DIAGONALISERING AV EN MATRIS

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "DIAGONALISERING AV EN MATRIS"

Ellen Forsberg
för 5 år sedan
Visningar:

1 DIAGONALISERING AV EN MATRIS Definition ( Diagonaliserbar matris ) Låt A vara en kvadratisk matris dvs en matris av typ n n. Matrisen A är diagonaliserbar om det finns en inverterbar matris P och en diagonalmatris D så att P AP D ( *) Anmärkning. P AP D AP PD A PDP Anmärkning. Ofta vill man använda sambandet A PDP som vi får ur (*) genom att lösa ut A. Med "diagonalisera en matris (om möjligt )" menar vi att skriva, om möjligt, matrisen A på formen A PDP där D är en diagonal matris. I vår kurs betraktar vi diagonalisering över reella tal med andra ord kräver vi att både P och D har reella element. När vi skriver diagonaliserbar matris menar vi i den här kursen att matrisen är diagonaliserbar över reella tal. Här har vi den viktigaste satsen om diagonalisering av en kvadratisk matris. Sats. Satsen om diagonaliserbara matriser och linjärt oberoende egenvektorer. Låt A vara en kvadratisk matris av typ n n. Matrisen A är diagonaliserbar om och endast om matrisen har en uppsättning av n st linjärt oberoende egenvektorer. Bevis: ( ) Anta att v, v, vn är matrisens linjärt oberoende egenvektorer som hör till egenvärden λ, λ λn. Låt P vara den matris vars kolonner är v, v, vn dvs P [ v v vn. Matrisen P är inverterbar eftersom kolonnerna v, v, vn är linjärt oberoende. Då gäller AP A[ v v vn [ Av Av Avn [ λv λv λnvn λ λ PD [ v v vn [ λv λv λnvn λn (där D diag( λ, λ λn ) ). Alltså AP PD. Från AP PD har vi P AP D dvs A är en diagonaliserbar matris. ( ) Anta nu att matrisen A är diagonaliserbar dvs att det finns en inverterbar matris P och en diagonalmatris D så att P AP D. Från P AP D har vi AP PD. Om vi betecknar kolonner i P som v vvn och diagonal element i D som λ, λ λn, då gäller Sida av 6

2 AP PD A[ v v λ λ v n [ v v v n λn [ λ v λv λnvn Av λv, Av λv,, Avn λn v [ Av Av Avn vn Med andra ord v v n är egenvektorer. de är oberoende eftersom P är inverterbar, enligt antagande. Därmed har vi bevisat satsen. Anmärkning: Eftersom n st linjäroberoende vektorer bildar en bas i R n kan vi uttrycka Sats. på följande sätt: Sats '. Låt A vara en kvadratisk matris av typ n n. Matrisen A är diagonaliserbar om och endast om R n har en bas av matrisens egenvektorer. Definition. Låt A vara en kvadratisk matris av typ n n. Om det finns en bas B till R n som består av matrisens egenvektorer v vvn då säger vi att B ( v v vn ) är egenbas till matrisen A. Om vi har n linjärt oberoende egenvektorer då bestämmer vi D och P i uttrycket (*) enligt följande: Matrisen P bygger vi upp genom att skriva egenvektorer v, v, vn som kolonner i P. Matrisen D bygger vi upp av motsvarande egenvärden λ, λ λn. T ex i fallet 3 3, om matrisen A har tre oberoende egenvektorer aa bb aa bb aa 3 bb 3 vv, vv, vv 3, cc cc cc 3 med motsvarande egenvärden λλ, λλ, λλ 3 då är aa aa aa 3 λλ PP bb bb bb 3 ooooh DD λλ. cc cc cc 3 λλ 3 Som sagt, betraktar vi ( i denna kurs) endast reella egenvärden och egenvektorer. Följande sats visar vi i stecilen om egenrummet. (Matrisen A har minst ett komplext egenvärde) (A är INTE diagonaliserbar över reella tal ) Sats. Satsen om skilda egenvärden och linjärt oberoende egenvektorer Låt A vara en kvadratisk matris dvs en matris av typ n n. Egenvektorer som hör till skilda egenvärden är linjärt oberoende. Vi bevisar satsen för fallet då vi har två olika egenvärden λλ λλ med motsvarande egenvektorer vv och vv. Vi ska visa att aavv + bbvv aa ooooh bb. Sida av 6

