Envariabelanalys 2, Föreläsning 4

Transkript

1 Envariabelanalys 2, Föreläsning 4 Tomas Sjödin Linköpings Universitet

2 Repetition: Taylors sats Sats Antag att f (x) är denierad och har kontinuerliga derivator upp till och med ordning n + 1 i någon omgivning till punkten a R. Då gäller att f (x) = f (a) + f (a)(x a) +... f (n) (a) (x a) n + O ( (x a) n+1), n! där O ( (x a) n+1) = b(x)(x a) n+1 för någon funktion b(x) som är denierad och begränsad i någon omgivning till a.

3 Polynomet p n (x) = f (a) + f (a)(x a) +... f (n) (a) n! (x a) n kallas Taylorpolynomet av ordning n till f i a, om a = 0 kallas det Maclaurinpolynomet till f, Genom att studera g(t) = f (a + t) kan vi alltid komma till fallet med Maclaurinutvecklingar.

4 Exempel 1 Exempel 1: Bestäm Maclaurinutvecklingen av ordning n till f (x) = (1 + x) α (där α R är konstant) med restterm på ordoform.

5 Exempel 2 Exempel 2: Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning n till f (x) = ln(1 + x).

6 Repetition: Ordokalkyl Per denition är O(g(x)) på varje plats en funktion på formen b(x)g(x). Nedan är alla ordobegrepp då x a för någon x punkt a. Om f (x) = O(g(x)) och g(x) = O(h(x)) så gäller f (x) = O(h(x)), Om g(x) = O(h(x)) så är O(g(x)) = O(h(x)). Om b(x) är begränsad i någon omgivning till a så gäller O(b(x)f (x)) = b(x)o(f (x)) = O(f (x)), Om g(x) = O(h(x)) så gäller O(g(x)) + O(h(x)) = O(h(x)), O(g(x)) O(h(x)) = O(g(x) h(x)).

7 Ordokalkyl för x n då x 0 O(x n ) + O(x m ) = O(x n ) om n m, b(x)o(x n ) = O(x n ) om b(x) är begränsad nära 0, O(x n ) O(x m ) = O(x n+m ), O(x m ) x n = O(x m n ) om n m, O(1) är en begränsad funktion i någon omgivning till origo.

8 Några varningar När vi jobbar med stora ordo blir likhetstecknet i princip ENKELRIKTAT, där vi får gå från bättre till sämre i höger-riktningen. T.ex. O(x 3 ) = O(x 2 ), men O(x 2 ) O(x 3 ). Notera att t.ex. (x 1) 2 inte går mot noll då x 0, så då x 0 betecknar O((x 1) 2 ) bara en begränsad funktion!

9 Exempel 3 Exempel 3: Beräkna lim x x ln(1 + x) 1 e x. + x 1

10 Exempel 4 Exempel 4: Bestäm Maclaurinpolynomet till sin(x 2 ) av ordning 9.

11 Entydighetssatsen för Taylorutvecklingar Sats Om q(x) är ett polynom av högst grad n sådant att f (x) q(x) = O((x a) n+1 ), då är q(x) = p n (x) Taylorpolynomet av ordning n till f i a.

12 Bevis Utan förlust kan vi anta att a = 0. Om p n (x) betecknar Maclaurinpolynomet till f (x) och vi sätter p(x) = p n (x) q(x), då är p(x) ett polynom av grad högst n sådant att p(x) = (p n (x) f (x)) (q(x) f (x)) = O(x n+1 ). Antag nu att p(x) inte är identiskt noll. Då kan vi skriva p(x) på formen där c k 0. Men nu gäller då p(x) = c k x k + c k+1 x k c n x n, vilket ger motsägelse. p(x) O(x n+1 ) lim x 0 x k = c k = lim x 0 x k = 0, V.S.B.

13 Exempel 5 Exempel 5: Bestäm Maclaurinutvecklingen till f (x) = 1 1 x av ordning n.

14 Exempel 6 Exempel 6: Bestäm Maclaurinutvecklingen till f (x) = e sin(x) av ordning 2.

15 Exempel 7 Exempel 7: Bestäm Maclaurinutvecklingen till f (x) = 2 + x av ordning 2.

16 Exempel 8 Exempel 8: Avgör om f (x) = e x 3 2x 4 har en lokal extrempunkt i x = 0.

17 Exempel 9 Exempel 9: Avgör om f (x) = 9x 2 x + 3 har någon assymptot då x.