Tentamen i Mekanik (FK2002, FK2005, FK2006)

Transkript

1 Tentamen i Mekanik (FK00, FK005, FK006) kl 9-14 i FR4, AlbaNova. 1. En astronaut som väger 60 kg behöver konsultera sin fysikbok under en rymdpromenad. Hennes kollega kastar boken, som väger 4,0 kg, till henne med en hastighet av 3,0 m/s. a) Hur stor blir astronautens hastighet efter att hon fångat boken, om hon från början var i vila? (p) b) Med hur mycket ändras den mekaniska energin hos bok-astronaut-systemet i och med att astronauten fångar boken? (p) Lösning: Given information: m a = 60 kg m b = 4,0 kg v ai = 0 m/s v bi = 3,0 m/s v af = v bf = v Eftersom astronauten fångar boken är kollisionen helt inelastisk. Då gäller att rörelsemändgen är bevarad men inte rörelseenergin. a) Rörelsemängdens bevarande ger: m a v ai +m b v bi = m a v+m b v [v a = 0] m b v bi = m a v +m b v v = m bv ib = 4,0 3,0 = 0,1875 0,19 m/s m a +m b 60+4,0 b) Den mekaniska energin är summan av kinetisk och potentiell energi. Den potentiella energin hos systemet är noll både före och efter kollisionen. Den kinetiska energin före (K i ) och efter (K f ) kollisionen är: K i = m bv bi = 4,0 3,0 = 18J K f = (m a +m b )v = (60+4,0) 0,1875 = 1,15J Ändringen i mekanisk energi är: E mec = K = K f K i = 1,15 18 = 16,85 17 J Svar: a) Hastigheten är 0,19 m/s b) Ändringen i mekanisk energi är 17 J

2 . En kloss med massan m = 1, kg hålls stilla på ett friktionsfritt lutande plan som har en vinkel på 30 mot horisontalplanet. Klossen släpps, glider s = 0,40 m nedför planet, och träffar en fjäder med en fjäderkonstant på k = 1800 N/m (se figur). Hur mycket har fjädern tryckts ihop då den helt stoppat klossens fart nedåt? (4p) m k 30 s Lösning: Given information: m = 1, kg θ = 30 s = 0,40 m k = 1800 N Klossen börjar i vila, och kommer innan den stannar att ha rört sig en sträcka (s+ x)sinθ nedåt, där x är den sträcka fjädern tryckts ihop då klossen stannat. Energins bevarande ger att U i + K i = U f + K f. Vi har K i = K f = 0, U i = mg(s + x)sinθ (den gravitationella potentiella energin med nollnivån vid slutläget) och U f = kx (fjäderns potentiella energi då den tryckts ihop en sträcka x). Alltså har vi: mg(s+x)sinθ = kx x mgsinθ x mgssinθ = 0 k k x = mgsinθ ) ± ( mgsinθ + mgssinθ = 0,054 m k k k Svar: Fjädern trycks ihop 5,4 cm.

3 3. Svenska landslaget i kulstötning tar en kurs i mekanik för att toppa formen inför OS i Rio de Janeiro. Under kursen får de i uppgift att härleda vilken som är den optimala utkastvinkeln, d.v.s. vilken vinkel på starthastigheten som ger den längsta stöten. Hjälp landslaget på traven genom att göra härledningen åt dem. Du kan försumma luftmotståndet i dina beräkningar. (4p) Lösning: För en projektilrörelse gäller: x = x 0 +v 0x t = v 0 cosθt (1) y = y 0 +v 0y t 1 gt = v 0 sinθt 1 gt () v y = v 0y gt = v 0 sinθ gt (3) Genom att sätta v y = 0 i Eq. (3) får vi den tid det tar för kulan att nå sin maxhöjd, t u : 0 = v 0 sinθ gt u t u = v 0sinθ g Eftersom tiden det tar för kulan att falla tillbaka till marken är samma så blir den totala tiden T två gånger t u, dvs: T = t u = v 0sinθ g Sätter vi t = T i Eq. (1) får vi längden på kastet, l: l = v 0 cosθ v 0sinθ g = v 0 g sinθcosθ Vi kan antingen finna det värde på θ som maximerar l genom att konstatera att sinθcosθ = 1 sin(θ) som har ett maxvärde för θ = 90, vilket ger θ = 45. Vi kan också derivera l med avseende på θ och sätta derivatan lika med noll: dl dθ = v 0 g (cosθ cosθ+sinθ ( sinθ)) = v 0 g (cos θ sin θ) = 0 cos θ = sin θ θ = 45 Svar: Den optimala utkastvinkeln är 45.

