Tentamen SF1661 Perspektiv på matematik Lördagen 18 februari 2012, klockan Svar och lösningsförslag

Transkript

1 Tentamen SF1661 Perspetiv på matemati Lördagen 18 februari 01, locan Svar och lösningsförslag (1) Sissera den mängd i xy-planet som består av alla punter som uppfyller oliheten (x + ) + (y ) 5. Avgör ocså utan att hänvisa till din siss, om det finns det något talpar (x, y), där x > 0 och y < 0, som uppfyller denna olihet. Lösning. Den angvina mänden består av alla punter sådana att vadraten på deras respetive avstånd till punten (, ) är mindre eller lia med 5, dvs mängden utgörs av en sluten (randen ingår) cirelsiva med medeplpunt i (, ) och radie 5 längdenheter. Speciellt passerar randcireln genom origo. Antag nu att (x, y) är en punt där x > 0 och y < 0. Då är x + > och y > så att Följatligen är då (x + ) > = 9 och (y ) = y > = 16. (x + ) + (y ) > = 5, dvs (x, y) tillhör inte den angivna mängden Svar. Den angivna mängden är en sluten cirelsiva med medeplpunt i (, ) och radie 5 längdenheter. Inga punter (x, y) där x > 0 och y < 0 ingår i denna cirelsiva. () a) Vila reella tal ännetecnas av att de har en ice-periodis oändlig decimalbråsutvecling? Ge exempel på två sådana tal. b) Talet a an srivas exat med den periodisa decimalbråsutveclingen a = Kan man uttryca a exat på något annat sätt? Ange i så fall detta på enlast möjliga form. Lösning. a) Det är de irrationella talen och inga andra tal är de som har iceperiodis oändlig decimalbråsutvecling. och π är exempel på sådana tal. b) Låt a = Då är 100a = och 99a = 100a a = = 1 = a = 1 99 =. Svar. a) Det är precis de irrationella talen som har ice-periodis oändlig decimalbråsutvecling. och π är exempel på sådana tal. b) a =.

2 () Förlara vad som menas med att en funtion är inverterbar. Visa sedan att funtionen f(x) = ln(x + 1) +, x 0, är inverterbar, och bestäm dess invers. Lösning. En funtion f : X Y är inverterbar om det till varje y Y finns precis ett x X sådant att f(x) = y. Antag nu att f(x) = ln(x + 1) +, x 0 och att y = f(x). Eftersom rotfuntionen alltid är ice-negativ per definition följer att y. Det gäller då att y = ln(x + 1) + y = ln(x + 1) (y ) = ln(x + 1) e (y ) = x + 1 x = e (y ) 1. (Den andra evivalensen y = ln(x + 1) (y ) = ln(x + 1) är verligen en evivalens eftersom vi har onstaterat att y, det utesluter möjligheten att (y ) = ln(x + 1) = y = ln(x + 1)). Alltså gäller att för varje y finns precis ett x = x(y) = e (y ) 1 sådant att y = f(x), dvs f är inverterbar och dess invers ges av f 1 (x) = e (x ) 1. Svar. En funtion f : X Y är inverterbar om det till varje y Y finns precis ett x X sådant att f(x) = y. Med f som i uppgiften är f inverterbar och dess invers ges av f 1 (x) = e (x ) 1. () Låt z och w var de omplex talen z = + i och låt w = i. a) Sriv z och z 10 på polär form. (p) b) Förenla följande uttryc så långt som möjligt ( + i) 10 ( i). (p) Lösning. a) Om z = + i är z = + = 8 = /, så ( 1 z = + i = / + i 1 ) = ( cos π + i sin π ). Det följer att z 10 = ( / ) 10 ( cos π + i sin π ( = 15 cos π + i sin π ) = 15 i ) ( 10 = 0/ cos 10π ) ( 10π + i sin = 15 cos π + i sin π )

3 b) Om w = i är w = + ( ) = = = 5/, och w = i = ( 1 i 1 ) ( = 5/ cos 7π + i sin 7π ) så w = ( 5/) ( cos 7π + i sin 7π Det följer att = 10 (cos 7π + i sin 7π) = 10 ) ( = 10 cos 7π + i sin 7π ) ( + i) 10 ( i) = 15 i 10 = 5 i = i Svar. a) z = ( cos π + i sin π ) och z 10 = 15 i. b) i. (5) Är det sant att ln(x + y) = ln(x) ln(y) för alla x > 0, y > 0? Är det sant att ln(xy) = ln(x) + ln(y) för alla x > 0, y > 0? Bevisa dina påståenden! Du får där så är lämpligt använda dig av potenslagarna utan att bevisa dessa. Svar = Lösning. Det är inte sant att ln(x + y) = ln(x) ln(y) för alla x > 0, y > 0, eftersom t ex x = y = 1 ger V.L. = ln = ln(1 + 1) ln 1 + ln 1 = = 0 = H.L.. Däremot är det sant ln(xy) = ln(x) + ln(y) för alla x > 0, y > 0 ty och e V.L. = e ln(xy) = xy. e H.L. = e ln(x)+ln(y) = e ln(x) e ln(y) = x y = e V.L., där andra liheten föjer av potenslagarna. Eftersom e a = e b V.L. = H.L. (6) Lös evationen sin x cos x = 1. a = b följer att Lösning. Vi utnyttjar först trigonometrisa ettan till att sriva evationen som ( 1 cos x ) cos x = 1 cos x + cos x = 0 cos x + cos x = 0. Låt sedan t = cos x, då är 1 t 1. Vi substituerar i evationen och får t +t ( = 0 t + 1 ) 1 ( = 0 t + 1 ( = 1 t + ) 1 ) = ±1 t = 1 ±1.

4 Eftersom 1 t 1 är t = 1 enda lösning, dvs cos x = 1 vilet är evivalent med att { π x = + nπ π + nπ, n Z. Svar. x = π + nπ eller x = π + nπ för godtycliga heltal n. (7) a) Formulera Binomialsatsen! (1p) b) Visa att för alla naturliga tal n. c) Tola formeln som ett påstående om Pascals triangel. = n = n Lösning=Svar a) Binomialsatsen lyder som följer: För varje naturligt tal n gäller att ( ) ( ) n n (a + b) n = a n b n(n 1) (n + 1), där =. ( 1) 1 b) Om vi sätter a = b = 1 i Binomialformeln fås n = (1 + 1) n = 1 n 1 = V.S.B (p) (1p) c) Numrera raderna i Pascals triangel så att toppraden som bara består av en etta ges nummer 0, nästa rad bestående av två ettor ges nummer 1 osv. Påståendet säger då att summan av talen i rad nr n i Pascals triangel är n. Till exempel fås för n = : = =.

5 5 (8) Hur många reella lösingar har evationen x 100 = e? Bestäm på lämpligt sätt ett rationellt närmevärde till varje reell lösning. Lösning Från en en siss ser man att den parabellinande urvan y = x 100 sär linjen y = e i två punter, dessa har x-oordinater x = ±e /100. Vi bestämmer nu ett närmevärde till e /100 genom linjär approximation av funtionen f(t) = e t ring t = 0. Vi har att f (t) = e t så f(0) = f (0) = e 0 = 1. Formeln för linjär approximation säger att f(t) f(a) + f (a)(t a) för t nära a. Med f(t) = e t och a = 0 får vi så e t 1 + t e / = Svar Evationen har två reella lösningar x = ±e /100 ± = ±1.0. (9) Bevisa att det finns oändligt många primtal. Lösning. Se urslitteraturen, Gottlieb, Aritmeti, sidan 11.