1. Stela kroppars mekanik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "1. Stela kroppars mekanik"

Transkript

1 1. Stela kroppars mekanik L1 Med en stel kropp menas ett föremål som inte böjer sig eller viker sig på något sätt. (Behandlingen av icke stela kroppar hör inte till gymnasiekursen) 1.1 Kraftmoment, M Ett kraftmoment (även vridmoment) som verkar på en kropp strävar till att sätta kroppen i rotation kring någon rotationspunkt. Kraftmomentet orsakas av en påverkande kraft, och dess storlek beror på kraftens angreppspunkt (var kraften verkar). Ju större avståndet till rotationspunkten är, desto större blir kraftmomentet. Kraftmomentets storlek fås som produkten av avståndet till rotationspunkten och kraftens vinkelräta komponent mot avståndet: (1) Handens kraft ger upphov till ett kraftmoment som orsakar rotation hos muttern. Kraftmomentets enhet är Nm vilket INTE skall förväxlas med arbetets enhet! Båda är Nm, men den ena betecknar moment som orsakar rotation, den andra arbete utfört av en kraft som verkar under en förflyttning! Eftersom föremål kan rotera åt två håll, måste rotationsriktningen anges. Man har valt att ange motsols rotation som positiv och medsols som negativ riktning för rotationen (och alltså även för vridmomentet). Om ett föremål påverkas av flera vridmoment, måste de adderas. Om alla vridmoment tar ut varandra, säger vi att föremålet befinner sig i jämvikt med avseende på rotationsrörelse. Det kommer alltså inte att börja rotera om det är i vila, och det kommer inte att ändra sin rotation om det redan roterar. 1

2 Ex. 1 Handen påverkar skiftnyckeln enligt bilden. Friktion i muttern moverkar rotationen med ett kraftmoment av 8,5 Nm. Kommer muttern att rotera? 2

3 Ex. 2 L1 Flickan sitter på ett gungbräde. Hur stort vridmoment orsakar hon på brädet? Läs sidorna 6 11, Lös uppgifterna 1 2, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8 3

4 Enkla maskiner Redan i de förhistoriska kulturerna insåg man att det är lättare att flytta tunga föremål genom att använda olika hjälpmedel. Dessa så kallade enkla maskiner bygger på att man minskar kraften som används, men ökar sträckan som man behöver påverka föremålet. Hävstången Hävstången bygger på vridmomentets princip. Ju längre hävstång som används, desto mindre kraft behövs. Vi kan skriva ut hävstångsvillkoret: Vinschen Vinschen bygger också vridmoment; en vikt är kopplad till ett litet hjul, som är kopplat till samma vridaxel som ett större hjul. Det krävs mindre kraft att vrida det större hjulet eftersom avståndet till vridaxeln är större. Block och talja Block och talja (dvs. trissa och rep) kan användas för att ändra kraftens riktning, men också för att minska den behövda kraften. Vid en kraftminskning kommer dock sträckan att öka. Detta kallas mekanikens gyllene regel, och är lätt att förstå då man minns arbetsprincipen; För att lyfta en vikt en viss sträcka måste ett visst arbete utföras Då arbete är definierat som produkten av kraft och sträcka MÅSTE sträckan öka om kraften minskas. Ramp/lutande plan Det lutande planet underlättar lyftande av föremål, då man inte behöver övervinna kroppens hela tyngd, utan endast den tyngd som är riktad längs planet och eventuell friktion. Ju flackare lutning, desto mindre kraft behövs, men i gengäld ökar sträckan. 4

5 1.2 Tyngdpunkt Tyngdkraften kan orsaka rotation hos stela kroppar. För att kunna beräkna vridmomentets storlek måste vi veta var tyngden verkar på kroppen, annars vet vi inte avståndet till rotationspunkten. Det visar sig att vi kan anta att hela kroppens tyngd är koncentrerad till en punkt, tyngdpunkten. L2 Guldbollen påverkas av en större tyngdkraft än den blå bollen, så systemets tyngdpunkt är närmare guldbollen. Tyngdpunkten för vilket föremål som helst kan hittas genom att hänga upp föremålet i olika "hörn" och undersöka en lodlinje genom föremålet. Skärningspunkten för lodlinjerna är tyngdpunkten. För symmetriska föremål som är homogena (helt igenom av samma material) är det lätt att hitta tyngdpunkten man behöver bara beräkna den geometriska medelpunkten. I den här kursen använder vi även begreppet massmedelpunkt synonymt med tyngdpunkt; massmedelpunkten är den punkt där man kan anta att hela föremålets massa är koncentrerad. För att beräkna massmedelpunkten tänker vi oss att föremålet består av mindre delar vars massor och massmedelpunkter är kända. Genom att sedan kombinera de enskilda massorna och massmedelpunkterna fås hela kroppens massmedelpunkt enligt: Hur man hittar tyngdpunkten. Symmetriska och homogena föremål. Ett system kan indelas i mindre kroppar. (2) Här är n antalet olika massor i det undersökta systemet. Vi har antagit att alla massmedelpunkterna ligger på samma linje. Om massorna är utspridda i två dimensioner, måste vi även beräkna massmedelpunktens y koordinat. Vi gör likadant, men ersätter alla x i ekvationen med y. 5

6 Ex. 3 L2 Beräkna systemets massmedelpunkt. 6

7 1.2.1 Massmedelpunkten i fysiken L2 Då vi betraktar ett föremål eller ett system kan vi förenkla situationen till att betrakta endast massmedelpunkten för systemet. Massmedelpunkten kommer att röra sig helt enligt fysikens lagar. En yttre kraft som verkar på en kropp orsakar en acceleration hos massmedelpunkten. Om kraften inte är riktad så att den går genom massmedelpunkten kommer föremålet också att börja rotera. Inbördes krafter i ett system kan inte påverka massmedelpunktens rörelse. Du kan alltså inte lyfta dig själv i kragen för armens kraft är en del av det system din kropp utgör. För att kunna lyfta dig själv måste du ta spjärn mot något utanför dig själv. Massmedelpunkten rör sig i en parabelformad bana, vilket förutsägs av fysiken. Genom att lyfta benen kan hopparen variera massmedelpunktens läge i förhållande till huvudet huvudet rör sig därför längs en rak linje. Däremot kan du, genom att flytta armar och ben på olika sätt, ändra var tyngdpunkten är i förhållande till din kropps delar. En höjdhoppare är ett exempel på detta; massmedelpunkten passerar faktiskt under ribban, men hopparens kropp går över den, tack vare hopptekniken. Kanonkulan exploderar i luften. Bitarna rör sig på olika sätt, men deras gemensamma massmedelpunkt fortsätter i samma bana som kulan hade före explosionen. Läs sid Lös uppgifter: 1 18, 1 20, 1 24, 1 26, 1 29 I en kollision antas att inga yttre krafter påverkar. Massmedelpunktens hastighet och rörelsemängd är oförändrad. 7

8 1.3 Stel kropp i jämvikt L3 En kropp sägs vara i jämvikt, då nettokraften på den är noll, dvs. alla krafter tar ut varandra, och då det totala vridmomentet på den också är noll. Vi kan skriva detta i formen (3) Gungbrädan är i jämvikt, om nettokraften på den är noll... Jämvikt är ett tillstånd som eftersträvas av arkitekter man vill ju helst att en byggnad skall stå stilla. Broar, skyskrapor, stolar...det är viktigt att behärska jämviktsvillkoren i alla givna situationer. För att lösa ett jämviktsproblem:...och kraftmomenten tar ut varandra. 1. Rita ett frikroppsdiagram över situationen. Rita alltså in alla de krafter som verkar på det föremål du undersöker. Indela krafterna i komponenter, om det behövs. Om du inte vet exakt vartåt en kraft är riktad, gissa. Kraftens riktning kommer att visa sig småningom. 2. Använd jämviktsvillkoren i (3). Det kan hända att du måste betrakta x led skilt och y led skilt.välj en punkt som rotationspunkt. Välj punkten så att så många av krafterna som möjligt går genom den då behöver du inte räkna kraftmomenten för de krafterna. 3. Lös ekvationerna du får från villkoren. 8

9 Fy 05.notebook October 02, 2013 Jämvikt: Ange: Krafterna som verkar på trästaven. Bestäm: Massornas förhållande M1/M2, där M1 = mindre viktens massa. M2 M1 9

