TENTAMEN HF1006 och HF1008

Transkript

1 TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 6 april 08 Tid 8- Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Erik Melander, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift (p) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( = + + ln(8 + arcsin( b) (p) Beräkna gränsvärdet lim 0 sin ln( + ) c) (p) Derivera funktionen f ( = + Uppgift (p) Låt f ( = + e a) (p)bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f ( c) Rita funktionens graf Uppgift (p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten = för funktionen f ( = e ) Uppgift (p) Beräkna följande integraler + sin a) (p) cos( e d (substitutionsmetoden) b) (p) ln d (partiell integration) c ) (p) d + Var god vänd

2 Uppgift 5(p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y ( + y( = där > 0 Uppgift 6 (p) I en vattentank finns 00 liter vatten Vid t=0 finns det 500 g salt i tanken Tanken tillförs vatten med hastigheten 0 liter per timme och saltinnehåll g per liter Efter ordentlig mining förs ut vatten med hastigheten 0 liter per timme Låt y ( beteckna antalet gram salt i tanken vid tiden t (d v s efter t timmar) a) (p) Ställ upp en differentialekvation för y ( b) (p) Bestäm y ( c) (p) Beräkna lim y( t Uppgift 7 (p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L= henry, resistansen R= 0 ohm, kapacitansen C= 00 farad och spänningen U = 0 volt Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( = i( Uppgift 8 ( p) Använd substitutionen z ( = sin( y( ) för att lösa följande differentialekvation tan( y( ) y ( + =, där cos( y( ) π π < y ( < Lycka till

3 FACIT Uppgift (p) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( = + + ln(8 + b) (p) Beräkna gränsvärdet c) (p) Derivera funktionen a) Kontrollerar termvis: arcsin( lim 0 sin ln( + ) f ( = + + är definierat för alla, llll(8 är definierat för 8 > 0, dvs för < 8, är definierat för 0, dvs för Sammanfattningsvis så är ff definierad för < 8 b) Gränsvärdet är av typ 0 0 så L Hôspitals regel kan tillämpas Detta ger c) Regeln för derivering av en kvot ger ff ( = arcsin( lim = lim = 0 sin 0 cccccc( = + ( + llll( + ) ( + ) ( + Svar: a) < 8 b) c) ff ( = + ( + llll( + ) ( + ) ( + Rättningsmall a) korrekt definitionsmängd för ln( 8 eller för ger p Allt korrekt=p b) Rätt eller fel c) Rätt eller fel

4 Uppgift (p) Låt f ( = + e a) (p)bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f ( c) Rita funktionens graf a) Söker så att ff ( = 0 ff ( = vilket ger ff ( = 0 = 0 = 0 Vidare så ff ( > 0 om < 0 och ff ( < 0 om > 0 så ff har en maimipunkt i =0 Motsvarande punkt på grafen: 0, ff(0) = (0,) b) Det gäller att ff( när ff( 0 så ffhar en vågrät asymptot yy = åt båda hållen Funktionen ff är definierad för alla så lodräta asymptoter saknas c) Om vi sammanfattar data i a) och b) då får vi följande graf: Rättningsmall a) p för korrekt stationär punkt =0 Korrekt typ (maimipunk=p b) Rätt eller fel c) Rätt eller fel

5 Uppgift (p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten = för funktionen f ( = e Taylorpolynom av ordning kring punkten = a är f ( a) T ( = f ( a) + f ( a)( a) + ( a) (*)! Vi beräknar f ( = e, f () = e 0 =, f ( = e, f () = e =, f ( = e, f () = e = Formeln (*) ger T ( = + ( ) + ( )! dvs T ( = + ( ) + ( (= + ) ) Svar: T ( = + ( ) + ( ) Rättningsmall: Korrekta (alla tre) värden f () = e 0 =, f () = e 0 = och f () = e 0 = ger p Allt korrekt =p Uppgift (p) Beräkna följande integraler + sin a) (p) cos( e d (substitutionsmetoden) b) (p) ln d (partiell integration) c ) (p) d + cos( e + a) = e dt t = e t + C sin d Substitutionen: + sin = t cos d = dt därmed dt cos d =

6 = e + sin + C b) ln d = uv u vd = ln d = ln d = ln + C c ) d + Part integration: u = ln v = u = v = Först delar vi i partiella bråk + Nämnarens nollställen får vi genom att lösa + = 0 Vi har, = ±, som ger = och = Därmed + + = ( )( ) = ( + )( + ) Vi fortsätter med partialbråksuppdelning: A B = + (multiplicera med gemensamma nämnaren) = A ( + ) + B( + ) (*) Identitet (*) måste vara sant för alla Därför kan vi välja två värden för, substituera i (*) och få två (gärna enkla) ekvationer på A och B i) Om vi väljer = så försvinner B och vi får = A ( + ) + B( + ) eller = A Härav A = ii) Om vi väljer = så försvinner A och vi får = A ( + ) + B( + ) eller = B Härav B = / / Alltså = Slutligen beräknar vi integralen: / / d = d = C + ( ) ln ln sin Svar: a) e + C b) ln + C c) ln + ln + + C

