Repetition, Envariabelanalys del
|
|
- Christer Jonasson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Repetition, Envariabelanalys del Lars Alexandersson Ulf Janfalk Tomas Sjödin Johan Thim Här har vi samlat vissa grundläggande delar av kursen. Notera att detta INTE är en fullständig genomgång av allt material i kursen, utan ett rimligt urval för att täcka godkänt-nivån. Innehåll Taylor- och Maclaurinutvecklingar 3. Taylors formel Elementära Maclaurinutvecklingar Ordokalkyl och entydighetssatsen Lagranges restterm Gamla tentauppgifter Generaliserade integraler, numeriska serier och potensserier 8 2. Generaliserade integraler Jämförelseprinciper Absolutkonvergens Numeriska serier Divergenstestet och Jämförelseprinciper Absolutkonvergens Alternerande serier och Leibniz kriterium Potensserier Gamla tentauppgifter Dierentialekvationer 4 3. Första ordningens linjära dierentialekvationer Första ordningens separabla dierentialekvationer Integralekvationer Högre ordningens linjära dierentialekvationer med konstanta koecienter 6
2 3.5 Homogenlösningar Substitutionen y = ze kx Partikuläransatser Potensserielösningar till vissa dierentialekvationer Maclaurinserier Gamla tentauppgifter Tillämpningar av integralkalkyl Kurvlängd Rotationsvolym Rotationsarea Polära koordinater Guldins regler* Gamla tentauppgifter Svar/Tips till övningar 25 6 Lösningar till tentauppgifter 27 2
3 Taylor- och Maclaurinutvecklingar. Taylors formel Givet en funktion f(x) och en punkt a vill man lokalt approximera f(x) med ett polynom p n (x) av grad (högst) n. Formeln för p n (x) är som följer: p n (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) f (n) (a) 2 n (x a)n. Det som utmärker p n unikt är att f(a) = p n (a), f (a) = p n(a),..., f (n) (a) = p (n) n (a). Polynomet p n (x) kallas Taylorpolynomet av ordning n till f(x) i a. Försök inte att förenkla polynomet genom att multiplicera ut alla parenteser; poängen är att vi vill se vilka delar som är små när x är nära a. Funktionen r n (x) = f(x) p n (x) kallas resttermen i utvecklingen och är alltså skillnaden mellan det exakta värdet f(x) och approximationen p n (x), och den kan skrivas på två sätt: för något ξ = ξ(x) mellan a och x. r n (x) = f (n+) (ξ) (x a)n+ (n + )! }{{} Lagranges form = O((x a) n+ ) }{{} Ordoform Ordoformen använder vi vid t.ex. beräkningar av vissa typer av gränsvärden samt vid lokala max/min-problem. Lagranges form används vid approximation av tal (som t.ex. π) med rationella tal. Om a = 0 kallas p n (x) för Maclaurinpolynomet av ordning n till f(x). Maclaurinutvecklingen av ordning n med ordorestterm ges av f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x f (n) (0) x n + O(x n+ ). } 2! {{ n! }}{{} resttermen Maclaurinpolynomet p n (x) Vi återkommer till Lagranges form på resttermen senare. Se även med videor. 3
4 .2 Elementära Maclaurinutvecklingar Följande utvecklingar ska man kunna (och kunna härleda): e x = + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + x6 6! + x7 7! + O(x8 ), cos x = x2 2! sin x = x x3 3! arctan x = x x3 3 + x4 4! ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 ( + x) α = + αx + ( α 2 ) x x5 5! + x5 5 x6 6! x7 7! x7 7 + O(x 8 ), 4 + x5 5 x6 6 + x7 7 + O(x8 ), ( ) ( α α x O(x 9 ), + O(x 9 ), ) x 7 + O(x 8 ), där α är en konstant och ( ) α = 2 α(α ), 2 ( ) α = 3 α(α )(α 2), Ordokalkyl och entydighetssatsen Antag att f(x) och g(x) är funktioner denierade i en omgivning till punkten a. Om det i någon omgivning till a nns en begränsad funktion b(x) sådan att gäller i denna omgivning, då säger vi att f(x) = b(x)g(x) f(x) = O(g(x)) då x a. Det vill säga i varje steg i en uträkning betecknar O(g(x)) en funktion på formen b(x)g(x) där b(x) är en begränsad funktion i någon omgivning till a. Poängen är att det i många problem inte spelar någon roll exakt vilken funktion b(x) är, utan bara att om t.ex. g(x) går mot noll då x går mot a så går upp till någon begränsad faktor O(g(x)) lika fort mot noll. Oftast är det a = 0 vi kommer vara intresserade av, och g(x) = x k för något heltal k (men det nns undantag då vi jobbar med sammansatta funktioner). Om det är klart vilken punkt a som avses brukar man bara skriva f(x) = O(g(x)) och låta detta vara underförstått. 4
5 Bland annat är dessa räkneregler enkla att veriera: (i) x n = O(x m ) om m n, (ii) O(x n ) + O(x m ) = O(x m ) om m n, (iii) x m O(x n ) = O(x n m ) om m n, (iv) Om b(x) är begränsad gäller O(b(x)x n ) = b(x)o(x n ) = O(x n ), Notera att (i) betyder att vi inte behåller några termer som har samma eller högre ordning än ordotermen, (ii) betyder att vi i en uträkning bara behåller den sämsta ordotermen. En konsekvens av (iii) och (iv) är att t.ex. O((x 2 + 2x 3 + O(x 4 )) 2 ) = O(x 4 ), eftersom (x 2 + 2x 3 + O(x 4 )) 2 = (x 2 ( + 2x + O(x 2 )) 2 = x 4 ( + 2x + O(x 2 )) 2. OBS! En stor varning när det gäller ordokalkyl är att likhetstecknet blir enkelriktat. T.ex. gäller O(x 3 ) = O(x 2 ) men O(x 2 ) O(x 3 ). Vi får alltså i en uträkning aldrig gå från något som är sämre till något som är bättre, men tvärtom är OK. Entydighetssats för Taylorutvecklingar: Om q(x) är ett polynom av högst grad n sådant att f(x) q(x) = O((x a) n+ ), då är q(x) Taylorpolynomet av ordning n till f(x) i a. Se även sidan med videor. Övning.3.. Beräkna följande gränsvärden: (a) (b) (c) (d) sin(x 3 + x 4 ) x 3 x 4 lim, x 0 x 9 ln(cos(x)) + x2 lim x4 2 24, x 0 x 4 cos(x 2) lim x 2 x 2 (gör denna både med std.utvecklingar och direkt med Taylors formel), 4x + 4 lim (x 2 + x) sin(/x 2 ). x Övning.3.2. Avgör om ln( + x 5 ) har ett lokalt max/min i x = 0. 5