3 Låt aavv + bbvv ( eeeeee) Multiplikation med A ger AA(aavv + bbvv ) AA aaaavv + bbaavv aaλλ vv + bbλλ vv (eeeeee) Om vi från ekv subtraherar eeeeee multiplicerad med λλ får vi aa(λλ λλ )vv Eftersom λλ λλ och vv ( egenvektor är skild från ) måste aa. Substitution i ekv, och samma resonemang, ger bb. Alltså aavv + bbvv aa ooooh bb Därmed har vi visat att vv och vv är linjärt oberoende. På liknande sätt visar vi satsen om vi har 3, 4 eller k st skilda egenvärden. Som en direkt påföljd har vi följande användbara sats. Sats 3. Satsen om egenvärden och diagonaliserbara matriser Låt A vara en kvadratisk matris av typ n n. Om matrisen A har n st olika (reella) egenvärden så har matrisen n st linjärt oberoende egenvektorer och därmed är A diagonaliserbar (över reella tal). Anmärkning: Upprepar att vi ( i denna kurs) betraktar diagonalisering över reella tal. Uppgift. Avgör om A är en diagonaliserbar matris och bestäm D och P om detta är fallet. a) AA b ) A c) A 3 d) AA 3 e) AA 4 3 Lösning a) Matrisen (x) har egenvärden är λλ, λλ 3 ( se Uppgift i stencilen Egenvärden och egenvektorer ) med motsvarande egenrum Eλ span( ). Eλ span( ). Vi grupperar basvektorer från egenrum Eλ och E λ och får två linjärt oberoende egenvektorer v och v. v och v är lin. oberoende eftersom de hör till olika egenrum ( men vi kan även direkt undersöka detta). Sida 3 av 6

4 För en x matris har vi därmed funnit linjärt oberoende egenvektorer. Därmed är matrisen diagonaliserbar med PP ooooh DD 3 och D P AP eller ekvivalent APD P Kontroll Vi kan kontrollera om t ex APD P Eftersom PP då har vi PPPPPP 6 4 AA 3 3 Alltså PD P A b) Ja. λλ, vv ; λλ, vv 3 och därmed PP 3 ooooh DD c) Nej. Matrisen har inga reella egenvärde (och därmed ingen reell egen vektor). d) Ja. Eftersom λλ, Eλ span( ) ; λλ, Eλ span( ) ; λλ 3 4, Eλ 3 span( ) har matrisen tre oberoende vektorer och därför kan diagonaliseras med PP ooooh DD 4 e) Nej. Endast ett egenvärde λλ 3 med endimensionell egenrum Eλ span( ). Uppgift. Visa att följande matris är diagonaliserbar AA Lösning: Matrisen är av typ 3x3 och har tre skilda reella egenvärden λλ, λλ, λλ 3 3 (kontrollera själv) och därmed, enligt Sats 3, är matrisen diagonaliserbar (över reella tal). Anmärkning: Om matrisen A av typ diagonaliserbar/ icke diagonaliserbar matris, kan förekomma: Vi ser detta i följande exempel: n n inte har n skilda egenvärden då båda fall, Uppgift 3 Avgör om följande matriser är diagonaliserbara aa) AA bb) AA 3 3 c) AA 4 4 Lösning: ( λλ) a) dddddd(aa λλλλ) ( λλ) ( λλ) λλ, (dubbelrot). Matrisen har inte två olika egenvärden utan endast λλ. Vi bestämmer egenvektorer: Sida 4 av 6

5 ( λλ) ( λλ) xx yy (iiiiiiätttttttttttt λλ ) ( ) ( ) xx yy xx yy yy, ooooh xx tt Därmed får vi tillhörande egenvektorer vv tt ( tt ). Motsvarande egenrummet är span( ) och har dimension. Med andra ord: Vi kan INTE bilda en bas av n linjärt oberoende egenvektorer och därför är matrisen INTE diagonaliserbar. b) Matrisen har inte två olika egenvärden utan endast λλ 3 men i det här fallet är matrisen uppenbart diagonaliserbar ( den är redan en diagonal matris). Egenvektorer: (3 3) (3 3) xx yy xx yy,, sant för alla x,y. Vi kan ta xt, ys och motsvarande egenvektorer: vv tt + ss, ( ss, tt) (,). Därmed är egenrummet E λ span(, ), och har dimension. (x matrisen har lin oberoende egen vektorer) (matrisen är diagonaliserbar). c) Matrisen av typ 3 3 har endast olika egenvärden λλ och dubbelrot λλ,3. (kontrollera själv) Egenvektorer: i) För λλ har vi motsvarande egenvärde tt ( ddärr tt ) och egenrummet E λ span(). ii) För λ får vi 4 xx 4xx + yy (AA λλλλ)vv 4 yy 4xx + yy zz 4xx + yy (ttttå ffffffff vvvvvvvvvvvvvvvvvv) ss/ / vv ss ss + tt,, ( ss, tt) (,) tt / Därmed är egenrummet E λ span(, ) span(, ) och har dimension. Sida 5 av 6

6 Från i) och ii) har vi total tre linjärt oberoende egenvektorer ( vi kan bilda inverterbar matris P av typ 3 3) och därmed är matrisen A av typ 3 3 diagonaliserbar med P och D. Sida 6 av 6

Relevanta dokument

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor