämviktsläget och vid maxutslaget Mv 0 2 = 1 2 kx 2 max! 2M dvs maxutslaget blir x max = v 0 k. Alternativ lösning: Svängningsekvationen: x + k 2M x = 0 Naturliga vinkelfrekvensen för svängningen: k! n =! 2M. Tidsberoendet är x(t) = A cos! n t + B sin! n t, där A =0 enligt begynnelsevläget och B = v 0! n enligt begynnelsehastigheten. Svängningsutslaget x(t) = v 0! n sin! n t har sitt största positiva värde x max = v 0! n = v 0 2M k.

7 Teoridelen 5C1107 Mekanik, baskurs S a) T=trådkraft, N=normalkraft, mg=tyngdkraft, och f =friktionskraft. ( ) " F respektive M' = ( r B! r ) " F. b) Definitionen av kraftmoment ger M = r A! r Skillnaden blir M! M' = ( r A! r B ) " F. Om r A och r B ligger på samma verkningslinje som kraften så är vektorn r A! r B parallell med kraften F. Kryssprodukten för två parallella vektorer blir nollvektorn. Alltså M = M'. 6a) Ja! Val av reduktionspunkt påverkar inte den del av momentet som är parallell med kraften (som här var 0 i en viss reduktionspunkt). b) r G = N! m i r i i=1 N! m i i=1, där m i är massan för partikeln som befinner sig i r i. c) a = ( r! r " 2 )e r + ( r " + 2 r " )e " + z e z. 7a) i: artikelns rörelsemängd: p = mv t 2!. ii: Kraftens impuls I = Fdt iii: artikelns rörelsemängdsmoment H O = r! mv. iv: artikelns acceleration a = dv dt.. b) Enligt definitionen av potentiell energi: r t 1 V ( r) =! " (!k ( x! l)e x ) dr = k 2 ( x! l)2 + konst. fix 8a) Ord: Superposition av naturlig fjädersvängning och en respons från en harmoniskt tidsberoende yttre kraft, möjlig resonans. F Matematik: Ekvationen har lösningen x(t) = A cos! n t + B sin! n t + 0 sin!t 2 m! n "! 2, ( ) där A och B beror av begynnelsevillkoren. Sista termen är responsen som kan bli stor och kan byta tecken. 8b) Läge, massa och tid.

8 5C1107 Mekanik Bedömningar OBS: Alla ekvationer skall motiveras!! Följande brister i redovisning av uppgifter 1-8 ligger till grund för poängavdrag. En viss tolerans gällande bedömningar M, B och S finns. Helhetsbedömningen av skrivningen kan innebära att ett poängavdrag (gällande M, B och S) drabbar bara ett av flera bristfälliga svarsredovisningar. M : Otydliga motiveringar, motsägelsefulla ekvationer, odefinierade symboler, felaktiga definitioner, missuppfattning. -1p B : Vilseledande, ologiska beteckningar. Komposanter i stället för komponenter etc. -1p S : Ofullständigt svar, ''införda beteckningar'' kvar i svaret, svar innehåller obestämda storheter etc. -1p L : Ologiska matematiska operationer. -1p K : Bristfällig kraftanalys eller kinematisk analys. -1p D : Dimensionsfel i svar eller viktiga ekvationer. -1p

9