Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I
|
|
- Katarina Ulla-Britt Gustafsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Matemati 5 Kap 1 Disret matemati I Inledning Konretisering av ämnesplan (län) nesplan_matemati/strutur_ämnesplan_matemati.html Inledande ativitet Introdution Kursen an i princip delas upp i två nästan helt omplementära delar, nämligen disret matemati och differentialalyl. Det sistnämnda är en påbyggnad på derivata- och integralöret i Ma4, och behandlas sist. Första delen blir alltså disret matemati. Det är inte fråga om något som är hemligt eller särsilt stillsamt utan snarare ett samlingsnamn för all matemati som inte inblandar ontinuitet (som t.ex. derivator och integraler gör). En översit över delarna inom den disreta matematien an man hitta här. För att få en änsla för de delar som vi sa behandla i denna urs an ni ia på och lösa följande problem Kombinatori - Hur många olia femorts poerhänder finns det? - Fem personer sa ställa sig i en ö. Hur många olia öer an dom bilda? Mängdlära (Från ursboen.) Vid en gymnasiesola an eleverna på naturvetensapsprogrammet välja att läsa en eller flera av urserna matemati 5, emi 2 och fysi elever valde matemati, 82 emi och 80 fysi. 30 elever valde matemati och emi, 36 matemati och fysi, 34 emi och fysi och 14 valde alla tre urserna. a) Hur många valde bara matemati? b) Hur många valde bara emi? c) Hur många valde bara fysi? d) Hur många av de 200 eleverna valde inte någon urs? Grafteori - Kan du arrangera en promenad över Königsbergs sju broar så att varje bro passeras exat en gång? - Om du får lägga till en bro (var du vill), går det då?
2 1. Disret matemati I - Hur ser man snabbt på ett tal om det är jämnt delbart med 2, 4, 5, 6, 9? 1.1 Kombinatori Lådprincipen (sid 8-10) På engelsa heter denna princip Pigeonhole_principle, och i Wiipediaartieln an man läsa mer om denna än vad boen presenterar. Principen är enel: Antag att du sa placera 5 (eller fler) föremål i 4 lådor. Då säger lådprincipen att minst en låda måste innehålla minst två föremål (tän igenom denna formulering). Mer allmänt, om du placerar n+1 (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst två föremål. Ännu mer allmänt, om du placerar nŋ+1 (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst +1 föremål. Om inte så hade vi ju haft högst nŋ föremål, vilet vi ju INTE hade. Principen är enel, men det som an vara nepigt är att bestämma vad som sa fungera som lådor och vad som sa fungera som föremål. Här rävs rutin/träning och inte sällan en dos fantasi. Boens uppgifter sätter inte detta på sin spets, så om ni vill an ni fundera på följande problem. 1) Du har n+1 olia heltal från 1 till 2n. Visa att man an ploca ut två som inte har någon gemensam fator. 2) Du har n+1 olia heltal från 1 till 2n. Visa att man an ploca ut två tal där det ena delar det andra. 3) Albin spelar minst en tennismatch varje dag under en fyravecorsperiod men han spelar högst 40 matcher totalt under denna tid. Visa att det måste finnas en följd av dagar under vila Albin spelar exat 15 matcher. Lös samtliga uppgifter. Multipliations- och additionsprincipen (sid 11-14) Antag att en restaurang erbjuder p st förrätter och q stycen varmrätter. Om du vill välja en förrätt och en varmrätt an detta göras på pŋq olia sätt (multipliationsprincipen). Om du vill välja en förrätt eller en varmrätt an detta göras på p+q olia sätt (additionsprincipen). Tän efter så ni är med på detta. Lite slarvigt an man säga att och ger multipliation och eller ger addition.
3 Lös samtliga uppgifter utom 1130 (deluppgift c har fel i facit och d är barnslig) och 1132, antingen är frågan felställd, eller är facit fel, eller både och. I 1125 är rätt svar (facit har tappat en nolla). Permutationer (sid 15-18) En permutation är en "uppräning" av en mängd objet i en viss ordning. Att beräna antalet permutationer av element ur en mängd med n element/objet bygger på multipliationsprincipen. Första elementet an väljas på n sätt, andra på n 1 sätt osv. till näst sista som an väljas på n +2 sätt och det sista på n +1 sätt (tän efter varför det inte blir n ). Därmed får vi antalet permutationen av bland n som P(n,) = nŋ(n 1)Ŋ Ŋ(n +2)Ŋ(n +1) =!! där n! = 1Ŋ2Ŋ Ŋ(n 1)Ŋn!!!! som utläses "n faultet" (n factorial) är en pratis betecning. Ett "lassist" problem är att räna antalet olia sexbostavsord som man an bilda av bostäverna i ordet ANKFOT. Tydligen handlar det om P(6,6)=6!=720 stycen. Förresten, an du ange ett ritigt ord som an bildas förutom ANKFOT självt? Lös 1136, 1137b, 1139a, 1141, 1144 och b- och c-uppgifter allt efter behov. Kombinationer (sid 19-22) I förra avsnittet ränade vi antalet sätt att ordna element bland n. En sådan ordning allades en permutation. Nu sa vi räna antalet sätt att från n element ploca ut stycen utan ordning. Ett sådant utval allas en ombination. Tenien är att man först ränar antalet permutationer P(n,) =!!!!!! Sedan noterar man att det finns! olia permutationer som ger upphov till samma oordnade utval (t.ex. ger ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA) upphov till samma oordnade urval {A,B,C}. Alltså grupperar vi ihop dessa permutationer till samma ombination och får då antalet ombinationer av element bland n som C(n,) = n =!(!,!)!! =!!!!!!!! n där n utläses "n över ". Inför framtiden an man ocså notera att uttrycet dyer upp i samband med binomialsatsen och därför ibland allas binomialoefficient. Utöver uppgifterna i boen an ni fundera på
4 Hur många femorts poerhänder finns det som innehåller a) ett par (men inget bättre)? b) ett tvåpar (men inget bättre)? Lös 1153, 1154, 1155, 1156, Iofs är dessa gansa triviala så anse anse an börja diret med 1159, 1160, 1161 och 1162 som var för och en räver lite eftertane (hur sa man räna). Kommer du ihåg sannolihetslära? (sid 23-25) Kombinatori är sålart nära förnippat med sannolihetslära. Vill man har reda på sannoliheten beränar man ju P(H) =!"#!$%#!"##$%&&%!"#$%%!"!#$#!"#!$%#!"#$%% och talen i täljare och nämnare är ju ombinatorisa. Lös samtliga uppgifter, eller i alla fall så pass många att du har ontroll. Kombinatori och sannolihetslära (sid 26-27) Finns inget att säga om detta mer än att det bygger på förra avsnittet. Lös samtliga, eller så långt ambition räcer. Det är bra att göra ett antal så man får vanan inne Tema Binomialsatsen (sid 30-34) Hur man utveclar (multiplcerar ihop) (x+y) 2 är säert beant; nämligen enligt vadreringsregeln (x+y) 2 = x 2 +2xy+y 2 Binomialsatsen är i princip en formel för att utvecla (x+y)n för ett godtycligt positivt heltal n. T.ex. an man få en uberingsregel (x+y) 3 =(x+y)(x+y)(x+y)= 3 0 x x2 y xy y3. Man inser att oefficienten framför t.ex. xy 2 blir 3 genom att täna efter på hur 2 många sätt man an ploca ut två y (och därmed ett x) ur de tre parenteserna. Koefficienten n allas binomialoefficient. Ett smidigt sätt att ploca fram binomialoefficienterna är reursivt via Pascals triangel. För att förstå att detta fungerar måste täna igenom liheten n = n 1 + n 1 1
5 vilet boen hjälper till med på sida Det ombinatorisa argumentet på sida 31 är att föredra framför det algebraisa på sida 32. Lös 1186, 1187, 1188, 1192, 1193, 1194 och eventuellt 1197 (tän gärna ut ett ombinatorist argument). 1.2 Mängdlära Mängder - Grundbegrepp (sid 35-38) Här handlar det mest om att lära sig en del syntax (hur man sriver). Gansa tråigt (men nödvändigt) att lära sig. Som uriosa an nämnas att vad som egentligen är en mängd och hur en sådan får defineras är mycet mer intriat än boen medger, se t.ex. Barber_paradox. Lös samtliga uppgifter utom 1203c. c-uppgifterna an väljas beroende på ambition och intressse. I 1213 är n=11 det orreta svaret! Mängdoperationer (sid 39-40) Här inför man en sorts "ränesätt" på mängder, nämligen union, snitt, differens och omplement. Man noterar att för att omplementet sa ha mening måste grundmängden vara lar, för de övriga är det inte nödvändigt. Lös samtliga uppgifter, c-uppgiften är inte så svår. I 1227d sa den sista parentesen sitta efter B:et inte efter C:et. Venndiagram (sid 41-44) Eftersom mängder an ses som påsar med element i an man täna sig att representera dem grafist som "plana påsar". Man ritar helt enelt en mängd som en cirel (eller annan sluten urva) och täner sig att elementen ligger inuti cirel. Ett finare namn för dessa cirlar är Venndiagram (efter John Venn). Ritar man lämpligt an man illustrera snitt, unioner, omplement etc. Lös samtliga uppgifter utom 1233, möjligen an man göra a-uppgifterna i huvudet. I 1232 anser boen att t.ex. parallellogrammer inte är parallelltrapetser, vilet inte är orret. 1.3 Grafteori Inledning (46-49) Ordet graf har två olia betydelser inom matemati. Det som ni är vana vid är en "grafis bild" opplad till en funtion, t.ex. grafen till f(x)=x 2. Här är det fråga om något helt annat, en graf är något som byggs upp av noder sammanopplade med anter. Man an se en graf som ett sorts nätver. Det lasssia problemet som anses ha givit upphov till grafteorin är Königsbergs broar som besrivs på sida 46. På sida 47 är det fråga om att lära sig en del terminologi (som inte är standard).
6 Lös samtliga uppgifter. Facit i 1306a stämmer ej utan svaret är "Nej, går ej". Några lassisa problem (sid 50-53) Här handlar det om Hamiltoncyler, där det är fråga om att "åa" runt i en graf så att alla noder passeras en gång innan man är tillbaa där man startade. I 1312 sa man försöa finna Hamiltoncyler. Att visa att sådan finns är enelt, rita den, men att visa att sådan inte finns räver ett bättre argument än "jag om inte på någon". I handelsresandes problem vill man, i en graf med vitade anter, finna vägen med minsta antsumma. För detta finns ingen ritigt bra algoritm (i alla fall har man inte ommit på någon) utan man nöjer sig med en s.. girig algoritm där man varje gång väljer den bästa anten. Konstruera gärna en graf där denna algoritm inte leder till optimal cyel. Lös samtliga uppgifter. Träd (sid 54-55) Detta är ett gansa marginellt avsnitt. Ni behöver änna till vad ett träd är och Krusals algoritm, som man an använda för att oppla ihop noder "på billigaste sätt". Varför algoritmen fungerar ingår inte i ursen. Lös 1315, 1317 och eventuellt Notera att man inte behöver veta något om emi i 1319, det handlar egentligen om att onstruera samtilga möjliga träd på n noder.
Kombinatorik. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Kombinatorik - 1
Kombinatorik Teori Multiplikationsprincipen..2 Teori Permutationer 3 Teori Kombinationer...5 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter 8 Teori Duvslageprincipen 11 Teori Pascals triangel & Mosertal...13
Läs mer{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe}
Mängder grundbegrepp En mängd är en samling objekt Ex: { } { } A = 0, 1 B = 0 C = { 7, 1, 5} tomma mängden (har inga element) D = { 1, 2, 3,, 10} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe} kallas element i mängden
Läs merBinomialtal. Olof Bergvall. Algebra och Kombinatorik Stockholms Universitet 1 / 13
1 / 13 Olof Bergvall Algebra och Kombinatori Stocholms Universitet 2 / 13 Definition: Antalet sätt att välja en delmängd med element ur en mängd med n element betecnas. Talen ( n ) allas binomialtal eller
Läs mera k . Serien, som formellt är följden av delsummor
Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara
Läs merMultiplikationsprincipen
Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter
Läs merOm användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer
Om användning av potensserier på ombinatori och reursionsevationer Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmailcom Sammanfattning Vid analys av både ombinatorisa problem och för att lösa reursionsevationer
Läs merDiskret matematik: Övningstentamen 4
Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen
Läs merLåt eleverna öva på att dra slutsatser om textens handling genom att leta ledtrådar i texten.
Till läraren om kopieringsunderlag: Ledtrådar och bevis Låt eleverna öva på att dra slutsatser om textens handling genom att leta ledtrådar i texten. 1. De börjar med att titta på rubriker och bilder.
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs mer1. 20 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar. På hur många olika sätt kan detta ske om
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 4 Diskret matematik för D och F vt0 1 0 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar På hur många
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematisa Institutionen KTH Lösningar till tentamenssrivning på ursen Disret Matemati, moment A, för D2 och F, SF161 och SF160, den 9 mars 2009 l 14.00-19.00. DEL I 1. (p Lös reursionsevationen med
Läs merIdentification Label. Student ID: Student Name: Elevenkät Fysik. Skolverket Bo Palaszewski, Projektledare 106 20 Stockholm
Identification Label Student ID: h Student Name: Elevenät Fysi Solveret Bo Palaszewsi, Proetledare 106 20 Stocholm International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA,
Läs merL HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.
L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER Läs avsnitten 73 och 8-82 Lös övningarna 78-75, 82, 84a,b, 85a,c, 89, 80 samt 8 Avsnitt 73 L Hospitals regel an ibland vara till en viss nytta, men de flesta gränsvärden
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 maj 2014 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merÖvning: Dilemmafrågor
Övning: Dilemmafrågor Placera föräldrarna i grupper med ca 6-7 st/grupp. Läs upp ett dilemma i taget och låt föräldrarna resonera kring tänkbara lösningar. Varje fråga kan även visas på OH/ppt samtidigt,
Läs merIV. Ekvationslösning och inversa funktioner
Analys 360 En webbaserad analysurs Grundbo IV. Evationslösning och inversa funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com IV. Evationslösning och inversa funtioner 1 (11) Introdution
Läs mer1 Föreläsning II, Vecka I, 21/1-25/11, 2019, avsnitt
1 Föreläsning II, Veca I, 1/1-5/11, 019, avsnitt.3 1.1 Kombinatori Exempel 1.1 I ett rutnät går man åt höger eller uppåt. Hur många vägar finns det mellan A och B? B A Vi har 8 (del-)sträcor att välja
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns
Läs merRödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens
Läs merLösa konflikter som orsakar skada
Lösa konflikter som orsakar skada Definitionen av konflikt är en meningsskiljaktighet eller dispyter i vilken de inblandade parterna upplever att deras behov eller intressen hotas. Det finns öppna konflikter
Läs merMatematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler
Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning
Läs merDiagnostiskt test 1 tid: 2 timmar
Diagnostist test tid: timmar Detta är ditt första diagnostisa test i matemati å den är reetitionsursen. Ge dig själv oäng för varje rätt svar. (ge inga ½ oäng). edömning: - oäng Du ar tillräcliga förunsaer
Läs merHandbok för volontärer
2016-02-25 Handbok för volontärer Detta dokument vänder sig till dig som vill bli volontär i Mattecentrum. Om Mattecentrum Mattecentrum är en ideell ungdomsförening vars målsättning är att höja kunskapsnivån
Läs merViggo, du ljuger! Lärarmaterial
SIDAN 1 Författare: Kim Dalsgaard Vad handlar boken om? Boken handlar om Viggo som kommer försent till skolan. Han berättar för klassen, och fröken Anna, att en tiger försökte äta upp honom, och därför
Läs mer8-4 Ekvationer. Namn:..
8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar
Läs merFormulera sig och kommunicera i tal och skrift. Läsa och analysera skönlitteratur och andra texter för olika syften.