10 Ex. 4 L3 Häxan och ankan är i jämvikt på vågen. Ankans tyngd är 44,5 N. Vad är häxans tyngd? 10

11 Ex. 5 L3 Stegen står stilla. Anta att väggen är friktionsfri. Vilka är komponenterna av kraften från marken på stegen? Läs sid Lös uppgifter 1 32, 1 33, 1 35, 1 36, 1 37, TVDK 11

12 2. Rotations och centralrörelse L4 I föregående avsnitt lärde vi oss att det behövs ett kraftmoment för att något skall börja rotera. I detta avsnitt lär vi oss hur vi beskriver roterande rörelse. 2.1 Rotationsrörelse Vi betraktar en stel kropp som roterar kring någon punkt, t.ex. ett cykelhjul. Vi kan definiera ett antal begrepp som hjälper oss beskriva rörelsen Varvfrekvens n Varvfrekvensen anger hur många hela varv kroppen roterar per sekund. Om vi vet antalet varv och tiden som gått, fås alltså varvfrekvensen som (4) Om vi vet perioden T, dvs. tiden för att rotera ett varv, blir varvfrekvensen enligt ovan: (5) Varvfrekvensens enhet är 1/s, eller Hertz, men ofta används rpm (rotations per minute). 12

13 2.1.2 Vridningsvinkel φ L4 Vi inför begreppet vridningsvinkel, som motsvarar position i translatorisk rörelse. Genom att sätta en utgångsposition för rotationen kan vi sedan säga vilken vridningsvinkel kroppen befinner sig i. Utgångspunkten är x axeln, eller "klockan 3". Vridning motsols ger en positiv vridningsvinkel, och medsols en negativ vridningsvinkel. Positiv vridning Vridningsvinkelns storlek ges av förhållandet mellan den båge (sträcka längs rotationen) som en ytterpunkt på föremålet rör sig, och radien (avståndet från ytterpunkten till rotationspunkten). Symboliskt uttryckt: (6) Negativ vridning Vridningsvinkeln saknar enhet (både s och r har enheten meter). För att inte blanda med vanliga siffror använder man den så kallade absoluta vinkelenheten, även kallad radian, som förkortas rad. Ett helt varv motsvarar vridningsvinkeln φ = 2π rad. Vinkeln fås m.h.a. bågen s och radien r. 13

14 Ex. 6 L4 Vridningsvinkelns definition kan användas för att lösa ut båglängden vid en rotation. 14

15 2.1.3 Förändring i vridningsvinkel, Δφ L4 Då kroppen roterar från ett läge till ett annat, kan vi ange hur mycket den roterat genom att ange skillnaden mellan vridningsvinkeln i de två lägena. Detta motsvarar förändringen i position, dvs. sträckan, i translatorisk rörelse. Förändringen anges som bekant med symbolen delta: (7) Uttrycket ger oss både hur mycket kroppen har roterat, och rotationsriktningen. Märk att vi här kan undersöka vridningar över flera varv, vridningsvinkeln "nollställs" inte efter ett varv utan fortsätter öka. Startvinkeln är här φ 1 =π/2 rad, slutvinkeln φ 2 =π rad. Förändringen är φ 2 φ 1 = π/2 rad. Startvinkeln är här φ 1 =π/2 rad, slutvinkeln φ 2 =3π rad. Förändringen är φ 2 φ 1 = 5π/2 rad. 15

16 Ex. 7 Hur ändras vridningsvinkeln då minutvisaren går från till 12.25? 16

17 2.1.4 Vinkelhastighet L4 Vi inför begreppet vinkelhastighet för att beskriva rotationens hastighet. Vinkelhastigheten ges av förhållandet mellan vridningsvinkelns förändring och tiden: (8) Strängt taget är detta uttrycket för medelvinkelhastigheten, men vid likformig rotationsrörelse ändras inte vinkelhastigheten, så vi kan använda ovanstående uttryck. Enheten för vinkelhastigheten är rad/s Likformig rotationsrörelse Vid likformig rotationrörelse är vinkelhastigheten ω konstant. Vi kan då uttrycka förändringen i vridningsvinkel enligt följande: (9) 17

18 Ex. 8 L4 Motorcyklisten åker ett varv motsols på den angivna tiden. Var är hennes medelvinkelhastighet? 18

19 2.1.6 Vinkelacceleration α L4 Om kroppens vinkelhastighet ändras vill vi kunna ange på vilket sätt den ändras. För detta inför vi vinkelaccelerationen α, som fås som förhållandet mellan vinkelhastighetens förändring och tiden: (10) Bilens vinkelhastighet är olika stor i början och i slutet. Den har haft en vinkelacceleration. Ovanstående uttryck beskriver medelvinkelaccelerationen, men då vi betraktar likformigt föränderlig rotation kan vi använda det direkt. Enheten för α är rad/s Likformigt föränderlig rotationsrörelse Om rotationen ändras likformigt, betyder det att vinkelhastigheten ändrar lika mycket hela tiden, dvs vinkelaccelerationen är konstant. Då kan vi utrycka vinkelhastighetens förändring enligt: (11) För vridningsvinkelns förändring fås (se boken sid. 44): (12) 19

20 Ex. 9 L4 Blandaren kopplas på och har under 5,0 sekunder en konstant vinkelacceleration av 44 rad/s 2. Beräkna dess slutliga vinkelhastighet och förändring i vridningsvinkel. Läs sid (s är matematisk behandling), Lös uppgifter: 2 1, 2 2, 2 3, 2 7, 2 9,

21 2.2 Centralrörelse L5 I rotationsrörelse är det föremålet självt som roterar kring en rotationspunkt; i centralrörelse rör sig föremålet i en cirkelbana kring en punkt. Vi kan använda samma begrepp som vi införde i rotationsavsnittet för att beskriva rörelsen. Ett föremål som cirklar med jämn hastighet har alltså en vinkelhastighet, om rörelsen ändras finns det en vinkelacceleration, och vi kan ange hur mycket föremålet har cirklat genom att använda vridningsvinkeln Banhastighet, tangentiell hastighet Föremålet som rör sig i cirkelbanan rör sig med någon vinkelhastighet ω. I varje enskilt ögonblick kan vi också säga att föremålet har en hastighet som är riktad längs tangenten till cirkelbanan. Denna hastighet kallas banhastighet eller tangentiell hastighet. Banhastigheten beror på vinkelhastigheten, men också på hur långt från cirkelns mittpunkt föremålet är: (13) Enheten för banhastigheten är den bekanta enheten för hastighet, m/s. Vinkelhastigheten har enheten rad/s, men radianer är dimensionslösa i sig själva, dvs. vi får rad/s * m = m/s. Se även härledningen på sid

22 Ex. 10 L5 CD skivan snurrar med varvfrekvensen 205 rpm. Hur snabbt rör sig en punkt på skivans kant, 12,0 cm från mitten? 22

23 2.2.2 Banacceleration, tangentiell acceleration a T L5 Om föremålet i centralrörelse inte rör sig med jämn fart, måste vi ange dess acceleration. Vi känner redan till att det har en vinkelacceleration, eftersom vinkelhastigheten ändras, men banhastigheten ändras ju också, så vi vill ge ett uttryck för detta. Vi inför begreppet banacceleration eller tangentiell acceleration. Eftersom banhastigheten i varje enskilt ögonblick är riktad i tangentens riktning måste också accelerationen vara det. Det visar sig att den tangentiella accelerationen är beroende av vinkelaccelerationens storlek, och avståndet till banans mittpunkt: (14) Centralacceleration/normalacceleration, a n Vi såg tidigare att banhastigheten ändrar riktning hela tiden, även om farten är konstant. Detta innebär att föremålet måste accelerera. Denna acceleration är riktad mot mitten av cirkelbanan, därav uttrycket centralacceleration. In mot mitten är vinkelrätt mot banhastighetens riktning. Accelerationen är alltså riktad längs normalen mot banhastighetens riktning, så vi kan även använda uttrycket normalacceleration. Det visar sig (se sidan 49) att centralaccelerationen beror på banhastighetens storlek och avståndet till mittpunkten: (15) Vi kan kombinera uttryck (15) med uttryck (13) för att få ett alternativt uttryck för centralaccelerationen: (16) 23

