Lösningar till Matematisk analys
|
|
- Alexandra Axelsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lösningar till Matematis analys Stationära punter. f (x, y) = 8x(x 2 y), f 2(x, y) = 4(y x 2 )). Vi ar alltså att f (x, y) = f 2(x, y) = 0 { x(x 2 y) = 0 y x 2 = 0. Första evationen ovan är uppfylld då x = 0 oc då y = x 2. Insättning av x = 0 i andra evationen ovan ger y = 0 med enda lösningen y = 0. Insättning av y = x 2 i andra evationen ovan ger x 6 x 2 = 0 x 2 (x 4 ) = 0 som ar de reella lösningarna x = 0, x = oc x =. Av y = x 2 fås att motsvarande y-värden är y = 0, y = oc y = respetive. De stationära punterna till f är således punterna (0, 0), (, ) oc (, ). De stationära punternas aratär. f (x, y) = 8(x2 y), f 2 (x, y) = 8x, f 22 (x, y) = 2y2. Q(, ) = f 2 + 2f 2 + f I den stationära punten (0, 0) är Q(, ) = 0 för alla (, ) så ingen säer slutsats an dras från Q(, ) om aratären av den stationära punten (0, 0). Eftersom f är en så enel funtion är det doc lätt att diret se vad som gäller i (0, 0). Till exempel så är f(t, t) = t 4 4t = t (t 4), varav följer att f(t, t) < 0 = f(0, 0) för alla t ]0, 4 [ oc att f(t, t) > 0 = f(0, 0) för alla t < 0. Funtionen f ar således varen loalt maximum eller loalt minimum i (0, 0), oc följatligen ar f en sadelpunt i punten (0, 0). I den stationära punten (, ) är Q(, ) = = 4( ) = 4 ( (2 ) ), varav följer att Q(, ) 0 för alla (, ) samt att Q(, ) = 0 2 = = 0 = = 0, oc alltså ar vi att Q(, ) > 0 för alla (, ) (0, 0). Funtionen f(x, y) ar således ett strängt loalt minimum i punten (, ). I den stationära punten (, ) är Q(, ) = = 4( ) = 4 ( (2 + ) ), varav följer att Q(, ) 0 för alla (, ) samt att Q(, ) = = = 0 = = 0, oc alltså ar vi att Q(, ) > 0 för alla (, ) (0, 0). Funtionen f(x, y) ar således ett strängt loalt minimum i punten (, ). 2. Låt y = g(x) vara evationen för söt urva i y > 0. Eftersom y = g(x) är en urva i y > 0 så är g(x) > 0 för alla x för vila g(x) är definierad. Sätt (x, y) = g(x) y. Den söta urvan är då urvan (x, y) = 0. Låt (x 0, y 0 ) vara en godtyclig punt på den söta urvan (x, y) = 0. I varje sådan punt (x 0, y 0 ) gäller: (i) (x, y) = 0 är vinelrät mot den nivåurva till f som går genom punten. (ii) f(x 0, y 0 ) är vinelrät mot den nivåurva till f som går genom punten. (iii) (x 0, y 0 ) är vinelrät mot urvan (x, y) = 0. Att i) gäller är givet i problemtexten. Att ii) oc iii) gäller är en egensap os gradientvetorn. Det följer att f(x 0, y 0 ) är vinelrät mot (x 0, y 0 ), oc således är deras salärprodut = 0. Eftersom f(x 0, y 0 ) = y 0 4 (y 0, x 0 ) oc (x 0, y 0 ) = (g (x 0 ), ) ar vi alltså att (y 0, x 0 ) (g (x 0 ), ) = 0 y 0 g (x 0 ) + x 0 = 0.
2 Använder vi sedan att y 0 = g(x 0 ), som gäller eftersom (x 0, y 0 ) är en punt på urvan y = g(x), får vi att g((x 0 )g (x 0 ) + x 0 = 0. Men (x 0, y 0 ) är en godtyclig punt på urvan y = g(x) oc alltså är g(x)g (x) + x = 0, för alla x för vila g(x) är definierad. Denna differentialevation an diret integreras oc ger efter integration att 2 (g(x))2 + 2 x2 = C, för någon onstant C. Eftersom g() = är C = 2, oc alltså är varav fås att (g(x)) 2 + x 2 = 4, g(x) = ± 4 x 2. Eftersom g() = är det plustecnet som gäller ovan. Vi noterar ocså att g(x) är definierad oc > 0 precis om 2 < x < 2. Söt urva är således urvan y = 4 x 2, 2 < x < 2.. Eftersom x > 0, xy > y > 0 an D srivas x > 0, xy >. Vi fösöer med variabelsubstitutionen u = x, v = xy. Området D övergår då i området u > 0, v >. Vidare gäller att x = u, y = u v. Substitutionens funtionaldeterminant D d(x, y) d(u, v) = x u y u x v y v 0 = u 2 v u = u. Angiven variabelsubstitution ger därför enligt formeln för variabelsubstitution i dubbelintegral att x a + y a dxdy = u a + u a v a u u a () du dv = u 2a du dv. + va u>0 v> Betrata nu den itererade enelintegralen ( u a ) (2) u 2a + v a du dv, 0 den ena av de båda itererade enelintegraler som ör till sista dubbelintegralen i (). Den inre enelintegralen i (2) är generaliserad genom att övre integrationsfränsen är. Vi ar att T u a T 0 u 2a + v a du = au a [ ( )] u a u=t 0 av a/2 ( u a ) 2 du = arctan = v + va/2 ava/2 v a/2 a/2 u=0 = ( T a arctan ava/2 v a/2 ), som av a/2 u>0 v> 2 = då T för varje v >. 2a v a/2 Den inre integralen i (2) är således onvergent oc ar värdet 2a för varje v >. Detta insatt i (2) v a/2 ger enelintegralen () dv, 2a va/2 2
3 som är generaliserad genom att övre integrationsgränsen är. Vi ar att T 2a v dv = [ ] v a/2+ v=t ( ) =, som a/2 2a a/2 + a(a 2) T a/2 a(a 2) v= D då T. (Kom iåg att a > 2 förutsätts.) Den generaliserade enelintegralen () är således onvergent oc ar värdet a(a 2), dvs den itererade enelintegralen (2) är onvergent oc ar värdet a(a 2). Eftersom integranden är positiv gäller detsamma motsvarande dubbelintegral, dvs den sista dubbelintegralen i () är onvergent oc ar värdet a(a 2). Följatligen är även den första dubbelintegralen i () onvergent oc ar värdet a(a 2), dvs x a + y a dxdy = a(a 2). 4. Sätt g(x, y) = x y + 4xy 5 oc låt D vara mängden g(x, y) = 0, x. Varje tredjegradsevation ar minst en reell rot. För varje x finns det således minst ett reellt tal y sådant att x y + 4xy = 5. Låt y x vara ett sådant tal. Då gäller att (x, y x ) D för varje x, oc alltså är D obegränsad. Notera att x y + 4xy = 5 xy = 5 x 2 +4y 2, oc eftersom f(x, y) = xy ar vi att (4) f(x, y) = 5 x 2 + 4y 2 för alla (x, y) D. Av (4) följer dels att f(x, y) > 0 för alla (x, y) D, oc dels att f(x, y) 0 då (x, y) i D. (Obs att (x, y) i D är möjligt eftersom D är obegränsad.) Funtionen f sanar således minsta värde i mängden D. Notera vidare att (, ) D oc att f(, ) =. Låt E vara den del av D där x 2 + 4y 2 5. Då är E ompat (visas nedan), oc eftersom f är ontinuerlig i E (f är ontinuerlig överallt) ar f ett största värde i E, enligt sats om ontinuerliga funtioner. Eftersom (, ) E är största värdet av f i E större eller lia med f(, ) =. Av (4) följer att f(x, y) < för alla (x, y) D \ E. Största