Tentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk

Transkript

1 Tentamen MVE3 Sannolihet, statisti och ris l Examinator: Johan Jonasson, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat: Johan Jonasson, telefon: Hjälpmedel: Typgodänd miniränare. Två blad (dvs fyra sidor) handsrivna antecningar. Tabeller finns längst ba på tentamenstesen. Denna tentamen utgör grunden för betygssättning. För betyg 3 rävs minst 2 poäng, för betyg 4 minst 3 poäng och för betyg 5 minst 4 poäng. 1. Den stoastisa variabeln X har täthetsfuntion (pdf) f X (x) = 2 (1 + x) 3, x. (a) (2p) Bestäm fördelningsfuntionen (cdf) för X. (b) (2p) Bestäm P(3 < X < 7). (c) (2p) Beräna E[X]. Tips: beräna E[X + 1]. Lösning: Fördelningsfuntionen F ges av Därmed blir Vidare är F (x) = varur det följer att E[X] = 1. x f X (t)dt = 1 1 (1 + x) 2, x. P(3 < X < 7) = F (7) F (3) = = E[X + 1] = 2 (x + 1) (1 + x) 3 dx = 2 2. (6p) Låt X 1,..., X n vara ett sticprov (sample) på någon fördelning med ändlig varians. Visa att sticprovsvariansen s 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 är en väntevärdesritig (unbiased) sattning av σ 2 = Var(X 1 ). Visa ocså att för sticprovsstandardavvielsen s gäller att E[s] σ. Lösning: Det är lätt att se att i (X i X) 2 = i X2 i nx2. Vi har E[X 2 i ] = µ 2 + σ 2 och Summering ger E[X 2 ] = E[X] 2 + Var(X) = µ 2 + σ 2 /n. E[ i (X i X) 2 ] = (n 1)σ 2.

2 Dividera nu med n 1 på bägge sidor för att slutföra argumentet. För oliheten, notera att Var(s) = E[s 2 ] E[s] 2 = σ 2 E[s] 2. Detta ger E[s] 2 σ 2. Ta nu vadratrötter av bägge sidor och få E[s] σ. 3. (6p) Antag att X och Y är oberoende stoastisa variabler med tätheterna (pdf) f X (x) = 1, < x < 1 respetive Beräna P(X < Y ). f Y (x) = 3x 2, < x < 1. Lösning: Eftersom X och Y är oberoende har (X, Y ) den bivariata tätheten f(x, y) = f X (x)f Y (y) = 3y 2, < x, y < 1. Vi har P(X < y) = 1 y f(x, y)dxdy = 1 3y 3 dy = (6p) Fotbollsspelaren Zlatan Ibrahimovic gör mål i 65% av de matcher han spelar. Hans lag, PSG, vinner 84% av de matcher där Zlatan gör mål matcher och man vinner 52% av de matcher där Zlatan inte gör mål. Om PSG vinner en given match, vad är den betingade sannoliheten att Zlatan gjorde mål? Lösning: Låt M vara händelsen att Zlatan gör mål och V händelsen att PSG vinner den givna matchen. Enligt uppgift är P(M) =.65, P(V M) =.84 och P(V M c ) =.52. Vi söer P(M V ) = P(V M)P(M) P(V M)P(M) + P(V M c )P(M c ) = = Minns att den stoastisa variabeln X är gammafördelad med parametrar a > och λ om täthetsfuntionen (pdf) är f X (x) = 1 Γ(a) λa x a 1 e λx, x. (a) (3p) Bestäm momentgenererande funtion till X. Tips: 1 Γ(a) (λ t)a x a 1 e (λ t)x dx = 1. (b) (3p) Använd resultatet i (a) till att visa att summan av två oberoende gammafördelade stoastisa variabler med samma λ ocså är gammafördelad. Lösning: M X (t) = E[e tx ] = 1 Γ(a) etx λ a x a 1 e λx dx = = ( ) λ a. λ t λ a (λ t) a Om nu X Γ(a, λ) och Y Γ(b, λ) och är oberoende, gäller att ( ) λ a+b M X+y (t) = λ t ur vilet det följer att X + Y Γ(a + b, λ). 1 Γ(a) (λ t)a x a 1 e (λ t)x dx

3 6. Man vill undersöa sambandet mellan längden av en graviditet och barnets födelsevit. Man tror på ett linjärt samband och undersöte 18 födslar. Om man låter x 1,..., x n vara graviditetslängderna i dagar och y 1,..., y n motsvarande födelseviter i g, observerades data, som man an anta är normalfördelade, som gav x = 492, x 2 = 13427, y = 6.35, y 2 = 29.5, x y = (a) (2p) Satta regressionslinjen y = a + bx i modellen Y = a + bx + ɛ. (b) (2p) Ge ett 95% onfidensintervall för b. Data gav s 2 = 1 n 2 (y â ˆbx ) =.968. (c) (2p) Ge ett 99% onfidensintervall för den genomsnittliga födelseviten. Lösning: (a) ML-sattningarna av a och b ges av S xy x y ˆb 1 = n x y = S xx x 2 1 n ( x ) 2 och = = â = Y ˆbx = 1 ( ) = Den sattade regressionslinjen är alltså y = x. (b) Konfidensintervall för b är b = ˆb ± Ft 1 s (.975) =.252 ± 2.12 Sxx 7722 =.252 ±.75. (c) Detta handlar om ett vanligt onfidensintervall för µ i normalfördelningen µ = Y ± F 1 t 17 (.995) s n. Här är och Y = så s 2 = 1 n 1 ( y 2 1 n ( y ) 2 ) = µ = 3.35 ± = 3.35 ± (8p) Antag att på eftermiddagen är trafien vid en viss punt sådan att den i både nordlig och sydlig ritning utgörs av Poissonprocesser, med intensitet 7 fordon per minut i sydlig ritning och 3 fordon per minut i nordlig ritning. (a) (2p) Vad är sannoliheten att det under en given minut passerar sammanlagt exat sju fordon?

4 (b) (3p) I ett givet ögonblic, vad är sannoliheten att nästa fordon som passerar åer i sydlig ritning? (c) (3p) Givet att exat sju fordon totalt passerar en viss minut, vad är den betingade fördelningen för antal fordon som går söderut? Lösning: Låt X och Y vara antal fordon söderut respetive norrut under en minut. Då gäller att X Poi(7), Y Poi(3) och X + Y Poi(1). I (a) sös 1 17 P(X + Y = 7) = e 7!.9. För del (b), utnyttja att tiden till nästa fordon söderut, T s, respetive norrut, T n är oberoende och exp(7)- respetive exp(3)-fördelade. Vi söer För del (c) slutligen, P(T s < T n ) = P(X = x X + Y = 7) = P(T n > x)f Ts (x)dx = = P(X = x, Y = 7 x) P(X + Y = 7) ( ) 7 ( 7 x 1 )x ( 3 1 )7 x. e 3x 7e 7x = 7 1. = 7x 37 x e 7 x! e 3 (7 x)! e ! Vi ser alltså att den betingade fördelningen för X givet X + Y = 7 är binomial med parametrar 7 och 7/1. 8. (6p) Var och en av de sex sidorna av en tärning märs med ett av talen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Talen väljs på måfå (uniformly) och oberoende. Tärningen astas sedan två gånger. Vad är sannoliheten att de två asten visar samma tal? Lösning: Låt A vara händelsen att de två asten visar samma tal och B händelsen att de två asten visar samma sida. Vi har P(A) = P(A B)P(B) + P(A B c )P(B c ) = = Lyca till! Johan Jonasson

5 Tabell 1: Values of the cdf Φ(x) of the standard normal distribution [e.g., Φ(1.41) =.921] x Tabell 2: Values of Φ(x) commonly used in confidence intervals and tests, and the corresponding x values Φ(x) x

6 Tabell 3: Percentiles of the t distribution with DF degrees of freedom [e.g., F t7 (1.89) =.95] DF DF , Tabell 4: Percentiles of the chi-square distribution with DF degrees of freedom [e.g., F χ 2 2 (1.85) =.5] DF DF

7 Tabell 5: Percentiles of the F distribution with r and s degrees of freedom [e.g., F F8,2 (2.45) =.95] 2.5 % percentile s r = % percentile s r =

8 97.5 % percentile s r = Tabell 6: Critical values c for the Wilcoxon signed ran test, where n is the sample size and C = n(n + 1) c [e.g., if n = 2, then P (W 61) = P (W 149).5] n.25.5 n(n + 1)/2 n.25.5 n(n + 1)/

9 Tabell 7: Critical values c for the Wilcoxon ran sum test, where m is the size of the smaller sample, and C = m(m + n + 1) c [e.g., if m = 4 and n = 8, then P (W 16) = P (W 36).5] n P (W c) m =