Innehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1

Transkript

1 SF629 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 5 KARL JONSSON Innehåll. Kapitel 6: Separation of Variables.. Upp. 6.2: Dirichlets problem på enhetsskivan med randdata polära koordinater) u, θ) = + cos3θ) + sin4θ).2. Upp. 6.3: Dirichlets problem på enhetsskivan. Randdata ux, y) = x 4 + y 4 där x 2 + y 2 = Kapitel 8: Distributions Upp. 8.3: Vilka är element i S? Upp. 8.20: Vilka funktioner är element i S och/eller M? Upp. 8.2: Vilka funktioner kan betraktas som tempererade distributioner? Upp. 8.0: Fouriertransform av en distribution Upp.?.??: Distributionsderivata av fx) = log x Upp. 8.24: Finn första och andraderivatan av ft) = sint). Rita Kapitel 2: Preparations/Some simple distributions/computing with δ Upp. 2.22: Integraler som innehåller δ Upp. 2.24: Omskrivning av funktion med Heaviside-fönster Upp. 2.28: Finn första- och andraderivatan av ft) = t 3 t. Rita Repetitionsuppgifter från gamla tentor inte ett officiellt urval) 7 Denna femtonde och sista övning kommer att handla om reguljära Sturm-Liouville problem, Dirichlets problem på enhetsskivan samt distributioner. Frågor, förslag eller kommentarer? Maila i så fall karljo@kth.se.. Kapitel 6: Separation of Variables.. Upp. 6.2: Dirichlets problem på enhetsskivan med randdata polära koordinater) u, θ) = + cos3θ) + sin4θ). Lösningsförslag. Dirichlets problem på enhetsskivan, Ω = { x, y) R 2 : x 2 + y 2 < }, är att finna en lösning till.) u = 0 i Ω, u = g på Ω, där g är en given funktion definierad på randen av Ω. Enligt teorin i boken så ges lösningen, i polära koordinater, u = ur, θ), ur, θ) = c n r n e inθ =.2) 2 a 0 + r n a n cosnθ) + b n sinnθ)). n Z Denna formel kommer från räkningarna som visar att konstanter 2 a 0 uppfyller 2 a 0 = 0 samt även funktioner r n cosnθ) och r n sinnθ) uppfyller funktionen) = 0. Man tänker sig n=0 Date: 6 december 205.

2 2 KARL JONSSON då att den allmänna lösningen är en godtycklig linjärkombination av dessa grundläggande lösningar, därav den oändliga summan. Vi kan dubbelkolla att dessa bas-funktioner,.3) r n cos n θ) sin faktiskt har laplace lika med 0. Laplacianen har utseendet.4) u = 2 u x u y 2 = r r r r u ) + r 2 2 u θ 2, för kartesiska rektangulära koordinater) och polära koordinater respektive. Vi tar som exempel funktionen ur, θ) = r n cosnθ), detta ger 2 r n cosnθ) = n 2 r n 2 cosnθ) r 2 θ 2 samt r r r r rn cosnθ) ) = r r nrn cosnθ)) = n 2 r n 2 cosnθ) alltså r n cosnθ)) = 0. I detta fall så ser vi vad lösningen måste bli, nämligen.5) ur, θ) = + r 3 cos3θ) + r 4 sin4θ). Hur skriver vi om denna till rektangulära koordinater? Kan använda oss av Eulers formler,.6) Alltså.7) samt.8) e inθ = e inθ = cosnθ) + i sinnθ), cosnθ) = R e inθ), sinnθ) = I e inθ), e iθ) n = cosθ) + i sinθ)) n. cos3θ) = R e i3θ) = R cosθ) + i sinθ)) 3) = = R cos 3 θ) + 3i cos 2 θ) sinθ) 3 cosθ) sin 2 θ) i sin 3 θ) ) = sin4θ) = I = cos 3 θ) 3 cosθ) sin 2 θ), e i4θ) = I cosθ) + i sinθ)) 4) = = I cos 4 θ) + 4i cos 3 θ) sinθ) 6 cos 2 θ) sin 2 θ) 4i cosθ) sin 3 θ) + sin 4 θ) ) = = 4 cos 3 θ) sinθ) 4 cosθ) sin 3 θ). Beräkna u i dessa rektangulära koordinater och övertyga dig själv om att detta blir 0. så vår lösning blir, om man använder att x = r cosθ) och y = r sinθ),.9) ur, θ) = + r 3 cos3θ) + r 4 sin4θ) = = + r 3 cos 3 θ) 3 cosθ) sin 2 θ) ) + r 4 4 cos 3 θ) sinθ) 4 cosθ) sin 3 θ) ) = = + r cosθ)) 3 3r cosθ))r sinθ)) 2 + 4r cosθ)) 3 r sinθ)) 4r cosθ))r sinθ)) 3 = = + x 3 3xy 2 + 4x 3 y 4xy Upp. 6.3: Dirichlets problem på enhetsskivan. Randdata ux, y) = x 4 + y 4 där x 2 + y 2 =. Lösningsförslag. Lösningsformeln för u till detta problem är given i termer av polära koordinater just för denna specifika geometri. Vi försöker att omtolka randdata med polära koordinater, x 2 + y 2 = betyder att r =,.0) u = x 4 + y 4 = r 4 cos 4 θ) + sin 4 θ) ) = cos 4 θ) + sin 4 θ).