SIDAN 1 Lärarmaterial Klicka HÄR för att skriva ut arbetsmaterialet. VAD HANDLAR BOKEN OM? Kira och hennes band Funky ska vara med i en tävling som heter Talang. Kira hoppas på att hon och Nico ska blir
Läs mer1 Föreläsning II, Vecka I, 5/11-11/11, avsnitt 2.3
1 Föreläsning II, Veca I, 5/11-11/11, avsnitt 2.3 1.1 Kombinatori Ex 2.1 I ett rutnät går man åt höger eller uppåt. Hur många vägar finns det mellan A och B? B A Vi har 8 (del-)sträcor att välja uppåt
Läs merSKOLRESANS KOLDIOXIDAVTRYCK
SKOLRESANS KOLDIOXIDAVTRYCK Övningens mål Eleverna ska bli medvetna om hur deras resor till skolan bidrar till koldioxidutsläppen beroende på färdmedel. Sammanfattning av övningen På en bestämd dag noterar
Läs merRSA-kryptering. Torbjörn Tambour
RSA-rytering Torbjörn Tambour RSA-metoden för rytering har den seciella och betydelsefulla egensaen att metoden för rytering är offentlig, medan metoden för derytering är hemlig. Detta an om man funderar
Läs merTentamen SF1661 Perspektiv på matematik Lördagen 18 februari 2012, klockan Svar och lösningsförslag
Tentamen SF1661 Perspetiv på matemati Lördagen 18 februari 01, locan 09.00 1.00 Svar och lösningsförslag (1) Sissera den mängd i xy-planet som består av alla punter som uppfyller oliheten (x + ) + (y )
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merSF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del I
SF2715 Tillämpad ombinatori Kompletterande material och övningsuppgifter Del I Jaob Jonsson 2 augusti 2009 Detta häfte innehåller ompletterande material till Del I av ursen SF2715 Tillämpad ombinatori,
Läs merFöreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori
Föreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori Formalisering av rimlig tid En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
Läs merGrafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann 1 En graf är en struktur av prickar förbundna med streck. Ett tidsenligt exempel på en sådan struktur är ett social nätverk, där prickarna motsvarar personer och en streck mellan två prickar
Läs merPernilla Falck Margareta Picetti Siw Elofsdotter Meijer. Matte. Safari. Direkt. Lärarhandledning. Andra upplagan, reviderade sidor
Matte Direkt Pernilla Falck Margareta Picetti Siw Elofsdotter Meijer Safari 1A Lärarhandledning MS Enhetsdel Sist i varje kapitel finns ett avsnitt som i första hand tar upp enheter. Här i årskurs 1 handlar
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 1
Här presenteras förslag på lösningar och tips till många uppgifter i läroboken Matematik 3000 kurs B som vi hoppas kommer att vara till hjälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi har valt att inte göra
Läs merVarför är jag domare. Roller och förväntningar
Domarskap Steg1 1 2 Varför är jag domare Två domare reagerar inte lika i en likartad situation under matchen. Två människor är inte lika. Alltså finns det inget facit till hur vi bör förbereda oss inför
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på sammandragningarna.
Uppsala Universitet Matematisa Institutionen Bo Styf Basurs, 5 hp Distans 0-0-3 Genomgånget på sammandragningarna. Sammandragning, 5/ 0: Handlade om ombinatori multipliationsprincipen, permutationer, ombinationer,
Läs merFöreläsning 11. Giriga algoritmer
Föreläsning 11 Giriga algoritmer Föreläsning 11 Giriga algoritmer Användning Växelproblemet Kappsäcksproblemet Schemaläggning Färgläggning Handelsresandeproblemet Uppgifter Giriga algoritmer (Greedy algorithms)
Läs merMin syn på idéframställan
MDH Min syn på idéframställan Andreas Nilsson 2009-04-21 Examinator Rolf Lövgren Innehåll Inledning... 3 Hur ser jag på Idéframställan... 4 Metoder... 5 Beskrivna idé med ord... 5 Skiss... 6 Kavaljersperspektiv....
Läs merDigitalt lärande och programmering i klassrummet
Digitalt lärande och programmering i klassrummet Innehåll Programmering Vad är programmering och varför behövs det? Argument för (och emot) programmering Kort introduktion om programmering Några grundbegrepp
Läs merEleven kan genomföra undersökningar utifrån givna planeringar och för då utvecklade resonemang om. 4-5 korrekta observationer
1 Vårblommor Eleven kan genomföra undersökningar utifrån givna planeringar och för då enkla Eleven kan genomföra undersökningar utifrån givna planeringar och för då utvecklade likheter och skillnader Eleven
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om kombinatorik Mikael Hindgren 24 september 2018 Vad är kombinatorik? Huvudfråga: På hur många sätt kan en viss operation utföras? Några exempel: Hur många gånger
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............