6 .4 Lagranges restterm Antag att f(x) är n + gånger kontinuerligt deriverbar på ett intervall I som innehåller punkten 0. Då gäller att f(x) }{{} Exakt värde för något ξ mellan 0 och x. = f(0) + f (0)x + f (0) x f (n) (0) x n } 2! {{ n! } Approximation + f (n+) (ξ) (n + )! xn+ }{{} Approximationsfel OBS! ξ beror på x, så i viss mening vore det kanske naturligt att skriva ξ(x) istället (det nns alltså minst ett ξ(x) som uppfyller formeln ovan). Det måste tydligt framgå var ξ ligger för godkänd uppgift på en tenta. Feltermen Att skriva 0 ξ x är FEL om x < 0; skriv därför alltid ξ mellan 0 och x. x n+ behöver inte ta sitt max i en av ändpunkterna på intervallet 0 till x. f (n+) (ξ) (n+)! Termen f (n+) (ξ) (n + )! xn+ är alltså Lagranges restterm, och den kan användas till att få kontroll på resttermen en bit ifrån 0, vilket gör att det går att göra kontrollerade uppskattningar av vissa funktionsvärden (som t.ex. 2, e,... ). OBS! Om vi t.ex. vill approximera e x2 med hjälp av Maclaurinutveckling är det en bra idé att utveckla f(t) = e t med Lagranges restterm (notera att f (t) = e t, f (t) = e t, f (t) = e t och f (4) (t) = e t, så att f(0) = f (0) = f (0) = f (0) = och f (4) (ξ) = e ξ ): så med t = x 2 får vi f(t) = + t + t2 2 + t3 3! + eξ 4! t4, för något ξ mellan 0 och t, e x2 = f( x 2 ) = x 2 + x4 2 x6 6 + eξ 4! x8, för något ξ sådant att x 2 ξ 0. Notera alltså att vi inte utvecklar g(x) = e x2 skulle bli väldigt stökigt. med hjälp av derivatorna av g, vilket 6
7 Se även sidan med videor. Övning.4.. Approximera cos(2) med ett rationellt tal sådant att (beloppet av) felet är /0..5 Gamla tentauppgifter Tentauppgift.5.. Låt f(x) = (x ) 2 ln x. (a) Bestäm Taylorutvecklingen till f(x) av ordning 3 kring x = med restterm på ordoform (restterm av grad 4). (p) (b) Avgör om f(x) har en lokal extrempunkt i x = (och ange i så fall vilken typ). (p) (c) Visa att f(x) p(x) 0 4 om x 0, där p(x) är Taylorpolynomet av grad 3 till f(x) i x =. (p) Tentauppgift.5.2. Beräkna följande gränsvärden: (a) lim x 0 x 3 /(x arctan x) (b) lim x 0 (cos 2 x + x 2 )/x 4 (c) lim x 0 ( 2( + x) /x 2e + ex ) /x 2 Tentauppgift.5.3. ordoform till (a) Bestäm Maclaurinutvecklingen med restterm av ordning 8 i f(x) = + sin (2x 2 ) cos ( x 2) x 2 +. (b) Har f(x) lokalt extremvärde för x = 0? Tentauppgift.5.4. f(x) = arctan x med restterm i Lagranges form. (a) Bestäm Maclaurinutvecklingen av ordning till funktionen (p) (b) Visa att arctan(/5) /5 /00. (2p) Tentauppgift.5.5. Bestäm en rationell approximation till talet e /5 som har ett fel vars absolutbelopp är högst 0 5. Approximationen får skrivas som en summa av ändligt många rationella tal. 7
8 2 Generaliserade integraler, numeriska serier och potensserier 2. Generaliserade integraler Låt a < b och f(x), g(x) vara kontinuerlig på ]a, b[ nedan. Denition: Om det gäller att för c ]a, b[ så existerar båda gänsvärdena (och är ändliga) lim t a + c t f(x)dx, lim t b t c f(x)dx, då säger vi att f(x) är integrabel i generaliserad mening på ]a, b[, och denierar b a f(x)dx = lim t a + c t f(x)dx + lim t b t c f(x)dx. (Notera att detta ger rätt värde ifall f(x) är integrabel i vanlig mening på ]a, b[ samt att denitionen inte beror på vilket c vi väljer). Integralen ovan sägs vara generaliserad i a (b) om antingen a = (b = ) och/eller f är obegränsad i någon omgivning till a (b). Om den generaliserade integralen existerar (med ändligt värde) så sägs den vara konvergent, och divergent ifall den inte gör det. Vid konvergensundersökningar för generaliserade integraler är det lämpligt att dela upp integralen i delintegraler så att man får en generalisering per delintegral. Övning 2... Dela upp nedanstående integral i delintegraler så att det blir en generalisering per delintegral dx x3 x Generaliserade integraler är linjära om de är konvergenta: b a (αf(x) + βg(x))dx = α b a f(x)dx + β b a g(x)dx α, β R. Se även sidan med videor. 2.2 Jämförelseprinciper Jämförelseprincipen: Om 0 f(x) g(x) och g(x) är generaliserat integrabel på ]a, b[ då gäller att även f(x) är generaliserat integrabel på ]a, b[ med 0 b a f(x)dx 8 b a g(x)dx.
9 Jämförelseprincipen på gränsvärdesform: Antag att f(x), g(x) 0 och att integralerna f(x)dx a och b b g(x)dx båda bara är generaliserade i b. Om a 0 < lim x b f(x) g(x) < då gäller att antingen är båda integralerna konvergenta eller båda divergenta. (Motsvarande gäller om integralerna endast är generaliserade i a om vi byter till lim x a +.) Jämförelseintegraler: x dx α är konvergent om α < men divergent annars. 0 x α dx är konvergent om α > men divergent annars. Notera att dessa jämförelseintegraler är lätta att undersöka (och räkna ut) med primitiv funktion. OBS! När man tillämpar en av jämförelseprinciperna ska det framgå vilken integral man jämför med, om denna är konvergent eller divergent samt vad slutsatsen är. Ett vanligt misstag är att skriva saker som... /x 2 är konvergent.... Detta vill vi inte se! Det ska stå något i stil med... /x 2 dx är konvergent... då det är integralen och inte integranden som är konvergent. Se även sidan med videor. Övning Avgör om följande generaliserade integraler är konvergenta: (a) x 2 + x 4 dx, (b) 0 x 2 + x 4 dx, (c) e x2 dx, (d) dx x3 x 9
10 2.3 Absolutkonvergens Absolutintegrabla funktioner: Om f är generaliserat integrabel på ]a, b[, då sägs f vara generaliserat absolutintegrabel. Om f är generaliserat absolutintegrabel så är den även generaliserat integrabel, och vi har: b b f(x)dx f(x) dx. a a Se även sidan med videor. 2.4 Numeriska serier Om a, a 2, a 3,... är en oändlig följd av tal så kallas a k = a + a 2 + a , k= en (oändlig) serie. Partialsumma eller delsumma: s n = n a k = a + a a n. k= Konvergent/divergent serie: Man säger att serien är konvergent med summa S om s n S då n för något reellt tal S. Om inget sådant S nns säger man att serien är divergent. (Notera alltså att serien kan vara divergent antingen genom att gränsvärdet lim n s n inte existerar, eller att det existerar men är ±.) Linjäritet: Om serierna k= a k och k= b k är konvergenta så gäller Geometrisk serie: (αa k + βb k ) = α a k + β k= k=0 om q <, annars divergent. k= b k. k= q k = + q + q 2 + q = q Se även sidan med videor. Övning Beräkna
