KVADRATISKA FORMER. Definition 1. ( av en kvadratisk form) En kvadratisk form är ett uttryck av typ. Några exempel på kvadratiska former:
|
|
- Emilia Bergqvist
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KVADRAISKA FORMER Definition. ( av en vadratis form) En vadratis form är ett uttryc av typ nn nn aa iiii xx ii xx jj ii= jj= Några exempel på vadratisa former: QQ = 4xx + 5xx xx + 8xx xx 3 + 9xx + xx xx 3 + 7xx 3 QQ = xx + xxxx + yy QQ 3 = 5xxxx + 3yy QQ 4 = xx + 5yy + 6zz + xxxx + 3xxxx + 8yyyy MARISBESKRIVNING AV KVADRAISKA FORMER En vadratis form QQ(xx,, xx nn ) an besrivas på följande sätt där och A är en symetris matris. QQ = XX AAAA xx xx XX = xx nn i) Låt QQ = aaaa + bbbbbb + cccc. Vi bildar A på följande sätt Då gäller AA = aa bb/ bb/ cc. QQ = [xx yy] aa bb/ bb/ cc xx yy ( ssssällll!). ii) Låt QQ = aaaa + bbbb + cczz + dddddd + eeeeee + ffffff. Vi bildar A på följande sätt aa dd/ ee/ A=dd/ bb ff/ ee/ ff/ cc ( Vi delar med oefficienterna för blandade termer och sriver de symmetrist i A) Sida av 0
2 Då gäller aa dd/ ee/ xx Q=[xx yy zz] dd/ bb ff/ yy ee/ ff/ cc zz Anmärning: Ibland använder vi betecningen Q x = Ax där x x x =. n x Uppgift. Sriv på formen QQ = XX AAAA följande vadratisa former a) QQ = 7xx + 5xxxx + 3yy b) QQ = 6xxxx + yy c) QQ = 5xxxx d) QQ 4 = xx + 5yy + 6zz + xxxx + 3xxxx + 8yyyy e) QQ 5 = 3xx + 5yy + 8zz Svar a) QQ = [ x, y] 7 5/ 5/ 3 xx yy b) QQ = [ x, y] xx yy c) QQ 3 = [ x, y] 0 5/ 5/ 0 xx yy 3/ xx d) QQ 4 = [xx yy zz] 5 4 yy 3/ 4 6 zz xx d) QQ 5 = [xx yy zz] yy zz DIAGONALISERING AV KVADRAISKA FORMER Låt Q vara en vadratis form och A tillhörande symmetrisa matris; QQ = XX AAAA ( ) Den symmetrisa matrisen A an vi ortogonal diagonalisera. Låt P vara den ortogonala matrisen (som består av matrisens ortonormerade egenvetorer ) som diagonaliserar A. Då gäller AA = PPPPPP Eftersom P är en ortogonal matris gäller det PP = PP och därför AA = PPPPPP ( ) Om vi samtidigt betratar basbyte från standardbasen till basen som består av de ortonormerade egenvetorer (olonner i P) då har vi följande samband Sida av 0
3 XX = PPPP ( ) xx yy xx yy mellan gamla oordinater XX = och nya oordinater YY =. xx nn yy nn Om vi nu substituerar (**) och (***) i (*) får vi QQ = (PPPP) PPPPPP (PPPP) QQ = YY PP PPPPPP PPPP ( eeeeeeeeeeeeeeee PP PP = II) QQ = YY DDDD, λλ 0 0 yy Q=[yy yy yy 0 λλ nn ] 0 yy 0 0 λλ nn yy nn eller QQ = λλ yy + λλ yy + + λλ nn yy nn ( ) Anmärning: λλ, λλ,, λλ nn är egenvärden till matrisen A. Alltså, med hjälp av substitutionen XX = PPPP och nya variabler yy, yy, yy nn har vi srivit om Q så att blandade termer har försvunnit och endast rena vadratisa termer an finnas var i uttrycet. När Q srivs som i (****), säger vi att vi har diagonaliserat den vadratisa formen Q genom substitutionen XX = PPPP. Uppgift. Vi betratar vadratisa formen QQ = xx + 6xxxx + yy. a) Bestäm den tillhörande symmetrisa matrisen A b) Diagonalisera Q ( dvs ange Q på formen (****)) c) Ange ocså den ortogonala matrisen P som diagonaliserar Q. d) Ange sambandet mellan nya och gamla variabler. Lösning a) Den vadratisa formen Q representeras av den symmetrisa matrisen AA = 3 3. b) För att diagonalisera formen måste vi bestämma egenvärden till A. ( λλ) 3 dddddd(aa λλλλ) = 0 3 ( λλ) = 0 ( λλ) 9 = 0 ( λλ) = 9 λλ = ±3 λλ = 5 och λλ = Om vi betecnar nya oordinater med u och v då an vi sriva Q på följande diagonaliserade form ( med variablerna u och v) : QQ = 5uu vv Sida 3 av 0
4 c) För att bestämma P måste vi bestämma en bas med ORONORMERADE egenvetorer till A : vv = ooooh vv = Vetorerna är uppenbart ortogonala, vv vv = 0. Kvarstår att normera vv och vv dvs. dela varje vetor med dess längd. Alltså vi normerar vetorer och bildar P uu = vv vv = / / ooooh uu = vv vv = / / Därmed är PP = / / / / d) Sambandet mellan nya och gamla variabler är därför XX = PPPP xx yy = / / / / uu vv eller xx = uu vv yy = uu + vv. VÄRDEMÄNGDEN ILL EN KVADRAISK FORM Sats ( om värdemängden till Q) Låt QQ(XX) = XX AAAA, där A är symetris, XX = respetive största egenvärdet till A. Då gäller λλ mmmmmm XX QQ(XX) λλ mmmmmm XX xx xx och låt λλ mmmmmm och λλ mmmmmm vara minsta xx nn { eller λλ mmmmmm ( xx + xx + + xx nn ) QQ(XX) λλ mmmmmm ( xx + xx + + xx nn ) }. Bevis: Om vi diagonaliserar formen Q med hjälp av en ortogonal matris P och variabelsubstitutionen XX = PPPP då får vi QQ(XX) = QQ(PPPP) = λλ yy + λλ yy + + λλ nn yy nn Härav, eftersom λλ mmmmmm λλ λλ mmmmmm, får vi λλ mmmmmm (yy + yy + yy nn ) λλ yy + λλ yy + + λλ nn yy nn λλ mmmmmm (yy + yy + + yy nn ) dvs. Sida 4 av 0
5 λλ mmmmmm YY QQ(XX) λλ mmmmmm YY. Eftersom P är en ortogonalmatris och XX = PPPP, har vi XX = PPPP = YY och därför λλ mmmmmm XX QQ(XX) λλ mmmmmm XX VV. SS. BB. Uppgift 3. Bestäm maximum och minimum av Q(x, = xx + 6xxxx + yy om xx, yy satisfierar villoret xx + yy = 8. Den tillhörande symetrisa matrisen AA = 3 3 har egenvärden λλ = 5 och λλ =. Enligt föregående sats gäller dvs. λλ mmmmmm XX QQ λλ mmmmmm XX λλ mmmmmm (xx + yy ) QQ λλ mmmmmm (xx + yy ) och, eftersom xx + yy = 8, λλ mmmmmm =, λλ mmmmmm = 5, Svar: Q = 8, Q 40 min max = 8 QQ 40. Uppgift 4. Bestäm maximum och minimum av QQ(xx, yy, zz) = xx + 4xxxx 4yyyy + zz då xx, yy, zz, satisfierar xx + yy + zz = ( villor ). Den tillhörande symetrisa matrisen är 0 AA = 0 0 som har egenvärden λλ = 3 och λλ = 0 och λλ 3 = 3 ( ontrollera själv). Därför λλ mmmmmm = 3, λλ mmmmmm = 3. Enligt ( villor ) har vi XX = xx + yy + zz =. Enligt föregående sats λλ mmmmmm XX QQ λλ mmmmmm XX Sida 5 av 0
6 och därmed Med andra ord Q = 6, Q 6 min max = 6 QQ 6 Svar: Q = 6, Q 6 min max = POSIIV/ NEGAIV DEFINI KVADRAISK FORM Definition. En vadratis form Q är a) positivt definit om Q ( X ) 0 för alla X och om Q( X ) = 0 endast för X = 0 b) positivt semidefinit om Q ( X ) 0 för alla X och om det finns någon X 0 för vilen Q ( X ) = 0 c) negativt definit om Q ( X ) 0 för alla X och om Q( X ) = 0 endast för X = 0 d) negativt semidefinit om Q ( X ) 0 för alla X och om det finns någon X 0 för vilen Q ( X ) = 0 e) indefinit om Q(X ) antar såväl positiva som negativa värden. Ett enelt sätt att bestämma typ av en vadratis form Q är vadratomplettering. Uppgift 5. Bestäm typ av följande vadratisa former: a) Q ( x, = x 4xy + 7y b) Q ( x, y, z) = x xy + y + z c) Q = x 4xy + y d) Q( x, = x + 4xy 9y a) Vi vadrat ompletterar Q ( X ) = Q( x, = x 4xy + 7y = ( x + 3y. Det är uppenbart att Q ( x, 0 för alla (x,. Vi undersöer för vila (x, är Q=0: ( x + 3y =0 endast om både ( x = 0 och 3y = 0. { ( x = 0 och 3y = 0 } { x = y och y = 0 } { x = 0 och y = 0 }. Alltså Q ( X ) 0 för alla X och Q( X ) = 0 endast för X = 0. Enligt definitionen är Q ( x, positivt definit b) Q ( X ) = Q( x, y, z) = x xy + y + z = ( x + z. Vi ser att Q ( x, y, z) 0 för alla (x,y,z). Sida 6 av 0
7 Vi undersöer för vila (x,y,z) är Q=0: Q=0 om ( x = 0 och + z = 0 dvs om x = y och z=0. Exempelvis är Q (,,0) = 0 trots att (,,0 ) inte är nollvetor. Alltså Q ( X ) 0 för alla X och det finns det finns någon X 0 (t ex X = (,,0 ) ) för vilen Q ( X ) = 0. Enligt definitionen är Q ( x, y, z) positivt semidefinit. Svar: a) positivt definit b) positivt semidefinit d) indefinit e) negativt definita Ett annat sätt att bestämma typ av en vadratis form är med hjälp av följande sats. Enligt sats gäller λλ mmmmmm XX QQ λλ mmmmmm XX där QQ(XX) = QQ(PPPP) = λλ yy + λλ yy + + λλ nn yy nn Härav följer nedanstående sats: Sats. Ett vadratis form Q( X ) = X AX, där A är en symmetris matris, är a) positivt definit om och endast om λ 0 (dvs. alla egenvärden till A är positiva) min > b) positivt semidefinit om och endast om λ = min 0 c) negativt definit om och endast om λ 0 (dvs. alla egenvärden till A är negativa) max < d) negativt semidefinit om och endast om λ = max 0 e) indefinit om och endast om matrisen A har både positiva och negativa egenvärden. Uppgift 6. Bestäm typ av följande vadratisa form a) Q ( x, = 6x 4xy + 9y b) QQ(xx, yy, zz) = xx + 4xxxx 4yyyy + zz. a) Den tillhörande symetrisa matrisen är 6 A = 9 som har egenvärden λλ = 5 och λλ = 0 ( ontrollera själv). Kvadratisa formen är positivt definit eftersom λ > min 0 (dvs. alla egenvärden till A är positiva). b) Den tillhörande symetrisa matrisen är Sida 7 av 0
8 0 AA = 0 0 som har egenvärden λλ = 3 och λλ = 0 och λλ 3 = 3 ( ontrollera själv). Kvadratisa formen är indefinit eftersom matrisen A har både positiva och negativa egenvärden. Svar: a) positivt definit b) indefinit Uppgift 7. (Uppgift 3. tentamen 7 mars 06) Den vadratisa formen Q på R ges av Q ( x) = x + xx + x. a) Ange den symmetrisa matris A som uppfyller Q x x ( ) = Ax. b) Avgör om Q är positivt definit, negativt definit, positivt semidefinit, negativt semidefinit eller indefinit. a) Den vadratisa formen Q ( x) = x + xx + x an srivas som x Ax med den symmetrisa matrisen / A =. / Egenvärdena till matrisen A är nollställen av ( λ) / det( A λi ) = = ( ) / ( ) λ λ 4 Från ( λ ) = 0 ( λ) = ( λ ) = λ = ± Detta ger egenvärden / och 3/. Då alla egenvärdena är positiva, har vi att den vadratisa formen är positivt definit. / Svar: a) A = b) positivt definit / Uppgift 8. (Uppgift 8. tentamen 3 jan 06) Låt A vara en symmetris och inverterbar matris. a) Bevisa att inversen A ocså ar en symmetris matris. b) Bevisa att x Ax ar en positivt definit vadratis form om och endast om positivt definit vadratis form. x A x ar en a) Beviset är enelt om vi använder ränelagen för transponering av en inversmatris ( A ) = ( A ) (*): Med hjälp av * har vi ( A ) = ( A ) = A dvs A ar en symmetris matris. Sida 8 av 0
9 Anmärning: Liheten A = A. = gäller enligt (*) och = gäller eftersom, enligt antagande, Vi an även enelt bevisa ränelagen (*)genom att transponera sambandet AA =I: Vi har AA ( AA ) = ( I ) ( enligt regeln för transponering av matrisprodut) ( A ) A = I Därmed är A inverterbar och ( A ) = ( A ), dvs (*) är bevisad. b) Enligt en sats om positivt definita matriser gäller: En vadratis form x Ax ar positivt definit om och endast om alla egenvärden till A är positiva. Vi vet att λ är ett egenvärde till A om och endast om är ett egenvärde till A -. Eftersom λ och har samma tecen har λ λ vi följande resonemang: ( x Ax ar en positivt definit vadratis form) (alla egenvärden till A är positiva) (alla egenvärden till A - är positiva) x A x ar en positivt definit vadratis form. (VSB) Anmärning: Vi an enelt bevisa påståendet : λ är ett egenvärde till en inverterbar matris A om och endast om är ett egenvärde till A -. λ Anta att λ är ett egenvärde till A med motsvarand egenvetor v. Då gäller Av = λv (multiplicera med A - ) v A = λ v (dela med λ. Notera att λ 0 eftersom A är inverterbar ) A v = v V.S.B. λ Med andra ord: egenvärde till A -. λ är ett egenvärde till en inverterbar matris A om och endast om Sida 9 av 0 är ett λ
10 Uppgift 9. (Upp 5. oncepttentamen. ) Låt A vara en (n n)-matris och Q(x) = x (A A)x den vadratisa formen definierad av den symmetrisa matrisen A A. (a) Visa att Q är positivt semidefinit oavsett valet av A. (3 p) (b) Visa eller vederlägg: Om A ar inverterbar så är Q positivt definit. (3 p) a) Vi sa bevisa att Q( x) 0 för alla x. x Notera att x= är en n-dimensionell vetor. x n Vi har Q ( x) = x (A A)x = (x A )(Ax) = (Ax) (Ax) = (Ax) (Ax) = (Ax) 0 för alla x, V.S.B 3 Förlaring: = gäller enligt associativa lagen för matrismultipliation = gäller enligt regler för transponering av en produt : (MN) =N M 3 = gäller eftersom salerprodut av två olonn vetorer u v an srivas som matrisproduten u v och omvänt. Notera ocså att Ax är en olonnvetor. Därför (Ax) (Ax) = (Ax) (Ax). b) Anta att A är inverterbar. Från a delen har vi att Q ( x) = (Ax) 0 för alla x. (Med andra ord är Q positivt semidefinit. ) Från Q ( x ) = (Ax) ser vi att Q( x) = 0 om och endast om Ax = 0. Men Ax = 0 A Ax = A 0 x = 0 Alltså Q( x) 0 och Q ( x) = 0 endast om x=0. Detta betyder att Q (x) är positiv definit ( dvs. om A är inverterbar så är Q (x) = x (A A)x positivt definit. Sida 0 av 0
ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen
ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen Ax + Bxy + Cy + Dx + Fy + G 0 (ekv) där minst en av A,B, eller C är skild från 0 En andragradskurva är mängden av alla punkter vilkas koordinater satisfierar en
Läs merDIAGONALISERING AV EN MATRIS
DIAGONALISERING AV EN MATRIS Definition ( Diagonaliserbar matris ) Låt A vara en kvadratisk matris dvs en matris av typ n n. Matrisen A är diagonaliserbar om det finns en inverterbar matris P och en diagonalmatris
Läs merVi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) λλ enligt nedan
ORTOGONALA VEKTORER OCH ORTONORMERADE (ORTONORMALA) BASER I R n INLEDNING ( repetition om R n ) Låt RR nn vara mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs RR nn {(aa, aa,, aa
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merSida 1 av Låt VV = RR nn där RR nn är mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs
Sida av 7 ALLMÄNNA VEKTORRUM VEKTORRUM Definition Mängden V sägs vara ett reellt vektorrum om det finns i) en additionsoperation som till varje uu VV och vv VV ordnar uu vv VV ii) en operation kallad multiplikation
Läs merEGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET
EGENRUM, ALGEBRAISK- OCH GEOMETRISK MULTIPLICITET INLEDNING Ett polyom ( i variabel λ ) av grad är ett uttryc på forme P( λ) a λ + aλ + aλ + a, där a Polyomets ollställe är lösigar ( rötter) till evatioe
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merNorm och QR-faktorisering
Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T.
