Examensarbete. Radiella vikter i R n och lokala dimensioner Hanna Svensson. LiTH-MAT-EX2014/03SE

Transkript

1 Examensarbete adiella viter i n och loala dimensioner Hanna Svensson LiTH-MAT-EX2014/0SE

2

3 adiella viter i n och loala dimensioner Matematisa institutionen, Linöpings universitet Hanna Svensson LiTH-MAT-EX2014/0SE Engels titel: adial weights in n and local dimensions Examensarbete: 0 hp Nivå: A Handledare: Jana Björn, Matematisa institutionen, Linöpings universitet Examinator: Anders Björn, Matematisa institutionen, Linöpings universitet Linöping: Juni 2014

4

5 Sammanfattning Kapaciteter an vara till stor nytta, bland annat då partiella dierentialevationer sa lösas. Kapaciteter är doc i många fall väldigt svåra att beräna exat, speciellt i vitade rum. Vad som istället an göras är att försöa uppsatta apaciteterna, vilet för ringar runt en x punt an utföras med hjälp av fyra olia exponentmängder, Q 0, S 0, S 0 och Q 0, som besriver hur viten beter sig i närheten av denna punt och i viss mån ger rummets loala dimension. För att unna dra nytta av exponentmängderna är det bra att veta vila ombinationer av dessa som an föreomma. För att få fram nya ombinationer använder vi olia sätt att mäta volym av lot med varierande radier. Dessa mått är denierade genom olia viter. Det har tidigare funnits ett fåtal exempel på hur olia ombinationer av exponentmängderna an se ut. Variationerna består av hur avstånden är i förhållande till varandra och om ändpunterna tillhör mängderna eller inte. I denna rapport har vi tagit fram ytterligare fem nya ombinationer av mängderna, bland annat en där Q 0 är öppen. Nycelord: Admissibel vit, dubblerande mått, exponentmängder, apacitet, lot, mått, Poincarés olihet, ringar, sobolevrum, vit. UL för eletronis version: Svensson, v

6 vi

7 Abstract Capacities can be of great benet, for instance when solving partial dierential equations. In most cases, capacities can be dicult to calculate exactly, in particular on weighted spaces. In these cases, it can be sucient with an estimation of the capacity instead. For annuli around a given point, the estimation can be done using four exponent sets Q 0, S 0, S 0 and Q 0, which describe how the weight behaves in a neighbourhood of that point and in some sense dene the local dimension of the space. To be able to use the exponent sets, it is useful to now which combinations of them can exist. For this we use various measures, which are a way to measure volumes of balls with varying radii in n. These measures are dened by dierent weights. Earlier, there existed a few examples giving dierent combinations of exponent sets. The variations consist in their relationship to each other and if their endpoints belong to the set or not. In this thesis we present ve new combinations of the exponent sets, amongst them one where Q 0 is open. Keywords: Admissible weight, annulus, ball, capacity, doubling measure, exponent sets, measure, Poincaré inequality, Sobolev space, weight. UL for electronic version: Svensson, vii

8 viii

9 Förord Jag sulle vilja taca min handledare Jana Björn för givande disussioner och för att hon tagit sig tid till att ge bra handledning och god feedbac. Även min examinator Anders Björn förtjänar ett stort tac. Min opponent Anders ydell vill jag ocså taca för att han läst igenom arbetet och gett goda råd. Sist men inte minst vill jag taca min fästman, Joaim Ström, som varit ett enormt stöd. Svensson, ix

10 x

11 Terminologi Några av de matematisa symboler och funtioner som används i rapporten är förlarade nedan. n Mängden av alla ordnade n-tipler x 1, x 2,..., x n där x 1, x 2,..., x n är reella tal. Bx,r Öppna lotet med radie r och mittpunt x. B r En förortning av Bx,r då x är xt. B \ B r En ring med den yttre radien och den inre radien r. wx En vitfuntion på n, där n 1. µa Måttet av en mängd A, där µa = w x dx. A Om a b så nns det en onstant C > 0 så att a Cb. Om a b så nns det en onstant C > 0 så att a Cb. a b om a b och a b. Om A B så är A en delmängd till B. Om A B så är B en delmängd till A. A B är mängden av element som mängden A och mängden B har gemensamt. Svensson, xi

12 xii

13 Innehåll 1 Inledning Bagrund Framtagna mängder Syfte Metod Strutur Teori 9 En öppen S-mängd 15.1 Variabler Exempel: Slutenöppenslutensluten Vit Mått av olia ringar Mått av olia lot Framtagning av S-mängderna Framtagning av Q-mängderna Exempel: Slutenslutenöppensluten Vit Mått av olia ringar Mått av olia lot Framtagning av S-mängderna Framtagning av Q-mängderna S-mängderna ihop Exempel: Slutenöppenslutensluten Variabler och vit Mått av olia ringar Mått av olia lot Framtagning av S-mängderna Framtagning av Q-mängderna Exempel: Slutenöppenöppensluten Variabler och vit Mått av olia ringar Mått av olia lot Framtagning av S-mängderna Framtagning av Q-mängderna Admissibilitet Svensson, xiii

14 xiv Innehåll 5 En öppen Q-mängd och en öppen S-mängd Exempel: Öppenöppenslutensluten Variabler och vit Mått av olia ringar Mått av olia lot Framtagning av S-mängderna Framtagning av Q-mängderna Avslutning esultat Disussion och vidare arbete

15 Kapitel 1 Inledning Nedan följer en besrivning över de exponentmängder som ommer att stå i fous under större delen av rapporten. Det nns även information om vad som har sagts tidigare inom detta område. Dessutom ges en förlaring av apaciteter som är ett vitigt tillämpningsområde. 1.1 Bagrund Det är i många fall användbart att unna beräna eller uppsatta apaciteter för olia parametrar och av olia mängder. Till exempel är det änt att lösningar till partiella dierentialevationer ofta tillhör så allade sobolevrum, se HeinonenKilpeläinenMartio [6]. Sobolevrum består av funtioner, som är deriverbara i en generaliserad mening och vars partiella derivator är integrerbara i en viss potens. Denna denition medför att sobolevfuntioner endast är väldenierade utanför mängder med apacitet noll. Kapacitet dyer ocså upp när det studeras randregularitet av lösningar till randvärdesproblem för partiella dierentialevationer. Till exempel använde Wiener år 1924 [9] apacitet i det så allade wienerriteriet. Detta riterium besriver i vila randpunter harmonisa funtioner antar sina randvärden på ett ontinuerligt sätt. För att unna gå in mer på apacitet, vilet även används inom ellära, fortsätter vi med två denitioner. Den första denitionen förlarar begreppet mått. Denition 1.1. Låt wx > 0 vara en vitfuntion på n, där n 1, och låt en delmängd A n vara mätbar. Då denieras måttet µ av A genom µa = w x dx. A Ett mått är ett allmänt sätt för att mäta volym av mängder i n. Mer allmän teori om mått och deras egensaper nns att läsa i bland annat Folland [4] och udin [8] Vi fortsätter sedan med en denition av p,µ-apacitet för en ondensator. Svensson,

16 2 Kapitel 1. Inledning Denition 1.2. Låt mängden K vara ompat 1 i en öppen mängd Ω. Vidare låter vi 1 < p < vara en parameter. Kapaciteten cap p K, Ω fås då av att minimera p-energin ux p dµ 1.1 Ω över alla tillräcligt släta funtioner 2 u sådana att oliheten u 1 gäller i K och liheten u = 0 gäller utanför Ω. Kapaciteten cap p K,Ω allas ibland ocså variationsapacitet, se till exempel HeinonenKilpeläinenMartio [6]. Betrata en ondensator, vars plattor består av den slutna mängden K och randen till den öppna mängden Ω. Den eletrostatisa apaciteten av denna ondensator fås då av att sätta p = 2 i denition 1.1. Måttet µ är då lebesguemåttet och w = 1. Vidare noteras att om mängderna K och Ω är tredimensionella an vi på detta sätt räna ut apacitansen av en ondensator. Innan vi går in på hur p-apacitet av sfärisa ondensatorer i n beränas, tittar vi på hur lot denieras. Denition 1.. Givet en punt x 0 n och ett reellt tal r > 0 denieras ett lot genom Bx 0,r = {x n : x x 0 < r}. Då x 0, vilet är mittpunten av lotet, är xt ommer även notationen B r = Bx 0,r att användas. Om radierna är 0 < r < < så an vi deniera en sfäris ondensator genom B r, B. I det ovitade fallet det vill säga med w = 1 går det då att beräna p-apaciteten i n exat som p 1 n p p n p n ω p 1 n 1 r p 1 1 p, om p n, p 1 cap p B r,b = ω n 1 log 1 n, om p = n, r 1.2 där ω n 1 är ytarean av enhetssfären i n, se HeinonenKilpeläinenMartio [6, s. 5]. Vid studier av apacitet och eletrostatis potential i icehomogena material, multipliceras vitfuntionen w in i integralen i den minimerade energin från 1.1. Vi får då ux p wx dx. Ω Här besriver w eletrostatisa egensaper av materialet. Kapaciteten an i dessa fall bli väldigt svår att beräna exat, istället används ofta olia uppsattningar, så som i HeinonenKilpeläinenMartio [6, Theorem 2.18 och 2.19], AdamowiczShanmugalingan [1], GarofaloMarola [5] och BjörnBjörnLehrbäc []. Där har det visat sig att dimensionen av rummet eller snarare av viten w är av stor betydelse när det ommer till att uppsatta apaciteter. I [] denierades fyra exponentmängder som i princip bestämmer hur apaciteten av olia ringområden motsvarande till sfärisa ondensatorer beter 1 En mängd är ompat om den är sluten och begränsad [7, s. 15]. 2 Med en slät funtion menas en funtion som an deriveras tillräcligt många gånger.

17 1.1. Bagrund sig. Till exempel i 1.2 ser vi att om 1 < p < n, så är exponenten p n p 1 negativ och därför dominerar termen r p n p n p 1 över p 1, och den ovitade apaciteten cap p B r, B blir ungefär r n p, i alla fall för 0 < r 2. För p > n är det tvärtom. Då blir istället p n p 1 dominerande och capp B r, B blir ungefär n p. Exponentmängderna denieras på följande sätt: Denition 1.4. Låt µ vara ett mått på n och låt x n vara xt. Då denieras exponentmängderna S 0 x := {q > 0 : det nns C q så att µbx,r C q r q för 0 < r 1}, S 0 x := {q > 0 : det nns C q > 0 så att µbx,r C q r q för 0 < r 1}. Dessutom denieras Q 0 x som mängden { q > 0 : det nns C q så att µbx,r r } q µbx, C q för 0 < r < 1 och Q 0 x är mängden { q > 0 : det nns C q > 0 så att µbx,r r } q µbx, C q för 0 < r < 1. I fortsättning ommer vi enbart sriva S 0, S 0, Q 0 och Q 0 och låta beroendet på x vara underförstått. I alla exemplen studerar vi exponentmängderna för x = 0. Observera att vi alltid har Q 0 S 0 och Q 0 S 0. Dessutom, om S 0 S 0, så är S 0 = Q 0 = 0, q] och S 0 = Q 0 = [q, för något 0 < q <, se Björn BjörnLehrbäc [, Lemma ]. Till exempel för lot i n där viten w = 1 fås mängderna S 0 = Q 0 = 0, n] och S 0 = Q 0 = [n, I rapporten ommer vi att använda betecningen a b om det existerar en onstant 0 < C < så att a Cb, där C är oberoende av de inblandade parametrarna. På motsvarande sätt används a b om b a. En tredje betecning som ommer att användas är, som säger att a b om a b a. Med andra ord är a b om C 1 b a C 2 b, där 0 < C 1 < och 0 < C 2 < samt att onstanterna är oberoende av de inblandade parametrarna. När det ommer till viterna, nns olia villor som sulle unna ställas på dem. Ett av villoren är dubbleringsvilloret. Att µ är ett dubblerande mått på n betyder att det nns en onstant C så att det för varje lot Bx,r i n gäller att µbx,2r Cµ Bx,r. Vi fortsätter med en sats om vad dubbleringsvilloret an leda till, se Björn BjörnLehrbäc [, s. 67] för bevis. Sats 1.5. Om µ är dubblerande så är Q 0 och Q 0 ice tomma. Därmed fås att mängderna Q 0 och S 0 är intervall av formen 0,q eller 0,q], medan Q 0 och S 0 är intervall av formen q, eller [q,. Ett annat villor som an ställas på en vit är att 1-Poincaré oliheten sa gälla. Enligt [, Denition 4.4] betyder 1-Poincaré olihet att det för varje lot Bx,r i n och för alla C 1 -funtioner f gäller att f f B dµ Cr f dµ, Bx,r Bx,r

18 4 Kapitel 1. Inledning där f B är medelvärdet av f över Bx,r. I BjörnBjörnLehrbäc [] används 1-admissibla viter i exemplen, som visar att alla exponentmänderna an vara olia och att de an vara både öppna och slutna intervall. I denna rapport tar vi fram nya ombinationer av exponentmängderna. Denition 1.6. Ett mått µ på n är 1-admissibelt om det är dubblerande och 1-Poincaré oliheten gäller. Måttet är alltså av stor betydelse när det ommer till lösningar av partiella dierentialevationer, vilet även noterades i HeinonenKilpeläinenMartio [6]. De två ommande satserna förtydligar sambanden mellan exponentmängderna och apacitet. Första satsen, vilen ommer från BjörnBjörnLehrbäc [, Theorem 1.1], visar hur en apacitet an uppsattas för olia parametrar genom att veta måttet av lotet B r eller B. Sats 1.7. Låt x n och 0 > 0 vara xt och 1 p <. Låt sedan måttet µ n vara detsamma som i denition 1.1. Antag ocså att µ är 1-admissibelt. a Om p är en inre punt av Q 0 så är cap p B r,b µb r r p när 0 < 2r b Om p är en inre punt av Q 0, så är cap p B r,b µb p när 0 < 2r Omvänt har vi att om 1. gäller så är p Q 0, medan om 1.4 gäller så är p Q 0. Från a-delen i sats 1.7 ser vi återigen att ommentarerna till 1.2 stämmer för 1 < p < n, det vill säga att cap p B r,b ungefär blir r n p, ty µb r är ungefär r n. Detsamma gäller för b-delen i sats 1.7, vilen visar att cap p B r,b ungefär blir n p eftersom µb fortfarande är ungefär n. Nästa sats hanterar fallet då parametern p är en ändpunt av Q-mängderna och ommer från BjörnBjörnLehrbäc [, Theorem 1.2]. För att lättare förstå satsen noterar vi att för ett intervall I är supremum av I, sup I, dess högra ändpunt och inmum av I, inf I är dess vänstra ändpunt. Sats 1.8. Låt 1 p < och låt x n och 0 > 0 vara xt. Använd sedan måttet µ på n från denition 1.1. Antag att µ är 1-admissibelt. a Om Q 0 = 0, p] och 0 < 2r 0, då gäller att µb r r p log 1 p cap r p B r, B µb p log 1 p. 1.5 r b Om Q 0 = [p, och 0 < 2r 0, då gäller att µb p log 1 p cap r p B r, B µb r r p log 1 p. 1.6 r Omvänt, om den undre begränsningen i 1.5 gäller så är p sup Q 0. Sulle den undre begränsningen i 1.6 gälla så är istället p inf Q 0.

19 1.1. Bagrund 5 Det nns även linande uppsattningar för apaciteter om parametern p tillhör någon av S-mängderna, se bland annat [, Proposition 1.]. Vidare ser vi från [, Lemma 2.4] att vi för varje 0 > 0 får att q S 0 om och endast om det existerar en onstant C > 0 beroende på 0 så att µb r Cr q för 0 < r < 0. Analogt får vi att q S 0 om och endast om det existerar en onstant C > 0 så att µb r Cr q för 0 < r < 0. Det betyder att talet 1 i denitionen av S-mängderna an bytas mot ett godtycligt 0 > 0. Motsvarande gäller ocså för Q 0 och Q 0, se [, Lemma 2.5] Framtagna mängder Nedan följer sammanfattningar av exempel.1.4 från BjörnBjörnLehrbäc []. I dessa exempel har det med hjälp av olia viter visats att de fyra exponentmängderna Q 0, S 0, S 0 och Q 0, an ha fyra olia ändpunter och att mängderna an vara både öppna och slutna. I samtliga fall nedan används mått där dµ = w y dy och mittpunten av loten, x, väljs till origo. Vi börjar med att titta på exempel.1 i []. Där ligger viten i n med dimensionen n 2. Viten som används är β ρ log wρ = ρ p n 1, om 0 < ρ 1 e, ρ p n, annars. Detta ger måttet µb r r p log 1 r β för alla godtycliga β n och tillräcligt små r > 0. Om β > 0 fås mängderna Om däremot β < 0 fås S 0 = Q 0 = 0, p och S 0 = Q 0 = [p,. S 0 = Q 0 = 0, p] och S 0 = Q 0 = p,. Slutligen om β = 0 fås alltså måttet µb r r p och mängderna blir S 0 = Q 0 = 0, p] och S 0 = Q 0 = [p,. I exempel.2 i BjörnBjörnLehrbäc [] denieras viten i 2 med hjälp av variablerna α = 2 2 och β = α 2, där = 0,1,2,.... Viten ger då exponentmängderna α +1, om α +1 ρ β, ρ wρ = 2, om β ρ α, 1.7 α ρ, om ρ 1 2, Q 0 = 0, 2], S 0 = 0, ], S 0 = [ 10, och Q 0 = [4,.

20 6 Kapitel 1. Inledning Speciellt gäller att µb α α, µb β β 10 µ B α+1 µb β α+1 β 2 och, µb β µb α β I exempel.4 i BjörnBjörnLehrbäc [] generaliseras detta till n. Med 1 < a < b < c < d och c ad b λ = b ad c väljs variablerna istället till α = 2 λ och β = α d b d c, där = 0,1,2,.... Detta leder till att vi med hjälp av viten α b a +1 ρa n, om α +1 < ρ β, wρ = α b d ρ d n, om β ρ α, α 0, om ρ α 0. får mängderna α 4. Q 0 = 0, a], S 0 = 0, b], S 0 = [c, och Q 0 = [d,. I exempel. onstruerades en vit i 2 så att S 0 och S 0 går ihop samt att S 0 Q 0 och S 0 Q 0. Exponentmängderna blev Q 0 = 0, 2], S 0 = 0, ], S 0 =, och Q 0 = [4,. För att omma fram till detta användes samma α = 2 2 som i exempel.2 från [], för =, 4, 5,.... Det introducerades ocså nya variabler, γ = α +1 log och δ = α +1 log 2. Viten som användes var α +1, om α +1 ρ γ, ρ w 2 ρ = 2, om γ ρ δ, δ ρ, annars. 1.2 Syfte Syftet med rapporten är att ta fram nya viter med hjälp av olia variabler. Främst fouseras det på viter i 2. Frågan är om det går att hitta viter som leder till andra ombinationer av S- och Q-mängderna än de som är besrivna ovan. Exempel på sådana ombinationer sulle exempelvis unna vara fall där båda S-mängderna är öppna, eller någon av Q-mängderna är öppen. Det sulle ocså unna föreomma fall där S-mängderna går ihop men inte Q-mängderna. 1. Metod För att hitta olia exponentmängder studeras tidigare genomförda exempel. Därefter tas det fram nya viter för att se vad det sulle unna leda till. I de fall det inte leder till några nya mängder går det ofta att göra några få modiationer på viten i fråga, för att sedan göra nya beräningar och se om det ger bättre resultat.

21 1.4. Strutur Strutur Efter detta inledande apitel följer ett apitel med teori. Teorin ligger till grund för de ommande tre apitlen, som innehåller exempel. apporten innehåller sammanlagt fem olia exempel, där vart och ett av exemplen visar hur en ny exponentmängd har tagits fram. I apitel 4 nns även ett extra avsnitt som visar att viterna som använts i apitlet är 1-admissibla. Avslutningsvis följer de slutsatser som dragits.

22 8 Kapitel 1. Inledning

23 Kapitel 2 Teori Vi sa nu försöa gå igenom lite teori som an vara till nytta innan vi börjar med exemplen. För att få fram exponentmängderna börjar vi med att försöa hitta lämpliga variabler tillsammans med en vit. För samtliga viter i exemplen gäller det som står om viten w i denition 1.1. Efter att vi ommit fram till en vit vill vi använda den för att beräna måtten av olia lot. I de fem exemplen nedan antar vi att lotens mittpunter, x 0, är xa och benner sig i origo. På grund av att de är xa an vi använda oss av det förortade srivsättet B r = Bx 0,r. Vidare beränas måtten i exemplen med polära oordinater och fås, när n = 2, genom följande integral µb r = 2π r 0 wρρ dρ r 0 wρρ dρ, där 2π an approximeras bort på grund av. I n fås istället µb r r 0 wρρ n 1 dρ. Om det sulle önsas att räna ring en annan punt än origo går det att sifta viterna och försjuta de polära oordinaterna. När måtten beränats an vi få fram olia uppsattningar för µb r. Dessa uppsattningar bruar leda till att vi får fram en exponent q, inom gränserna 0 < q <, som tillhör någon av de fyra exponentmängderna. Lemmat nedan besriver vad dessa q an ge oss. Lemma 2.1. Låt 0 < q <. a Om q S 0, så är S 0 0, q]. b Om q Q 0, så är Q 0 0, q]. c Om q S 0, så är S 0 [q,. d Om q Q 0, så är Q 0 [q,. Bevis. a Låt q S 0 och låt 0 < q < q. Från denition 1.4 fås då oliheten µb r C q r q < C q r q, 2.1 där C q är positiv och oberoende av r < 1, därmed får vi även att q S 0. Eftersom q 0, q är godtyclig fås ocså att S 0 0, q]. Svensson,

24 10 Kapitel 2. Teori b Beviset för b påminner om beviset för a ovan. Vi börjar med att låta q Q 0 och q < q. Vidare får vi genom att byta ut µb r mot µb r µb och r mot r i 2.1 att µb r r q r q µb C q < Cq. Här är C q oberoende av r och, där r < 1. Vi får därmed att q Q 0. Sedan an vi på grund av att q 0, q även här är godtyclig, dra slutsatsen att Q 0 0, q. c Låt q S 0 och låt q < q + <. Vi an sedan återigen använda denition 1.4 tillsammans med C q > 0 för att få oliheten µb r C q r q > C q r q+, där r < Vi ser nu att q + S 0 och att exponentmängden S 0 [q,. d Låt q Q 0 och q < q + < på samma sätt som ovan. På linade sätt som i 2.2 får vi då att µb r r q r q + µb C q > Cq, där 0 < r < 1. Vidare är C q positiv och oberoende av r och. Alltså q + Q 0 och eftersom q + > q var godtyclig erhålls att Q 0 [q,. I vissa exempel går det att få uppsattningar av lotets mått som linar oliheten µb r ζrr q, där funtionen ζr an variera. Då ζr uppfyller vissa riterier leder det till att vi får en öppen delmängd till S 0 eller S 0. Detaljer om vila riterier som gäller för ζr besrivs i lemmat nedan. Lemma 2.2. Låt 0 < q < och låt ζr vara en positiv funtion. Antag för alla ε > 0 att ζrr ε 0, då r 0. a Om µb r ζrr q för 0 < r 1, så är S 0 0, q. b Om µb r rq ζr för 0 < r 1, så är S 0 q,. Bevis. a Låt 0 < ε < q vara godtycligt. Då fås oliheten µb r ζrr q = ζrr ε r q ε r q ε, eftersom ζrr ε 0 då r 0. Detta ger oss att q ε S 0 för alla 0 < ε < q. Därmed ser vi att S 0 0, q. b Låt ε > 0 vara godtycligt, vilet leder till att µb r rq ζr = 1 rq+ε ζrr ε rq+ε. Sista steget i oliheten fås eftersom ζrr ε 0 och alltså 1, då r 0. ζrrε Därmed har vi att q + ε S 0 och alltså har vi visat att S 0 q,.

25 11 I lemma 2.1 och lemma 2.2 c vi se exempel på intervall som är en delmängd till en exponentmängd. Men för att få lihet mellan ett intervall och en exponentmängd rävs inte bara att visa att intervallet är en delmängd till exponentmängden. Det behöver ocså visas att det inte nns er punter som tillhör exponentmängden. Ett sätt att visa detta på är att onstatera att exponentmängden även är en delmängd till intervallet. Därför sa vi nu titta på ett lemma som leder till att S-mängderna blir en delmängd till ett givet intervall. Lemma 2.. Låt {r } =1 vara en positiv följd sådan att r 0 då. Låt vidare 0 < q <. Då gäller följande. a Om b Om µb r lim r q =, så är q / S 0 och därmed är S 0 0, q. µb r lim r q = 0, så är q / S 0 och därmed är S 0 q,. Beviset till lemmat är ett motsägelsebevis, där vi tagit hjälp av denition 1.4. Bevis. a Antag att q S 0. Då erhålls från denition 1.4 att µb r C q r q 2. där C q är en onstant oberoende av. Genom omsrivning får vi då gränsvärdet lim sup µb r r q Men enligt antagandet har vi gränsvärdet µb r lim r q =, C q. 2.4 vilet blir en motsägelse, ty C q <. Därmed har vi visat att q / S 0, vilet tillsammans med lemma 2.1 ger att S 0 0, q. b På samma sätt som i beviset för a antar vi att q S 0 och får med hjälp av denition 1.4 att µb r C q r q, 2.5 där C q > 0 är en onstant oberoende av. Med omsrivning ser vi att lim inf µb r r q Men enligt antagandet har vi gränsvärdet µb r lim r q = 0, C q. 2.6 vilet gör att 2.6 inte håller, eftersom C q > 0. Därmed har vi visat att q / S 0 och precis som i a använder vi lemma 2.1 för att dra slutsatsen att S 0 0, q. När vi beränar exemplen får vi ibland fram att µb r r q för vissa r. Med hjälp av orollariumet nedan an vi se att i några av dessa fall fås att S 0 [q, och S 0 0, q].

26 12 Kapitel 2. Teori Korollarium 2.4. Låt {r } =1 vara en positiv följd sådan att lim r = 0. Om 0 < q < och µb r r q, för alla = 1,2,,..., så gäller att exponentmängden S 0 0, q] och exponentmängden S 0 [q,. Bevis. Enligt denitionen av så är µb r r q evivalent med C 1 r q µb r C 2 r q, 2.7 där C 1 och C 2 är positiva onstanter oberoende av. Vi fortsätter sedan med att visa att q + ε / S 0 för varje ε > 0 och alltså S 0 0, q]. Det gör vi genom att använda r q = rq+ε r ε i 2.7, vilet ger gränsvärdet µb r C 1 lim r q+ε lim r ε =. Från lemma 2. fås då att S 0 0, q + ε. Eftersom detta gäller för varje ε > 0, så fås att S 0 0, q]. På linande sätt fås att q ε / S 0, för varje 0 < ε < q. Detta visas med hjälp av 2.7 genom det nya gränsvärdet µb r lim r q ε lim C 2r ε = 0. Därmed erhålls från lemma 2. att q ε / S 0 för varje ε > 0, alltså erhåller vi att S 0 [q,. Hittills har vi mest tittat på lemman som hjälper till att få fram S-mängderna. Vi sa därför gå över till att titta lite på vad som gäller för Q-mängderna. När vi beränar olia exempel får vi mot slutet fram olia uppsattningar för voten mellan måtten µb r, där 0 < r < 1. Lemmat nedan besriver ett µb fall som linar fallet i lemma 2., med sillnaden att detta lemma istället berör Q-mängderna. Lemma 2.5. Låt 0 < q < samt antag att {r } =1 och { } =1 är två följder sådana att 0 < r < 1, för = 1,2,.... Antag vidare att gränsvärdet Då gäller följande: a Om b Om lim lim r lim = 0. µb r µb q =, så är q / Q 0 och därmed Q 0 0, q. r µb r µb q = 0, så är q / Q 0 och därmed Q 0 q,. r

27 1 Bevis. Här använder vi samma metod som i beviset av lemma 2.. a Antag att q Q 0. Denition 1.4 ger då oliheten q µb r µb C r q, 2.8 där C q är en onstant oberoende av. Med en omsrivning ser vi att lim sup µb r µb q C q. 2.9 r Men enligt antagandet har vi gränsvärdet lim µb r µb q =, r vilet gör att 2.9 inte håller på grund av att C q <. Därmed har vi visat att q / Q 0. Lemma 2.1 gör sedan att vi även får att Q 0 0, q. b På samma sätt som i beviset för a får vi, om q Q 0 och med hjälp av denition 1.4 att q µb r µb C r q, 2.10 där C q > 0 är en onstant oberoende av. Med omsrivning får vi sedan oliheten µb r lim inf Men enligt antagandet har vi liheten lim µb q C q r µb r µb q = 0 r och därmed an inte 2.11 vara sant på grund av att C q > 0. Vi har nu visat att q / Q 0. Lemma 2.1 gör sedan att vi även får Q 0 q,. Precis som för lemma 2., implicerar ovanstående lemma ett orollarium. Här besrivs fall som leder till att Q 0 0, q] och Q 0 [q,. Korollarium 2.6. Låt {r } =1 och { } =1 vara följder sådana att r 0 < r < 1 och lim = 0. Låt vidare 0 < q <. Om sedan q µb r µb r, för alla = 1,2,,..., 2.12 så följer att Q 0 0, q] och Q 0 [q,.

28 14 Kapitel 2. Teori Bevis. Från denitionen av an vi sriva antagandet 2.12 som q r C 1 µb q r µb C r 2, 2.1 där C 1 och C 2 är positiva onstanter oberoende av. Genom att sedan använda 2.1 får vi för alla 0 < ε < q att lim µb r µb q+ε lim r C 1 r ε = och lim µb r µb q ε lim C 2 r r ε = 0. Med hjälp av lemma 2.5 fås då att Q 0 0, q + ε och Q 0 q ε, för alla 0 < ε < q, vilet leder till att Q 0 0, q] och Q 0 [q,.

