Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på sammandragningarna.

Transkript

1 Uppsala Universitet Matematisa Institutionen Bo Styf Basurs, 5 hp Distans Genomgånget på sammandragningarna. Sammandragning, 5/ 0: Handlade om ombinatori multipliationsprincipen, permutationer, ombinationer, indution, reursion, binomialformeln, Pascals triangel, talområden, absolutbelopp och oliheter. Exempel. Hur många olia 6-siffriga tal an bildas med sex av de sju siffrorna 0333? Detta är problem 5 i GunnarKombprob.pdf på urshemsidan. Lösning. Det finns sju siffror att välja bland när det sexsiffriga talet sall bildas, så en av siffrorna måste tas bort: Om 0 tas bort an :an placeras på 6 sätt????????????????????????? eller?????. 5 När detta är gjort an platserna för de båda tvåorna väljas på = 0 sätt. Därefter finns det bara ett sätt att placera ut treorna. Totalt 60 = 60 olia tal. Om tas bort an 0:an placeras på 5 sätt 0????? ränas som ett femsiffrigt tal. Precis som ovan finns det därefter 0 sätt att placera ut tvåorna och treorna. Totalt 50 = 50 olia tal. Om en av tvåorna tas bort an 0 placeras på 5 sätt, därefter :an på 5 sätt, därefter den tvåa som är var på sätt, därefter finns det bara ett sätt att placera 333. Totalt 55 = 00 olia tal. Om en av treorna tas bort an 0 placeras på 5 sätt, därefter :an på 5 sätt, därefter tvåorna på = 6 sätt, därefter finns det bara ett sätt att placera 33. Totalt 556 = 50 olia tal. Sammanlagt an alltså = 360 OLIKA 6-siffriga tal bildas med sex av de sju givna siffrorna. Exempel. Hur många ord med elva bostäver an fås genom att asta om bostäverna AAAAHHHMMNN? Lösning. Problemet an ses som att vi har elva platser, från vänster till höger, där bostäverna sall utplaceras. Antalet val av platser för AAAA är. Oavsett hur detta val görs finns det 7 = platser att välja bland när HHH sa utplaceras, så antalet möjligheter 7 att göra detta är. På samma sätt finns det sätt att placera ut MM och slutligen 3

2 sätt att placera NN. Enligt multipliationsprincipen finns det därför 7 = = olia ord. Exempel. Hur många tecenföljder an fås genom omastning av abcd3 om a siffrorna måste hamna i ett bloc, b siffrorna får inte hamna i ett bloc? Lösning. a Låter vi s och? stå för en siffra respetive en bostav så är mönstren sss????,?sss???,??sss??,???sss?,????sss möjliga. Vart och ett av dessa fem mönster an fyllas på 3!! olia sätt så antalet möjliga tecenföljder är, enligt multipliationsprincipen 53!! = 56 = 70. b Antalet tecenföljder som an fås genom oinsränt omastning av abcd3 är 7! = 500. I 70 av dessa ligger, enligt a, siffrorna i ett bloc. Det söta antalet är därför = 30. Exempel. På hur många sätt an man dela upp sex personer i två grupper så att varje grupp innehåller mellan två och fyra personer? 6 Lösning. Antalet grupper med två personer är = 5. De som inte väljs till tvågruppen bildar en fyr-grupp och man får alla tänbara fyr-grupper på det sättet. Det finns alltså 5 sätt att dela upp sex personer i två grupper så att varje grupp innehåller 6 två eller fyra personer. Antalet möjliga grupper med tre personer är = 0. Observera doc att de som inte väljs till tre-gruppen ocså bildar en tre-grupp. Antalet sätt att 3 dela upp sex personer i två grupper så att varje grupp innehåller tre personer är därför 0 = 0. Svar. Det finns = 5 sätt att dela upp sex personer i två grupper så att varje grupp innehåller mellan två och fyra personer. Binomialformeln. + z n = + z... + z = = n =0 = + z = + n + 0 n z = + z + z n n n = n =0 n z n + n z + + z + z n n z + + n z n n

3 Potensen z, för 0 n, fås genom att man i produten + z... + z väljer z från av parenteserna och ur de resterande n parenteserna. Ett sådant val an göras på n olia sätt, vilet ger oss oefficienten framför z. Vi ser ocså att n n n = + för 0 < < n. Detta samband ger oss Pascals triangel som är användbar vid beräning av a + b n, för inte alltför stora n. Exempelvis a + b = a + a 3 b + 6a b + ab 3 + b a + b 5 = a 5 + 5a b + 0a 3 b + 0a b 3 + 5ab + b 5 Absolutbeloppet. En av de enlaste, vitigaste och svåraste funtionerna är absolutbeloppet, som definieras genom { x då x 0 x = x då x 0 Kurvan y = x har utseendet y = x Geometrist är x avståndet från punten x till 0 origo på tallinjen x-axeln. På samma sätt gäller att x a är avståndet mellan x och a. Det betyder, till exempel, att oliheten x a < δ är giltig för a δ < x < a + δ. Ett annat vitigt samband är att x = x. Exempel. Sissa följande urvor: 3

4 a y = x b y = x c y = x d y = x 3. Lösning. Vi får successivt y = x y = x a b c y = x d y = x 3 Exempel. Lös oliheterna a x 3 < 5, b x + < 3x + #, c x 5 < 3x

5 Lösning. a Oliheten är evivalent med var och en av följande dubbla oliheter: 5 < x 3 < < x < < x < 8 < x < 9 < x < 3 Oliheten är alltså sann för 3 < x < och < x < 3. b Oliheten # är evivalent med var och en av följande oliheter: vilet gäller för < x < 3 7. x + < 3x + 6x + 6x + < 9x + 6x + 7x + 0x + 3 < 0 x + 7x + 3 < 0 x + x < 0 c För att sa unna gälla måste x > 0. Dessutom måste vi ha 3x < x 5 < 3x. Den högra oliheten är sann för alla x > 0. Den vänstra oliheten är sann om och endast om 5 < 5x, alltså x >. 5

6 Sammandragning, 9/ 0: Någon ritig genomgång av nytt stoff blev det inte. I stället besvarade vi frågor och löste problem som studenterna ört fast på. Problem. Bestäm log 8. Lösning. Sätt x = log 8 detta är det vitigaste steget i lösningen; att införa en betecning för det söta värdet. Vi har då x = x = 8 = 3, vilet medför att x = 3, alltså x = 3. SVAR log 8 = 3. Problem. Förenla uttrycet U = e ln cos x + ln e sin x Lösning. Exponential- och logaritmlagarna, samt den trigonometrisa ettan, ger SVAR U =. U = e ln cos x + sin x = cos x + sin x = Problem. Förenla uttrycet x Lösning. Låt u = x återigen; sätt en betecning på det du sa undersöa. Vi har då log a u = log a x = log a x log a x = log a x = Alltså gäller SVAR x = a. u = a = a 6

7 Sammandragning 3, 5/3 0:.. 7