11 2.5 Divergenstestet och Jämförelseprinciper Divergenstestet: Om termerna a k 0 då k så divergerar serien k= a k. Jämförelsekriteriet: Om 0 a k b k så gäller att k= b k konvergent k= a k konvergent och 0 k= a k k= b k, k= a k divergent k= b k divergent. Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform: Om a n 0, b n 0 och a n 0 < lim <, n b n då gäller att antingen är båda serierna n= a n och n= b n konvergenta eller båda divergenta. Integralkriteriet: Om funktionen f(x) är positiv och avtagande på [, [, så är serien k= f(k) och integralen f(x)dx antingen båda konvergenta eller båda divergenta. Jämförelseserier: k= konvergerar om α > men divergerar annars. k α OBS! Divergenstestet är bara ett test för divergens. Omvändningen att om termerna går mot noll så är serien konvergent GÄLLER INTE (se t.ex. på jämförelseserierna ovan)! När man tillämpar en av jämförelseprinciperna ska det framgå vilken serie man jämför med, om denna är konvergent eller divergent samt vad slutsatsen är. Ett vanligt misstag är att skriva saker som... /k 2 är konvergent.... Detta vill vi inte se! Det ska stå något i stil med... k= /k2 är konvergent... då det är serien och inte termerna som är konvergent. Se även sidorna och med videor. Övning Avgör om följande serier är konvergenta: ( (a) cos ) (, (b) cos ), (c) n n (d) n= n= n= ln n n, (e) ( n ), (f) 4 2 n= n= ( cos n) α, ne n2. n=
12 2.6 Absolutkonvergens Om k= a k är konvergent sägs serien vara absolutkonvergent. En absolutkonvergent serie är konvergent och vidare gäller: a k a k. k= k= Se även sidan med videor. 2.7 Alternerande serier och Leibniz kriterium En serie där varannan term är positiv och varannan negativ kallas alternerande. Leibniz sats: En alternerande serie k= a k där a k är avtagande och går mot 0 då k är konvergent. Vidare, om serien är konvergent med summa S så gäller S s n a n+, d.v.s. felet då en Leibnizkonvergent serie approximeras med en delsumma är mindre än den första utelämnade termen. OBS! Notera att alla dessa tre saker måste vara uppfyllda: () Serien är alternerande, (2) Termernas belopp är avtagande, d.v.s. a a 2 a 3..., (3) Termerna går mot noll, d.v.s. a k 0 då k. (Ett vanligt missförstånd är att (3) automatiskt medför (2) vilket inte är sant.) Se även sidan med videor. Övning Avgör om följande serie är konvergent: ( ) n n=2. ln(n) 2.8 Potensserier En potensserie är en serie (funktion) på formen c n x n, n=0 där c n är konstanter och x en variabel (så för varje xt x vi sätter in får vi en numerisk serie). 2
13 Konvergensradie: Till varje potensserie nns ett unikt tal R ( 0 R ) sådant att serien är absolutkonvergent om x < R, och divergent om x > R (x = ±R måste behandlas från fall till fall om man vill hitta alla x R för vilka serien är konvergent). Rotkriteriet: Om Q = lim n n a n existerar, 0 Q, så är n=0 a n absolutkonvergent om Q < och divergent om Q > (kriteriet ger ej besked ifall Q = ). a Kvotkriteriet: Om Q = lim n+ n a n existerar, 0 Q, så är n=0 a n absolutkonvergent om Q < och divergent om Q > (kriteriet ger ej besked ifall Q = ). För att beräkna konvergensradien tillämpar vi rot- eller kvotkriteriet på a n = c n x n. Termvis derivering/integrering av potensserier: Antag att f(x) = n=0 c nx n har konvergensradie R > 0. Då har f(x) derivator av godtycklig ordning på ] R, R[, och vi har: x 0 f (x) = f(t)dt = nc n x n, n= n=0 c n = f (n) (0). n! (Alla potensserier ovan har konvergensradie R.) c n n + xn+, Se även sidan med videor. Övning Avgör för vilka x potensserierna n n f(x) = 4 n xn och g(x) = 4 n x2n n=0 n=0 är konvergenta, samt beräkna f(). (Bestäm konvergensradien både med rot- och kvotkriteriet.) 2.9 Gamla tentauppgifter Tentauppgift Avgör konvergens: (a) k sin (b) ( ) k tan k k k= k= (c) 0 cos x dx Tentauppgift Är integralen absolutkonvergent? cos x x + x 5 dx 3
14 Tentauppgift (a) Avgör om ln x dx är konvergent. (p) x3 (b) Avgör för vilka x R som f(x) = ( ) är konvergent. Visa även att f 3 3 Dierentialekvationer n= n + 3 x 2n n 3 3 n (2p) 3. Första ordningens linjära dierentialekvationer Integrerande faktor (IF): ( ) y (x) + f(x)y(x) = g(x). IF = e F (x) för någon funktion F med F (x) = f(x). Multiplikation av ( ) med IF ger, eftersom e F (x) 0, ( ) e F (x) y + e F (x) f(x)y = e F (x) g(x) }{{} ( e F (x) y ) (kontrollderivera!). Genom att integrera denna ekvation får vi e F (x) y = e F (x) g(x) dx (alla primitiver, alltså inklusive konstant C). Om vi har ett bivillkor är det ofta bra att bestämma C redan här. Sedan är det bara att lösa ut y, och vi är klara. (Någon lösningsformel behöver alltså inte memoreras.) OBS! Koecienten för y måste vara för att ovanstående metod ska fungera. OBS! Ett vanligt misstag är att glömma att multiplicera konstanten C med e F (x) när man löser ut y(x) i sista steget. Se även sidan med videor. Övning 3... (a) y + 3x 2 y = 2x 2, y(0) = 0. (b) xy y = + x, x > 0. 4
15 3.2 Första ordningens separabla dierentialekvationer g(y)y (x) = h(x). Dessa löses genom att integrera bägge sidor: g(y)dy = h(x)dx. Detta ger G(y(x)) = H(x) + C (där G = g, H = h). Så om vi kan invertera G så fås y(x) = G (H(x) + C). Om vi har ett bivillkor är det även här oftast bäst att bestämma konstanten C direkt den dyker upp. Se även sidan med videor. Övning (a) y + x 2 e y = 0, y(0) = 0. (b) y = y 2 +, y(0) =. 3.3 Integralekvationer Integralekvationen (IE) y(x) + 4 x 2 y(t) dt = 3x är ekvivalent med en dierentialekvation tillsammans med ett (inbakat) bivillkor: { (DE) y (x) + 4y(x) = 3 (BV) y(2) = 5 (DE) får man genom att derivera (IE), och (BV) får man genom att sätta in det x-värde i (IE) som gör att integralen där blir noll. Sedan är det bara att lösa (DE)+(BV) på samma sätt som tidigare. OBS! Ett vanligt misstag är att tappa bort bivillkoret. Övning y(x) = x y(t) 2 dt + /2. 5
16 3.4 Högre ordningens linjära dierentialekvationer med konstanta koecienter En ekvation på formen: ( ) y (n) + a n y (n ) a y + a 0 y = h(x) kallas för en linjär dierentialekvation. Vi kommer anta att a i : na är reella konstanter, och därför säger vi att den har konstanta koecienter. Den allmänna lösningen till en sådan är på formen: y = y h + y p där y h betecknar den allmänna homogenlösningen, och y p betecknar en partikulärlösning. Till y h nns en explicit formel, och y p kommer vi få fram genom en ansats. OBS! Den allmänna lösningen till ( ) ska innehålla exakt n stycken obestämda konstanter. Mer precist ska lösningen innehålla n stycken linjärt oberoende lösningar, så det SKA INTE se ut som t.ex. Ae x + Be x = (A + B)e x. När vi säger att vi ska ha en partikulärlösning menar vi att denna inte ska innehålla några obestämda konstanter (dessa skulle motsvara homogenlösningar som vi redan fått med). 3.5 Homogenlösningar Om p(r) = r n + a n r n a r + a 0 = (r r ) m (r r 2 ) m2... (r r k ) m k, där r i r j om i j, så gäller att den allmänna lösningen till den homogena ekvationen ges av y (n) + a n y (n ) a y + a 0 y = 0 y(x) = P (x)e r x + P 2 (x)e r 2x P k (x)e r kx, där P j :a är (eventuellt komplexa) polynom av högst grad (m j ). Det är värt att titta på vad detta säger i fallet att n = 2. I så fall har vi antingen två enkelrötter eller en dubbelrot, och satsen kan då skrivas på formen: 6
17 { Ae y = αx + Be βx, α β (A + Bx)e αx, α = β Det är också värt att notera att om vi har komplexa rötter α, β då måste det gälla att α är komplexkonjugat till β (eftersom konstanterna i ekvationen är reella). Alltså är rötterna i detta fall på formen c ± id och man bör då istället skriva den allmänna homogenlösningen på formen y = Ae (c+id)x + Be (c id)x = e cx( C cos(dx) + D sin(dx) ). Se även sidan med videor. 3.6 Substitutionen y = ze kx. Givet en ekvation på formen ( ) y (n) + a n y (n ) a y + a 0 y = q(x)e kx kan man göra substitutionen y = ze kx där z är en funktion av x. Genom att räkna ut y = z e kx + kze kx, y = z e kx + 2kz e kx + k 2 ze kx o.s.v. och sätta in i ekvationen då kan vi dela bort e kx -termerna på båda sidorna och får en ny linjär dierentialekvation för z, där högerledet blir q(x). Observera att detta fungerar också om k är komplext. OBS! Detta är något vi normalt gör för att hitta en partikulärlösning till ( ), och då vill vi bara ha en partikulärlösning z p till den nya ekvationen. Lösningen y p = z p e kx blir då en partikulärlösning till ( ) (homogenlösningarna z h är precis de som är sådana att z h e kx är homogenlösningar y h till ( ), så z h tar vi aldrig fram eftersom vi ju redan har y h ). Ett vanligt misstag är att glömma att multiplicera z p med e kx för att få y p. (Förskjutningsregeln är ett sätt att snabbare få fram ekvationen för z via det karaktäristiska polynomet, och denna får förstås användas av den som föredrar det framför att derivera för hand.) Se även sidan med videor. 7
18 3.7 Partikuläransatser Ekvation: y (n) + a n y (n ) a y + a 0 y = h(x). Om h(x) är ett polynom: Ansätt y p som ett polynom, av samma grad som h(x) om a 0 0, höj gradtalet med ett om y saknas, med två om y och y saknas, och så vidare. Om h(x) = q(x)e kx : Substituera y p = z(x)e kx för att bli av med e kx -termen. Detta ger en ny enklare dierentialekvation för z som vi förhoppningsvis kan hitta en partikulärlösning z p till. Då blir y p = z p e kx. Specialfallet h(x) = Ae kx kan ofta hanteras med den enklare ansatsen y p = ae kx, a konstant. Det fungerar dock ej om e kx är en homogenlösning. Om h(x) = A cos(kx) (alternativt h(x) = A sin(kx) eller h(x) = A cos(kx)+b sin(kx) [samma k]) fungerar det oftast med ansatsen y p = a cos(kx) + b sin(kx). Notera dock att det kan hända att cos(kx) (och sin(kx)) är en homogenlösning och då fungerar detta ej, se nästa punkt. Resonans: De fall som är stökigast att hantera är fallet då h(x) på något sätt innehåller en homogenlösning till ekvationen. Om h(x) = q(x)e kx som ovan (där k eventuellt är komplext) kan vi fortfarande substituera y p = z(x)e kx och räkna som tidigare och få en enklare dierentialekvation i z. Detta fungerar bra även om e kx råkar vara en homogenlösning. Men vi kan även råka ut för detta om vi har t.ex. h(x) = q(x) cos(kx) (alternativt q(x) sin(kx)). Se kursboken för detaljer. Linjäritet: Om vi har ekvationen p(d)y = h (x) + h 2 (x) h k (x), då kan vi hitta en partikulärlösning p(d)y i = h i (x) för varje i och sedan sätta y p = y +y y k. Se även sidan med videor. Övning Lös y y 2y = h(x) där (a) h(x) = 0, (b) h(x) = x 2, (c) h(x) = e 3x, (d) h(x) = e x. Övning Lös y 2y + 2y = h(x) där (a) h(x) = 0, (b) h(x) = x + 3, (c) h(x) = 2 cos x + sin x Övning Lös y y = x 20 cos 2x. 8
19 3.8 Potensserielösningar till vissa dierentialekvationer Genom att göra ansatsen y = k=0 c kx k och använda termvis derivering samt samla allt till en summa kan man reducera vissa dierentialekvationer till ekvationer för koecienterna c k. I vissa fall kan man lösa ut varje c n explicit samt ibland identiera lösningen i termer av elementära funktioner. Se även sidan med videor. Övning Lös följande dierentialekvation med hjälp av potensserieansats: y y = 0, y(0) = 0, y (0) =. 3.9 Maclaurinserier Följande utvecklingar ska man kunna (och kunna härleda): Om x < R gäller: e x = cos x = sin x = arctan x = ln( + x) = ( + x) α = k=0 x k k! = + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + x6 6! + x7 7! +..., R =, ( ) k x 2k k=0 k=0 k=0 (2k)! ( ) k x 2k+ (2k + )! ( ) k x 2k+ 2k + ( ) k+ x k k= k=0 ( α k = x2 2! + x4 4! x6 6! +..., R =, = x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., R =, = x x3 3 + x5 5 x , R =, = x x2 2 + x3 3 x4 4 + x5 5 x6 6 + x7 k ) x k = + αx + ( α 2 ) x 2 + ( α 3 ) x 3 + ( α , R =, ) x , R = (om α / N). 3.0 Gamla tentauppgifter Tentauppgift Bestäm den lösning till dierentialekvationen (2 + cos x)y (sin x)y = 4 e 2x som uppfyller begynnelsevillkoret y(0) = 4. 9