4 4. En homogen cylinder med massan M ligger still på ett lutande plan. Cylindern är fäst med ett snöre som löper från en punkt på cylinderns yta till väggen så att snöret löper parallellt med det lutande planet (se figur). Friktionskraften mellan cylindern och det lutande planet är så pass stor att cylinderns kontaktpunkt med underlaget inte rör sig. a) Hur stor är friktionskraften f jämfört med spännkraften T i snöret? (1p) b) Snöret klipps nu av och cylindern börjar rulla nedför det lutande planet utan att glida. Beräkna storleken på friktionskraften och uttryck ditt svar i termer av gravitationskraften Mg (d.v.s. på formen f = βmg där β är den konstant du ska bestämma). Det hjälper att komma ihåg att sin(30 ) = 1. (3p) y T x M f 30 Lösning: a) Innan snöret klipps är systemet i statisk jämvikt, så F net = 0 (4) τ net = 0 (5) Vi placerar origo i cylinderns mitt och låter en vektor rĵ beskriva den punkt där kraften T verkar på cylindern. Kraften f verkar på cylindern i en punkt som ges av vektorn r( ĵ). Från Eq. 5 får vi då att r( ĵ) f( î)+rĵ T( î) = 0 frˆk +Trˆk = 0 f = T Så f och T är lika stora. b) När cylindern börjar rulla gäller där accelerationen kommer att ske i positivt x-led. F net = m a mgsinθ f = ma (6)

5 Vidare ger τ net = d L/dt: τ net = dl dt = d mr (Iω) = Iα = dt α = mr (a ) = mra (7) Dessutom ger τ = r f: τ = r f = r( ĵ) f( î) = rf (8) Vi sätter Eq. (8) lika med Eq. (7) och får: rf = mra Vi sätter nu in Eq. (9) i Eq. (6) och får: mgsinθ ma Vi sätter slutligen in Eq. (10) i Eq. (9) och får: f = ma = ma a = gsinθ 3 (9) (10) f = m gsinθ 3 [sinθ = 1 ] mg(1/) 3 = mg 6 Vilket alltså innebär att β = 1 6. Svar: Faktorn β är 1 6.

6 5. Holger, som väger 85 kg, står längst ut på en homogen skiva med radien,0 m och massan 10 kg. Skivan roterar friktionsfritt kring sin mittpunkt med en vinkelhastighet av 0,30 rad/s. Holger promenerar sedan in och ställer sig 1,0 m från skivans centrum. Vad är den nya vinkelhastigheten hos skivan? (4p) Lösning: Given information: m H = 85 kg m S = 10 kg r S =,0 m ω i = 0,30 rad/s Vi använder oss av rörelsemängdsmomentets bevarande. För skivan gäller: För Holger gäller: L = Iω [I = m Sr ] L = m Sr ω L = r m H v = rm H v = rm H ωr = m H ωr Då Holger står längs ut på skivan är storleken på det totalta rörelsemängdsmomentet: L i = m Sr S ω i +m H ω i r S Då Holger gått in till ett avstånd r S / från skivans centrum har vi: L f = m Sr S ω f Sätter vi L i = L f får vi: +m H ω f ( r ) = m S r S ω f + m Hr S ω f 4 m S r S ω i +m H ω i r S = m Sr S ω f + m Hr S ω f 4 m S ω i ( ) ( ms ω f = ω i +m ms H / + m H +m H ω i = m Sω f + m Hω f 4 ( ms ω f + m ) ( H ms = ω i 4 + m ) H 4 ) ( ) 10 == 0, / Svar: Den nya vinkelhastigheten är 0,54 rad/s. ( ) = 0,54rad/s

7 6. En stege med massan 5 kg och längden 8,0 m står lutad mot en vägg så att vinkeln mellan golvet och stegen är 60. Den statiska friktionskoefficienten mellan golvet och stegen är µ s = 0.0 medan friktionen mellan husväggen och stegen är försumbar. Eva, som har en massa på 65 kg, klättrar upp på stegen för att skrämma bort en fågel som byggt bo i hennes skorsten. Men när hon kommit en bit upp på stegen känner hon att den börjar glida mot marken. Hur lång upp på stegen har Eva klättrat när den börjar glida? (4p) Lösning: F Nv y Given information: F Ng s x m e g m s g h m s = 5 kg m e = 65 kg θ = 60 µ s = 0,0 l = 8,0 m h = lsin(θ) b = lcos(θ) d = scos(θ) A 60 d F s b Precis innan stegen börjar glida har vi statisk jämvikt med F s = f s,max = µ s F Ng. F net = 0 i x-led ger: µ s F Ng F Nv = 0 (11) F net = 0 i y-led ger: F Ng m s g m e g = 0 (1) τ net = 0 kring punkten A ger: dm e g + 1 bm sg hf Nv = 0 (13) Eq. (1) ger: F Ng = g(m s +m e )

8 vilket insatt i Eq. (11) ger: Sätter vi in detta i Eq. (13) får vi: Löser vi ut d ur detta uttryck får vi: Eftersom s = d/ cos(θ) får vi slutgiltigen: F Nv = µ s g(m s +m e ) dm e g + 1 bm sg hµ s g(m s +m e ) = 0 d = hµ sg(m s +m e ) 1 bm sg m e g s = hµ sg(m s +m e ) 1 bm sg m e gcos(θ) = lsin(θ)µ sg(m s +m e ) 1 lcos(θ)m sg m e gcos(θ) = 8,0 sin(60 ) 0,0 9,8 (5+65) 1 8,0 cos(60 ) 5 9,8 65 9,8 cos(60 ) =,3 m Svar: Eva kommer,3 m upp på stegen innan den börjar glida.