0 annan metod måste tillämpas **************************************************************** vara en stationär punkt dvs f x

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "0 annan metod måste tillämpas **************************************************************** vara en stationär punkt dvs f x"

Birgit Pettersson
för 5 år sedan
Visningar:

1 EXTREMVÄRDEN FÖR FUNKTIONER AV TVÅ VARIABLER. Lokala etremvärden för funktioner av två variabler Låt zz = ff(, y vara en funktion från ett område D i RR till R. Låt (aa, b vara en inre punkt av D. Vi säger att punkten är stationär om och f y. Låt ( a, vara en stationär punkt och AA = ff (aa, b, BB = ff (aa, b ooooh CC = ff yyyy (aa, b Punktens karaktär bestäms då med hjälp av följande tabell: AAAA BB AA Punktens karaktär > 0 > 0 punkt > 0 < 0 mapunkt < 0 sadelpunkt 0 annan metod måste tillämpas **************************************************************** Förklaring: Låt A= vara en stationär punkt dvs och f y. Låt P=(, vara en punkt i närheten av A. Beteckna = a och y = y a. Enligt Taylors formel av andra ordningen kring punkten (a, har vi (eftersom f, f ) f f f = [ + y + y ] + R! y y = [ A + B y y + C y ] + R = [ A + AB y + AC y ] + R A Kvadratkomplettering ger = [( A + B + ( AC B ) y ] + R A Resttermen R kan skrivas som ( ) (, ) är i allmänt försumbar jämfört med den kvadratiska formen K= [( A + B + ( AC B ) y ]. A 3 R = h + k B h k där B ( h, k) är begränsad nära (0,0) Sida av 5

2 i) Om ( AC B ) > 0 och A> 0 blir K>0 ( i parentesen är summan av två kvadrater) för alla (, (0,0) dvs > 0 för alla (,. Därmed är imipunkten i detta fall. ii) Om ( AC B ) > 0 och A<0 blir K<0 för alla (, (0,0) dvs < 0 för alla (,. Därmed är maimipunkten i detta fall. iii) Om ( AC B ) < 0 (i parentesen är differensen av två kvadrater) då antar både positiva och negativa värden i närheten av punkten ( a,. Därmed är inte någon etrempunkt. iv ) Om ( AC B ) då är = [( A + B ] + R. Utrycket A ( A B + kan bli 0 även om (, (0,0) t e om A = B y. Därför tecknet av påverkas av resttermen R. I detta fall måste vi använda Taylorutveckling av högre ordning för att undersöka punkten A. ================================================================ ÖVNINGAR Uppgift. Bestäm alla stationära punkter till funktionen y 3y och avgör deras karaktär ( ma, sadel,..) g) Lösning: = 3 3y f y = 3y 3 För att bestämma eventuella stationära punkter löser vi systemet: f, f. f f y 3 3y 3y 3 y y ( ekv) ( ekv) Från ekv får vi y = som vi substituerar i ekv : Sida av 5

3 4, = ( 3 ) Från y =, y 0 = Alltså har vi två stationära punkter: P (0,0) och P (,) A = f = 6, B f = 3, C = f yy = 6y = y Vi avgör punkternas karaktär med hjälp av följande tabell Punkt A B C AC B typ f(, (0,0) sadelpunkt (eftersom AC B < 0 ) 0 (,) punkt (eftersom AC B > 0 och A>0 ) 9 Svar: Punkten (0,0) är en sadelpunkt. Funktionen har imum i punkten (,) ; f =f(,)=9. Uppgift. Bestäm alla stationära punkter och avgör deras karaktär (ma, sadel,..) för nedanstående funktioner. Bestäm också funktionens värde i varje punkt och mapunkkt. a) = 4 + y + 4 = y + 4y + + y + y+ 5 c) = e 3 d) = + y y e) = + y 6y f) = y y + 0 Svar: a) Minimum f = 4 i punkten ( 0,0) Maimum f ma = 6 i punkten (,) c) Minimum 4 f = e i punkten ( 0, ) d) Sadelpunkt i ( 0,0), f ( 0,0) och imum f = 08 i punkten ( 6,8) e) Sadelpunkt i ( 0,0), f ( 0,0) och imum f = 8 i punkten ) f) ( 0,0) sadelpunkt, (/6, /) mapunkt Sida 3 av 5

4 Uppgift 3. Bestäm alla stationära punkter och avgör deras karaktär (ma, sadel,..) för funktionen = + y y. Lösning: Vi bestämmer partiella derivator och faktoriserar de för att enklare lösa tillhörande ekvationssystem = y = ( y ) = ( ( + f y = y y = y( ) = y( )( + ) För att bestämma eventuella stationära punkter löser vi systemet: f, f. ( ( + ekv y ( )( + ) ekv Ekv är uppfylld om, y = eller y = Ekv är uppfylld om y, = eller = (För att bestämma lösningar väljer vi från en ekvation och y från andra) Båda ekvationer är uppfyllda för följande par (, : ), y ) =, y = 3) =, y = 4) =, y = och 5) =, y = Alltså har vi fem stationära punkter (0,0), (,), (. ), (,) och (, ) Vi bestämmer andra derivator: A = f = y, B f y = 4y =, C = f yy = Vi avgör punkternas karaktär med hjälp av följande tabell Sida 4 av 5

5 Punkt A B C AC B typ (0,0) 0 4 punkt (eftersom AC B > 0 och A>0 ) (,) sadelpunkt (eftersom AC B < 0 ) (, ) sadelpunkt (eftersom AC B < 0 ) (,) sadelpunkt (eftersom AC B < 0 ) (, ) sadelpunkt (eftersom AC B < 0 ) Svar: (0,0) är en punkt. Sadelpunkter: (,), (. ), (,) och (, ). Sida 5 av 5

Relevanta dokument

n : R vara en reell funktion av n variabler och P 0 en punkt i funktionens definitionsområde D.

EXTREMVÄRDEN OCH EXTREMPUNKTER. LOKALA OCH GLOBALA EXTREMPUNKTER Definition 1. Låt f : R n : R vara en reell funktion av n variabler och P en punkt i funktionens ionsområde D. Vi säger att f har ett lokalt