värdet av f i E är alltså största värde till f i ela D. Funtionen f ar således ett största värde i mängden D. Det återstår doc att visa att E är ompat. Låt M vara mängden g(x, y) = 0, låt M 2 vara mängden x oc låt M vara mängden x 2 + 4y 2 5. Då är E = M M 2 M. Mängden M är sluten eftersom g är ontinuerlig. Mängderna M 2 oc M är uppenbarligen ocså slutna. Följaligen är E sluten eftersom snitt av slutna mängder alltid är en sluten mängd. Mängden E är ocså begränsad eftersom D M oc M är begränsad. Mängden E är således både sluten oc begränsad oc därmed ompat. Vi bestämmer nu största värdet av f i D. Enligt teorin för optimering med bivillor gäller att varje punt där största värdet antas finns med bland punterna i ), 2) oc ) nedan. ) Punter (x, y) D sådana att f(x, y) oc g(x, y) är linjärt beroende. Derivering ger f(x, y) = (y, x) oc g(x, y) = (x 2 + 4y, x + 2xy 2 ). Enligt teorin för determinanter är två vetorer i R 2 linjärt beroende om oc endast om deras determinant är 0. Det följer att f(x, y) oc g(x, y) är linjärt beroende y x x 2 + 4y x + 2xy 2 = 0
4 y(x + 2xy 2 ) x(x 2 + 4y ) = 0 xy(4y 2 x 2 ) = 0. För alla (x, y) D ar vi att x, oc eftersom x oc x y + 4xy = 5 medför att y > 0 ar vi ocså att y > 0 för alla (x, y) D. Sambandet xy(4y 2 x 2 ) = 0 tillsammans med (x, y) D ger alltså x = 2y som enda möjliget. Insättning av x = 2y i g(x, y) = 0 ger 6y 4 = 5, vilet med y > 0 ger y = 2 5/4. Av y = 2 5/4 fås x = 2y = 5 /4. Den erållna punten ( 5 /4, 2 5/4) ligger i D, oc är alltså den enda punt i D där f(x, y) oc g(x, y) är linjärt beroende. Motsvarande funtionsvärde är f ( 5 /4, 2 5/4) = 2 5/2. 2) Ändpunter (relativa randpunter) till urvan D. I ändpunter till urvan D är x =. Insättning av x = i g(x, y) = 0 ger att y + 4y = 5 som ar en lösning y =, oc eftersom y + 4y är en strängt växande funtion av y då y R är det ocså den enda reella lösningen. Kurvan D ar alltså en ändpunt oc det är punten (, ). Motsvarande funtionsvärde är f(, ) =. ) Punter (x, y) D sådana att någon av f(x, y) oc g(x, y) ej existerar. Sådana punter finns ej. Av ), 2) oc ) framgår att största värdet av f i D är max( 2 5/2, ) = 2 5/2 oc att största värdet antas i punten ( 5 /4, 2 5/4). 5. Eftersom f(0, y) = ye y då y sanar f(x, y) minsta värde då (x, y) R 2. Låt D vara den del av R 2 där y x 4. Då gäller f(x, y) < 0 om (x, y) R 2 \ D oc f(x, y) 0 om (x, y) D. Om f ar ett största värde i D är alltså detta värde även största värde till f i ela R 2. Om (x, y) D gäller x 4 y, varav fås ( y ) /4 ( y ) /4 x, vilet medför att ( y ) /4 4x y 4 y 4y /4 y. För alla (x, y) D ar vi alltså att 0 f(x, y) = (y x 4 )e 4x y ye 4x y ye 4y/4 y, som 0 då y, oc eftersom (x, y) i D medför att y följer att f(x, y) 0 då (x, y) i D. Att f(x, y) 0 om (x, y) D oc att f(x, y) 0 då (x, y) i D visar tillsammans att f ar ett största värde i D. Funtionen f(x, y) ar således ett största värde då (x, y) R 2. Största värdet antas i en stationär punt till f. Derivering ger f (x, y) = 2 ( x + x 2 (y x 4 ) ) e 4x y oc f 2(x, y) = ( (y x 4 ) ) e 4x y. Vi ar alltså att f (x, y) = f 2 (x, y) = 0 { x x 2 (y x 4 ) = 0 y x 4 =. Insättning av andra evationens y x 4 = i första evationen ovan ger att x x 2 = 0 som ar lösningarna x = 0 oc x =. Insättning av dessa x-värden i y x 4 = ger y = respetive y = 4. De stationära punterna till f är alltså punterna (0, ) oc (, 4). Motsvarande funtionsvärden är f(0, ) = e oc f(, 4) =. Största värdet av f(x, y) då (x, y) R 2 är alltså max(e, ) = 6. Derivatan f (0, 0). Vi ar att f(0 +, 0) f(0, 0) = f(, 0) f(0, 0) = 0 0 = 0 för alla 0, 4
5 oc alltså att f(0 +, 0) f(0, 0) 0 då 0. Derivatan f (0, 0) existerar således oc är 0. Derivatan f 2(0, 0). Vi ar att f(0, 0 + ) f(0, 0) = f(0, ) f(0, 0) = 0 0 oc alltså att f(0, 0 + ) f(0, 0) 0 då 0. Derivatan f 2 (0, 0) existerar således oc är 0. = 0 för alla 0, Är f ontinuerlig i origo? Att f är ontinuerlig i origo är detsamma som att f (x, y) f (0, 0) = 0 då (x, y) (0, 0). Derivering ger att f (x, y) = 2xy2 (x 4 + y 2 ) x 2 y 2 4x (x 4 + y 2 ) 2 = 2x y4 x 4 y 2 (x 4 + y 2 ) 2 för alla (x, y) (0, 0), vilet tillsammans med triangelolieten ger att f (x, y) 2 x y4 + x 4 y 2 (x 4 + y 2 ) 2 = 2 x y2 (x 4 + y 2 ) (x 4 + y 2 ) 2 = 2 x y 2 x 4 + y 2 2 x = 2 x för alla (x, y) (0, 0), oc eftersom 2 x 0 då (x, y) (0, 0), följer att f (x, y) 0 = f (0, 0) då (x, y) (0, 0). Partiella förstaderivatan f är således ontinuerlig i origo. Är f 2 ontinuerlig i origo? Att f 2 är ontinuerlig i origo är detsamma som att f 2 (x, y) f 2 (0, 0) = 0 då (x, y) (0, 0). Derivering ger att f 2 (x, y) = 2x2 y(x 4 + y 2 ) x 2 y 2 2y x 6 y (x 4 + y 2 ) 2 = 2 (x 4 + y 2 ) 2 för alla (x, y) (0, 0), varav fås att f 2 (t, t2 ) = 2 t8 4t 8 = för alla t 0, 2 oc alltså att f 2(t, t 2 ) då t 0. 2 Det gäller alltså inte att f 2(x, y) 0 = f 2(0, 0) då (x, y) (0, 0). Partiella förstaderivatan f 2 är således inte ontinuerlig i origo. Är f differentierbar i origo? En tvåvariabelfuntion g är differentierbar i en punt (a, b) precis om g (a, b) oc g 2 (a, b) existerar samt g(x, y) g(a, b) g (a, b)(x a) g 2(a, b)(y b) 0 då (x, y) (a, b). (x a)2 + (y b) 2 Vi tillämpar detta på funtionen f i origo. Som redan visats existerar de partiella förstaderivatorna f (0, 0) oc f 2 (0, 0). Vidare ar vi att f(x, y) f(0, 0) f (0, 0)x f 2 (0, 0)y = x2 + y 2 5 x 2 y 2 (x 4 + y 2 ) x 2 + y 2 för alla (x, y) (0, 0),
6 vilet ger att f(x, y) f(0, 0) f (0, 0)x f 2(0, 0)y y 2 = x x2 + y 2 x 4 + y 2 oc eftersom x 0 då (x, y) (0, 0), följer att x 2 x 2 + y 2 x = x för alla (x, y) (0, 0), f(x, y) f(0, 0) f (0, 0)x f 2(0, 0)y x2 + y 2 0 då (x, y) (0, 0). Funtionen f är således differentierbar i origo. 6
Svar till tentan
UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Sigstam, Styf Prov i matemati Alla program o frist urs ENVARIABELANALYS 0-08- Svar till tentan 0-08-. Del A Bestäm alla punter P 0 på urvan y = x + sådana att
Läs merProv i matematik Fristående kurs Analys MN1 distans UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström
UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Anders Källström Prov i matemati Fristående urs Analys MN1 distans 6 11 Srivtid: 1-15. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna sall åtföljas av förlarande
Läs merLösningsförslag, v0.4
, v.4 Preliinär version, 6 februari 28, reservation för fel! Högsolan i Sövde Tentaen i ateati Kurs: MA52G Mateatis analys MA23G Mateatis analys för ingenjörer Tentaensdag: 27-5-2 l 8:3-3:3 Hjälpedel :
Läs merdt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.
Lösningsförslag till tentamenssrivning i SF633 Differentialevationer I Måndagen den 5 otober 0, l 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handboo Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräningar och
Läs merÖvningar till Matematisk analys III Erik Svensson
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik -8-8 Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson. För varje gränsvärde nedan bestäm gränsvärdet eller visa att gränsvärdet inte existerar.
Läs merTeori för flervariabelsanalys
Teori för flervariabelsanalys Robin Andersson 28 otober 2013 1 Innehåll 1 Differentierbarhet 3 2 Kedjeregeln 4 3 Formel för beräning av ritningsderivatan av en differentierbar funtion 5 4 Taylors formel
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs mer12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER
122 12 NUMERISKA SERIER 12. Numerisa serier Vi har tidigare i avsnitt 10.9 sett ett samband mellan summor och integraler. Vi har ocså i avsnitt 11 definierat begreppet generaliserade integraler och för
Läs merIV. Ekvationslösning och inversa funktioner
Analys 360 En webbaserad analysurs Grundbo IV. Evationslösning och inversa funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com IV. Evationslösning och inversa funtioner 1 (11) Introdution
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merKap Generaliserade multipelintegraler.
Kap 4.3. Generaliserade multipelintegraler. 50. Beräkna följande generaliserade multipelintegraler: A a. dxdy, ges av x, 0 xy x A b. A c. A d. A e. K x ( + x 2 )( + x 2 y 2 ) dxdy, ges av x > 0, xy x dxdy,
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära
Läs merDeltentamen. TMA044 Flervariabelanalys E2
Deltentamen godäntdelen, del TMA44 Flervariabelanalys E 4-9-7 l. 8:3-:3 Eaminator: Peter Hegarty, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merPotensserier och potensserieutvecklingar av funktioner
Analys 36 En webbaserad analysurs Analysens grunder Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com Potensserier och potensserieutveclingar
Läs merL HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.
L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER Läs avsnitten 73 och 8-82 Lös övningarna 78-75, 82, 84a,b, 85a,c, 89, 80 samt 8 Avsnitt 73 L Hospitals regel an ibland vara till en viss nytta, men de flesta gränsvärden
Läs merTentamen SF1661 Perspektiv på matematik Lördagen 18 februari 2012, klockan Svar och lösningsförslag
Tentamen SF1661 Perspetiv på matemati Lördagen 18 februari 01, locan 09.00 1.00 Svar och lösningsförslag (1) Sissera den mängd i xy-planet som består av alla punter som uppfyller oliheten (x + ) + (y )
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 07-06-0 - Lösningssisser. y ( ) y( ) e är linjär av första ordningen. Välj integrerande fator Multipliation av (*) med IF ger oss IF ln( ) e d e (Obs! ty vi har y(0) 0 ). ( )
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merKap Dubbelintegraler.
Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )
Läs merLösningsförslag till tentamen MVE465, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf
Lösningsförslag till tentamen MVE4, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf 64 l. 8.3.3 Examinator: Thomas Wernstål, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat:, telefon: Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Läs merYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden PROVET I MATEMATIK, LÅNG LÄROKURS 5.9. BESKRIVNING AV GODA SVAR De besrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merbetecknas = ( ) Symmetriska egenskaper hos derivator av andra ordningen. (Schwarzs sats)
PARTIELLA DERIVATOR Partiella derivator deinieras enom ränsvärden Deinition Låt vara en reellvärd untion deinierad på en öppen mänd n n Ω R Den partiella derivatan av i punten Aa a n Ω med avseende på
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merKontrollskrivning 1A
Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs mera k . Serien, som formellt är följden av delsummor
Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 2 28-8-3. Evationen är linjär och har det arateristisa polynomet p(r) r 3 r 2 + 4r 4 (r 2 + 4)(r ). Således ges lösningarna till den homogena evationen p(d)y h av y h C
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs merAnalys o linjär algebra. Fortsatt analys.. p.1/81
Analys o linjär algebra Fortsatt analys. p.1/81 Konvergenshastighet Har sett att bisetion och fixptsiteration, under lämpliga förhållanden, ger en följd, dvs onvergerar mot en lösning till den givna ev.
Läs merHur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysikaliska lagar.
Hur Keplers lagar för planetrörelser följer av Newtons allmänna fysialisa lagar. 1. Newtons gravitationslag och Newtons andra lag. Vi placerar ett rätvinligt oordinatsystem i solsystemet med solens medelpunt
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs mer1 Jag själv lärde om detta av en kollega som, kanske, heter Joel Andersson
1 Kryptering 11 Vi sall 1 idag titta lite på ryptering, och mera specifit hur elliptisa urvor används i ryptering, såallad ECDSA Vi sall ocså se ett atuelt exempel på hur detta inte sall användas 12 Problemet
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs mer( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).
KTH matematik Tentamen i SF66 Flervariabelanalys den 7 juni kl 8.3. Tillåtet hjälpmedel: Endast Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar krävs för
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs mery + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
Läs merInstitutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola. Skissartade lösningsförslag till tentamen TMA976.
Institutionen för matematisa vetensaper Chalmers tenisa högsola Sissartade lösningsförslag till tentamen TMA976 Datum: 2015 01 14 1. Lös differentialevationen y y = e x (x + e x ) y(0) = 1 y (0) = 0 Differentialevationen
Läs merAnalys av polynomfunktioner
Anals av polnomfuntioner Anals360 (Grundurs) Blandade uppgifter När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort. Tän igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tdligt
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merSammanfattning av Hilbertrumteorin
Sammanfattning av Hilbertrumteorin 9.1 Hilbertrum DEFINITION 9.1 Ett eulidist rum (prehilbertrum, rum med salärprodut, inreprodutrum) är ett lineärt rum försett med en salärprodut x y, och normen definierad
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs merOm användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer
Om användning av potensserier på ombinatori och reursionsevationer Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmailcom Sammanfattning Vid analys av både ombinatorisa problem och för att lösa reursionsevationer
Läs merTentamen i TATA43 Flervariabelanalys
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merMatematisk statistik
HF, repetitionsblad Mateatis statisti Uppgift Fördelningsfuntionen för en ontinuerlig stoastis variabel X är F ( x) cx x < x x > Bestä värdet på onstanten c, edianen och täthetsfuntionen för X a) Enligt
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merLösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004.
Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik II, B1116, B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004. 1. Välj en punkt i planet 3x + 3y z = 4, exempelvis
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 11 Institutionen för matematik KTH VT 2018 1 agens program Variabelsubstitution i dubbelintegraler Något om generaliserade integraler och medelvärden Bokens kapitel 14.4 och i någon mån också
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merKurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 25 augusti 2017 Skrivtid 8:00 12:00
Kurs: HF9 Matemati Moment TEN Linjär lgebra Datum: augusti 7 Srivtid 8: : Eaminator: rmin Halilovic För godänt betyg rävs av ma poäng. etygsgränser: För betyg D E rävs 9 6 respetive poäng. Komplettering:
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
Institutionen för matematik SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A 1. Betrakta funktionen fx, y = x + y och området D som ges av olikheterna x, y och x + y 1.
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merLåt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.
UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merLektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln
Lektion 3 Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln Innehål 1. Partiella derivator (12.3) 2. Differentierbarhet och tangentplan till
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs mer5 Lokala och globala extremvärden
Nr 5, mars -5, Amelia 5 Lokala och globala extremvärden Ienvariabelinträffar lokala extremvärden i punkter där f (x) =, om f är deriverbar och det inte är en randpunkt. Vilken typ av extremvärde det är
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merOptimering med bivillkor
Kapitel 9 Optimering med bivillkor 9.1. Optimering med bivillkor Låt f(x) vara en funktion av x R. Vi vill optimera funktionen f under bivillkoret g(x) =C (eller bivllkoren g 1 (x) =C 1,..., g k (x) =C
Läs mer