Motivering av högerledet i Maxwells 4:e ekvation

Transkript

1 1 Motivering av högerledet i Mawells 4:e evation tudera följande eletronisa rets: I J 1 3 Q -Q Gaussdosa 4 I Vi väljer att använda cirulationssatsen på urvan. Ytan i högerledet an ju väljas på ett otal olia sätt. Om den väljs så att ledaren passerar genom ytan fås värdet I från flödesintegralen av strömtätheten. Om den väljs så att den smiter emellan ondensatorplattorna så flyter ju ingen ström genom ytan. Mellan plattorna har vi ju ingen ström. Däremot har vi ett tidsberoende D-fält. Detta måste bidra på något sätt. H l = J = Q d d = I D = = t Q d 1 4 = D d = D d Integration över ytan 3 i stället för över 1 ger samma resultat. D H dl = J d + d täcer båda fallen. t

2 Vi an välja en godtyclig yta som sär genom ledaren. Då ger den första integralen ett bidrag I. Den andra ger då inget. Om ytan i stället går genom gapet så ger den första integralen inget bidrag men däremot den andra. Den sista termen är mycet vitig. Den ser till att våglösningar är möjliga i vauum. Fortsridande plan våg ( ) = sin t är en plan våg som rör sig i -ritningen. Varför allas den en plan våg? har samma värde i ett plan vinelrätt mot fortsridningsritningen Hur stor är våglängden? n sinusfuntion har ju perioden π. [ ( ) ] [ ( ) ] + λ t = t + π λ = π dvs. λ = π ; = π λ Hur stor är hastigheten? [ ] ( ) ( )= ( ) [ ] = sin t sin t = sin vt besriver en våg som rör sig i -ritningen med hastighet v. v = allas fashastigheten.

3 3 Om vi sicar i väg en puls i stället för en plan våg så ommer den att färdas med grupphastigheten: v g = allas grupphastigheten. I vauum är dessa båda hastigheter lia men i material är de i allmänhet olia. Vi sa se att de an vara mycet olia. Mer allmänt: ( ) = sin r t besriver en plan våg som rör sig i s ritning. allas vågvetor = = vågtalet = π/λ. Kan vi ha en plan eletromagnetis våg i vauum? Vi undersöer om en sådan uppfyller Mawells evationer. Vi ansätter r (, t)= sin r t ( ) Vi antar att den är transversell, d.v.s., att. För att förenla framställningen väljer vi oordinatsystem så att pear i s ritning och y i s. r, ( t)= sin( t) yˆ

4 4 Mawells evationer D d= Q; dl= d d= ; H dl= J + D d d t Mawells evationer i vauum d= : 1; dl= d : d= : 3; dl = ε µ : 4 d Kan vi ha en longitudinell plan eletris våg, d.v.s., en våg där //? För detta rävs att det finns laddningar, vilet det inte gör i vauum! Om vi använder den första evationen på en cylinder med ändlig längd och ael parallell med fortsridningsritningen så inser vi det. Det är alltså omöjligt i vauum men inte i material. Uppfyller M:s vår ansats? 1 : Inga fältlinjer börjar eller slutar någonstans, så den uppfylls.

5 5 : y y + y y + dl = d Alltså måste fältet åtföljas av ett -fält! ( ) + ( ) + VL = d = y + y y y y ( + ) y ( ) = y y y HL = y + y + d ddy = ( ˆ ) y ddy ddy y + dy + d t y = ddy y VL HL ddy = y = ddy y =

6 6 = cos ( t ) t = sin( t)+ onstant sätts = Alltså måste det med det ansatta fältet följa ett -fält: = sin( t) ˆ = sin ( t) ; = ˆ y : 3 d= uppfylls då transversell. Inga fältlinjer börjar eller slutar någonstans.

7 7 : 4 dl = ε µ d y ( ) + VL = d = ( ) + + ( + ) ( ) = dd + + HL = d ddy = ε µ ε µ ( ˆ ) y dd + d + d y ε µ ddy dd = ε µ VL HL dd = = ε y dd µ = ε µ y Alltså har vi att

8 8 cos( t)= ε µ ( ) cos t ( ) 1 = ε µ 1 fashastigheten = = c = ms ljushastigheten i vauum ε µ ammanfattning för plan våg i vauum: ˆ, ˆ, ˆ bildar högersystem = = c 1 = = c ε µ = c fashastigheten = = c grupphastigheten = = c man an ej ha longitudinell plan våg i vauum Dispersionsurvan för plan våg i vauum