Läs merBonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på
Läs merKombinatorik. Torbjörn Tambour 21 mars 2015
Kombiatori Torbjör Tambour mars 05 Kombiatori är de del av matematie som sysslar med frågor av type På hur måga sätt a ma? Några gasa typisa exempel är följade: På hur måga olia sätt a åtta persoer bilda
Läs merAnton är lagets hjälte
SIDAN 1 Lärarmaterial Klicka HÄR för att skriva ut arbetsmaterialet. Nypon förlag VAD HANDLAR BOKEN OM? Antons fotbollslag ska spela cup på söndag. Laget längtar och de har bestämt att de ska gå på tivoli
Läs mer9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:
9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner
Läs merFörslag på lektionsupplägg: Dag 1- en lektionstimme
MiniKonsulter Fångar upp elevernas naturliga kreativitet och nyfikenhet genom problemlösning i arbetslivet samt ökar elevernas naturliga intresse för problemlösning och innovationer. Skapar och bibehåller
Läs merMÄSSHANDBOK ENTREPRENÖRSKAP PÅ RIKTIGT 2016 KRONOBERG
MÄSSHANDBOK ENTREPRENÖRSKAP PÅ RIKTIGT 2016 KRONOBERG Om mässan: Plats: Affärshuset Tegnér, Växjö När: 22 april 2016 Hålltider: Kl. 08.00 Tävlingen Årets Säljare börjar. Kl. 10.00 11.45 Monterbygge. Kl.
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva
Läs mer1 Jag själv lärde om detta av en kollega som, kanske, heter Joel Andersson
1 Kryptering 11 Vi sall 1 idag titta lite på ryptering, och mera specifit hur elliptisa urvor används i ryptering, såallad ECDSA Vi sall ocså se ett atuelt exempel på hur detta inte sall användas 12 Problemet
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merKapitel Test 1 sidan sid 56 ff... 7 Blandade Uppgifter Totalt har högt blodtryck. 85 % av 80 st =68 dricker alkohol.
Matematik 5 svar till vissa uppgifter i kapitel 1. Kapitel 1... 1 Test 1 sidan sid 56 ff... 7 Blandade Uppgifter... 10 Kapitel 1 1105. 1106. A = { 1, 0,2,3,4,5,6,7,8,9,10} och B{x: x R, x 0} A B = { 1,0}
Läs mer5 Klämkraft och monteringsmoment
5 Klämraft och monteringsmoment 5 Klämraft och monteringsmoment Målsättningen med ett sruvförband är att sapa en lämraft mellan de sammanfogade delarna. Sruvförbandets målvärde är således dess lämraft.
Läs merEn ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning.
F5 LE1460 Analog elektronik 2005-11-23 kl 08.15 12.00 Alfa En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning. ( Impedans är inte samma sak som resistans. Impedans
Läs merOlga hittar Finn MARIE DUEDAHL
SIDAN 1 Boken handlar om: Olgas mamma och pappa bor inte ihop, men nu ska Olga äntligen få en hel vecka, tillsammans med pappa. Hon är så glad, för att de ska ut och resa tillsammans. Men när pappa kommer,
Läs merVeckomatte åk 5 med 10 moment
Veckomatte åk 5 med 10 moment av Ulf Eskilsson Innehållsförteckning Inledning 2 Utdrag ur kursplanen i matematik 3 Grundläggande struktur i Veckomatte - Åk 5 4 Strategier för Veckomatte - Åk 5 5 Veckomatte
Läs merGrunderna i SQL del 1
Grunderna i SQL del 1 1. SELECT-frågor 2. SELECT 3. WHERE 4. ORDER BY 5. Inre join 6. Yttre join 7. Andra typer av join 8. Union 9. Aggregatfunktioner 10. Gruppera och summera Kap. 3 Kap. 4 Kap. 5 utom
Läs merDiskutera i ert lag. Innehåll. Vårt lag 3 Laganda 4 Fair Play 5 Självkänsla 6 Kost och sömn 7 Målsättning 8 Attityd 9 Doping 10
LAGHÄFTET 13-16 år Diskutera i ert lag I häftet har vi samlat diskussionsfrågor med olika teman som passar att diskutera i mindre grupper. Tanken är att man ska jobba lagvis och gå igenom ett tema vid
Läs merDen matematiska analysens grunder
KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande
Läs merUtvärdering av 5B1117 Matematik 3
5B1117 Matematik 3 KTH Sidan 1 av 11 Utvärdering av 5B1117 Matematik 3 Saad Hashim Me hashim@it.kth.se George Hannouch Me hannouch@it.kth.se 5B1117 Matematik 3 KTH Sidan av 11 Svar till frågorna: 1 1.
Läs merResultat av betygsenkät gjord av Skogshögskolans Studentkårs Studieråd 2006.
Resultat av betygsenkät gjord av Skogshögskolans Studentkårs Studieråd 26. Enkäten delades ut i två versioner, en pappersform och en webform. Skillnaden mellan de olika versionerna var att kurserna fick
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: oktober 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merLärarmaterial. Vad handlar boken om? Mål från Lgr -11: Författare: Gertrud Malmberg
sidan 1 Författare: Gertrud Malmberg Vad handlar boken om? Saras mamma ska ut och handla och Sara har inget att göra. Mamma föreslår att Sara ska ringa Maja som hon har sällskap med till skolan. Men mamma
Läs merD I G I TA LT S K A PA N D E
DIGITALT SKAPANDE Innehåll WEBBPLATS PRESENTATION AV DIN KARMTAT... 4 Översiktsplan för arbetets olika moment... 4 Intervjuguide... 5 Inlämning senast onsdagen den 9 december... 5 Redovisning onsdagen
Läs merORDNA DINA BILDER. Var finns bilderna Var bör de finnas
ORDNA DINA BILDER Var finns bilderna Var bör de finnas VAR ÄR MINA BILDER? Några råd till dej som inte kan hitta dina dokument och bilder eller som tycker att de finns på flera ställen och ändå vet du
Läs merFöreläsning 4: Giriga algoritmer. Giriga algoritmer
Föreläsning 4: Giriga algoritmer Giriga algoritmer Denna typ av algoritmer arbetar efter följande princip: Gör i varje situation det som är lokalt optimalt, d.v.s. bäst för stunden. Några exempel vi redan
Läs merANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL. Matematikens grunder. för lärare. Anders Månsson
ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL Matematikens grunder för lärare Anders Månsson Extramaterial till boken Matematikens grunder för lärare (art.nr. 38994), Anders Månsson. Till Tallära-kapitlet: Andra
Läs merFöreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik
Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Summaregeln Om och B är disjunkta mängder så B = + B, ty innehåller inga upprepningar Produktregeln Om och B är disjunkta mängder så är B = B Exempel:
Läs merVykort från Cucao, Isla de Chiloé
Vykort från Cucao, Isla de Chiloé Vi längtade ut till havet Océano Pacífico där vi trodde att vi kunde idka lite beach walking, dvs. vandring på stranden. Har man en gång provat detta vill man alltid tillbaka.
Läs mera), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.
PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än
Läs mervarandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.
PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät
Läs merDE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING
DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..
Läs merKOMBINATORIK. Multiplikationsprincipen
KOMBINATORIK How to count without counting. Mar Kac In some cases, theanswermaybenothingmorethan a matter of common nowledge In other cases, the answer may require technical information. But our concern
Läs merAlgoritmanalys. Genomsnittligen behövs n/2 jämförelser vilket är proportionellt mot n, vi säger att vi har en O(n) algoritm.
Algoritmanalys Analys av algoritmer används för att uppskatta effektivitet. Om vi t. ex. har n stycken tal lagrat i en array och vi vill linjärsöka i denna. Det betyder att vi måste leta i arrayen tills
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merKaninen som rymde Lärarmaterial
sidan 1 Författare: Jessika Berglund Vad handlar boken om? Mia och Shirin vill gärna ha var sitt husdjur men får inte det för sina föräldrar. Varje lördag går de till djuraffären. Där gosar de med kaninerna,
Läs merProgrammeringsolympiaden 2012 Kvalificering
Programmeringsolympiaden 2012 Kvalificering TÄVLINGSREGLER Tävlingen äger rum på ett av skolan bestämt datum under sex timmar effektiv tid. Tävlingen består av sex uppgifter som samtliga ska lösas genom
Läs merKursutvärdering Ämne: SO Lärare: Esa Seppälä/Cecilia Enoksson Läsåret 12-13 Klass: SPR2
8 Mycket bra Bra Dåligt Mycket dåligt EAS 1. Hur var ditt första intryck av denna kurs? Mycket bra 6 21 Bra 21 75 Dåligt - - Mycket dåligt 1 4 EAS - - Antal EAS:. Antal svarande: 28. Mv: (Skala 1) = 78,57
Läs merLathund algebra och funktioner åk 9
Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken
Läs merFörberedelser: Sätt upp konerna i stigande ordningsföljd (första inlärningen) eller i blandad ordningsföljd (för de elever som kommit längre).
