I punkten x = 1 fås speciellt. Taylorpolynomet blir. f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)

Transkript

1 Dag 7. Taylors formel Bestäm Taylorpolynomet av grad n till kring punkten =. + Rekommenderade uppgifter 4.8. Bestäm Taylorpolynomet till cos av grad 3 kring punkten = π/4. Taylors formel säger att P 3 ( = f(a + f (a( a +! f (a( a + f (a( a 3 där a = π/4. Vi behöver alltså beräkna f(π/4 = cos π 4 = f (π/4 = d d cos = sin π 4 = f (π/4 = d d sin = cos π 4 = f (π/4 = d d cos = sin π 4 =. För att bestämma Taylorpolynomet av grad n kring = behöver vi bestämma derivatorna f ( f (... f (n ( och f (n (. Med ett induktivt resonemang får vi att I punkten = fås speciellt Taylorpolynomet blir f (k ( = ( k k! ( + k+. f (k ( = ( k k! 3 k+. P n ( = f( + f (( + f (! ( + + f (n ( ( n n! = 3 3 ( ( + ( n 3 n+ ( n. Vi får att P 3 ( = ( ( 4 π ( 4 π + 6 ( 4 π3. y π 4 y = P 3 ( y = cos Använd Taylorpolynomet av grad till f( = kring punkten = 64 för att approimera 6. Skatta felet och skriv upp det minsta intervall som säkert innehåller det sanna värdet. Taylors formel av grad kring = a lyder f( = f(a + f (a( a + f (a! där ξ ligger mellan a och. I vårt fall är f( = och a = 64. ( a + f (ξ ( a 3

2 så vi behöver först bestämma Alltså är f(64 = 64 = 8 f (64 = d = d = 6 f (64 = d d = 4 = 048 f (ξ = d d 4 3 = 8 = 3 8ξ. 5/ = ( ( ξ ( 5/ 643. Om vi sätter = 6 och ignorerar resttermen så får vi approimationen ( ( Istället för att göra en noggrann undersökning av resttermens tecken och dess storlek gör vi en ganska grov skattning. Vi vet att 6 < ξ < 64 och därför är R 3 (6 = 6 ξ 5/ ( 33 < 6 6 5/ 33 < Vi kan därför säga att 6 ( ; (7803; Detta kan jämföras med det sanna värdet 6 = Anm. Om termerna har alternerande tecken i Taylorserien kan man visa att felet alltid är mindre än beloppet av den först försummade termen (se sats sid Använd Taylorpolynomet av grad till f( = arctan kring punkten = för att approimera arctan 097. Skatta felet och skriv upp det minsta intervall som säkert innehåller det sanna värdet. Taylors formel av grad kring = a lyder f( = f(a + f (a( a + f (a! ( a + f (ξ ( a 3 där ξ ligger mellan a och. I vårt fall med f( = arctan och a = är Alltså är f( = π/4 f ( = d d arctan = = + = / = f ( = d d + = = ( + = / = f (ξ = d d ( + = (3 = ( + 3 = (3ξ ( + ξ 3. arctan = π 4 + ( 4 ( + 3ξ 3 (ξ + 3 ( 3. Om vi sätter = 097 och ignorerar resttermen så får vi approimationen arctan 097 π 4 + (097 4 ( I feltermen vet vi att 097 < ξ < varför vi kan skatta feltermen till R 3 (097 = 3ξ 3 (ξ < 3 ( Vi kan därför säga att arctan 097 ( ; (077070; Detta kan jämföras med det sanna värdet arctan 097 =

3 4.8. Bestäm Taylorpolynomet P 8( till e kring punkten = 0. Taylorutvecklingen för e kring = 0 lyder e = + +! ! 4 + O( 5. Om vi ersätter med i formeln ovan får vi att e = O( 0. P 8 ( = Vilken är den bästa :a gradsapproimationen till f( = ( kring = 0? Hur stort är felet i denna approimation? Besvara samma frågor för g( = Kan konstanten 6 = i resttermen för andragradsapproimationen förbättras (göras mindre? Eftersom f kan skrivas som f( = + = + + O( 3 ger entydighetssatsen för Taylorpolynom att Taylorpolynomet P ( till f är Eftersom P ( = f( är felet 0. P ( = +. Funktionen g kan skrivas som g( = O( Bestäm Taylorpolynomet P 5( till sin kring punkten = π. Vi skriver om funktionen med hjälp av trigonometriska formler sin = sin ( ( π + π = sin( π cos π + cos( π sin π = sin( π. Sätter vi s = π ska vi alltså Taylorutveckla sin s kring s = 0 sin = sin s = (s s3 + s5 5! + O(s7 = ( π + 6 ( π3 0 ( π5 + O( π 7. P 5 ( = ( π + 6 ( π3 0 ( π5. Taylorutvecklingens unikhet ger att Taylorpolynomet P ( till g är Resttermen i Taylorutvecklingen är Eftersom g ( 6 blir restermen P ( = R 3 ( = g (ξ ( 0 3. R 3 ( = 3. Vi ska jämföra detta med det eakta felet g( R 3 ( = 3. Resttermen R 3 ( är alltså lika med det eakta felet och då finns inte rum för någon förbättring av feluppskattningen.

4 Etrauppgifter X. Bestäm Taylorpolynomet P 3( till e cos kring punkten punkten = 0. Antag att vi vet Taylorutvecklingen av e och cos i = 0 Då är e = O( 4 cos = + O( 4. ( ( e cos = O( 4 + O( 4 = { n O( m = O( m+n ; O( n O( m = O( m+n } = O( 4. P 3 ( = i en punkterad omgivning av 0. Därmed har vi visat (. Anm. Alltså duger C = + ε som konstant men omgivningens storlek får vi inte fram med ovanstående resonemang. Vi vet iallafall att det finns en omgivning där ( är uppfylld och det räcker i denna uppgift. X.3 Visa att e = + + O( då 0. Om vi Taylorutvecklar e i punkten = 0 får vi e = + + eξ där ξ ligger mellan 0 och. Eftersom e är en väande funktion så är resttermen eξ ema{0} e för alla <. Alltså är resttermen O( och vi kan skriva e = + + O( då 0. Anm. Egentligen räcker det med att konstatera att eξ är begränsad för ξ nära 0. X. Visa att sin = O( då 0. Vi ska visa att det finns ett C > 0 så att sin C för alla i en punkterad omgivning av 0. ( Eftersom sin 0 = så vet vi från gränsvärdesdefinitionen att ε sin + ε för alla i en punkterad omgivning av 0 vilket ger speciellt att sin + ε sin ( + ε X.4 Är e = O( 0 då? Vi ska undersöka om det finns ett C > 0 och ett N > 0 så att Om detta vore sant skulle Men eftersom vi vet att e < C 0 för alla > N. ( e 0 C = C <. så kan inte ( vara uppfylld d.v.s. e = 0 e O( 0 då.

5 X.5 Visa att ( + + O( = e + O( då. I varje steg använder vi antingen räknereglerna för ordo Maclaurinutveckling eller en vanlig omskrivning så fundera noga över varje likhet. ( ( + + O( = ep log ( + + O( = ep ( log + log ( + + O( = ep ( log ( + + O( ( = ep ( + O( = ep ( + O( = ep( ep (O( = e ( + O( = e + O(.