24 Ex. 11 L5 Hur stor är tågets normalacceleration? 24

25 2.2.5 Kombination av tangentiell acceleration och centralacceleration L5 Om ett föremål i centralrörelse ökar sin banhastighet, måste det finnas en banacceleration. Samtidigt finns en centralacceleration, annars skulle föremålet inte röra sig i en cirkelbana. Den totala accelerationen hos föremålet fås genom att kombinera de två accelerationerna: (17) Märk att banaccelerationen är konstant, medan centralaccelerationen ökar hela tiden (den beror ju på banhastighetens storlek). Totalaccelerationen blir alltså också större med tiden. Totalaccelerationens riktning uttrycks som vinkeln mot radien, vilken fås enligt: (18) 25

26 Ex. 12 L5 Ange totalaccelerationen. Läs sid Lös uppgifter 2 34, 2 35, 2 36, 2 39, 2 40,

27 2.3 Centripetalkraft L6 Vi betraktar ett föremål i likformig centralrörelse. Banhastighetens riktning ändras på grund av centralaccelerationen. Newtons 2:a lag säger oss att kraft ger upphov till acceleration. Det måste alltså finnas någon kraft som alltid är riktad längs radien mot mitten av cirkeln. Vi kallar denna kraft centripetalkraft. Olika krafter kan verka som centripetalkraft beroende på situationen; en pendel som roteras i ett snöre påverkas av snörets spännkraft, en bil som åker i en kurva påverkas av friktion, kläderna i en torktumlare påverkas av stödkraft från tumlarens innervägg, en planet hålls i sin bana på grund av gravitation. I alla dessa situationer påverkas föremålen av en kraft riktad mot mitten av rörelsen, dvs. en centripetalkraft. Vi kan lätt bestämma centripetalkraftens storlek; Newtons 2:a lag ger oss det allmänna uttrycket för en kraft. Vi vet att centripetalkraften ger upphov till centralacceleration, och vi vet uttrycket för denna (15). Vi kombinerar och får: Snörets spännkraft är centripetalkraft. Friktion mellan däck och väg är centripetalkraft. (19) Stödkraftens vågräta komponent är centripetalkraft. Om banhastigheten ökar måste centripetalkraften öka om man vill behålla banans radie oförändrad. Om kraften är av en konstant storlek, och man ökar banhastigheten, måste radien öka. Centripetalkraftens storlek beror på banhastighet och radie. 27

28 28

29 Ex. 13 L6 Beräkna centripetalkraftens storlek på motorcyklisten. Vilken kraft är det som är centripetalkraft i denna situation? 29

30 Ex. 14 L6 Bestäm hur stor lutningsvinkeln θ skall vara för att bilen skall kunna åka genom kurvan utan friktion på hjulen. Läs sid Lös uppgifter 2 12, 2 13, 2 14, 2 15, 2 16,

31 2.4 Föränderlig rotationsrörelse I avsnittet om kombination av centralacceleration och banacceleration behandlades redan rotationsrörelse där banhastigheten ändras under rörelsen. Uttrycket för totalaccelerationen är L7 En kropps acceleration orsakas alltid av den nettokraft som påverkar kroppen. Vid föränderlig rotationsrörelse finns alltså en nettokraft som både ökar banhastigheten och håller kroppen i cirkelbana. Nettokraftens storlek fås (förstås) av Newtons 2:lag; (20) Looping i berg och dalbana Vi ser på en vagn som åker i en loop. Medan vagnen åker genom loopen befinner den sig i centralrörelse, och påverkas alltså åtminstone av en centripetalkraft. Centripetalkraften orsakas nästan helt av banans stödkraft, som hela tiden påverkar vagnen mot loopens mittpunkt. Då vagnen är i sitt högsta läge verkar även tyngdkraften mot mitten av banan. Den orsakar då tillsammans med stödkraften den nödvändiga centripetalkraften. Då inverkar inte stödkraften lika mycket och en passagerare i vagnen upplever att han väger mindre, eftersom han inte "pressas mot underlaget" lika mycket (OBS! Detta är en upplevd kraft, inte verklig!). Ju saktare vagnen åker genom loopen, desto mindre blir stödkraften i det högsta läget, eftersom den nödvändiga centripetalkraften blir mindre. Vid en viss gränshastighet behövs enbart tyngdkraften som centripetalkraft. Om vagnen åker ännu saktare än gränshastigheten kommer den inte att klara loopen utan kraschar. Vi skall (tillsammans) härleda ett uttryck för denna hastighet; 31

32 L7 Läs sid Lös uppgifter 2 12, 2 13, 2 14, 2 15, 2 16, 2 17 Läs sid Lös uppgifter 2 18, 2 20, 2 21, 2 22, 2 24,

33 3. Rotationsrörelsens dynamik L8 3.1 Rörelse ekvationen för rotationsrörelse För translatorisk rörelse gäller Newtons andra lag, ƩF = ma. En nettokraft på en kropp ger upphov till en acceleration, och kroppens rörelsetillstånd ändras. Vi undersöker nu om det går att hitta ett motsvarande uttryck för rotationsrörelse. Vikten påverkar trissan med ett vridmoment, och trissan börjar rotera. För rotationsrörelse gäller att ett nettovridmoment orsakar en vinkelacceleration, dvs. en ändring av rotationen. Det visar sig Newtons lag för rotationsrörelse kan skrivas som: (21) Vi känner igen M och α, men vad är J? 3.2 Tröghetsmoment, J Tröghetsmomentet är ett föremåls förmåga att motverka en ändring i rotation. Olika föremål har olika tröghetsmoment, och tröghetsmomentet för ett och samma föremål kan också variera, beroende på vilken axel föremålet roterar kring. Tröghetsmomentet är beroende av hur massan är fördelad kring rotationspunkten. Om föremålets hela massa är nära rotationsaxeln är tröghetsmomentet litet. Genom att betrakta ett roterande föremål, och beräkna den kinetiska energin för varje enskild masspartikel i förmålet, fås rotationsenergin för föremålet. Samtidigt får vi ett uttryck för tröghetsmomentet (se sidan 79): (22) Tröghetsmomentet har enheten kgm 2. 33

34 Ex. 15 L8 Vad är trissans tröghetsmoment? 34

35 Ex. 16 L8 Vad är systemets tröghetsmoment, då staven borträknas? 35

36 Vi såg i Ex. 15 och 16 två exempel på hur tröghetsmomentet kan beräknas. För att underlätta beräkningarna har man räknat ut tröghetsmomentet för olika kroppar färdigt, och de finns i MAOL. L8 3.3 Steiners sats De ovanstående uttrycken för tröghetsmomentet gäller då kroppen roteras kring en axel som gå genom kroppens tyngdpunkt. Om kroppen roteras kring någon annan axel, måste man beräkna tröghetsmomentet med hjälp av Steiners sats: Tröghetsmomentet för en kropp med massan m som roterar kring en axel på avståndet r från tyngdpunkten O fås av uttrycket (23) 3.4 Rotationsenergi E r Då ett föremål roterar, har det rotationsenergi. Uttrycket för rotationsenergin är (24) Läs sid Lös uppgifter 3 7, 3 8, 3 9, 3 10, 3 11, 3 12, 3 13, 3 14, 3 15, 3 16, 3 17, 3 18, 3 19,

37 3.5 Rörelsemängdsmoment, L L9 I translatorisk rörelse har vi begreppet rörelsemängd p, som definieras som produkten av massa och hastighet; p = mv. I rotationsrörelse och centralrörelse har vi ett motsvarande begrepp, kallat rörelsemängdsmoment, som betecknas med bokstaven L. Beroende på om vi har centralrörelse eller rotationsrörelse får vi aningen olika uttryck för rörelsemängdsmomentet; Rörelsemängdsmoment i centralrörelse Vi betraktar en partikel i centralrörelse. Partikeln har massan m, banhastigheten v och avståndet r till mittpunkten för rörelsen. Rörelsemängdsmomentet fås som produkten av dessa: (25) Rörelsemängdsmomentets enhet är kgm 2 /s. 37

38 Ex. 17 L9 Hur stort är lokets rörelsemängdsmoment? 38

39 3.5.2 Rörelsemängdsmoment vid rotationsrörelse L9 Vi betraktar ett objekt som roterar kring en axel. Föremålets tröghetsmoment är J och dess vinkelhastighet är ω. Vi får nu rörelsemängdsmomentets uttryck: (26) 39

40 Ex.18 Beräkna Kira Korpis rörelsemängdsmoment:) 40

41 3.5.3 Rörelsemängdsmoment, allmänt fall L9 Det är möjligt att beräkna rörelsemängdsmomentet för en kropp i rörelse som inte är rotationell. Rörelsemängdsmomentet för en kropp i rörelse i förhållande till någon viss punkt ges av uttrycket (27) m är kroppens massa, r är avståndet till kroppen och v är kroppens hastighet. α är den mindre vinkeln mellan hastighetens riktning och avståndsvektorn. v 41

42 Ex. 19 L9 Beräkna satellitens rörelsemängdsmoment då jorden är utgångspunkt. 42

43 3.5.4 Rörelsemängdsmomentets bevarande L9 Precis som rörelsemängden p bevaras i kollisioner, bevaras även rörelsemängdsmomentet från tidpunkt till tidpunkt, om inga yttre krafters vridmoment verkar på systemet. Inre krafter i systemet kan påverka systemets tröghetsmoment men då måste även vinkelhastigheten ändras. Skridskoåkaren roterar först med en jämn vinkelhastighet. Då hon drar in armarna minskar hennes tröghetsmoment, så vinkelhastigheten måste öka för att rörelsemängdsmomentet skall bevaras. Vi får uttrycket (28) 43

44 Ex. 20 Konståkaren halverar sitt tröghetsmoment genom att dra in armarna. Hur ändras vinkelhastigheten? Visa det matematiskt. L9 Läs sid Lös uppgifter 3 23, 3 25,

45 3.6 Kombinerad translations och rotationsrörelse; rullning L10 Translatorisk rörelse behandlades i kurs Fy 4, och rotationsrörelse borde vara bekant från pågående kurs. Vi har sett att de två har motsvarande symboler och begrepp. Ett objekt som rullar kombinerar dessa rörelsetyper Rullande kroppars energi En rullande kropp rör sig med en viss hastighet, och har därmed translatorisk rörelseenergi. Den har dock även rotationsenergi. Den totala kinetiska energin hos kroppen är summan av dessa: (29) Lagen om mekaniska energins bevarande och energiprincipen för rullande föremål Då ett föremål rullar från någon höjd h ovanför en valfri nollnivå och mycket små nettokrafter eller nettovridmoment utför arbete på det, är det möjligt att ange systemets tillstånd med hjälp av lagen om den mekaniska energins bevarande: (30) Om systemet inte är "isolerat från omvärlden" gäller i stället energiprincipen; (31) W är det arbete som systemet utför, eller det yttre arbete som utförs på systemet. 45

46 3.6.3 Rullningsvillkor L10 En kropp rullar, då den punkt som är i kontakt med marken inte glider. Denna punkt rör sig med banhastigheten v = ωr i förhållande till kroppens mittpunkt. Det måste alltså gälla att kroppens mittpunkt rör sig med samma hastighet i förhållande till marken. Ett annat sätt att ange detta är att jämföra sträckan kroppen färdas längs marken med den roterade sträckan, dvs. båglängden rθ. Vi får villkoren för hur en kropp rör sig: Rullande: v = rω Slirande, acceleration: v < rω (32) Slirande, inbromsning: v > rω 46

47 Ex. 21 L10 Den kompakta, homogena skivan rullar utan att glida. Vad är dess totala kinetiska nergi? 47

48 Ex. 22 L10 Den ihåliga badbollen har massan 0,10 kg och rullar utan att glida ned längs rampen. Högst upp har den 0,75 J potentiell energi, längst ned har den ingen potentiell energi. Beräkna den translatoriska och rotationella rörelseenergin längst ned. Läs sid Lös uppgifter 3 31, 3 33, 3 34, 3 36, 3 37, TVDK 48

49 4. Gravitation L11 Gravitation är en av de fyra grundväxelverkanstyperna i universum, och den vi är mest bekanta med trots att den är den överlägset svagaste av dem! Gravitationen beskrevs först av Isaac Newton, men han hade hjälp av de upptäckter Johannes Kepler gjorde angående planernas rörelse. Vi inleder med att granska Keplers lagar för planetrörelse. 4.1 Keplers lagar Johannes Kepler analyserade data över planetrörelser, som hans läromästare Tycho Brahe hade samlat in. Han kunde sammanfatta sina resultat i tre lagar. Första lagen: Planeterna rör sig i ellipsbanor kring solen med solen i ena brännpunkten. Denna lag gäller, förutom planeter, alla kroppar som kretsar kring ett massivt objekt, t.ex. satelliter i bana kring jorden. Planeterna i vårt solsystem har nästan cirkelformade banor. Andra lagen: Planeternas rörelse kring ellipsbanorna sker med sådan hastighet att linjen från solen till planeten på lika tid överfar lika stor area. Planeter rör sig alltså snabbare då de är nära solen och långsammare då de är långt ifrån solen. Tredje lagen: Kvadraterna på planeternas omloppstider T förhåller sig som kuberna på deras medelavstånd r från solen: (33) Då vi insätter planetavstånden och perioderna i ett koordinatsystem med logaritmisk skala, ser vi detta förhållande tydligt. MIT Lec. 22 2:40 6:20 49

50 4.2 Den allmänna gravitationslagen L11 Isaac Newton använde Keplers lagar då han formulerade sin beskrivning av gravitationens egenskaper. Vi sammanfattar hans upptäckter i den allmänna gravitationslagen: Två punktformiga kroppar med massorna m 1 och m 2 på avståndet r från varandra attraherar varandra med en kraft, som är direkt proportionell mot massornas produkt och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan dem: γ är gravitationskonstanten, som har värdet 6,67259 x Nm 2 /kg 2. Ibland används symbolen G för att beteckna konstanten. (34) 50

51 Ex. 24 Hur stor är gravitationskraften mellan jorden och månen? L11 51

52 Ex. 25 Hur stor är gravitationskraften mellan bilarna? L11 52

53 4.3 Gravitationskonstanten G, fallaccelerationen g och begreppet tyngd L11 Gravitationskonstantens värde var inte känt exakt på Newtons tid, värdet var en uppskattning. Henry Cavendish lyckades uppmäta värdet med stor noggranhet se boken för en beskrivning av försöksuppställningen! Gravitationskonstantens värde är detsamma i hela universum, så vitt vi vet. Däremot är värdet för fallaccelerationen g helt beroende av var vi befinner oss. Vi har tidigare definierat tyngden mg som den kraft som drar ett föremål med massan m mot jorden. Vi vet nu att denna kraft orsakas av gravitation, så vi kan uttrycka tyngden med hjälp av gravitationslagen: Här är M jordens massa och r jordens radie. Genom att dividera med m får vi (35) Vi ser att g:s värde är beroende av jordens massa men också av avståndet till jordens mittpunkt. Värdet g = 9,81m/s 2 gäller strängt taget bara vid jordytan, och även då varierar värdet beroende på breddgrad se sidan115! För andra planeter med andra massor och radier får g naturligtvis andra värden. 53

54 6. Isaac Newton beräknade i slutet av 1600 talet förhållandet mellan solens och jordens massor med hjälp av följande dåtida fakta: Solens medelavstånd till jorden är gånger jordens radie, månens medelavstånd till jorden är 60 gånger jordens radie, jordens omloppstid runt solen är 365 dygn och månen omloppstid kring jorden är 27,3 dygn. Vilket värde erhöll Newton för förhållandet mellan solens och jordens massor? (Stud.ex. H06) L11 Läs sid Lös uppgifter 4 8, 4 11, 4 12, 4 13, 4 14,

55 55

56 4.4 Gravitationsfält L12 I stället för att beskriva gravitationskraften som en kraftverkan mellan två kroppar A och B kan vi använda ett så kallat fältbegrepp; vi tänker oss att kropp A ger upphov till ett gravitationsfält i rymden omkring sig, och kropp B påverkas av fältet. A å sin sida påverkas av fältet som B ger upphov till. Allmänt påverkas en kropp med massan m av en gravitationskraft då den befinner sig i ett gravitationsfält Fältlinjer Vi kan åskådliggöra gravitationsfältets styrka och riktning med hjälp av fältlinjer. Ju tätare linjerna ritas, desto starkare är fältet. Linjernas riktning ges av den riktning som en kropp med massan m i fältet påverkas mot Gravitationens fältstyrka education.co.uk/new_items/sta/g Field/field_2.gif Fältstyrkan i en punkt anger hur stark gravitationen är i den punkten i fältet. Vi definierar fältstyrkan som förhållandet mellan gravitationskraften på en kropp och kroppens massa. För en kropp i jordens gravitationsfält fås: (36) M är jordens massa och r avståndet till jordens medelpunkt. Fältstyrkan är tydligen liktydig med tyngdaccelerationen g! 56

57 4.5 Potentiell energi i gravitationsfält L12 Den potentiella energin nära markytan kan som bekant anges med uttrycket E p = mgh. Här antas att tyngdkraften mg är konstant på alla avstånd från jordytan men detta stämmer egentligen inte, den avtar ju med kvadraten på avståndet! Dessutom antar man att höjden h kan bestämmas från en valbar nollnivå. Då vi ser på gravitationell energi på en större skala, måste vi frångå en fritt valbar nollnivå. För att flytta en kropp längre ifrån en planet, måste vi utföra ett arbete på kroppen. Ju längre ifrån planeten vi kommer, desto svagare är gravitationsfältet och desto mindre är det arbete som behöver utföras. Med andra ord närmar sig energibehovet för förflyttning noll då vi kommer längre och längre bort. Vi definierar att nollnivån för den gravitationella potentiella energin är oändligt långt borta från planeten, och att den gravitationella potentiella energin är negativ (eftersom föremålet behöver ett tillskott av energi för att komma till nollnivån måste dess energi från början ha varit negativ): (37) Detta är uttrycket för den potentiella energin hos en kropp med massan m på avståndet r från en kropp med massan M, som orsakar gravitationsfältet den första kroppen befinner sig i. Det kan exempelvis handla om en planet i solens gravitationsfält Lagen om mekaniska energins bevarande En kropp med massan m som rör sig med hastigheten v i ett gravitationsfält på avståndet r från den planet (eller stjärna) med massan M som orsakar fältet har mekanisk energi; E tot = E k + E p. Den mekaniska energin hålls konstant då inga yttre krafter påverkar, så med vårt uttryck för potentiell energi kan vi skriva (38) Vi kunde exempelvis beräkna energin för en planet i bana kring solen. (Planeterna har också rotationsenergi, men den är försumbar jämfört med den kinetiska och potentiella energin.) 57

58 L12 Läs sid Läs uppgifter 4 9, 4 10, 4 18,

59 4.6 Satellitrörelse L13 I den moderna världen är satelliter oumbärliga (= vi kan inte vara utan dem). Tekniken är dock inte gammal; den första satelliten sändes upp av Sovjetunionen år Däremot har idén om konstgjorda månar funnits länge redan Newton insåg att det är möjligt att skjuta iväg en kropp med tillräcklig hastighet för att nå omlopppsbana. Denna idé kallas numera Newtons kanon Newtons kanon Newtons kanon kan avfyra projektiler horisontellt med olika hastighet. Ju högre avfyrningshastighet, desto längre flyger kroppen. Newton insåg att vid en tillräckligt hög hastighet hinner kroppen färdas så långt i sidled medan den faller nedåt mot jorden, att jorden själv böjer undan från kroppens bana lika snabbt som kroppen faller mot den. Kroppen hålls alltså på samma höjd över jordytan Satelliter i omloppsbana Då en satellit skjuts upp i omloppsbana (vi begränsar oss till cirkelformade banor) används raketen för att nå den önskade höjden. Därefter ges satelliten också en hastighet i vertikal riktning för att nå omloppshastigheten. Därefter håller satelliten en konstant fart, men påverkas hela tiden mot jorden på grund av gravitationen. Gravitationen är centripetalkraft, så vi kan få ett utryck för satellitens hastighet i banan: (39) Vi ser att banhastigheten blir lägre ju högre höjd satelliten befinner sig på. 59

60 Ex. 26 Hur stor är satellitens banhastighet? L13 60

61 4.6.3 Flykthastighet L13 Vi har sett att det finns en specifik hastighet förknippad med satellitrörelse, beroende på höjden över marken. För en satellit vid ekvatorn är banhastigheten ca 8 km/s. Men hur hög hastighet behövs för att helt fly från en planets gravitationsfält? För att beräkna detta använder vi lagen om den mekaniska energins bevarande. Enligt vad vi sett tidigare i formel (38) kan vi skriva Då en kropp helt flyr ur en planets gravitationsfält, är dess potentialenergi noll och avståndet till planeten är oändligt. Vi kan alltså ersätta potentialenergin i slutet med noll. Samtidigt kan vi tänka oss att all kinetisk energi i slutet är noll all rörelsenergi har åtgått till att "lyfta" kroppen ur gravitationsbrunnen (minns att potentialenergin är negativ!) Vi kan alltså skriva M är massan för planeten eller stjärnan vars gravitationsfält man vill fly, och r är planetens radie. Då vi insätter värden för jorden, får vi värdet v = 11,2 km/s för flykthastigheten. 61

62 Ex. 27 L13 Visa att en geostationär satellit har en omloppshöjd på km. En geostationär satellit befinner sig hela tiden ovanför samma punkt på jordytan. Läs sid Lös uppgifter: 4 16, 4 17,

63 Projektilrörelse... 63

Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.

Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper. KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Läsåret 05/06 Tentamen i 5C110 Mekanik mk, kurs E1 och Open 1 006-03-15 Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer

Läs mer

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste

Läs mer

Kapitel extra Tröghetsmoment

Kapitel extra Tröghetsmoment et betecknas med I eller J används för att beskriva stela kroppars dynamik har samma roll i rotationsrörelser som massa har för translationsrörelser Innebär systemets tröghet när det gäller att ändra rotationshastigheten

Läs mer

Övningar för finalister i Wallenbergs fysikpris

Övningar för finalister i Wallenbergs fysikpris Övningar för finalister i Wallenbergs fysikpris 0 mars 05 Läsa tegelstensböcker i all ära, men inlärning sker som mest effektivt genom att själv öva på att lösa problem. Du kanske har upplevt under gymnasiet

Läs mer

Mekanik III, 1FA103. 1juni2015. Lisa Freyhult 471 3297

Mekanik III, 1FA103. 1juni2015. Lisa Freyhult 471 3297 Mekanik III, 1FA103 1juni2015 Lisa Freyhult 471 3297 Instruktioner: Börja varje uppgift på nytt blad. Skriv kod på varje blad du lämnar in. Definiera införda beteckningar i text eller figur. Motivera uppställda

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 1 september 2012 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt

Läs mer

Mekanik FK2002m. Repetition

Mekanik FK2002m. Repetition Mekanik FK2002m Föreläsning 12 Repetition 2013-09-30 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 12 Förflyttning, hastighet, acceleration Position: r = xî+yĵ +zˆk θ = s r [s = θr] Förflyttning: r

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4-sida med valfritt innehåll.

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4-sida med valfritt innehåll. Tentamen i Mekanik förf, del B Måndagen 12 januari 2004, 8.45-12.45, V-huset Examinator och jour: Martin Cederwall, tel. 7723181, 0733-500886 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat,

Läs mer

Vrid och vänd en rörande historia

Vrid och vänd en rörande historia Vrid och vänd en rörande historia Den lilla bilden nederst på s 68 visar en låda. Men vad finns i den? Om man vrider den vänstra pinnen, så rör sig den högra åt sidan. Titta på pilarna! Problemet har mer

Läs mer

Lärarhandledning. Kraftshow. Annie Gjers & Felix Falk 2013-10-22

Lärarhandledning. Kraftshow. Annie Gjers & Felix Falk 2013-10-22 Lärarhandledning Kraftshow Annie Gjers & Felix Falk 2013-10-22 Innehållsförteckning 1 Inledning... 3 2 Experiment med förklaringar... 4 2.1 Månen och gravitationen... 4 2.2 Blyplankan... 4 2.3 Dubbelkon

Läs mer

Grupp 1: Kanonen: Launch + Top Hat + Lilla Lots

Grupp 1: Kanonen: Launch + Top Hat + Lilla Lots Grupp 1: Kanonen: Launch + Top Hat + Lilla Lots Kanonen liknar inte en vanlig berg- och dalbana. Uppdraget- den långa backen där berg- och dalbanetåg sakta dras upp - har ersatts med en hydraulisk utskjutning.

Läs mer

" e n och Newtons 2:a lag

 e n och Newtons 2:a lag KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar

Läs mer

Inlämningsuppgift 4 NUM131

Inlämningsuppgift 4 NUM131 Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter

Läs mer

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,

Läs mer

Fysikens lagar och hur dessa påverkar en robot

Fysikens lagar och hur dessa påverkar en robot Fysikens lagar och hur dessa påverkar en robot Kraft Newtons andra lag: kraften F = massan m * accellerationen a "Begreppet kraft är en abstraktion inom fysiken för att förklara och beskriva orsaken till

Läs mer

Datum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar.

Datum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar. Mekanik KF, Moment 1 Datum: 2012-08-25 Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar. Del 1 (Lämna in denna del med dina

Läs mer

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning).

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning). STOCHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Mekanik FyU01 och FyU03 Måndag 3 oktober 2005 kl. 9-15 Införda beteckningar skall definieras och uppställda ekvationer motiveras, detta gäller även när

Läs mer

Solen och andra stjärnor 19 juli 2006. Stefan Larsson. Dagens text: Kap 3 Från Aristoteles till stjärnspektra

Solen och andra stjärnor 19 juli 2006. Stefan Larsson. Dagens text: Kap 3 Från Aristoteles till stjärnspektra Solen och andra stjärnor 19 juli 2006 Stefan Larsson Dagens text: Kap 3 Från Aristoteles till stjärnspektra Aristotle s Perfect Spheres Epicykler Att beskriva planeternas banor med enkla cirklar fungerar

Läs mer

Tentamen i Mekanik II

Tentamen i Mekanik II Institutionen för fysik och astronomi F1Q1W2 Tentamen i Mekanik II 30 maj 2016 Hjälpmedel: Mathematics Handbook, Physics Handbook och miniräknare. Maximalt 5 poäng per uppgift. För betyg 3 krävs godkänd

Läs mer

Krafter i Lisebergbanan och Kaffekoppen

Krafter i Lisebergbanan och Kaffekoppen Krafter i Lisebergbanan och Kaffekoppen Kristoffer Carlsson Martin Gren Viktor Hallman Joni Karlsson Jonatan Olsson David Saletti Grupp: Alfvén 3 Datum: 2008 09 25 Figur 1: Lisebergbanan :http://www.scharzkopf.coaster.net/eslisebergbanangf.htm

Läs mer

PROBLEM OCH LÖSNINGAR RUNT TYNGDLÖSHET

PROBLEM OCH LÖSNINGAR RUNT TYNGDLÖSHET 2003-05-31 PROBLEM OCH LÖSNINGAR RUNT TYNGDLÖSHET av Gabriel Jonsson Figur 1 Möjlig framtida marsraket enligt NASA Uppsats inom kursen Astronomi B, 5p Institutionen för fysik, Umeå Universitet Lärare:

Läs mer

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer

Läs mer

Prov Fysik 2 Mekanik

Prov Fysik 2 Mekanik Prov Fysik 2 Mekanik Instruktion för elevbedömning: Efter varje fråga finns tre rutor. Rutan till vänster ska ha en lösning på E-nivå. Om det går att göra en lösning som är klart bättre - på C-nivå - då

Läs mer

" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

 e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------

Läs mer

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten. Tentamen 1, Mekanik KF HT2011 26:e November. Hjälpmedel: Physics handbook alt. Formelblad, Beta mathematics handbook, pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmmar. För godkänt krävs minst 18/36 på

Läs mer

Planetrörelser. Lektion 4

Planetrörelser. Lektion 4 Planetrörelser Lektion 4 Äldre tiders astronomer utvecklade geocentriska (jorden i centrum) modeller för att förklara planeternas rörelser retrograd rörelse direkt rörelse Liksom solen och månen så rör

Läs mer

Fuglesangs skiftnyckel och Möten i rymden. Jan-Erik Björk och Jan Boman

Fuglesangs skiftnyckel och Möten i rymden. Jan-Erik Björk och Jan Boman Fuglesangs skiftnyckel och Möten i rymden Jan-Erik Björk och Jan Boman Det sägs att Christer Fuglesang tappade en skiftnyckel under sin rymdpromenad nyligen. Enligt Keplers första lag kom skiftnyckeln

Läs mer

Einstein's Allmänna relativitetsteori. Einstein's komplexa Allmänna relativitetsteori förklaras så att ALLA kan förstå den

Einstein's Allmänna relativitetsteori. Einstein's komplexa Allmänna relativitetsteori förklaras så att ALLA kan förstå den Einstein's Allmänna relativitetsteori Einstein's komplexa Allmänna relativitetsteori förklaras så att ALLA kan förstå den Allmänna relativitetsteorin - Fakta Einsten presenterade teorin 10 år efter den

Läs mer

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från

Läs mer

Kraft och rörelse åk 6

Kraft och rörelse åk 6 Kraft och rörelse åk 6 Kraft En kraft kan ändra farten eller formen hos ett föremål. Krafter kan mätas med en dynamometer. Den består av en fjäder och en skala. Enhet för kraft är Newton, N. Dynamometer

Läs mer

Mekanik II repkurs lektion 4. Tema energi m m

Mekanik II repkurs lektion 4. Tema energi m m Mekanik II repkurs lektion 4 Tema energi m m Rörelseenergi- effekt P v P (hastighet hos P) dt/dt= F P v P F P för stel kropp När kan rörelseenergi- effekt användas? Effektbidrag från omgivningen (exempelvis

Läs mer

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen 2015-06-12 Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. Med hjälp av en tråd kan ett homogent block

Läs mer

Institutionen för Fysik och Astronomi! Mekanik HI: Rotationsrörelse

Institutionen för Fysik och Astronomi! Mekanik HI: Rotationsrörelse Rotationsrörelse I denna laboration kommer vi att undersöka dynamik rotationsrörelse för stela kroppar. Experimentellt kommer vi att undersöka bevarandet av kinetisk rotationsenergi och rörelsemängdsmoment

Läs mer

Laboration i Maskinelement

Laboration i Maskinelement Laboration i Maskinelement Bilväxellådan Namn: Personnummer: Assistents signatur: Datum: Inledning I den här laborationen ska vi gå lite djupare i ämnet maskinelement och ge oss in på något som förmodligen

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen 014-06-04 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En boll skjuts ut genom ett hål med en hastighet v så att den

Läs mer

Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment

Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment G1. Ett föremål med massan 1 kg lyfts upp till en nivå 1,3 m ovanför golvet. Bestäm föremålets lägesenergi om golvets nivå motsvarar nollnivån. G10. En kropp,

Läs mer

Rapport LUTFD2/TFHF-3089/1-16/(2013) Föreläsningsexempel i Teknisk mekanik

Rapport LUTFD2/TFHF-3089/1-16/(2013) Föreläsningsexempel i Teknisk mekanik Rapport LUTFD2/TFHF-3089/1-16/(2013) Föreläsningsexempel i Teknisk mekanik Håkan Hallberg vd. för Hållfasthetslära Lunds Universitet December 2013 Exempel 1 Två krafter,f 1 och F 2, verkar enligt figuren.

Läs mer

Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8

Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8 Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8 ! Sida 4/4 Laboration 1: Fallrörelse på portalen ikväll Institutionen för Fysik och Astronomi! Mekanik HI: 2014 Fallrörelse Institutionen för Fysik och Astronomi!

Läs mer

LYCKA TILL! För ytterligare information: Annamari Jääskeläinen Ungdomsansvarig. Finlands Handbollförbund

LYCKA TILL! För ytterligare information: Annamari Jääskeläinen Ungdomsansvarig. Finlands Handbollförbund Det är meningen att utföra teknikmärket som en del av handbollsspelarens vardagliga träning. Det är meningen att utföra övningarna på träningar under tränarens ledning. Man behöver inte gå igenom alla

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar

Läs mer

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen Ladokkod: TT081A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2015-06-04 Tid: 9.00-13.

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen Ladokkod: TT081A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2015-06-04 Tid: 9.00-13. Mekanik romoment: tentamen Ladokkod: TT81A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 15-6-4 Tid: 9.-13. Hjälpmedel: Hjälpmedel id tentamen är hysics Handbook (Studentlitteratur),

Läs mer

MEKANIKENS GYLLENE REGEL

MEKANIKENS GYLLENE REGEL MEKANIKENS GYLLENE REGEL Inledning Det finns olika sätt att förflytta föremål och om du ska flytta en låda försöker du säkert komma på det enklaste sättet, det som är minst jobbigt för dig. Newton funderade

Läs mer

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Läsåret 11/12 Utförliga lärandemål SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Richard Hsieh Huvudsakligt innehåll: Vektoralgebra och dimensionsbetraktelser. Kraft och kraftmoment. Kraftsystem; kraftpar,

Läs mer

Vad vi ska prata om idag:

Vad vi ska prata om idag: Vad vi ska prata om idag: Om det omöjliga i att färdas snabbare än ljuset...... och om gravitation enligt Newton och enligt Einstein. Äpplen, hissar, rökelse, krökta rum......och stjärnor som används som

Läs mer

Lösning. (1b) θ 2 = L R. Utgå nu från. α= d2 θ. dt 2 (2)

Lösning. (1b) θ 2 = L R. Utgå nu från. α= d2 θ. dt 2 (2) Lösningar till dugga för kursen Mekanik II, FA02, GyLärFys, KandFys, F, Q, W, ES Tekn-Nat Fak, Uppsala Universitet Tid: 7 april 2009, kl 4.00 7.00. Plats: Skrivsalen, Polacksbacken, Uppsala. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Biomekanik, 5 poäng Introduktion -Kraftbegreppet. Mekaniken är en grundläggande del av fysiken ingenjörsvetenskapen

Biomekanik, 5 poäng Introduktion -Kraftbegreppet. Mekaniken är en grundläggande del av fysiken ingenjörsvetenskapen Biomekanik Mekanik Skillnad? Ambition: Att ge översiktliga kunskaper om mekaniska sammanhang och principer som hör samman med kroppsrörelser och rörelser hos olika idrottsredskap. Mekaniken är en grundläggande

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014 WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014 Tävlingsuppgifter (Finaltävlingen) Riv loss detta blad och lägg det överst tillsammans med de lösta tävlingsuppgifterna i plastmappen. Resten av detta uppgiftshäfte får du behålla.

Läs mer

Var försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna.

Var försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna. Laborationsregler Förberedelser Läs (i god tid före laborationstillfället) igenom laborationsinstruktionen och de teoriavsnitt som laborationen behandlar. Till varje laboration finns ett antal förberedelseuppgifter.

Läs mer

Inför provet mekanik 9A

Inför provet mekanik 9A Inför provet mekanik 9A Pär Leijonhufvud BY: $ \ 10 december 2014 C Provdatum 2014-12-12 Omfattning och provets upplägg Provet kommer att handla om mekaniken, det vi gått igenom sedan vi började med fysik.

Läs mer

Inlämningsuppgift 1. 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler.

Inlämningsuppgift 1. 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler. Inlämningsuppgift 1 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler. Oftast använder vi apparater och motorer till att omvandla

Läs mer

Prov Fysik 2 Mekanik

Prov Fysik 2 Mekanik Prov Fysik 2 Mekanik För samtliga uppgifter krävs om inte annat står antingen en tydlig och klar motivering eller fullständig lösning och att det går att följa lösningsgången. Skriv gärna på provpapperet

Läs mer

Frågor - Högstadiet. Grupp 1. Jetline. Hur låter det när tåget dras uppför första backen? Vad beror det på? (Tips finns vid teknikbordet)

Frågor - Högstadiet. Grupp 1. Jetline. Hur låter det när tåget dras uppför första backen? Vad beror det på? (Tips finns vid teknikbordet) Grupp 1 Jetline Mät och räkna: Före eller efter: Hur låter det när tåget dras uppför första backen? Vad beror det på? (Tips finns vid teknikbordet) Var under turen känner du dig tyngst? Lättast? Spelar

Läs mer

8-1 Formler och uttryck. Namn:.

8-1 Formler och uttryck. Namn:. 8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?

Läs mer

Biomekanik, 5 poäng Moment

Biomekanik, 5 poäng Moment (kraftmoment) En resulterande (obalanserad kraft) strävar efter att ändra en kropps rörelsetillstånd. Den kan också sträva efter att vrida en kropp. Måttet på kraftens förmåga att vrida kroppen runt en

Läs mer

Grundläggande om krafter och kraftmoment

Grundläggande om krafter och kraftmoment Grundläggande om krafter och kraftmoment Text: Nikodemus Karlsson Original character art by Esa Holopainen, http://www.verikoirat.com/ Krafter - egenskaper och definition Vardaglig betydelse Har med påverkan

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Fysik 1

Repetitionsuppgifter i Fysik 1 Repetitionsuppgifter i Fysik 1 Uppgifterna i detta häfte syftar till att kort repetera några begrepp från fysiklektionerna i höstas. Det är inte på något sätt ett komplett repetionsmaterial, utan tanken

Läs mer

Basala kunskapsmål i Mekanik

Basala kunskapsmål i Mekanik Basala kunskapsmål i Mekanik I kunskapsmålen nedan används termerna definiera, förklara och redogöra återkommande. Här följer ett försök att klargöra vad som avses med dessa. Definiera Skriv ner en definition,

Läs mer

att båda rör sig ett varv runt masscentrum på samma tid. Planet

att båda rör sig ett varv runt masscentrum på samma tid. Planet Tema: Exoplaneter (Del III, banhastighet och massa) Det vi hittills tittat på är hur man beräknar radien och avståndet till stjärnan för en exoplanet. Omloppstiden kunde vi exempelvis få fram genom att

Läs mer

1. Beskriv Newtons tre rörelselagar. Förklara vad de innebär, och ge exempel! Svar: I essäform, huvudpunkterna i rörelselagarna.

1. Beskriv Newtons tre rörelselagar. Förklara vad de innebär, och ge exempel! Svar: I essäform, huvudpunkterna i rörelselagarna. Fysik 1 övningsprov 1-13 facit Besvara 6 frågor. Återlämna uppgiftspappret! 1. Beskriv Newtons tre rörelselagar. Förklara vad de innebär, och ge exempel! Svar: I essäform, huvudpunkterna i rörelselagarna..

Läs mer

SPINNIES AND THINGIES

SPINNIES AND THINGIES Andreas Sjögren asjogre@kth.se Arvid Olovsson arvidol@kth.se Axel Vidmark vidmarik@kth.se Daniel Henell dhenell@kth.se Matts Göhran gohran@kth.se Mikroelektronikprogrammet - Kungliga Tekniska Högskolan

Läs mer

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 14. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan P beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 14. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan P beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller LEDNINR TILL ROBLEM I KITEL 4 L 4. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller v = r v = 5be O t Eftersom och r O är vinkelräta bestäms storleken av kryssprodukten

Läs mer

Linnéuniversitetet. Naturvetenskapligt basår. Laborationsinstruktion 1 Kaströrelse och rörelsemängd

Linnéuniversitetet. Naturvetenskapligt basår. Laborationsinstruktion 1 Kaströrelse och rörelsemängd Linnéuniversitetet VT2013 Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Program: Kurs: Naturvetenskapligt basår Fysik B Laborationsinstruktion 1 Kaströrelse och rörelsemängd Uppgift: Att bestämma

Läs mer

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill

Läs mer

Lufttryck. Även i lufthavet finns ett tryck som kommer av atmosfären ovanför oss.

Lufttryck. Även i lufthavet finns ett tryck som kommer av atmosfären ovanför oss. Repetition, del II Lufttryck Även i lufthavet finns ett tryck som kommer av atmosfären ovanför oss. Med samma resonemang som för vätskor kommer vi fram till att lufttrycket på en viss yta ges av tyngden

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 23 maj 2011 klockan 14.00-18.00 i V. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med

Läs mer

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2 GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Distriktsfinal. Del 1: 7 uppgifter Tid: 60 min Maxpoäng: 21 (3p/uppgift)

Distriktsfinal. Del 1: 7 uppgifter Tid: 60 min Maxpoäng: 21 (3p/uppgift) Distriktsfinal Del 1: 7 uppgifter Tid: 60 min Maxpoäng: 21 (3p/uppgift) Hjälpmedel: Endast skrivmateriel, ingen miniräknare! OBS! Skriv varje uppgift på separat papper och lagets namn på samtliga papper.

Läs mer

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen 005-05-7 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar

Läs mer

Tänk dig ett biljardklot på ett biljardbord. Om du knuffar till klotet, så att det sätts i rörelse, vad kallas knuffen då?...

Tänk dig ett biljardklot på ett biljardbord. Om du knuffar till klotet, så att det sätts i rörelse, vad kallas knuffen då?... MÅL med arbetsområdet När du har arbetat med det här ska du kunna: förklara vad som menas med en rörelse genom att ge exempel på hastighet, acceleration och fritt fall. ge exempel på krafter som påverkar

Läs mer

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe Tentamen i SG1102 Mekanik, mindre kurs för Bio, Cmedt, Open Uppgifterna skall lämnas in på separata papper. Problemdelen. För varje uppgift ges högst 6 poäng. För godkänt fordras minst 8 poäng. Teoridelen.