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs merLösningsförslag till tentamen MVE465, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf
Lösningsförslag till tentamen MVE4, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf 64 l. 8.3.3 Examinator: Thomas Wernstål, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat:, telefon: Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merDagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär
Dagens ämnen Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna i rätt bas Kvadratiska former a 1 x 1 + a x +
Läs merx + y z = 2 2x + 3y + z = 9 x + 3y + 5z = Gauss-Jordan elemination ger: Area = 1 2 AB AC = 4. Span(1, 1 + x, x + x 2 ) = P 2.
1 Matematiska Institutionen KTH Exam for the course Linjär algebra, 5B1307, Januari 14, 008, 14:00-19:00 Kursexaminator: Sandra Di Rocco Minst 15 poäng ger betyg 3, minst poäng ger betyg 4 och mins 8 poäng
Läs mer0 annan metod måste tillämpas **************************************************************** vara en stationär punkt dvs f x
EXTREMVÄRDEN FÖR FUNKTIONER AV TVÅ VARIABLER. Lokala etremvärden för funktioner av två variabler Låt zz = ff(, y vara en funktion från ett område D i RR till R. Låt (aa, b vara en inre punkt av D. Vi säger
Läs merNovember 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)
Fö : November 4, 7 Egenvärde och egenvektor Definition s 9: Låt A resp T : R n R n vara en n n-matris resp en linjär avbildning En icke-trivial vektor v R n kallas en egenvektor till A resp till T med
Läs merSammanfattning av Hilbertrumteorin
Sammanfattning av Hilbertrumteorin 9.1 Hilbertrum DEFINITION 9.1 Ett eulidist rum (prehilbertrum, rum med salärprodut, inreprodutrum) är ett lineärt rum försett med en salärprodut x y, och normen definierad
Läs merAvsnitt 6, Egenvärden och egenvektorer. Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris. En matris 1 0.
Avsnitt Egenvärden och egenvektorer W Vilka av följande matriser är ortogonala? b d En matris A a a a n a a a n a a a n a m a m a mn är en ortogonal matris om dess kolumner bildar en ON-bas för rummet
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merLösning : Substitution
INTEGRALER AV RATIONELLA FUNKTIONER Viktiga grundeempel: Eempel. (aa 0) aaaabb aaaabb = tt = aa aa = aa llll tt CC llll aaaa bb CC aaaa bb = tt aaaaaa = = aa Eempel. (aaaabb) nn (nn, 0) (aaaa bb) nn =
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Torsdag 22 augusti Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF90 Torsdag augusti Skrivtid: 4:00-8:00 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs 0 av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive 0 poäng
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merProv i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:
Läs mer1 EN DRAKE. Kom, My. Vänta, Jon. Kom nu, My. Jag såg en drake!
1 EN DRAKE Kom, My. Vänta, Jon. Kom nu, My. Jag såg en drake! 2 FEL, FEL, FEL Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Jj Kk Ll Mm Nn Oo Pp Qq Rr Ss Tt Uu Vv Xx Yy Zz Åå Ää Öö Moa VÄLKOMMEN! Hej, säger Moa. Hej, säger My.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra TATA/TEN) 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs merCrash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016
Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic
LOGARITMER Definition av begreppet logaritm Betrakta ekvationen aa xx = bb. Om a är ett positivt tal skilt från 1 och b >0 då finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 9 6, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 130313 kl 0830 1230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV142 Linjär algebra Z Tentan
Läs merREGERINGSRÄTTENS BESLUT
REGERINGSRÄTTENS BESLUT 1 (5) meddelat i Stockholm den 8 december 2010 SÖKANDE 1. AA 2. BB 3. CC 4. DD 5. EE 6. FF 7. GG 8. HH 9. II 10. JJ 11. KK 12. LL 13. MM 14. NN 15. OO 16. PP 17. QQ 18. RR 19. SS
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merUppgift 1. Egenskaper. Kallformad CHS av den austenitiska stålsorten Målsättning
Uppgift 1 Egenskaper Kallformad CHS 159 4 av den austenitiska stålsorten 1.437 LL 33, 55 mm AA 19,5 cccc² NN EEEE 222222 kkkk II 585,3 cccc 4 dd 111111 mmmm WW eeee 73,6 cccc 3 tt 44 mmmm WW pppp 96,1
Läs merBeräkna primitiva funktioner med hjälp av: 0) tabelintegraler i) enkel variabelsubstitution ii) partiell integration
Begrepp och beteckningar Satser och viktiga egenskaper och metoder Typiska problem Primitivfunktion-obestämd integral A 2.10, s, 149 Summabeteckning Σ,σ. 289, Riemanns summa, s. 303, övre och undre Riemanns
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merINVERSA FUNKTIONER DEFINITION. (invers funktion) Låt ff vara en funktion av en reell variabel med definitionsmängden DD ff och värdemängden VV ff. Vi säger att funktionen ff är inverterbar om ekvationen
Läs merProv i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Bo Styf Prov i matematik F, X, ES, KandFys, Lärare, Frist, W, KandMat1, Q LINJÄR ALGEBRA II 010 08 4 Skrivtid: 1400 1900 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSvar till tentan
UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Sigstam, Styf Prov i matemati Alla program o frist urs ENVARIABELANALYS 0-08- Svar till tentan 0-08-. Del A Bestäm alla punter P 0 på urvan y = x + sådana att
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merA = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E
Var god vänd! MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV4 Linjär algebra
Läs mer12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER
122 12 NUMERISKA SERIER 12. Numerisa serier Vi har tidigare i avsnitt 10.9 sett ett samband mellan summor och integraler. Vi har ocså i avsnitt 11 definierat begreppet generaliserade integraler och för
Läs merdt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.
Lösningsförslag till tentamenssrivning i SF633 Differentialevationer I Måndagen den 5 otober 0, l 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handboo Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräningar och
Läs merA = x
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två
Läs mer1. Find the 4-tuples (a, b, c, d) that solves the system of linear equations
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA150 Vector Algebra, TEN1 Date: 2018-02-15
Läs merGRAM-SCHMIDTS METOD ... Med hjälp av Gram-Schmidts metod kan vi omvandla n st. linjäroberoende vektorer. samma rum dvs som satisfierar
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR GRAM-SCHMIDTS METOD Med hjälp av kan vi omvandla n st linjäroberoende vektorer vv vv nn i ett vektorrum till n st ortonormerade vektorer ff ff nn som spänner upp samma rum
Läs merHär finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).
GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus av en funktion då går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition. Definition. ( Cauchy Vi säger att funktionen
Läs merLinjär algebra/matematik. TM-Matematik Mikael Forsberg ma014a, ma031a
TM-Matematik Mikael Forsberg 074 41 1 Linjär algebra/matematik för ingenjörer ma014a, ma01a 011 0 8 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara
Läs mer12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
Läs merLösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin Lösningsforslag till tentamen i SF64 den /0 007 Eftersom planet går genom punkten (,, 0, det har ekvation a(x + b(y + + cz = 0, där a, b, c är koefficienter
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 20
Linjär Algebra, Föreläsning 20 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Symmetriska avbildningar, repetition F : E E sägs vara symmetrisk om (F (u) v) = (u F (v)) gäller för all u, v i det Euklidiksa rummet
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs merBERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER)
BERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER) Låt FF = (PP(xx, yy, z, QQ(xx, yy, z, RR(xx, yy, z) vara ett kontinuerligt vektorfält ( d v s en vektorfunktion) definierat i en öppen mängd Ω. Låt γ vara
Läs merExempelsamling :: Diagonalisering
Exempelsamling :: Diagonalisering Mikael Forsberg :: 8 oktober Uppgifter om diagonalisering. Hitta en matris som diagonaliserar matrisen A = ( Vad blir diagonalmatrisen D? Vad betder D geometriskt? Vad
Läs merVi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att
Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre
Läs merLösningar till MVE021 Linjär algebra för I
Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter
Läs merpå två sätt och därför resultat måste vara lika: ) eller ekvivalent
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR SYMMERISKA MARISER Defnton (Smmetrsk matrs) En kadratsk matrs kallas smmetrsk om A A V upprepar defntonen a en ortogonal matrs Defnton ( Ortogonal matrs ) En kadratsk matrs kallas
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 7 8 9, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merTentamen SF1661 Perspektiv på matematik Lördagen 18 februari 2012, klockan Svar och lösningsförslag
Tentamen SF1661 Perspetiv på matemati Lördagen 18 februari 01, locan 09.00 1.00 Svar och lösningsförslag (1) Sissera den mängd i xy-planet som består av alla punter som uppfyller oliheten (x + ) + (y )
Läs merbetecknas = ( ) Symmetriska egenskaper hos derivator av andra ordningen. (Schwarzs sats)
PARTIELLA DERIVATOR Partiella derivator deinieras enom ränsvärden Deinition Låt vara en reellvärd untion deinierad på en öppen mänd n n Ω R Den partiella derivatan av i punten Aa a n Ω med avseende på
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena
Läs mer(D1.1) 1. (3p) Bestäm ekvationer i ett xyz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna
Högsolan i Sövde (SK) Tentamen i matemati Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 l 4.-9. Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej ränedosa. Tentamen
Läs merKomplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 9 jan 5, HF6 och HF8 Moment: TEN (Linjär algebra), hp, Kurser: Anals och linjär algebra, HF8, Linjär algebra och anals HF6 Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 8.5-.5, Plats: Campus Haninge Eaminator:
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merkvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =
MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel 76-786 Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga
Läs merHÖGSTA FÖRVALTNINGSDOMSTOLENS DOM
HÖGSTA FÖRVALTNINGSDOMSTOLENS DOM 1 (8) meddelad i Stockholm den 24 mars 2011 SÖKANDE 1. AA 2. BB 3. CC 4. DD 5. EE 6. FF 7. GG 8. HH 9. II 10. JJ 11. KK 12. LL 13. MM Dok.Id 103306 Postadress Besöksadress
Läs merTMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs mer3x + y z = 0 4x + y 2z = 0 2x + y = Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x = 1 x + y = 1 x + 2y = 2
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 3 7 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och
Läs merProvräkning 3, Linjär Algebra, vt 2016.
LINK OPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Provräkning, Linjär Algebra, vt 6. Lämna in lösningar för rättning senast 8. onsdagen den 7 april 6. Lämnas in antigen i mitt fack på MaI eller direkt
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merLOGARITMEKVATIONER. Typ 1. och. Typ2. Vi ska visa först hur man löser två ofta förekommande grundekvationer
LOGARITMEKVATIONER Vi ska visa först hur man löser två ofta förekommande grundekvationer Typ 1. log aa ff(xx) = nn och Typ2. log aa ff(xx) = log aa gg(xx) När vi löser logaritmekvationer måste vi tänka
Läs mer2 U (symmetri) pp 1. b) Sätt in efterfrågefunktionerna ovan I budgetrestriktionen, sätt YY = EE, och lös för EE: pp 2 p 1. p 1
Lösningsförslag Tenta 700 Mikro B Fråga a) Utbud = Efterfrågan ger : 0000PP 0000 = 000 00PP 00PP = 7000 PP = QQ = 0000 b) QQ = 0000 8 0000 = 30000 c) QQ = 000 00 8 = 000. Skillnaden mellan vad producenterna
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Läs mer2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.
TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs mer5 Lokala och globala extremvärden
Nr 5, mars -5, Amelia 5 Lokala och globala extremvärden Ienvariabelinträffar lokala extremvärden i punkter där f (x) =, om f är deriverbar och det inte är en randpunkt. Vilken typ av extremvärde det är
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merÖvning: Träna skrivning!
Övning: Träna skrivning! nnehåll Skriv i nivåer 2 Repetition... sidan 2 Diagnos... sidan 5 lfabetisk ordning... sidan 6 rdbilder... sidan 12 Skriva ord... sidan 18 Skriva meningar... sidan 22 Berätta...
Läs merLösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 2004.
Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 24. 1. Gausselimination ger: 2 3 5 2 1 5 6 b 1 2 3 3 1 2 3 1 1 1 1 3 b/3 1 8 1
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs mer