3 SF629 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 5 3 För att kunna skriva upp lösningen till Dirichlets problem så vill vi ha randdata på Fourierserie form. Ett sätt att göra på i detta fall är att använda Euler s formler igen, vi får e cos 4 iθ + e iθ ) 4 θ) = = e 4iθ + 4e 3iθ e iθ + 6e 2iθ e 2iθ + 4e iθ e 3iθ + e 4iθ) = 2 6 = e 4iθ + e 4iθ + 4 e 2iθ + e 2iθ) ).) + 6 = 6 = 2 cos4θ) + 8 cos2θ) + 6), 6 samt.2) e sin 4 iθ e iθ θ) = 2i ) 4 = e 4iθ 4e 3iθ e iθ + 6e 2iθ e 2iθ 4e iθ e 3iθ + e 4iθ) = 6 = 6 e 4iθ + e 4iθ 4 e 2iθ + e 2iθ) ) + 6 = = 2 cos4θ) 8 cos2θ) + 6), 6 och summan blir därför cos 4 θ) + sin 4 θ) = 4 cos4θ) + 2) = 6.3) ur, θ) = 4 r4 cos4θ) = ux, y) = 4 x 4 6x 2 y 2 + y 4) Dessa typer av uppgifter går i dessa beräkningsmässiga fall ut på att göra om cos n θ) till en summa av element på formen coskθ), sinkθ) samt omvänt att göra om cosnθ) till potens-form cos n θ). 2. Kapitel 8: Distributions För att sammanfatta, S innehåller alla testfunktioner som är oändligt deriverbara och vars godtyckliga derivata multiplicerat med godtyckligt polynom är begränsat för alla x R. Mer explicit så betyder detta att för alla n, k 0 så finns konstant C n,k sådan att, + x ) n ϕ k) 2.) x) C n,k, för alla x R. Mängden S är alla linjära och kontinuerliga funktioner funktionaler) som är definierade på S. Kontinuitet här betyder att om ϕ n och ψ är funktioner i S sådana att för alla m 0 och k 0 ϕ lim max + n x R x )m k) n x) ψ k) 2.2) x) = 0, så gäller att alla u S uppfyller 2.3) 2.4) u[ϕ n ] u[ψ] då n. En tempererad funktion χ är sådana att det finns konstanter C och m sådana att χx) C + x ) m. Mängden M är en delmängd av E = C som innehåller de funktioner som själva samt alla dess derivator är tempererade. Tar man en funktion χ M och en distribution u S så kan vi definiera en ny distribution χu S genom 2.5) χu[ϕ] = u[χϕ]. Alltså en funktion som inte växer snabbare än polynomiellt

4 4 KARL JONSSON Det vill säga produkten av en multiplikatorfunktion χ och u är väldefinierad. Det är av denna anledning som vi inför multiplikatorfunktionerna. Man kan generellt sätt inte definiera produkten av två distributioner. Vad blir derivatan av χu? Vi använder definitionen 2.6) χu) [ϕ] = χu[ϕ ] = u[χϕ ]. Vi skulle kunna gissa på att produktregeln gäller även för denna typ av multiplikation. Svaret borde alltså vara χ u + χu, vi gör följande beräkning 2.7) χ u + χu )[ϕ] = u[χ ϕ] + u [χϕ] = u[χ ϕ] u[χ ϕ + χϕ ] = u[χϕ ], vilket är samma svar som ovan. Alltså produktregeln gäller som vanligt. Vi tar ett specialfall då u = δ a, dvs u[ϕ] = ϕa). Låt χ M. Vi har då att 2.8) χδ a [ϕ] = δ a [χϕ] = χa)ϕa) = χa)δ a [ϕ]. Samt för derivatorna av δ a funktionen. Då har vi 2.9) χδ a[ϕ] = δ a[χϕ] = δ a [χ ϕ + χϕ ] = χ a)ϕa) + χa)ϕ a)) = χ a)δ a [ϕ] + χa)δ a[ϕ]. alltså 2.0) χδ a = χa)δ a χ a)δ a 2.. Upp. 8.3: Vilka är element i S? f[ϕ] = R 2x2 + 3)ϕ x)dx: Detta är en tempererad distribution. Att linearitet gäller är enkelt att visa. För att visa kontinuitet så antar vi att ϕ n ψ i S. Då har vi att ˆ f[ϕ n ] f[ψ] 2x ϕ nx) ψ x) dx = R ˆ 2x = R + x ) 4 + x ) 4 ϕ nx) ψ x) dx 2.) max + ϕ x R x )4 nx) ψ x) ˆ 2x }{{} R + x ) 4 dx 0 då n. }{{} går mot noll då n. Varför? ändligt tal f[ϕ] = R ex ϕx)dx: detta är inte en tempererad distribution. Varför? Tips: försök att genomföra samma argument som ovan och se var det fallerar. f[ϕ] = ϕ0)) 2 : Detta är inte en tempererad distribution, linearitet gäller inte Upp. 8.20: Vilka funktioner är element i S och/eller M? ϕx) = e x2 : med i både S och M. ϕx) = e x 5 : med i varken S eller M på grund av funktionen ej med i E. ϕx) = sinx 2 ): med i M men ej i S. ϕx) = x n, där n är ett heltal: med i M men ej i S. ϕx) = : med i M men ej i S, det sista pga. av att om man multiplicerar funktionen med + x ) 3 så har vi inte längre en begränsad funktion på +x 2 R Upp. 8.2: Vilka funktioner kan betraktas som tempererade distributioner? fx) = e 2x : definierar ej tempererad distribution, växer snabbare än godtyckligt polynom då x. fx) = e 2x : som ovan fast då x. fx) = Hx)e 2x : som första. fx) = Hx)e 2x : detta definierar en temperad distribution. fx) = e sinx) : detta definierar en tempererad distribution, begränsad på R. fx) = x 2 ) 3 : detta definierar en tempererad distribution. Växer inte snabbare än + x ) 7 då x ±.

5 SF629 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING Upp. 8.0: Fouriertransform av en distribution. Formulering. Bestäm fouriertransformen av fx) = e x Hx). Vad är Fouriertransformen av x? Och av +ix ix? 2.5. Upp.?.??: Distributionsderivata av fx) = log x. Lösningsförslag. Vi har enligt teorin att om vi kan visa att funktionen f uppfyller att för några konstanter M och n så gäller att fx) M + x ) n för alla x som är stora nog samt att f är lokalt integrerbar så definierar f en distribution vilken i sin tur har distributionsderivator av alla ordningar. Att f i detta fall uppfyller fx) M + x ) n är klart om vi tar att x > och M = och m =. Att f är lokalt integrerbar på alla intervall I som inte innehåller x = 0 är klart eftersom f är begränsad där. Antag att I innehåller delintervallet 0, ). Då gäller att 2.2) ˆ 0 log x dx = lim ε 0 + ˆ ε log xdx = lim ε 0 + ) [x logx) x] ε = = lim ε logε) + ε) = <. ε 0 + Detta visar att fx) är lokalt integrerbar. Nu till distributionsderivatan. Enligt definition 2.3) T ˆ ε = lim [log x)ϕx)] ε ε 0 + = lim ε 0 + log x [ϕ] = T log x [ϕ ] = ˆ ε = lim log x)ϕ x)dx + ε 0 + logε)ϕ ε) ˆ ε ˆ = lim ε 0 + x >ε ˆ ˆ x ϕx)dx + [logx)ϕx)] ε ϕx)dx logε)ϕε) x ϕx)dx + lim x ε 0 ˆ + = lim ε 0 + x >ε alltså är derivatan av log x lika med principalvärdet av x. ε 2ε logε) log x ϕ x)dx = ) logx)ϕ x)dx = ˆ ε ˆ ε ) x ϕx)dx ) x ϕx)dx = ) = ϕε) ϕ ε) 2ε x ϕx)dx ϕ 0) = P x [ϕ] 2.6. Upp. 8.24: Finn första och andraderivatan av ft) = sint). Rita. Lösningsförslag. Vi har brytpunkter i t = nπ för alla n Z. Detta ger att 2.4) ft) = sint) = sint) 2 sint) n Z Ht 2n )π) Ht 2nπ)) vilket betyder att fx dx < för alla slutna och begränsade intervall I I