20 Tentauppgift Hitta en lösning till y + yy 2 ex = 0 sådan att y(0) = 3. Tentauppgift Bestäm alla lösningar till 2y 3y 2y = 5e x/2 sådana att y(0) = 0. Tentauppgift Bestäm den allmänna lösningen till dierentialekvationen y (4) + 2y + 5y = 0 + 8e x. 4 Tillämpningar av integralkalkyl 4. Kurvlängd Om r : [a, b] R 2, r(t) = (x(t), y(t)) där x(t), y(t) är kontinuerligt deriverbara så låter vi r (t) = (x (t), y (t)). Vi noterar att för små h gäller r(t + h) r(t) r (t) h, så därför denierar vi längden till parameterkurvan som s = b a ds = b a r (t) dt = b Speciellt om r(t) = (t, f(t)) (d.v.s. funktionsgraf), då gäller s = b a a + f (t) 2 dt. x (t) 2 + y (t) 2 dt. Se även sidan med videor. Övning 4... Beräkna längden av kurvan given av { x = 2t 3 y = t 2 0 t. Övning Beräkna längden av grafen y = x 3/2, 2 x 3. 20
21 4.2 Rotationsvolym Låt D = {(x, y) : a x b, f(x) y g(x)}. Om D ligger helt på en sida om linjen y = c, då ges volymen av den kropp K som uppkommer då D roteras ett varv runt y = c av: π b a (g(x) c) 2 (f(x) c) 2 dx. Om D ligger helt på en sida om linjen x = c, då ges volymen av den kropp K som uppstår då D roteras ett varv runt x = c av: 2π b a x c (g(x) f(x))dx. OBS! Försök inte memorera dessa formler utantill, utan lär er hur de tas fram. Den första brukar ibland kallas skivformeln för att den bygger på att man integrerar upp areor av ihåliga cirkelskivor, och den andra cylinderformeln för att man integrerar upp areor av cylindrar. För att få full poäng på en sådan uppgift krävs en principskiss som motiverar formeln som används. Se även sidan med videor. Övning Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området x 3 y x 3, 0 x roteras ett varv runt linjen y = 3. Övning Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området 0 y e 2x, 0 x 2 roteras ett varv runt linjen x = Rotationsarea Om kurvan y = f(x), a x b ligger helt på en sida om linjen y = c och roteras ett varv kring denna fås en yta som har area 2π b a f(x) c + f (x) 2 dx. 2
22 Om kurvan y = f(x), a x b ligger helt på en sida om linjen x = c och roteras ett varv kring denna så fås en yta med arean 2π b a x c + f (x) 2 dx. OBS! Försök inte memorera dessa formler utantill, utan lär er hur de tas fram. För att få full poäng på en sådan uppgift krävs en principskiss som motiverar formeln som används. Se även sidan med videor. Övning Beräkna arean av den yta som uppstår då kurvan y = ex +e x 2, 0 x roteras kring: (a) y = 4, (b) x = Polära koordinater Polära koordinater: En punkt i planet kan skrivas på formen (x, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ) där r är längden r = (x, y) = x 2 + y 2 och ϕ vinkeln mellan vektorn (x, y) och x axeln. Area för områden på polär form: Området har area D = {(x, y) : α ϕ β, 0 r h(ϕ)} A(D) = β α 2 h(ϕ)2 dϕ. Längd hos parameterkurvor på polär form: Kurvan r = h(ϕ) α ϕ β har längden s = β α h(ϕ)2 + h (ϕ) 2 dϕ. 22
23 4.5 Guldins regler* Guldins regler kan alternativt användas för att få fram formler för rotationsareor och rotationsvolymer för den som föredrar det. Antag att det plana området D med area A(D) och tyngdpunkt r t ligger helt och hållet på en sida om linjen L i R 2. Då ges volymen av den kropp som uppkommer då D roteras ett varv runt L av: A(D) (längden på r t :s väg vid rotationen). Antag att den plana kurvan Γ med längd L(Γ) och tyngdpunkt r t ligger helt och hållet på en sida om linjen L i R 2. Då ges arean av den yta som uppkommer då Γ roteras ett varv runt L av: L(Γ) (längden på r t :s väg vid rotationen). 4.6 Gamla tentauppgifter Tentauppgift Beräkna längden av kurvan C : { x = 2t 2 y = t 3 +, 0 t. Tentauppgift Betrakta kurvan y = x 2 + 4x, x 3. (a) Ange integralen för att beräkna längden av kurvan. (b) Ange integralen för att beräkna arean av den yta om uppkommer då kurvan roteras ett varv kring linjen x = 2. Beräkna också arean. För full poäng på del (b) krävs en principskiss som motiverar formeln som används. Tentauppgift Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området givet av 0 x och 0 y e x roteras ett varv kring linjen x = 2. Tentauppgift Antag att f(x) 2 då 0 x. (a) Ange en formel för arean av ytan som fås då kurvan y = f(x), 0 x, roteras ett varv kring linjen y = 2. (p) (b) Ange en formel för volymen av kroppen som fås då området 2 y f(x), 0 x, roteras ett varv kring linjen y = 2. (p) (c) Beräkna volymen i fallet f(x) = x 3. (p) 23
24 Tentauppgift Bestäm arean av området D som i polära koordinater ges av { D = (x, y) R 2 π : 0 r sin ϕ, 6 ϕ 5π }. 6 Bestäm längden av kurvan Γ = { (x, y) R 2 : r = sin ϕ, π 6 ϕ 5π 6 }. 24
25 5 Svar/Tips till övningar.3. (a) /6. (Använd sin t = t t 3 /6 + O(t 5 ) med t = x 3 + x 4.) (b) /8. (Använd cos x = x 2 /2 + x 4 /4! + O(x 6 ).) (c) /2. (f(x) = f(2) + f (2)(x 2) + f (2)(x 2) 2 /2 + O((x 2) 3 ) =... = (x 2) 2 /2 + O((x 2) 3 ). Alternativt byt x = 2 + h.) (d). (Variabelbyte till x = /t gör att problemet överförs på t 0 +.).3.2 Nej. (ln( + x 5 ) = x 5 + O(x 0 ) = x 5 ( + O(x 5 ))...).4. /3 (t.ex.). (cos x = x 2 /2 + x 4 /4! cos(ξ)x 6 /6! där ξ ligger mellan 0 och x. Sätt x = 2.) dx + dx + /2 dx + 0 dx + /2 dx + dx x 3 x 2 x 3 x x 3 x /2 x 3 x 0 x 3 x /2 x 3 x + dx + dx. x 3 x 2 (Eftersom x 3 x x3 x = x(x + )(x ) har vi att funktionen är obegränsad kring punkterna, 0,. Alltså är integralen generaliserad i,, 0,,.) 2.2. (a) Konvergent. (Jämför med (b) Divergent. (Jämför med 0 x 4 dx som är konvergent.) x 2 dx som är divergent.) (c) Konvergent. (Lite svårare. Använd t.ex. att e x2 e x då x.) (d) Konvergent. (Observera att denna är generaliserad i både och. Variabelbytet x = + t överför den på integralen 0 (t3 + 3t 2 + 2t) /2 dt = 0 (t3 + 3t 2 + 2t) /2 dt + (t3 + 3t 2 + 2t) /2 dt. Den första av dessa kan jämföras med 0 t /2 dt och den andra med t 3/2 dt, som bägge är konvergenta.) /2. (= 3 4 k=0.) 2 k 2.5. (a) Konvergent. (Positiv serie. Maclaurinutveckla cos(/n) = /2n 2 + O(/n 4 ). ) (b) Divergent. (Positiv serie. Maclaurinutveckla cos(/ n) = /2n + O(/n 2 ).) (c) Konvergent om och endast om α > /2. (Positiv serie. Maclaurinutveckling av termerna innanför parentesen ger (/2n 2 +O(/n 4 )) α, så vi kan jämföra med n= /n2α.) (d) Konvergent. (Vi kan t.ex. visa att 0 (ln n)/n 4 < /n 3 för stora n via ett gränsvärde.) (e) Divergent. (Divergenstestet. Termerna går ej mot noll.) (f) Konvergent. (Vi kan t.ex. visa att ne n2 /n 2 för stora n via ett gränsvärde. Vi kan även notera att funktionen f(t) = te t2 är positiv och f (t) = ( 2t 2 )e t2 < 0 för t >. Alltså kan vi tillämpa integralkriteriet och te t2 dt kan beräknas.) 2.7. Konvergent. (Direkt tillämpning av Leibniz kriterium.) 2.8. f(x) är konvergent för x < 4 och f() = n n 4/9. (Rotkriteriet: x 4 n x /4 = Q. n Kvotkriteriet: ((n + )x n+ /4 n+ )/(nx n /4 n ) x /4 = Q. Ger konvergensradie 4. Ändpunkterna x = ±4 ger divergens via divergenstestet. f() fås genom att derivera den geometriska serien n=0 xn = /( x), x <, på båda sidor, sätta x = /4 och bryta ut /4.) 25
26 g(x) är konvergent för x < 2. (Rotkriteriet: n n 4 n x 2n x 2 /4 = Q. Kvotkriteriet: ((n + )x 2(n+) /4 n+ )/(nx 2n /4 n ) x 2 /4 = Q. Ger konvergensradie 2. Ändpunkterna x = ±2 ger divergens via divergenstestet.) 3.. (a) y = 2/3 2e x3 /3. (IF e x3. Ger allmän lösning y = 2/3 + Ce x3.) (b) y = x ln x + Cx (division med x, IF /x) (a) y = ln( + x 3 /3), x > 3 3. ( e y y = x 2 ger e y dy = x 2 dx, vilket leder till e y = x 3 /3 + C. y(0) = 0 ger nu C =.) (b) y = tan(x + π/4), 3π/4 < x < π/4. (y /(y 2 + ) = ger arctan y = x + C. y(0) = ger C = π/4.) 3.3. y = /(3 x), x < 3. (Problemet är ekvivalent med y = y 2, y() = /2.) 3.7. (a) y = C e x + C 2 e 2x. (r 2 r 2 = 0 r =, r = 2.). (b) y = C e x + C 2 e 2x x 2 /2 + x/2 3/4. (y h som i (a), ansätt y p = ax 2 + bx + c.) (c) y = C e x + C 2 e 2x + e 3x /4. (y h som i (a), ansätt y p = ae 3x där a är konstant.) (d) y = C e x + C 2 e 2x xe x /3. (y h som i (a), ansätt y p = ze x där z = z(x).) (a) y = e x( C cos(x) + C 2 sin(x) ). (r 2 2r + 2 = 0 r = ± i.) (b) y = e x( C cos(x) + C 2 sin(x) ) + x/ (Ansätt y p = ax + b.) (c) y = e x( C cos(x) + C 2 sin(x) ) + (4 cos x 3 sin x)/5. (Ansätt y p = a cos x + b sin x.) y = A + Bx + Ce x x 3 /6 x 2 /2 cos 2x + 2 sin 2x. (r = r 2 = 0, r 3 = ger y h. Ansätt i tur och ordning y p = ax 3 + bx 2, y p2 = c cos 2x + d sin 2x) y = n=0 x2n+ /(2n + )!, x R. (Ansatsen y = ( ) k=0 c kx k, x < R, ger y y = (k + 2)(k + )ck+2 c k x k = 0, x < R, och c 0 = 0, c =. Visa att R =.) k= (0 0 )/27. ( x (t) 2 + y (t) 2 = 4t + 9t 2 för t > 0.) 4..2 ( )/27. ( + y (x) 2 = + 9x/4.) π.(Skivformeln ger (rita principskiss!) (π(4 0 x3 ) 2 π(2 + x 3 ) 2 )dx.) e4 9 2 π. (Cylinderformeln ger (rita principskiss!) 2π(4 2 0 x)e2x dx.) 4.3. (Rita principskisser!) (a) π(4e 4 e e e 2 ). (ds = + y (x) 2 dx =... = ex +e x 2 dx, ger y(x))ds = 0 2π(4 ex +e x 2 ) ex +e x 2 dx.) (b) 2π( e ). (ds som ovan. Ger formel 0 2π(x 0)ds = 0 2πx ex +e x 2 dx.) 0 2π(4 26
27 6 Lösningar till tentauppgifter.5. (a). Direkt lösning med Taylors formel: f(x) = (x ) 2 ln x, f() = 0, f (x) = 2(x ) ln x + (x ) 2 /x, f () = 0, f (x) = 2 ln x + 4(x )/x (x ) 2 /x 2, f () = 0, f (x) = 6/x 6(x )/x 2 + 2(x ) 2 /x 3, f () = 6. Taylors formel säger nu att f(x) = f()+f ()(x )+ f () 2 (x ) 2 + f () (x ) 3 +O((x ) 4 ) = (x ) 3 +O((x ) 4 ). 3! Alternativ lösning via entydighetssatsen+standardutveckling av ln( + t): Med x = + t får vi f(x) = f( + t) = t 2 ln( + t) = t 2 (t + O(t 2 )) = t 3 + O(t 4 ) = (x ) 3 + O((x ) 4 ).) Svar: f(x) = (x ) 3 + O((x ) 4 ). (b). Eftersom f(x) f() = (x ) 3 ( + O(x )), så ser vi att dierensen f(x) f() växlar tecken när vi går från x < till x > ((x ) 3 växlar tecken medan + O(x ) inte gör det nära x = ). Svar: x = är ingen extrempunkt. (c). Eftersom g(x) = ln x uppfyller g() = 0, g (x) = /x, g () = samt g (x) = /x 2 får vi från Taylors sats med Lagranges restterm att ( ) f(x) = (x ) 2 ln x = (x ) 2 g() + g ()(x ) + g (ξ) (x )2 = (x ) 3 2 2ξ 2 (x )4, där ξ ligger mellan x och. Så om p(x) betecknar Taylorpolynomet av ordning 3 till f(x) i har vi f(x) p(x) = (x )4 2ξ2 = 2ξ x 2 4. Notera nu att x 0 är samma sak som att 0.9 x., så ξ 0.9, vilket ger oss uppskattningen: om x ξ 2 x x , 27
28 .5.3 (a) Standardutvecklingarna (+t) /2 = + ( 2 t+ ) ( 2 2 t ) ( ) t 3 +O(t 4 ) = + t 2 t2 8 + t3 6 +O(t4 ) och sin(u) = u u3 6 + O(u5 ) samt cos(v) = v2 2 + O(v4 ) 28
29 visar att, med u = 2x 2 och t = sin u samt v = x 2, f(x) = ( + sin(2x 2 ) ) /2 x 2 + = ( + 2x 2 (2x2 ) 3 /2 ) + O(x )) 0 ( x4 3! 2 + O(x8 ) x 2 + = + ) (2x 2 (2x2 ) 3 + O(x 0 ) ( 2x 2 + O(x 6 ) ) 2 ( + 2x 2 + O(x 6 ) ) 3 2 3! 8 6 ) ( x4 2 + O(x8 ) x 2 + = 2x6 3 x4 2 + x x4 2 + O(x8 ) = x6 6 + O(x8 ). (b) Eftersom f(x) = + x ( 6 ) 6 + O(x2 ) så ser vi att för x nära 0 så gäller att f(x) < = f(0) om x 0 eftersom x 6 > 0 så x ( 6 ) 6 + O(x2 ) < 0 för x 0 (små x). Således har f(x) ett lokalt maximum då x = 0. Svar: (a) x6 6 + O(x8 ) (b) Ett lokalt maximum..5.4 (a) Derivering ger så f(x) = arctan x, f (x) = + x 2, f (x) = 2x ( + x 2 ) 2, f(0) = 0, f (0) =, f (ξ) = 2ξ ( + ξ 2 ) 2. Maclaurinutvecklingen av ordning ges av f(x) = f(0) + f (0)x + f (ξ) x 2 för något 2! ξ = ξ(x) mellan 0 och x, så vi får följande ξ Svar: arctan x = x ( + ξ 2 ) 2 x2 för något ξ = ξ(x) mellan 0 och x. (b) Insättning av x = /5 i utvecklingen i (a) ger arctan = }{{ 5}}{{} 5 Exakt värde Approx. 29 ξ ( + ξ 2 ) 2 5 }{{ 2 } Approximationsfel
30 för något ξ mellan 0 och /5. Således får vi arctan 5 5 = ξ ( + ξ 2 ) = ξ ( + ξ 2 ) 2 5 /5 2 ( ) 2 vilket skulle bevisas; notera att ξ /5 och + ξ = 25 00,.5.5 Låt f(x) = e x. Då är f (n) (x) = e x för alla positiva heltal n och enligt Taylors sats med Lagranges restterm gäller således f(x) = + x + x2 2 + x3 3! + x4 4! + eξ 5! x5, där ξ ligger mellan 0 och x. Vi har ovan chansat på att ordning 4 i utvecklingen räcker, men det vet vi inte säkert förrän vi uppskattat feltermen nedan. Vi vill approximera e /5, så e /5 = f(/5) = }{{ } approximation där ξ ligger mellan 0 och /5. Eftersom e ξ e /5 < e < 3 så är e ξ < = < 0 5, så är det absoluta felet < 0 5. Svar: eξ, } 20 {{ 5 5 } fel (a) Sätt a k = k sin k. Vi ser att a k = sin(/k) då k enligt standardgränsvärde, /k så a k 0 då k. Serien k= a k är därför divergent, enligt Divergenstestet. (b) Sätt a k = ( ) k tan k. Eftersom tan k > 0 då k är serien k= a k alternerande, och eftersom dessutom a k = tan k 0 då k ( a k avtar mot noll, d.v.s. a a 2 a 3... och a k 0) är serien en Leibnizserie, och därmed konvergent. (c) Sätt f(x) = i 0. Vi får f(x) = cos x. Vi ser att f(x) 0 och att f(x) dx är generaliserad endast 0 ( x 2 /2 + O(x 4 )) = x 2 /2 + O(x 2 ) = g(x) /2 + O(x 2 ) 30
31 med g(x) = /x 2, och noterar att g(x) 0 och att g(x) dx är generaliserad endast 0 i 0. Vidare, f(x) g(x) = /2 + O(x 2 ) 2 då x 0+, och eftersom 0 < 2 < säger Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform att integralerna f(x) dx 0 och g(x) dx antingen båda är konvergenta eller båda divergenta. 0 Men g(x) dx = 0 0 (/x2 ) dx är divergent (standardintegral), och därmed är också f(x) dx 0 divergent. Svar: (a) Divergent (b) Konvergent (c) Divergent Eftersom följer det att x 5 cos x x+x 5 så integralen är absolutkonvergent (a). 0 < ln x x på ], [ ger att cos x x + x 5 dx dx <, x5 0 ln x x dx 3 x dx, 2 och den sista integralen är känt konvergent. Så enligt jämförelseprincipen för positiva integrander är integralen konvergent. (Notera att integralen också kan beräknas exakt, t.ex. via variabelbytet x = e t eller via partiell integration, och har värdet /4.) Svar: Integralen är konvergent. (b). Vi använder rotkriteriet: n + 3 x 2n n 3 3 n /n = n + 3 n 3 /n x 2 3 x 2 3 då n. Alltså har vi konvergensradie 3. Test av ändpunkterna x = ± 3 ger, eftersom (n + 3)/n 3 4/n 2, och n= är konvergent, att n 2 n + 3 (± 3) 2n n + 3 = n 3 3 n n 3 n= n= är konvergent. Alltså konvergerar serien då 3 x 3. Notera nu slutligen, eftersom alla termer är positiva, att f( 3) = n= n + 3 ( 3) 2n = n 3 3 n n= n + 3 n 3 3 n= n + 3 = n =
32 3.0. Eftersom (2 + cos x) = sin x får vi omedelbart att Svar: Summan konvergerar för x [ 3, 3]. (2 + cos x)y (sin x)y = 4e 2x ( (2 + cos x)y ) = 4e 2x (2 + cos x)y = 2e 2x + C. Bivillkoret y(0) = 4 ger (2 + ) 4 = 2 + C, d.v.s. C = 0, och därmed y = (2e 2x + 0)/(2 + cos x). Svar: y = 2e2x cos x. (Alternativ början: Eftersom 2 + cos x > 0 kan vi skriva om dierentialekvationen till den ekvivalenta formen ( ) y + sin x 2 + cos x y = 4e2x 2 + cos x, och koecienten för y är g(x) = ( sin x)/(2 + cos x), med en primitiv G(x) = ln(2 + cos x) (sätt t = cos x, t.ex.), så en integrerande faktor är e G(x) = exp ( ln(2 + cos x) ) = 2 + cos x. Multiplikation av ( ) med denna gör att vi återfår den ursprungliga dierentialekvationen. Därefter som ovan.) y + yy 2 ex = 0 ( + y)y = 2 ex. Ekvationen är alltså separabel och vi integrerar nu bägge sidor: ( + y)dy = 2 ex dx vilket ger y + 2 y2 = 2 (ex + C) y 2 + 2y = e x + C. Bivillkoret ger nu y(0) 2 + 2y(0) = 9 6 = 3 = e 0 + C, d.v.s. C = 2. Ekvationen y 2 + 2y = e x + 2 har lösningarna y = ± 3 + e x, men bivillkoret ger att den sökta lösningen är y = 3 + e x. Notera att denna löser ekvationen för alla x R. Svar: y = 3 + e x, < x <. 32
33 r 2 3r 2 = 0 r = 2 eller r = /2, så y h = Ae 2x + Be x/2. Med substitutionen y p = ze x/2 insatt i ekvationen får vi 2(ze x/2 ) 3(ze x/2 ) 2(ze x/2 ) = 2(D 2)(D + /2)(ze x/2 ) = /förskjutningsregeln/ = 2e x/2 (D 5/2)Dz = 2e x/2 (z 5z /2) = 5e x/2. Detta kan vi lösa med z = så z = x duger. Så en partikulärlösning är y p = xe x/2. Detta ger y = y h + y p = Ae 2x + Be x/2 xe x/2. Bivillkoret ger nu y(0) = A + B = 0 B = A Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet Svar: y = A(e 2x e x/2 ) xe x/2 p(r) = r 4 + 2r 3 + 5r 2 = r 2 (r 2 + 2r + 5) = r 2 (r + 2i)(r + + 2i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen p(d)y h = 0 av y h = C + C 2 x + e x (C 3 cos 2x + C 4 sin 2x) enligt känd sats. För att hitta partikulärlösningar utnyttjar vi superpositionsprincipen och hittar först en lösning till p(d)y p = 8e x. Eftersom r = inte är en rot till p(r) så försöker vi med ansatsen y p derivering visar att p(d)(ae x ) = Ae x + 2Ae x + 5Ae x = 8Ae x, = Ae x. Direkt så om vi låter A = gör det att högerledet blir 8e x. Givetvis kan vi ansätta y p = z(x)e x istället och använda förskjutningssatsen (eller derivera på likt ovan) istället. För att hitta en partikulärlösning till p(d)y p2 = 0 ansätter vi y p2 = Bx 2 eftersom p(d)(polynom) = polynom, där högerledet har gradtal två steg lägre (om vi ansätter ett polynom med grad 2). Insatt i ekvationen ger detta p(d)(bx 2 ) = 0B, så B =. Svar: y = C + C 2 x + e x (C 3 cos 2x + C 4 sin 2x) + e x + x 2. 33
34
35
36 Enligt känd formel för plan area i polära koordinater erhåller vi A = 2 = 4 5π/6 π/6 [ ϕ r(ϕ) 2 dϕ = 2 ] 5π/6 sin 2ϕ = 2 π/6 4 5π/6 π/6 ( 2π 3 + sin 2 ϕ dϕ = 4 ) 3 2 5π/6 π/6 = π ( cos 2ϕ) dϕ Kurvlängden får vi genom att summera bågelementen ds som i polära koordinater ges av ds(ϕ) = r(ϕ) 2 + r (ϕ) 2 dϕ = sin 2 ϕ + cos 2 ϕ dϕ = dϕ. Sålunda ges längden av L = 5π/6 π/6 ds(ϕ) = 36 5π/6 π/6 dϕ = 2π 3.
37 Svar: A = π respektive L = 2π 3. 37
Lösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merLösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.
Lösningar till MVE6 Matematisk analys i en variabel för I 7-4-. a Division ger yy + y x. Ekvationen är alltså separabel. Integration av vänstra ledet ger y + y dy ln + y Efter integration blir det alltså
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merNumeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19
Dagens ämnen 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser 1 / 19 Dagens
Läs merEnvariabelanalys 2, Föreläsning 4
Envariabelanalys 2, Föreläsning 4 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Repetition: Taylors sats Sats Antag att f (x) är denierad och har kontinuerliga derivator upp till och med ordning n + 1 i någon omgivning
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merTNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Litteraturkommentarer till föreläsningarna
för ED, KTS, MT till föreläsningarna VT2 2017 TNA004 FÖ 1 Kap 7.1 7.2. Kommentarer 7.1 Plan area Area mellan funktionskurvor. Figurerna och texten på sid. 311 313 är viktigt för förståelsen av hela detta
Läs merTATA42: Föreläsning 6 Potensserier
TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 2 28-8-3. Evationen är linjär och har det arateristisa polynomet p(r) r 3 r 2 + 4r 4 (r 2 + 4)(r ). Således ges lösningarna till den homogena evationen p(d)y h av y h C
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merEnvariabelanalys 2, Föreläsning 8
Envariabelanalys 2, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Differentialoperatorer D: Dy = y, D 2 y = D(Dy) = D(y ) = y och så vidare. Även uttryck som (D β)(d α) = D 2 (α + β)d + αβ tolkas formellt
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merLösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.
Lösningar till MVE07 Matematisk analys i en variabel för I 8-0-0. (a Division ger y + 5x x 2 + 4 y x x2 + 4. 5x x 2 + 4 dx 5 2 ln(x2 + 4, vilket ger den integrerande faktorn (x 2 + 4 5/2. Ekvationen multipliceras
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merMaclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning
Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon
Läs merSammanfattning TATA42
Sammanfattning TATA4. TILLÄMPNINGAR INTEGRALER. Funktionskurva, y=f(). Polär form 5.3 Guldins regler och Tyngdpunkt 8. MACLAURIN- OCH TAYLORUTVECKLINGAR. Maclaurinutvecklingar. Tillämpning av Lagranges
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merLösningsförslag till TATA42-tentan
Lösningsförslag till TATA-tentan 8-6-.. Då ekvationen är linjär av första ordningen löses den enklast med hjälp av integrerande faktor (I.F.). Skriv först ekvationen på standardform. (+ )y y + y + + y
Läs mer1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller
Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merTATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form
TATA4: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form Johan Thim 9 mars 9 Lagranges form för resttermen Vi har tidigare använt resttermen på ordo-form med goda resultat. Oftast i samband med gränsvärden, extrempunktsundersökningar
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 22-2- DEL A. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = xe x2 /4. Lösningsförslag. Standardgränsvärdet xe x, då x ger att lim f(x) = lim x x ± x ± e
Läs merRepetitionsuppgifter
MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.
Läs merFöreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www.math.uu.se/ rikardo/ envariabelanalys/huvudsidor/index.html Funktioner En funktion f, från mängden
Läs merDagens ämnen. Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom
Dagens ämnen 1 / 10 Dagens ämnen Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom 1 / 10 Dagens ämnen Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom Konsekvenser av entydigheten 1 / 10 Dagens ämnen Entydighet
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merFunktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs merKap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.
5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merTentamen SF e Januari 2016
Tentamen SF6 8e Januari 6 Hjälpmedel: Papper, penna. poäng per uppgift totalt poäng. Betg E är garanterat vid 6 poäng, betg D vid poäng, betg vid C poäng, betg B vid 8 poäng och betg A vid poäng. För de
Läs merSerier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =
Serier Serier eller oändliga summor har flyktigt behandlats redan i tidigare kurser. Vi ska nu gå igenom teorin på ett lite mer systematiskt sätt. I många fall spelar det ingen roll om termerna a k är
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
Läs merGeneraliserade integraler. Definitionen. J amf orelsesatser. Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Dagens amnen 1 / 10
Dagens ämnen 1 / 10 Dagens ämnen Generaliserade integraler. 1 / 10 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. 1 / 10 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. Jämförelsesatser. 1
Läs merTillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Milo Viviani MVE500, TKSAM-2
Chalmers tekniska högskola Datum: 7--8 kl. 8.. Tentamen Telefonvakt: Milo Viviani MVE5, TKSAM- Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper.
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merGeneraliserade integraler. Definitionen. J amf orelsesatser. Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Dagens amnen 1 / 12
Dagens ämnen 1 / 12 Dagens ämnen Generaliserade integraler. 1 / 12 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. 1 / 12 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. Jämförelsesatser. 1
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merSF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs mermotiveringar. Lämna tydliga svar. 1 (arcsin x) 2 dx: (0.6)
TENTAMENSSKRIVNING LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK ENDIMENSIONELL ANALYS B (FMAA5)/A3 (FMAA) 74 kl. 83 Inga hjälmedel är tillåtna. För att du skall kunna erhålla full oäng skall dina lösningar vara läsvärda
Läs merBesökstider: ca och 17.00
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Tentamen i Matematisk analys, fortsättningskurs F/TM, TMA976, 2015-01-14, TID(14.00-18.00) Inga hjälpmedel, förutom penna och linjal, är tillåtna,
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merLösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,
Institutionen för Matematik, KTH. Lösningsförslag till tentan i 5B5 Matematik för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T, 8.. Visa att påståendet P n : n + n < 4 n är sant för n =,, 4.... (a) P : + = 4 +
Läs merLösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs merTypexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.
Typexempel med utförliga lösningar TMV3. Matem. Analys i En Var.. V, AT. Försök alltid att lösa exemplen själv först. Integration. ([AE, Adams&Essex] Ex. 5.6. ) Beräkna integralen x + 6x + 3 dx LSN (Lösning).
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merMer om generaliserad integral
Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs mer