29 Kapitel En öppen S-mängd Nedan följer två exempel där Q 0 och Q 0 är slutna mängder medan en av mängderna S 0 och S 0 är öppen. Dessutom är ändpunterna till alla dessa mängder olia. I de båda exemplen ommer vi att använda oss av samma variabler, endast en liten modiering av måtten ommer att göras. Vi börjar därför med att besriva de variabler som ommer att användas innan vi går in mer på de specia exemplen..1 Variabler Givet 0 < a < b < c < d, låt och låt för = 1,2,,..., λ = c ad b b ad c > 1 α = 2 λ och β = α d b d c Observera att α +1 < β < α för = 1,2,,.... = α b a c a Exempel: Slutenöppenslutensluten I detta exempel onstruerar vi för givna 0 < a < b < c < d en vit som ger exponentmängderna.2.1 Vit Q 0 = 0, a], S 0 = 0, b, S 0 = [c, och Q 0 = [d,. Notera variablerna i apitel.1. För = 1,2,,... och dimensionen n 1 betratar vi sedan följande vit i n, β c a ρ a n, om α +1 < ρ β, wρ = β c d ρ d n, om β < ρ α,.1 ρ b n, om ρ > α 1. Svensson,

30 16 Kapitel. En öppen S-mängd.2.2 Mått av olia ringar Genom att börja med att beräna måtten av olia ringar går det att få fram de önsade mängderna S 0, S 0, Q 0 och Q 0. För att beräna måtten tar vi hjälp av polära oordinater. Måttet för ringar med en inre radie α +1 och en yttre radie r, där α +1 r β fås av µ B r \ B α+1 r β c a α +1 ρ a n+n 1 dρ β c a r a α+1 a..2 Måttet av en ring med den yttre radien β beränar vi genom användning av oliheten c a c aa b aa a a = = c b b a b a b a a > 0 och att β β 1 < 1. Detta leder till att vi får oliheterna 0 < β c a b a a a β c b b a a 1 < 1, vilet medför att 1 β c a b a a a 1 för alla = 1,2,.... Vi an nu sätta r = β i.2 och utnyttja att α+1 a = β c a b a a för att erhålla måttet µ B β \ B α+1 β c a β a α+1 a = β c a β a β c a b a a. = β c 1 β c a b a a a β. c Vidare har vi för ringar, med en inre radie β β r α, att och en yttre radie r där µb r \ B β r β c d β ρ d n+n 1 dρ β c d r d β d..4 På linande sätt som för. an vi nu beräna måttet av en ring med yttre radie α. Det görs med hjälp av att som medför oliheterna 0 < α d b d c d d d b d c d d = c b d c d > 0 och α α 1 < 1, α c b d c d 1 < 1 och därmed att 1 α d b d c d d 1 för alla = 1,2,.... Måttet fås sedan av µb α \ B β β c d α d β d = α b d α d α d b d c d = α b 1 α d b d c d d α. b.5

31 .2. Exempel: Slutenöppenslutensluten Mått av olia lot Nu an vi med hjälp av de beränade ringarna få fram måtten av olia lot. Det får vi genom att addera ihop ringar, som ligger innanför radien på det söta lotet. Vi börjar med att ta fram måttet av lotet med radie β, vilet fås av summan [ ] µb β = µ Bβj \ B αj+1 + µ Bαj+1 \ B βj+1..6 j= För att lättare unna beräna.6 börjar vi med att addera ihop måtten av de två ringarna i summan, för att sedan summera resultatet över alla j. Detta görs med hjälp av. och.5, vilet ger µ B βj \ B αj+1 + µ Bαj+1 \ B βj+1 β c j j + α b j+1j + 1 Sedan använder vi att λ > 1, c b b a a > 0 och β j = 2 = β c j j + β c a b a b j j + 1. d b d c λj,.7 som leder till gränserna 0 < β c b b a a j < 1. Alltså har vi att 1 < 1 + β c b b a a j 2, för alla j = 1,2,,.... Tillsammans med c a b a b = c + c b b a a och 1 < j + 1 2, j an vi sedan vidareutvecla.7. Det görs genom µ B βj \ B αj+1 + µ Bαj+1 \ B βj+1 β c j j + βj c β c b b a a j j + 1 = βj c j 1 + β c b b a a j + 1 j βj c j, j.8 för j = 1,2,,.... För att ytterligare underlätta beräningarna av summan i.6 använder vi votriteriet på summan j=+1 βj β c j = i=1 i=1 β+i β c + i = 2 λ+i +λ c d b d c i=1 i=0 1 + i 2 λ λ i 1 c d b d c 1 + i 2 λi 1 c d b d c 1 + i..9 Det gör vi genom beräning av voten κ, där vi ocså gör variabelbytet υ =, vi får i detta fall att c d b d c κ = lim i 2 λi+1 1 υ 2 + i 2 λ i 1 υ = lim 2 λi+1 +1+λ i υ i i = lim i 2 λi λ 1υ = 0..10

32 18 Kapitel. En öppen S-mängd Kvotriteriet säger därmed att summan 2 λi 1 υ 1 + i i=0 är absolutonvergent. På grund av begränsningarna i.9 ser vi att även j=+1 βj β c j > 0.11 är onvergent med en gemensam begränsning oberoende av. Alltså får vi att 0 < 1 + j=+1 βj β c j < C,.12 där C < är en onstant. För mer information om summor och votriteriet se Alexandersson [2]. Med hjälp av.8 och.12 är vi nu redo att beräna summan i.6. Summan och därmed måttet av B β, blir då följatligen [ µb β = µ Bβj \ B αj+1 + µ \ B Bαj+1 β j+1] βj c j j= = β c + βj c j = β c 1 + j=+1 j=+1 βj β j= c j β c..1 För att sedan beräna måttet av ett större lot, vars radie är α, adderar vi en ring till måttet vi c fram för B β. ingen i fråga har en inre och yttre radie som är β respetive α. För att göra detta behöver vi använda oss av oliheten d b d c c b = c b d c d > 0 och får då följatligen 1 < 1 + α c b d c d 1 + α c b d c d 1 < 2. Nu an vi med hjälp av β c = α d b d c c få fram måttet av B α, µb α = µb α \ B β + µb β α b + β c = α b + α d b d c c = α b 1 + α c b d c d α. b.14 Kvar är att beräna måttet av B r, vilet för β r α görs med hjälp av att addera.4 och.1. Vi får då måttet µb r = µb r \ B β + µb β β c d r d β d + β c = β c d r d β c + β c = β c d r d..15

33 .2. Exempel: Slutenöppenslutensluten 19 För att få fram µb r där α +1 r β använder vi oss av.2 och.14. Eftersom + 1 och β c a = α b a +1 erhålls måttet µb r = µ B r \ B α+1 + µ Bα+1 β c a r a α a +1 + α b +1 = α b a +1 ra α b +1 + α b +1 = α b a +1 ra. Vi an sammanfatta.15 och.16 i en sats:.16 Sats.1. Om måttet µ på n ges av viten w från.1 så gäller att { α b a +1 µb r ra = β c a r a, om α +1 r β, β c d r d = α b d r d, om β r α..2.4 Framtagning av S-mängderna För att bestämma S 0 och S 0 börjar vi med att se vila potenser av r som µb r an anta. Detta gör vi med hjälp av sats.1. När det gäller radier där α +1 r β får vi, på grund av att c a > 0 och β r, måttet µb r β c a r a r c a r a = r c. Dessutom an vi få en uppsattning åt andra hållet, eftersom b a > 0 och α +1 r, genom µb r α b a +1 ra r b a r a = r b. Alltså följer uppsattningarna r c µb r r b om α +1 r β..17 Eftersom exponentmängderna S 0 och S 0 behöver gälla för alla 0 < r 1 undersöer vi även vad som händer då β r α. Sats.1 ger då oliheterna och µb r α b d r d r b d r d = r b µb r β c d r d r c d r d = r c. Alltså får vi även för β r α att r c µb r r b. Vi an nu sammanfatta detta tillsammans med uppsattningen från.17. Vi får då för alla = 1,2,... att r c µb r r b om α +1 r α..18 Vi väljer sedan ζr = för α +1 r α, och observerar att för alla ε > 0, fås gränsvärdet lim r 0 ζrrε lim αε = lim 2 λ = 0. Från.18 och lemma 2.2 får vi nu att S 0 0, b. Vidare får vi för radien r = α och från.14 att måttet µb α α b. Detta ger gränsvärdet µb α lim α b lim =

34 20 Kapitel. En öppen S-mängd och med lemma 2. får vi att S 0 0, b. Därmed har vi visat att exponentmängden S 0 = 0, b. När det ommer till S 0 an vi med hjälp av.18 erhålla oliheterna µb r r c r c. Detta ger att c S 0 och med lemma 2.1 får vi att S 0 [c,. Vi väljer sedan exponenten c < c godtycligt och använder att β c = βc βc c i.1, där måttet µb β β c. Genom att även dividera med βc på båda sidor av evationen fås gränsvärdet µb β lim = lim β c βc c = 0. Sista steget fås eftersom β c c går snabbare än 1 mot noll då. Från lemma 2. ser vi nu att c / S 0 och att S 0 c,. Det nns med andra ord inga exponenter mindre än c som ligger i S 0 och alltså får vi liheten S 0 = [c,..2.5 Framtagning av Q-mängderna För att få reda på Q 0 och Q 0 använder vi oss till en början av sats.1 och får då att r a µb r, om α+1 r β, µb r d.19, om β r α. Om vi nu låter α +1 r β α så får vi µb r µb = µb r µb β r µb β µb β Det i sin tur leder till oliheterna och µb r µb µb r µb β a β d = βd a r a d. d a r a r a.20 d a β r d r d,.21 r för α +1 r β α. Genom att använda.19 tillsammans med.20 och.21 fås att uppsattningen r d µb r r a µb.22 gäller för alla α +1 r α. För att gå vidare låter vi α j+1 < r < α j < α +1 < < α, där j + 1. Vi noterar med hjälp av.14 att µ B αj µ j b d αj αj.2 B α α +1 α +1

35 .2. Exempel: Slutenöppenslutensluten 21 och vi sa ocså se att µ B b αj µ αj j B α = α +1 αj α +1 a αj α +1 b a j + 1 αj α +1 Sista steget visas genom att j = i, där i = 0,1,2,.... Därefter får vi αj α +1 b a b a j 2 λ+1+i i + 1 = 2 λ = 2 λ+1 λ i 1b a 1 + i i2 λi 1b a 1. a..24 Med hjälp av.2 och.24 an vi nu använda.22 för att få fram uppsattningarna µb r µb = µb r µ µ Bαj B αj µ µ Bα+1 B α+1 µb a a r α+1 αj a r a = α j α +1 och µb r µb = µb r µ µ Bαj B αj µ µ Bα+1 B α+1 µb d d r α+1 αj d r d =. α j α +1 Därmed har vi visat att uppsattningen från.22 gäller för alla 0 < r < α 1. Det gör att vi med hjälp av lemma 2.1 an få fram att Q 0 0, a] och Q 0 [d,. Lihet för Q 0 får vi genom att först välja r = α +1 och = β i.1 och.14. Det ger med hjälp av variabelbytet β c a 1 < +1 2 att µ B α+1 µb β αb β c = αb β aβc a = α b a +1 och begränsningarna αb +1 = β aαb a +1 α+1 Sedan behöver vi unna uppfylla villoren i orollarium 2.6, vilet till en början görs genom att observera att β 0 då. Vidare erhåller vi på grund av oliheten c a b a 1 > 0 att α +1 lim = lim β β c a b a β = lim β c a b a 1 = 0. Korollarium 2.6 säger då att Q 0 0, a]. Eftersom vi tidigare visade att Q 0 0, a], fås därmed liheten Q 0 = 0, a]. β a.

36 22 Kapitel. En öppen S-mängd På linande sätt som för Q 0, an vi även få lihet för Q 0 genom att visa att Q 0 [d,. Det görs genom att välja r = β och = α samt att använda.1 och.14. Med hjälp av variabelbytet α b d = β c d fås sedan µb β µb α βc d α b = βc β. α d αb d = βc = α dβc d Vi ser då på grund av att α 0 när att gränsvärdet β lim = lim α α d b d c α = lim α d b d c 1 α = 0. Därmed an vi återigen använda orollarium 2.6 för att visa att Q 0 [d, och sedan tidigare vet vi att Q 0 [d, vilet ger att exponentmängden Q 0 = [d,.. Exempel: Slutenslutenöppensluten I detta exempel låter vi istället S 0 vara öppen så att vi får mängderna Q 0 = 0, a], S 0 = 0, b], S 0 = c, och Q 0 = [d,. Som tidigare nämndes använder vi variablerna under apitel.1 även i detta exempel. Det som siljer detta exempel från exemplet ovan är att vi dividerar delar av viten med, istället för som ovan då vi multiplicerade delar av viten med. Det i sin tur leder till att ocså måtten ommer att variera med en fator...1 Vit Låt = 1,2,,... som i exemplet ovan. Vi modierar sedan den tidigare viten och får då β c a ρa n, om α +1 < ρ β, wρ = β c d.25 ρd n, om β < ρ α, ρ b n, om ρ > α 1 i n, där dimensionen n 1, precis som tidigare. Vi sa nu fortgå med exemplet på ett linande sätt som vi gjorde med exemplet ovan...2 Mått av olia ringar Vi börjar med att beräna måtten av olia ringar. För att beräna dessa tar vi återigen hjälp av polära oordinater. ingen nedan gäller för α +1 r β. Måttet på ringen fås med den nya viten genom µ B r \ B α+1 r α +1 β c a ρa n+n 1 dρ βc a r a α+1 a..26

37 .. Exempel: Slutenslutenöppensluten 2 På grund av att β β 1 < 1 och med hjälp av liheten får vi 0 < β c a b a a a c a c aa b aa a a = = c b b a b a b a a > 0 β c b b a a 1 < 1, vilet medför att 1 β c a b a a a Vi an nu sätta r = β i.26 och utnyttja att α+1 a = β c a b a a måttet µ β c a B β \ B α+1 = βc β a α+1 a β c a = 1 β c a b a a a βc. 1. β a β c a b a a för att erhålla Måttet av nästa ring beränar vi för β r α, vilet ger oss följande µb r \ B β r β β c d ρd n+n 1 dρ βc d.27 r d β d..28 Nästa ring vi vill räna på har ytterradien α. Måttet av den fås genom att sätta r = α i.28 och använda oliheterna som medför att Måttet blir då 0 < α d b d c d d d b d c d d = c b d c d > 0 och α α 1 < 1, α c b d c d µb α \ B β βc d 1 < 1 och därmed att 1 α d b = αb.. Mått av olia lot α d β d α b d = 1 α d b d c d d αb. d c d d 1. α d α d b d c d.29 Vi har nu fått fram måtten av de ringar som behövs för att unna gå vidare med att beräna måtten av olia lot. Måttet av ett lot med radie β fås med hjälp av en liadan summa som i det tidigare exemplet, [ µb β = µ Bβj \ B αj+1 + µ Bαj+1 \ B ] β j+1..0 j= Vi fortsätter nu med att addera ihop måtten av de två ringarna i summan. Detta görs med hjälp av.27 och.29. Använder vi sedan variabelbytet α j+1 = β c a b a j så följer att µ B βj \ B αj+1 + µ Bαj+1 \ B βj+1 β c j j + αb j+1 j + 1 = βc j c a b a b j j + β j