Räkna till 10 Mål: Eleverna skall kunna räkna till 10, i stigande och sjunkande ordningsföljd. Antal elever: minst 10 elever. Koner med talen 1 till 10.( använd konöverdrag och skriv 10 på en lapp på 0-käglan)
Läs merFysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik!
Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik! Mats Linder 10 maj 2009 Ingen sammanfattning. Sammanfattning För den hugade har vi knåpat ihop en liten snabbguide till den fysik och kvantmekanik
Läs merSIDAN 1. Lgr 11 - Centralt innehåll och förmågor som tränas:
SIDAN 1 Författare: Torsten Bengtsson Boken handlar om: Erik och pappa är på Liseberg. De ska åka en häftig karusell, där man åker upp och ner. Pappa är van. Han har åkt karsusell många gånger förr. Erik
Läs mer(1) För att numrera alla sidor i tidningen, löpande från och med 1, krävs 119 siffror.
1. En skolklass har gjort en tidning. Hur många sidor har tidningen? (1) För att numrera alla sidor i tidningen, löpande från och med 1, krävs 119 siffror. (2) Tryckkostnaden är 25 öre per sida och klassen
Läs mer1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken.
Modul: Taluppfattning och tals användning. Del 3: Det didaktiska kontraktet Likhetstecknet Ingrid Olsson, fd lärarutbildare Mitthögskolan Läraraktivitet. 1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det
Läs merSammanställning över enkätsvar från föräldrar till förskolebarn i Nynäshamns kommun, 2016.
2016-05-22 Sammanställning över enkätsvar från föräldrar till förskolebarn i Nynäshamns kommun, 2016. Enkäten avser Språksatsningens bokpåsar. 101 föräldrar har svarat på enkäten. 1. Har du och ditt barn
Läs merGrunderna i stegkodsprogrammering
Kapitel 1 Grunderna i stegkodsprogrammering Följande bilaga innehåller grunderna i stegkodsprogrammering i den form som används under kursen. Vi kommer att kort diskutera olika datatyper, villkor, operationer
Läs merYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden PROVET I MATEMATIK, LÅNG LÄROKURS 5.9. BESKRIVNING AV GODA SVAR De besrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens
Läs merSammanställning av studentutvärderingen för kursen Estetiska lärprocesser 15 hp, ht 2007
Sammanställning av studentutvärderingen för kursen Estetiska lärprocesser 15 hp, ht 2007 135 av 167 studenter (81%) har Lärare, tidigare år, förskola 39% besvarat utvärderingen Lärare, tidigare år, grundskola
Läs merSSIF. Akrobatikundervisning (copyright Eric Sherbin)
SSF nnehåll rinciper sid. 2 ogisk sid. 3 stegring rund sid. 4 element Balans sid. 5 princip Belastning sid. 6 och balans v å kroppars sid. 7 balans Komplexa sid. 8 system Fall - och sid. 9 passteknik 1
Läs merSvar till tentan
UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Sigstam, Styf Prov i matemati Alla program o frist urs ENVARIABELANALYS 0-08- Svar till tentan 0-08-. Del A Bestäm alla punter P 0 på urvan y = x + sådana att
Läs merVärvningsguide. - så får ni fler medlemmar till er elevkår
Värvningsguide - så får ni fler medlemmar till er elevkår Sida 2 av 7 Innehåll Vad är en medlem?... 3 Aktivt medlemskap... 3 Elev kontra medlem... 3 Vad säger stadgan?... 3 Elevkårens mål bör vara att
Läs merFördjupningskurs i byggproduktion, ht 2009.
Umeå Universitet Sida 1 (10) Fördjupningskurs i byggproduktion, ht 2009. Kursvärdering. Omdöme 1 5 (5 bäst) Kursupplägg i stort 1 2 5 Bra projekt där de tidigare projekten i BP1 och BP2 binds ihop. Får
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 10 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.
Läs merDubbelt En elev plockar upp en näve kuber. En annan ska ta upp dubbelt så många.
Multilink-kuber Varför kuber i matematikundervisningen? Multilink-kuber eller motsvarande material kan utnyttjas till snart sagt alla områden inom matematikundervisningen, i hela grundskolan och även upp
Läs mer