Läs mer

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen. Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2012-03-12 Tid: 09.00-13.

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen. Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2012-03-12 Tid: 09.00-13. Mekanik rovmoment: tentamen Ladokkod: TT8A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: -3- Tid: 9.-3. Hjälpmedel: Hjälpmedel vid tentamen är hysics Handbook (Studentlitteratur),

Läs mer

Produktion. i samarbete med. MAO Design 2013 Jonas Waxlax, Per-Oskar Joenpelto

Produktion. i samarbete med. MAO Design 2013 Jonas Waxlax, Per-Oskar Joenpelto Prototyp Produktion i samarbete med MAO Design 2013 Jonas Waxlax, Per-Oskar Joenpelto FYSIK SNACKS Kraft och motkraft............... 4 Raketmotorn................... 5 Ett fall för Galileo Galilei............

Läs mer

Rotationsrörelse laboration Mekanik II

Rotationsrörelse laboration Mekanik II Rotationsrörelse laboration Mekanik II Utförs av: William Sjöström Oskar Keskitalo Uppsala 2015 04 19 Sida 1 av 10 Sammanfattning För att förändra en kropps rotationshastighet så krävs ett vridmoment,

Läs mer

Planering mekanikavsnitt i fysik åk 9, VT03. och. kompletterande teorimateriel. Nikodemus Karlsson, Abrahamsbergsskolan

Planering mekanikavsnitt i fysik åk 9, VT03. och. kompletterande teorimateriel. Nikodemus Karlsson, Abrahamsbergsskolan Planering mekanikavsnitt i fysik åk 9, VT03 och kompletterande teorimateriel Nikodemus Karlsson, Abrahamsbergsskolan Planering mekanikavsnitt, VT 03 Antal lektioner: fem st. (9 jan, 16 jan, 3 jan, 6 feb,

Läs mer

1. Månens rörelser. Övning 1: Illustrera astronomiska fenomen

1. Månens rörelser. Övning 1: Illustrera astronomiska fenomen Övning 1: Illustrera astronomiska fenomen Uppgiften var att skapa illustrationer till fyra texter. Illustationerna tydliggör allt det som texten beskriver. 1. Månens rörelser Månen roterar runt jorden

Läs mer

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO Översikt Kursintroduktion Kursens syfte och mål Kursprogram Upprop Inledande föreläsning Föreläsning: Kapitel 1. Introduktion till statik Kapitel 2. Att räkna med krafter

Läs mer

BASFYSIK BFN 120. Laborationsuppgifter med läge, hastighet och acceleration. Epost. Namn. Lärares kommentar

BASFYSIK BFN 120. Laborationsuppgifter med läge, hastighet och acceleration. Epost. Namn. Lärares kommentar BASFYSIK BFN 120 Galileo Galilei, italiensk naturforskare (1564 1642) Laborationsuppgifter med läge, hastighet och acceleration Namn Epost Lärares kommentar Institutionen för teknik och naturvetenskap

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

NEWTONS 3 LAGAR för partiklar

NEWTONS 3 LAGAR för partiklar wkomihåg 12: Acceleration-med olika komponenter. ----------------------------------------- Föreläsning 13: Dynamik kraft-rörelse (orsakverkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1 1. En 'fri' partikel förblir

Läs mer

Kapitel 10: Sidvärtsrörelser

Kapitel 10: Sidvärtsrörelser Kapitel 10: Den här övningen (öppna) har så många förtjänster att jag räknar den som alpha och omega bland alla övningar för hästen som syftar till att utveckla fullständig lösgjordhet och perfekt rörlighet

Läs mer

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete Mekanik FK2002m Föreläsning 6 Kinetisk energi och arbete 2013-09-11 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6 Introduktion Idag ska vi börja prata om energi. - Kinetisk energi - Arbete Nästa gång

Läs mer

Kollisioner, rörelsemängd, energi

Kollisioner, rörelsemängd, energi Kollisioner, rörelsemängd, energi I denna laboration kommer ni att undersöka kollisioner, rörelsemängd och energi, samt bekanta er ytterligare med GLX Xplorer som används i mekaniklabbet för utläsning

Läs mer

SÄKERHETSAVSTÅND I BILKÖER

SÄKERHETSAVSTÅND I BILKÖER ÄKERHETAVTÅND I BILKÖER En studie i bilars stoppavstånd Foad aliba Bassam Ruwaida Hassan hafai Hajer Mohsen Ali Mekanik G118 den 7 februari 8 AMMANFATTNING Projektet utgångspunkt har varit att svara på

Läs mer

Lärarmanual för Simkampen

Lärarmanual för Simkampen Lärarmanual för Simkampen Lärarmanualen är tänkt att använda som ett hjälpmedel vid simundervisningen inför Sim- kampen. Materialet innehåller ett antal övningar med skiftande svårighetsgrad och förslag

Läs mer

http://www.leidenhed.se Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts.

http://www.leidenhed.se Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts. Dokumentet är från sajtsidan Matematik: som ingår i min sajt: http://www.leidenhed.se/matte.html http://www.leidenhed.se Minst och störst Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen 2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =)

Läs mer

Basåret, Fysik A 19 november 2012 Lars Bergström. Alla bilder finns på kursens hemsida www.physto.se/~lbe/basareta.html

Basåret, Fysik A 19 november 2012 Lars Bergström. Alla bilder finns på kursens hemsida www.physto.se/~lbe/basareta.html Basåret, Fysik A 19 november 2012 Lars Bergström Alla bilder finns på kursens hemsida www.physto.se/~lbe/basareta.html Kraftpilar En kraft bestäms av dess storlek och riktning: vektor Massa och tyngd Massa

Läs mer

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2 GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP00, Fysikprogrammet termin 2 Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Lödag 29 maj 200, kl 8 30 3 30 V-huset Lennart Sjögren,

Läs mer

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11 Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd

Läs mer

Grekernas världsbild. Gravitation & Newtons lagar. Aristoteles definition av rörelse. Aristoteles och de fyra elementen

Grekernas världsbild. Gravitation & Newtons lagar. Aristoteles definition av rörelse. Aristoteles och de fyra elementen Grekernas världsbild Gravitation & Newtons lagar En snabbkurs i klassisk mekanik 3/2-2010 Aristoteles 384 322 f.kr Grekisk filosof Student till Platon Lärare till Alexander den store Porträtt av Aristoteles.

Läs mer

Det finns olika typer av krafter och alla mäts med enheten newton. Enheten newton förkortas med stort N.

Det finns olika typer av krafter och alla mäts med enheten newton. Enheten newton förkortas med stort N. Ugglans NO Fysik - Mekanik Mekanik är en av fysikens äldsta vetenskaper. Den handlar om rörelse och jämvikt och vad som händer när föremål utsätts för krafter. Kunskap om mekanik är nödvändig och grundläggande

Läs mer

Lärarinstruktioner inför fysikdagen på Liseberg 2015

Lärarinstruktioner inför fysikdagen på Liseberg 2015 Lärarinstruktioner inför fysikdagen på Liseberg 2015 Ann-Marie.Pendrill@fysik.lu.se Kompletterande material finns på http://tivoli.fysik.org Se också elevuppgifterna på sidan http://tivoli.fysik.org/fileadmin/tivolifysik/liseberg/

Läs mer

SLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara?

SLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara? SLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara? Av Marie Hansson Ju mer man börjar tänka på vad en slalomingång innebär, desto mer komplicerat blir det! Det är inte lite vi begär att hundarna ska lära sig och hålla

Läs mer

Kraft, tryck och rörelse

Kraft, tryck och rörelse Kraft, tryck och rörelse Kraft En kraft kan ändra form, fart och rörelseriktning hos föremål. Kraft mäts i Newton, N. Enheten är uppkallad efter fysikern Isaac Newton som levde på 1600- talet. 1 N är ungefär

Läs mer

MEKANIK II 1FA102. VIK detta blad om bladen med dina lösningar. Se till så att tentamensvakterna INTE häftar samman lösningsbladen.

MEKANIK II 1FA102. VIK detta blad om bladen med dina lösningar. Se till så att tentamensvakterna INTE häftar samman lösningsbladen. UPPSALA UNIVERSITET Inst för fysik och astronomi Allan Hallgren TENTAMEN 08-08 -29 MEKANIK II 1FA102 SKRIVTID: 5 timmar, kl 8.00-13.00 Hjälpmedel: Nordling-Österman: Physics Handbook Råde-Westergren: Mathematics

Läs mer