7 Rättningsmall: a) Rätt metod och rätt svar=p b) Rätt metod och rätt svar=p c) Korrekt partialbråksuppdelning =p Allt korrekt=p Inget avdrag (den här gången) om man glömmer att ange en konstant C i svaret Uppgift 5(p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y = ( + y( där > 0 Först bestämmer vi en integrerande faktor F = e P( d Vi har P( = och Q ( = Nu beräknar vi integralen P ( d = d = ln + D Vi behöver en integrerande faktor och därför väljer en primitivfunktion, En integrerande faktor är F e P( d ln = = e = Den integrerande faktorn F substituerar vi i formeln y( = F ( C + F Q( d och får y = 6 + Alltså 5 y = C + ( den allmänna lösningen) ( C + d = ( C + d = ( C + ) = C ln 5 Svar: y = C + Rättningsmall: Korrekt en integrerande faktor =p Allt korrekt=p Uppgift 6 (p) I en vattentank finns 00 liter vatten Vid t=0 finns det 500 g salt i tanken Tanken tillförs vatten med hastigheten 0 liter per timme och saltinnehåll g per liter Efter ordentlig mining förs ut vatten med hastigheten 0 liter per timme Låt y ( beteckna antalet gram salt i tanken vid tiden t (d v s efter t timmar)

8 a) (p) Ställ upp en differentialekvation för y ( b) (p) Bestäm y ( c) (p) Beräkna lim y( t a) Ekvationen: y( y ( = y ( = 0 y( 0 y ( + 0y( = 0 (*) Begynnelsevillkoret: y ( 0) = 500 b) Den karakteristiska ekvationen för den homogena delen: r + 0 = 0 r = 0 Härav y H ( = Ce t /0 Vi ansätter y p ( = A och därmed y p ( = 0 Substitution i (*) ger A 0 = 0 A = 00 och därmed y p ( = 00 t /0 Den allmänna lösningen är y ( = Ce + 00 Villkoret y ( 0) = 500 medför C=00 t /0 och y ( = 00e + 00 t /0 c) lim y ( = lim00e + 00 = = 00 t t Svar a) y ( + 0y( = 0 t /0 b) y ( = 00e + 00 c) lim y( = 00 t

9 y( Rättningsmall: a) Korrekt ekvationen y ( = 0 0 ger p 00 t /0 b) p för homogena delen y ( = Ce, p för y p ( = 00 c) p för korrekt svar H Uppgift 7 (p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L= henry, resistansen R= 0 ohm, kapacitansen C= 00 farad och spänningen U = 0 volt Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( = i( Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + Ri( + q( = u( dt C dvs ( efter subst L, R och C) i ( + 0i( + 00q( = 0 Derivering ger: i ( + 0i ( + 00i( = 0 (en homogen DE) Vi löser den karakteristiska ekvationen r + 0r + 00 = 0 och får r = 0 ± r = 0 0,,, ± Alltså r = 0, r = 0 (dubbelro Enligt teorin är då i( 0t 0t = Ce + Cte Svar: i( C e C te 0t 0t = +

10 Rättningsmall: Korrekt till i ( + 0i ( + 00i( = 0 (eller till en ekvivalent ekvation med enbart q ( ) ger p Allt korrekt =p Uppgift 8 ( p) Använd substitutionen z ( = sin( y( ) för att lösa följande differentialekvation tan( y( ) π π y ( + =, där < y ( < cos( y( ) Från z ( = sin( y( ) har vi ( enligt kedjeregeln) z ( = cos( y( ) y ( (*) sin( y( ) Vi använder formeln tan( y ( ) = och skriver om DE: cos( y( ) sin( y( ) y ( + = cos( y( ) cos( y( ) Multiplikationen med cos( y( ) ger cos( y( ) y ( + sin( y( ) = Med hjälp av substitutionen och (*) har vi följande DE z ( + z( =, (**) som är en linjer DE av första ordningen Ekvationen (**) kan vi lösa med hjälp av integrerande faktorn eller direkt med formeln z( e P( d ( C + Q( e P( d d =, där P( = och Q( = Vi har ln ln z( = e ( C + e d = ( C + d = = ( C + d = ( C + ) Alltså z ( = ( C + ) Från substitutionen z ( = sin( y( ) får vi sin( y ( ) = ( C + ) (där, enligt antagande, π π < y ( < )

11 och slutligen y ( = arcsin( ( C + )) Svar: y ( = arcsin( ( C + )) Rättningsmall: Korrekt till z ( + z( = ger p Allt korrekt=p