38 24 Kapitel. En öppen S-mängd Sedan tar vi hjälp av följande λ > 1, c b b a a > 0 och β j = 2 d b d c λj, som leder till gränserna 0 < β c b b a a j < 1. Därmed får vi att 1 < 1 + β c b b a a j 2, för alla j = 1,2,,.... Tillsammans med liheten c a b a b = c + c b b a a an vi sedan vidareutvecla.1. Vi får c b b a a j µ βj c B βj \ B αj+1 + µ Bαj+1 \ B βj+1 j + βc j β j + 1 = βc j 1 + β c b j j b a a j j + 1 βc j j,.2 för j = 1,2,,.... Med hjälp av summan i exemplet ovan, det vill säga summan i.11, an vi göra en begränsning uppåt av följande summa j=+1 βj β c j < j=+1 βj β c j < C, där C är en begränsad onstant. Eftersom summan bara består av positiva termer ser vi att den an begränsas nedåt av noll. Detta tillsammans med.2 gör att vi nu an beräna måttet µb β. Det görs genom fortsatt beräning av.0. Vi får då att µb β = [ µ Bβj \ B αj+1 + µ \ B Bαj+1 β j+1] βj c j j= = βc + j=+1 βj c j = βc 1 + j=+1 βj β c j j= βc.. För att beräna måttet av ett lot med radie α, adderar vi en ring till måttet vi c fram för B β. För att göra detta behöver vi använda oss av liheten som ger att d b d c c b = c b d c d > 0 1 < 1 + α c b d c d 1 + α c b d c d 1 < 2. Vi får nu med hjälp av att β c = α d b d c c fram måttet av B α. Det blir genom användning av.29 och., nämligen µb α = µb α \ B β + µb β αb + βc = αb d b d c c + α = αb 1 + α c b d c d αb..4

39 .. Exempel: Slutenslutenöppensluten 25 De lot som är var att beräna, är de med radie r, där r får olia begränsningar. För β r α får vi fram måttet av B r genom att addera.28 och.. Det leder till beräningarna µb r = µb r \ B β + µb β βc d = βc d rd βc + βc = βc d rd. r d β d β c +.5 För att få fram B r för α +1 r β använder vi oss av.26 och.4. Eftersom + 1 och β c a = α b a +1 så blir måttet µb r = µ β c a B r \ B α+1 + µ Bα+1 αb a +1 ra αb a+a +1 + αb +1 = αb a +1 ra. Genom att sammanfatta.5 och.6 fås α b a +1 µb r β c d r a α a +1 + α b ra = βc a ra, om α +1 r β, rd = αb d rd, om β r α Framtagning av S-mängderna För att bestämma exponentmängderna S 0 och S 0 behöver vi nu se vila potenser av r som måttet av B r an anta. Detta gör vi med hjälp av.7. För radierna α +1 r β erhåller vi, på grund av att c a > 0 och β r, måttet µb r βc a ra rc a ra = rc. En uppsattning åt andra hållet fås, eftersom b a > 0 och α +1 r, genom µb r αb a +1 ra rb a ra = rb. Efter de två senaste beräningarna erhåller vi oliheterna r c µb r rb, om α +1 r β..8 Exponentmängderna S 0 och S 0 behöver gälla för alla 0 < r 1, därför undersöer vi även vad som händer då β r α. Genom att återigen se till oliheterna i.7 fås och µb r αb d µb r βc d rd rb d rd = rb rd rc d rd = rc.

40 26 Kapitel. En öppen S-mängd Alltså erhåller vi ocså gränserna r c µb r rb för β r α..9 Sammanfattningsvis an vi, från uppsattningarna i.8 och i.9, få för alla = 1,2,... att r c µb r rb om α +1 r α..40 För att få fram S 0 börjar vi med att uppmärsamma att µb r rb rb för alla = 1,2,.... Detta ger att b S 0. Lemma 2.1 ger då att S 0 0, b]. Sedan fortsätter vi med att sätta r = α och använda.4 där µb α αb. Vi observerar sedan att om vi låter b + > b vara godtycligt, så är α b = αb+ αb b+ och låter vi så följer det med hjälp av.40 att Dividerar vi med α b+ µb α αb = αb + αb b+. och noterar att b+ b > 0 och α < 1 så får vi gränsvärdet µb α lim lim α b+ 1 α b+ b =. Därmed ger lemma 2. att b + / S 0 och alltså har vi nu att S 0 = 0, b]. För att få fram S 0 låter vi ζr = och använder sedan.40, där vi ser att µb r rc. Enligt lemma 2.2 fås då att S 0 c,. Vidare använder vi lemma 2. tillsammans med., där µb β = βc. Detta leder till gränsvär- det µb β 1 lim β c = lim = 0, vilet ger oss att S 0 c,. Därmed har vi visat att S 0 = c,...5 Framtagning av Q-mängderna Exponentmängderna Q 0 och Q 0 fås med i stort sätt linande metod som i det tidigare exemplet. Till en början använder vi.7 och får att µb r µb r a, om α+1 r β, r d, om β r α. Låter vi α +1 r β α så erhålls µb r µb = µb r µb β r µb β µb β a β d = βd a r a d..41

41 .. Exempel: Slutenslutenöppensluten 27 Detta i sin tur leder till oliheterna d a µb r µb β r a r a.42 och µb r µb d a β r d r d,.4 r för α +1 r β α. Genom användning av.41 tillsammans med.42 och.4 fås, för alla α +1 r α, uppsattningen r d µb r r a µb, vilet är samma uppsattning som i.22. Detta ger på samma sätt som i förra exemplet att a Q 0 och d Q 0, vilet med hjälp av lemma 2.1 gör att vi får Q 0 0, a] och Q 0 [d,. Vi fortsätter genom att välja r = α +1 och = β och utnyttjar sedan att β c a = α b a +1 samt att 1 2 < < 1 då = 1,2,,.... Från. och får vi då att µ B α+1 µb β α b β c = αb +1 β aβc a + 1 αb +1 = β aαb a +1 α+1 Korollarium 2.6 ger nu att Q 0 0, a]. Vi vet därmed att Q 0 = 0, a]. På liande sätt får vi lihet för Q 0. Vi väljer r = β och = α samt använder. och.4. För att fortsätta använder vi att α b d = β c d och erhåller sedan µb β µb α β c α b = βc α d αb d = βc = α dβc d β Med hjälp av orollarium 2.6 får vi att Q 0 [d, och alltså är Q 0 = [d,. α β d. a.

42 28 Kapitel. En öppen S-mängd

43 Kapitel 4 S-mängderna ihop I detta apitlet sa vi titta på två andra exempel där randen av S 0 och randen av S 0 har en gemensam punt. Snittet av mängderna ommer doc att vara tomt, eftersom S 0 ommer att vara öppen i de båda exemplen. 4.1 Exempel: Slutenöppenslutensluten Det första exemplet leder till spegelvända exponentmängder jämfört med exempel. i BjörnBjörnLehrbäc []. Mängderna vi får fram är alltså Q 0 = 0, 2], S 0 = 0,, S 0 = [, och Q 0 = [4, Variabler och vit Låt =,4,5,... och α = 2 2. Vi denierar sedan variablerna η = α och ϕ = α, vila leder till att 2 η = ϕ. Vi fortsätter sedan med att deniera en vit i 2, där variablerna används. Vi får då viten ρ, om α +1 ρ ϕ, 1 ρ 2, om ϕ ρ η, wρ = ϕ 4.1 α, om η ρ α, α, om ρ > α Mått av olia ringar Vi utnyttjar nu variablerna och viten för att beräna måttet av en ring. ingen har den inre radien α +1 och den yttre radien r, där α +1 r ϕ. Vi får då måttet µ r B r \ B α+1 ρ 2 dρ r α α +1 Måttet av en ring med samma inre radie men med en yttre radie som är ϕ fås genom att sätta r = ϕ i 4.2. Vi behöver sedan använda oss av att α+1 = ϕ 6 12 och att ϕ 12 ϕ < 1. Detta leder till att vi får måttet µ B ϕ \ B α+1 ϕ α+1 = ϕ ϕ 6 12 = ϕ 1 ϕ 12 ϕ. 4. Svensson,

44 0 Kapitel 4. S-mängderna ihop Nästa steg som behövs för att unna hitta exponentmängderna är att beräna måttet µb r \ B ϕ där ϕ r η. Det gör vi med hjälp av integralen µb r \ B ϕ r ρ dρ 1 r 4 ϕ ϕ ϕ ϕ Byter vi r mot η får vi måttet på ringar med en inre radie som är ϕ och en yttre radie som är η. För att underlätta beräningarna behöver vi ocså för =,4,5,... betrata följande 1 ϕ = η, Sedan an måttet beränas genom µb η \ B ϕ 1 η 4 ϕ ϕ 4 = η ϕ 4 = η4 4 och < 1. η 4 η4 4 = η η. 4.5 Vi behöver nu se vad som händer med måttet om den yttre radien är r, där η r α, och den inre radien är η. Vi erhåller då r µb r \ B η α ρ dρ α r 2 η 2 = α r 2 α2 η då För måttet på den sista ringen använder vi 4.6 och sätter r = α och får µb α \ B η α α 2 α2 2 = α α Mått av olia lot Vi vill sedan få fram måtten på olia lot med bestämd radie. Vi börjar med måttet på ett lot med r = ϕ och får µb ϕ = [ ] µ Bϕj \ B αj+1 + µ Bαj+1 \ B ηj+1 + µ Bηj+1 \ B ϕj+1, 4.8 j= där vi med hjälp av 4., 4.5 och 4.7 får fram måtten på de ringar som nns i summan. Innan vi summerar ringarna noterar vi liheterna α j+1 = ϕ 6 jj 12 och η j+1 = α j+1 j + 1 = α 6 j j + 1 = ϕ6 j j12 j + 1. Därefter ser vi att det sammanlagda måttet av de tre ringarna blir µ B ϕj \ B αj+1 + µ Bαj+1 \ B ηj+1 + µ Bηj+1 \ B ϕj+1 ϕ j + α j+1 + η j+1j + 1 = ϕ j + ϕ 6 jj 12 + ϕ6 j j12 j + 1 j + 1 = ϕ j 1 + ϕ jj 12 + ϕ j j12 j ϕ j. 4.9

45 4.1. Exempel: Slutenöppenslutensluten 1 Vi an nu med hjälp av variabelbytet ϕ j+1 = α j+1 j α2 j j 2 = η2 j och genom att sätta in 4.9 i 4.8 beräna måttet till µb ϕ = [ µ Bϕj \ B αj+1 + µ Bαj+1 \ B η j+1 + µ Bηj+1 \ B ϕ j+1] j= = ϕ j = ϕ + ϕ j+1 ϕ 1 + j= j= η 6 j ϕ j= För att förenla ytterligare behöver vi undersöa summan i sista steget. Vi börjar därför med ett variabelbyte η j+1 = α j+1 j + 1 α2 j j = η2 j j. Sedan vill vi se om summan onvergerar, vilet görs genom att begränsa den uppåt av en summa som är oberoende av. Det ger oss att η 6 j ϕ j= = i=0 i=0 η 6 +i ϕ = i=0 α 6 +i α 6 + i 6 i=0 2 2+i = 2 2+i6 2 2 = i 6 2 2i6+. i=0 i= Därefter använder vi rotriteriet och på grund av det beränar vi κ genom gränsvärdet 2 i 6 i κ = lim 2 2i 6+ = lim 2 i = 0, i i ty exponenten går mot då i. Eftersom vi nu tydligt an se att κ < 1 får vi att summan 2 2i i=0 onvergerar. Se Alexandersson [2, s. 19] för mer information om rotriteriet. Från 4.11 och 4.12 får vi sedan en begränsning uppåt av summan. Den ser ut som följer ηj 6 < 2 2i6+ < C och därmed får vi att ϕ j= 1 < 1 + i=0 η 6 j ϕ j= < C,

46 2 Kapitel 4. S-mängderna ihop där onstanten C < inte beror på. Detta gör att vi an fortsätta beräningen av 4.10, vilet leder till måttet µb ϕ ϕ 1 + η 6 j ϕ j= ϕ. 4.1 Genom att addera måttet från 4.1 med måttet av ringen från 4.5 fås måttet på lotet med radie η. Med hjälp av att ϕ = η får vi alltså µb η = µb η \ B ϕ + µb ϕ η + ϕ = η + η = η η På ett linande sätt an vi få måttet av ett lot med radie α genom att använda 4.7 och Måttet blir då på grund av att η = α följande µb α = µb α \ B η + µb η α + η = α + α = α α Andra mått som är användbara är µb r för olia villor på r. Låter vi α +1 r ϕ an vi med hjälp av måtten från 4.2 och 4.15 få att µb r = µ B r \ B α+1 + µ Bα+1 r α +1 + α +1 = r För måttet på nästa lot använder vi istället 4.4 tillsammans med 4.1 och får då för ϕ r η att µb r = µb r \ B ϕ + µb ϕ 1 r 4 ϕ 4 + ϕ ϕ = r ϕ Det sista måttet på lotet med radie r, där η r α, fås med hjälp av 4.6 och 4.14 till µb r = µb r \ B η + µb η α r 2 α2 2 + η = α r 2 α 2 + α 2 = α r Sammanfattar vi ovan får vi med andra variabler att r, om α +1 r ϕ, r µb r 4 = r4, om ϕ r η, ϕ η α r 2 = η r 2, om η r α. 4.19

47 4.1. Exempel: Slutenöppenslutensluten Framtagning av S-mängderna För att få fram information om S-mängderna börjar vi med att se vila värden som µb r an anta för olia r. Om α +1 r ϕ ser vi från 4.19 att µb r r vilet ger oss att r µb r r. Från 4.19 ser vi ocså att µb r r4 η r, om ϕ r η, där lihet erhålls då r = η. Vidare fås uppsattningen åt andra hållet genom µb r r4 ϕ r, om ϕ r η, med lihet om r = ϕ. Fortsättningsvis an vi för η r α få oliheterna µb r η r 2 r och µb r α r 2 r. Sammanfattar vi det som hittills sagts får vi följande uppsattningar för µb r : r µb r r om α +1 r ϕ, r µb r r om ϕ r η, 4.20 r µb r r om η r α. Alltså får vi för alla 0 < r < α att r µb r r Använder vi 4.21 tillsammans med lemma 2.2 och låter ζr = fås att S 0 0,. Låter vi r = η och använder 4.14 an vi få gränsvärdet µb η lim η lim =. Lemma 2. ger då, eftersom η 0 och är en positiv följd för =,4,5,..., att S 0 0,. Vi har därmed att S 0 = 0,. När det ommer till S 0 börjar vi med att se till 4.21 som tac vare denition 1.4 ger oss att S 0. Lemma 2.1 ger därmed att S 0 [,. För att visa lihet sätter vi r = α och använder resultatet från 4.15 som säger att µb α α. Därefter tar vi hjälp av orollarium 2.4 och får att S 0 [,. Vi vet från tidigare ocså att S 0 [,, och alltså är S 0 = [, Framtagning av Q-mängderna Vi har nu lycats få fram både S 0 och S 0, vilet betyder att det endast är Q-mängderna var. Vi börjar med att se vila värden som voten µb r µb an anta. Det gör vi genom att använda 4.19 vilet ger oss att r, om α+1 r ϕ, µb r µb r 4, om ϕ r η, r 2, om η r α. 4.22