6 6 KARL JONSSON vilket ger f t) = cost) 2 cost) n Z Ht 2n )π) Ht 2nπ) 2.5) 2 sint) n Z δt 2n )π) δt 2nπ) = = cost) 2 cost) n Z Ht 2n )π) Ht 2nπ). samt f t) = sint) + 2 sint) n Z Ht 2n )π) Ht 2nπ) 2 cost) n Z δt 2n )π) δt 2nπ) = 2.6) sint) 2 n Z cost)δt 2n )π) cost)δt 2nπ) = sint) 2 n Z )δt 2n )π) )δt 2nπ) = sint) + 2 n Z δt nπ). 3. Kapitel 2: Preparations/Some simple distributions/computing with δ. 3.. Upp. 2.22: Integraler som innehåller δ. R t2 + 3t)δt) δt + 2))dt: svaret blir 0 2) 2 3 2) = = 2. R e st δ t )dt : R e2t δ t)dt: R e st δ n) t)dt : 3.2. Upp. 2.24: Omskrivning av funktion med Heaviside-fönster. Ändrat då αt) och f t) = t t +. Vi får en brytpunkt i t =. Ska då ha uttrycket βt) var ihopblandade förra gången. 6 jan 205. /K αt) Ht + ) }{{} +βt) Ht + ) }{{} ) = på då t > på då t > }{{} 3.) av då t > = tt + )Ht + ) tt + ) Ht + )) = = tt + ) + 2t t + ) Ht + ). f 2 t) = e t. Vi får = e t Ht) + e t Ht)) = e t + e t e t )Ht). f 4 t) = A om t < a och = B om t > a. Vi får f 4 t) = A + B A)Ht a) Upp. 2.28: Finn första- och andraderivatan av ft) = t 3 t. Rita.

7 SF629 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 5 7 Lösningsförslag. Vi har att ft) = tt + )t ) alltså har vi brytpunkter i t =, 0,. Detta ger att 3.2) ft) = tt + )t )) Ht )+ tt + )t )) Ht) Ht )) + tt + )t )) Ht + ) Ht)) + tt + )t )) Ht + )) = = 2tt + )t )Ht )+ 2tt + )t )Ht)+ 2tt + )t )Ht + )+ tt + )t ) = = tt + )t ) 2Ht ) 2Ht) + 2Ht + ) ), vilket ger 3.3) samt 3.4) f t) = 3t 2 ) 2Ht ) 2Ht) + 2Ht + ) ) + tt + )t ) 2δt ) 2δt) + 2δt + )) = = 3t 2 ) 2Ht ) 2Ht) + 2Ht + ) ), f t) = 6t 2Ht ) 2Ht) + 2Ht + ) ) + 3t 2 ) 2δt ) 2δt) + 2δt + )) = = 6t 2Ht ) 2Ht) + 2Ht + ) ) + 4δt ) + 2δt) + 4δt + )). 4. Repetitionsuppgifter från gamla tentor inte ett officiellt urval)

8 8 KARL JONSSON

9 SF629 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 5 9

10 0 KARL JONSSON Institutionen för matematik, KTH, SE-00 44, Stockholm, Sweden address: